多级柔顺压电快速反射镜运动静力学与动力学建模的传递矩阵法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A transmission matrix method for kinetostatic and dynamic modeling of a multi-stage compliant piezoelectric fast steering mirror

　　•为多级压电快速反射镜（PFSM）开发了一套动静态与动力学建模框架。
•递归传递矩阵避免了大规模全局矩阵求逆。
•动力学参数直接由动静态传递矩阵法导出。
•通过仿真与实验验证，偏转角偏差小于2%。

1. 引言

快速反射镜（FSM）是一种光-机-电集成的高精密器件，通过驱动反射元件实现对光束方向的快速精确控制，广泛应用于光束指向与稳定系统中[1]。根据驱动机制不同，现有快速反射镜可分为电磁驱动型[2]、音圈驱动型[3]、[4]、[5]、微机电系统（MEMS）型[6]、[7]、[8]以及压电驱动型[9]、[10]、[11]。尽管电磁驱动型和音圈驱动型快速反射镜能够实现较大的偏转角度，但其应用受限于带宽限制和电磁干扰，不适用于需要高响应速度和定位精度的场景。相比之下，MEMS型快速反射镜结构紧凑、功耗低、带宽高，但其实际应用受到转角范围和承载能力的限制[12]。相比之下，压电驱动型快速反射镜具有高带宽、高定位精度和大承载能力等优势，因此已成为自适应光学稳定[13]、卫星激光通信[14]、激光加工[15]和生物医学系统[16]等应用中的优选方案。

近年来，精密定位、光学对准和多轴运动跟踪领域的进展进一步凸显了高性能光束偏转与驱动系统的重要性。Yang等[17]开发了一种级联声光-振镜扫描系统，结合频域迭代前馈整定和实时误差补偿，实现了微弧度级跟踪精度的超快光束偏转。Cao等[18]提出了一种基于振镜的全原位成像与激光加工系统，直接获取角坐标，减少了传统多步坐标转换带来的对准误差。在精密航空航天定位领域，Hou等[19]开发了基于摩擦电传感器的捕获、定位与释放机构，用于天琴引力波探测任务中检验质量块的状态监测。此外，Cao和Zhang[20]提出了一种基于时变内模原理的控制方法，以提高单轴跟踪和多轴轮廓加工性能。这些研究展示了运动协调、定位精度、对准和传感方面的进展，同时也凸显了精密驱动系统中机械特性和动态响应的重要性。

压电快速反射镜（PFSM）通常以压电陶瓷叠堆执行器（PCSA）作为核心驱动单元。已有研究和商业产品均表明，PCSA因其高带宽、快速响应和结构紧凑等优势而被广泛采用[21]。然而，PCSA的固有行程通常仅为其长度的约0.1%，这从根本上限制了直接驱动构型中可实现的偏转角度。因此，通常引入柔顺放大机构来扩展输出范围。为克服压电执行器行程有限的限制，各种放大机构如桥式结构和单级杠杆机构已被纳入PFSM设计中[22]、[23]。这些机构能够有效增大角位移输出，同时保持无摩擦运动传递。然而，单级放大机构通常需要在放大比和结构刚度之间进行权衡。过大的放大比会降低固有频率并增加寄生变形，从而限制可实现的高带宽性能[24]、[25]、[26]、[27]。

近年来，多级放大策略已被广泛研究，以在保持结构刚度的同时扩展PFSM的偏转范围。代表性设计展示了多样化的性能权衡，包括大偏转角与中等固有频率的组合、超高固有频率与有限转角范围的组合，以及通过多级柔性机构改善解耦性能的组合[28]、[29]、[30]、[31]。例如，Li等[28]提出了一种双模式驱动方案，实现了高达±95 mrad的偏转角，同时保持440 Hz以上的固有频率；而Han等[29]开发了一种基于环形柔性铰链的微型设计，在毫弧度级偏转范围内实现了超过3 kHz的固有频率。尽管取得了这些进展，现有研究大多侧重于结构设计和实验性能验证。多级柔顺放大机构的建模通常基于等效刚度或局部静力平衡假设，其中各级被视为串联连接的独立单元[11]、[32]。在此类假设下，后续级引入的反作用力及其对前级的反馈效应往往被忽略，导致在实际载荷条件下力-位移传递、放大比和系统刚度的预测不准确。

为了在不承受标准有限元法（FEM）或全局柔度矩阵法（CMM）相关的高昂计算成本的前提下，准确捕捉这些复杂的力-位移相互作用和动态特性，研究者们提出了各种先进建模策略。例如，在静态和动静态领域，已开发出精细解析模型来精确评估复杂整体式柔性梁的力-位移关系[33]。在动力学领域，提高仿真效率和评估柔性机构运动可靠性的迫切需求推动了增强型网络学习模型[34]以及具有优化质量集中技术的先进动态柔度矩阵（DCM）方法的发展[35]。

更值得关注的是，为了从根本上克服复杂装配结构中过度的维度增长，降阶建模（ROM）技术——如全局模态法（GMM）和模态加权法（MWM）——已成为经典且强大的框架。这些方法可以将计算自由度降低数个数量级，同时保持空间装配结构的高动态保真度[36]。此外，为解决结构连接处的不确定非线性动力学问题，已提出将GMM与物理信息神经网络（PINN）相结合的开拓性混合框架，实现了超高效的低维动力学建模[37]。

上述研究展示了精密运动控制、光学对准、柔顺机构设计和高效结构建模的重要性。对于包含串联多级柔顺放大机构的压电快速反射镜，一个重要的力学建模挑战是建立级间相关反作用力、由此产生的位移传递以及等效动态特性之间的可处理关系。每个放大级的载荷受其后续级的影响，在评估整体力学响应时必须一致地表示这种关系。因此，需要一种模块化解析公式来研究几何参数和结构柔度对级联PFSM性能的影响。除了本研究考虑的特定PFSM外，相同的建模需求也出现在其他串联多级柔顺精密运动系统中，如光束偏转和光学对准机构、激光加工定位系统以及柔顺精密定位装置。对于此类系统，局部几何形状、刚度、惯性和边界条件可能不同，但通过重新定义相应的局部传递矩阵，可以保留相同的逐级建模和矩阵级联策略。这种模块化特性使所提出的公式在更广泛的柔顺精密驱动系统类别中具有快速参数评估和结构设计迭代的潜在价值。

本研究以多级柔顺PFSM作为代表性平台，针对其串联放大结构建立了基于传递矩阵的动静态建模流程。每个杠杆级的力-位移响应通过局部双端口柔度关系表示，在递归传播过程中将下游反作用力保留为端口变量。等效传递矩阵通过各单级矩阵的依次相乘构建，为不同放大级数提供固定尺寸的状态表示。此外，利用由动静态公式推导的等效刚度和惯性参数建立集总参数动力学模型。所提出的结构建模流程通过理论计算、三维有限元仿真和样机实验进行评估。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍所提出的PFSM的结构设计和工作原理。第3节基于弹性梁理论建立系统的动静态和动力学模型，并通过有限元分析验证建模结果。第4节报告所提出PFSM的运动学性能测试并讨论实验结果。最后，第5节对全文进行总结。

2. 结构设计与工作原理

图1(a)展示了所提出PFSM的整体结构，其包括反射镜、十字形镜架、外壳、四个柔性铰链、四个压电执行器和基座。该PFSM提供两个自由度，两对压电执行器沿X轴和Y轴对称布置，驱动直径为25 mm的反射镜。外壳和基座采用互锁方形构型，使PFSM能够以低矮平面形式安装，适用于各种工作环境。接线端口布置在壳体两侧，便于压电执行器与外部电源之间的电气连接。为保护内部组件，外壳与柔性铰链、反射镜和镜架之间进行机械隔离。力和力矩通过柔性机构传递，该机构直接粘接在镜架上以确保高效驱动。镜架采用十字形设计，其宽度与下方柔性铰链相匹配，从而在粘接过程中实现精确定位，并相比传统椭圆形镜架减轻质量。为抑制两个旋转轴之间的模态耦合，镜架有意沿X轴和Y轴设计为不对称的臂长。这种不对称性用于分离两个旋转模态的基频固有频率，同时保持几乎相同的静态偏转特性。基座中集成的十字形凹槽与上方的盖板互锁，将四个柔性铰链以90°间隔固定，压电执行器安装在柔性铰链内并通过螺栓预紧以确保稳定运行。

下载：下载高分辨率图像（260KB）
下载：下载全尺寸图像

图1. 所提出的压电快速反射镜结构：(a)三维模型；(b)偏转示意图。

图1(b)说明了所提出PFSM的工作原理。在单轴上采用差动驱动方案，对称布置的压电执行器施加相反的电压变化。当控制电压在0-150 V范围内变化时，同一轴上的执行器施加差动电压。所产生的差动位移产生关于反射镜中心轴沿X轴的驱动力矩，使反射镜能够从X?方向向X+方向进行角运动。Y轴采用相同的驱动原理。

3. 结构建模与分析

为建立所提出PFSM的力学模型，首先对内部机械结构进行分解，以确定用于解析建模的基本柔顺单元。如图2所示，PFSM由四个相同的柔顺机构组成，对称布置在中央镜架周围。由于结构对称性，所有柔顺机构具有相同的几何构型和边界条件。因此，不失一般性地，提取单个柔顺机构连同镜架作为代表性建模对象。

下载：下载高分辨率图像（135KB）
下载：下载全尺寸图像

图2. PFSM的结构分解及代表性柔顺机构的提取。

基于所提取的柔顺机构，进一步构建简化的力学抽象模型，如图3所示。多级放大机构被分解为各个杠杆级，连接放大结构与镜架的柔性铰链被显式建模。后续推导中使用的几何参数、外力、力矩和坐标定义如图2和图5所示。

下载：下载高分辨率图像（101KB）
下载：下载全尺寸图像

图3. 多级柔顺放大机构和柔性铰链的简化力学模型：(a)第一级或第二级杠杆；(b)第三级杠杆；(c)柔性铰链。

相应地，与简化模型相关的关键几何尺寸和集总力学参数汇总于表1中。这些参数作为后续小节中动静态和动力学建模的基础。

表1. 压电快速反射镜的几何和力学参数。

参数 | 数值
---|---
L1,1 | 15 mm
L1,2 | 10 mm
L2,1 | 5 mm
L2,2 | 10 mm
L3,1 | 7 mm
L3,2 | 23 mm
h | 8 mm
d | 4.2 mm
I1 | 36.46 mm?
I2 | 0.06 mm?
z1,in | 20 μm
Fext | 0.0479 N
k | 1.08 × 10? N/m
kholder,x | 1.95 × 10? N/m
kholder,y | 2.12 × 10? N/m
meq | 16.1 g
Jmirror | 0.144 kg·mm2
Jholder,x | 0.149 kg·mm2
Jholder,y | 0.316 kg·mm2

3.1. 动静态建模

对于动静态建模，在线弹性材料和小变形假设下考虑代表性柔顺机构。横向剪切变形和高阶几何耦合未显式纳入基于欧拉-伯努利梁的解析公式中。这些假设在系统输出层面通过三维实体单元有限元分析进一步检验。该机构由多级柔顺放大结构和连接放大结构与镜架的柔性铰链组成。本小节重点讨论放大机构的建模。多级放大结构中的中间杠杆级次采用标准化的几何构型表示，并自下而上依次编号，而末端杠杆级次则单独建模以考虑其独特的几何形状和载荷条件。位移和力依次通过各级杠杆传递，从而建立起基于递推传递矩阵的建模公式。为了使所提出的传递矩阵方法适用于任意级联柔性系统，定义放大级总数为N。对于任一中间杠杆级次，按顺序编号为n（n = 1, 2, …, N-1），其力学行为被建模为受欧拉-伯努利梁理论控制的弹性梁。如图3(a)所示，每级杠杆的几何形状由固定端A、输入点B和输出点C定义。固定端A刚性连接于基座，点B承受输入力F_n,in，对应的位移为Δz_n,in，点C承受来自后续级次的反作用力F_n,load，输出位移记为Δz_n,out。在以下推导中，除非另有说明，下标n特指这些标准化的中间杠杆级次。

基于载荷条件和运动学约束，分段弯矩分布以及相关的边界条件和连续性条件如式(1)、(2)所示。
(1)
M(x) = F_n,load(L_n,1 + L_n,2 - x) + F_n,in(x - L_n,1), 0 ≤ x ≤ L_n,1
F_n,load(L_n,1 + L_n,2 - x), L_n,1 ≤ x ≤ L_n,1 + L_n,2

其中x = L_n,1对应于连续柔性杠杆上输入力作用点B，而非离散旋转铰链界面。局部截面转角表示为
φ_n(x) = dw_n(x)/dx

相应地，点A处的固定端边界条件和点B处的运动学连续性条件表示为
(2)
w_n(0) = 0
φ_n(0) = 0
w_n(L_n,1^+) = w_n(L_n,1^-)
φ_n(L_n,1^+) = φ_n(L_n,1^-)

由于点B处无集中外力偶作用，弯矩在该点连续，而集中输入力F_n,in导致剪力发生跳跃。因此，
M_n(L_n,1^+) = M_n(L_n,1^-)
V_n(L_n,1^-) - V_n(L_n,1^+) = F_n,in

其中在当前符号约定下V = dM/dx。这些平衡条件已嵌入式(1)中；具体地，
M(L_n,1^-) = F_n,load L_n,2 = M(L_n,1^+)

因此，点B处未引入独立的旋转弹簧；其旋转柔度由柔性杠杆的分布弯曲刚度EI_1内在表示。

通过求解在式(1)定义的外部载荷下、并满足式(2)边界条件的欧拉-伯努利梁方程，可获得挠度分布，如式(3)所示。
(3)
w(x) = -F_n,in x^2/(6EI_1)(-3L_n,1 + x) - F_n,load x^2/(6EI_1)(3(L_n,1 + L_n,2) - x), (0 ≤ x ≤ L_n,1)
-F_n,in L_n,1^2/(6EI_1)(L_n,1 - 3x) - F_n,load x^2/(6EI_1)(3(L_n,1 + L_n,2) - x), (L_n,1 ≤ x ≤ L_n,1 + L_n,2)

其中E表示Al 6061的杨氏模量，I_1代表杠杆截面的二次惯性矩。

通过计算式(3)在输入和输出位置的挠度分布，得到相应的位移表达式，如式(4)、(5)所示。
(4)
z_n,in = w(x = L_n,1) = (2F_n,in L_n,1^3 - F_n,load(2L_n,1^3 + 3L_n,1^2 L_n,2))/(6EI_1)
(5)
z_n,out = w(x = L_n,1 + L_n,2) = (F_n,in(2L_n,1^3 + 3L_n,1^2 L_n,2) - 2F_n,load(L_n,1 + L_n,2)^3)/(6EI_1)

上述结果表明，当考虑后续级次的反作用力时，单级杠杆的输入-输出位移关系不仅受其几何参数控制，还明确受到下一级所施加载荷条件的影响。

末端杠杆采用图3(b)所示的几何构型进行建模。在采用的偏心载荷表示下，输出反作用力F_N,load产生一个等效弯矩M_N,load = d F_N,load，其中d表示规定的偏心距离。因此，末端杠杆的分段弯矩分布表示如下：
(6)
M(x) = F_N,load(d + L_N,1 + L_N,2 - x) + F_N,in(x - L_N,1), 0 ≤ x ≤ L_N,1
F_N,load(d + L_N,1 + L_N,2 - x), L_N,1 ≤ x ≤ L_N,1 + L_N,2

将弯矩分布代入相应的边界和连续性条件，得到末端杠杆的挠度曲线：
(7)
w(x) = F_N,in x^2/(3L_N,1 - x) + F_N,load x^2(-3L_N,1 - 3L_N,2 - 3d + x)/(6EI_1), 0 ≤ x ≤ L_N,1
F_N,in L_N,1^2/(3x - L_N,1) + F_N,load x^2(-3L_N,1 - 3L_N,2 - 3d + x)/(6EI_1), L_N,1 ≤ x ≤ L_N,1 + L_N,2

计算挠度曲线在输入和输出位置的值，得到相应的位移关系：
(8)
z_N,in = w(x = L_N,1) = (2L_N,1^3 F_N,in - F_N,load(2L_N,1^3 + 3L_N,1^2 L_N,2 + 3d L_N,1^2))/(6EI_1)
(9)
z_N,out = w(x = L_N,1 + L_N,2) = ((2L_N,1^3 + 3L_N,1^2 L_N,2)F_N,in - (L_N,1 + L_N,2)^2(2L_N,1 + 2L_N,2 + 3d)F_N,load)/(6EI_1)

基于式(4)、(5)、(8)、(9)中导出的解析位移表达式，任意第n级（n = 1, 2, …, N）的线性输入-输出力-位移映射可统一表示为式(10)，其中相关系数定义于式(11)。
在此基础上，每一级杠杆被视为一个标准化的二端口机械元件，其输入-输出位移和力关系可用统一的递推公式描述，如式(12)所示，相应的系数矩阵定义于式(13)。
通过级联所有杠杆级的递推关系，任意N级放大机构的传递关系在数学上获得，如式(14)所示，其中等效传递矩阵T_eq定义于式(15)。

与将每级杠杆简化为机械独立组件的传统全局矩阵CMM方法相比，所提出的传递矩阵公式明确考虑了后续级次对前级次的反作用效应，从而避免了放大比和等效刚度的过高估计。至关重要的是，这种递推矩阵公式在数学上证明了所提出的TM建模方法对任意级数（N）的通用性。虽然该方法在解析上可扩展到无限级，但实际PFSM设计受到级联刚度指数增长的物理限制，这需要过高的输入力并导致严重的寄生弯曲损耗。因此，通过应用此广义N级框架来评估几何放大和结构柔度限制，本研究选择3级构型（N = 3，得到T_eq = T_3·T_2·T_1）作为物理原型。

(10)
[z_n,in; z_n,out] = [k_11^n, k_12^n; k_21^n, k_22^n] [F_n,in; F_n,load]

计算效率与数值一致性
为了定量评估所提出的TM方法的计算特性，针对密集和稀疏全局柔度组装方法进行了数值基准测试。为保持相同的力学假设，所有实现均使用相同的局部二端口柔度矩阵、几何参数、材料属性、界面连续性条件和规定的边界条件构建。完整的中间力-位移状态通过每种方法恢复。

基准测试在MATLAB R2024b中进行，计算机配备AMD Ryzen 7 7435HS处理器、16 GB DDR5-4800 RAM和Microsoft Windows 11。级联级数从N = 2变化到N = 20。实际PFSM对应N = 3，其余构型作为假设的串联扩展用于研究计算可扩展性。为最小化计时波动，进行了50次预执行，随后以随机顺序进行七次独立计时试验。使用中位执行时间进行比较，排除局部柔度矩阵的通用生成时间。相应的执行时间和显式存储需求总结于表2。

(11)
k_11^1 = k_11^2 = 2L_n,1^3/(6EI_1)
k_12^1 = k_12^2 = -(2L_n,1^3 + 3L_n,1^2 L_n,2)/(6EI_1)
k_21^1 = k_21^2 = (2L_n,1^3 + 3L_n,1^2 L_n,2)/(6EI_1)
k_22^1 = k_22^2 = -2(L_n,1 + L_n,2)^3/(6EI_1)
k_11^3 = 2L_n,1^3/(6EI_1)
k_12^3 = -(2L_n,1^3 + 3L_n,1^2 L_n,2 + 3d L_n,1^2)/(6EI_1)
k_21^3 = (2L_n,1^3 + 3L_n,1^2 L_n,2)/(6EI_1)
k_22^3 = -(L_n,1 + L_n,2)^2(2L_n,1 + 2L_n,2 + 3d)/(6EI_1)

(12)
[z_n,out; F_n,load] = T_n [z_n,in; F_n,in]

(13)
T_n = [k_22^n - k_11^n k_22^n / k_12^n, k_21^n / k_12^n; 1/k_12^n, -k_11^n / k_12^n]

(14)
[z_N,out; F_N,load] = T_eq [z_1,in; F_1,in]

(15)
T_eq = ∏_{i=n-i+1}^{n} T_i = T_n · T_{n-1} ··· T_2 · T_1

表2. 递推TM与全局柔度组装方法的计算性能比较。
N | TM时间/μs | 密集时间/μs | 稀疏时间/μs | TM存储/字节 | 密集存储/字节 | 稀疏存储/字节
3 | 340 | 16260 | 8023 | 2244 | 48456 | 4160
6 | 799 | 22543 | 52105 | 6768 | 106542 | 14163
9 | 2943 | 52105 | 6768 | 10654 | 214163 | 29435
12 | 6723 | 69615 | 7615 | 8889 | 19730 | 36711
15 | 9927 | 93623 | 7620 | 11297 | 26043 | 43741
18 | 13121 | 3776 | 3176 | 无 | 无 | 无

对于相邻级次，第n级的输出位移和反作用力构成第(n+1)级的输入状态：
(16)
z_n,out = z_{n+1,in}
F_n,load = F_{n+1,in}

因此，状态可通过级联机构递推传播，而无需求解全局系统。对于本PFSM，递推由规定的致动器位移z_1,in和规定的末端载荷F_N,load = F_ext闭合。如果
(17)
T_n = [t_11, t_12; t_21, t_22]

未知输入力直接获得：
(18)
F_1,in = (F_ext - t_21 z_1,in) / t_22

随后，所有中间状态通过顺序前向传播恢复。由于递推是纯代数的，无需迭代收敛准则。

在多级放大机构的输出端，使用柔性铰链连接反射镜支架并传递力和力矩。如图3(c)所示，反射镜支架和反射镜被视为刚体，其合力载荷集中于质心，位于距柔性铰链距离d处。根据力的平移原理，作用于柔性铰链的等效外力矩为
(19)
M_ext = M_3,load = F_ext d

因此，柔性铰链承受耦合的轴向压缩和弯曲变形。铰链端的相应轴向和侧向位移可表示为式(20)。
(20)
x = F_load d h^2/(2EI_2)
z = z_3,out - d/(EA_2) F_ext

其中I_2是柔性铰链的二次惯性矩，A_2是柔性铰链的横截面积。

此外，上述变形理论上假设反射镜组件为理想刚体。为确保精度，必须考虑十字形支架的固有柔度，因为其有限弯曲刚度（k_holder）不可避免地吸收部分传递运动。通过将整个前置结构（等效输出刚度为k）和支架视为串联弹性系统，实际有效垂直位移z_real和全局等效刚度k_sys解析修正为式(21)、(22)。
(21)
z_real = z_out × k_holder / (k + k_holder)
(22)
k_sys = k · k_holder / (k + k_holder)

通过静态有限元分析提取的支架方向刚度（k_holder,x和k_holder,y）以及修正后的全局系统刚度总结于表1。

通过叠加这些变形，获得反射镜-支架组件的位移。对于小偏转角，PFSM的旋转角可近似为：
(23)
θ ≈ z_real / (x - d)

3.2. 动态分析
所提出的PFSM的动态模型如图4所示。由于系统的结构对称性，仅呈现沿X轴的动态模型，而沿Y轴的动态行为可采用相同建模方法描述。动态模型可分为四部分：输入部分、压电致动部分、机械结构部分和输出部分。模型中，k_sys、m_eq和c分别表示机械结构的等效刚度、等效质量和阻尼；k_p表示压电陶瓷致动器的刚度；J_x表示反射镜组件沿X轴的总转动惯量。

下载：下载高分辨率图像（222KB）
下载：下载全尺寸图像
图4. 所提出的压电快速转向反射镜的动态模型。

在此降阶公式中，k_sys和m_eq分别表示与保留的平移-转动坐标相关的有效弹性和惯性贡献。总转动惯量J_x明确包括圆柱形反射镜的惯量J_mirror和非对称十字形反射镜支架的惯量J_holder,x。该降阶表示对目标低阶工作模态的适用性在3.3节中通过三维特征模态形状和模态惯性分布进一步评估。
(24)
J_x = J_mirror + J_holder,x

反射镜的惯量基于其圆柱几何形状解析计算，而支架的方向相关惯量由于其复杂的非对称轮廓而通过CAD工具评估。在电压激励下，逆压电效应与柔性铰链的位移放大相结合产生输出旋转角θ_x。

基于图4所示的动态模型，可建立PFSM的振动微分方程如式(25)：
(25)
M [x?_1; x?_2; θ?] + C [?_1; ?_2; θ?] + K [x_1; x_2; θ] = [F_x1; F_x2; M_x]

在上述中，M、C和K由式(26)给出：
(26)
M = [m_eq, 0, 0; 0, m_eq, 0; 0, 0, J_x],
C = [ζ_x, 0, -ζ_x d; 0, ζ_x, ζ_x d; -ζ_x d, ζ_x d, -2ζ_x d^2],
K = [k_sys,x + k_p, 0, -k_sys,x d; 0, k_sys,x + k_p, k_sys,x d; -k_sys,x d, k_sys,x d^2, k_sys,x d^2]

应注意，阻尼矩阵C主要为了广义动态公式的数学完整性而包含在控制方程中。由于整体金属柔性机构固有地表现出极低的结构阻尼比（通常ζ < 0.05），阻尼固有频率ω_d几乎与无阻尼固有频率ω_n相同[38,39]。因此，结构阻尼对固有频率的影响可忽略。因此，系统有效地被视为无阻尼模型，用于后续的固有频率提取和验证。

通过从式(26)提取刚度和质量矩阵，控制方程可重新表述为广义特征值问题：
(27)
(K - ω^2 M)ν = F

求解式(27)得到单轴（X轴）动态模型的固有频率，包括前三个特征频率ω_1、ω_2和ω_3，如式(28)所示。这些特征频率对应于耦合平移-转动系统的不同振动模态。
(28)
ω_1 = 0
ω_2 = sqrt(2k_sys,x / (m_eq d^2 + J_x) + k_sys,x / (J_x m_eq))
ω_3 = sqrt(k_sys,x + k_p / m_eq)

通过设置ω = 0，惯性项消失，式(27)精确简化为式(23)导出的静力力-位移关系，从而确保静力和动态模型之间的内部一致性。

由于结构对称性，PFSM的物理主导转动模态对应于绕X轴和Y轴的最低阶转动特征模态。因此，沿X轴和Y轴的基频固有频率，记为ω_x和ω_y，可表示为：
(29)
ω_x = sqrt(2k_sys,x / (m_eq d^2 + J_x) + k_sys,x / (J_x m_eq))
ω_y = sqrt(2k_sys,y / (m_eq d^2 + J_y) + k_sys,y / (J_y m_eq))

集中参数公式旨在通过保留与反射镜运动相关的主平移和转动坐标来描述PFSM的主导低阶运行动力学。因此，连续三维柔性结构由X轴和Y轴工作方向的正交降阶模型表示。柔性机构的详细局部变形和空间离轴模态保留在完整的三维有限元模型中。然而，实践中，PFSM始终在其第一固有频率以下运行以避免不稳定性[11,16]。因此，降阶表示对目标工作模态的适用性在3.3节中不仅通过固有频率评估，还通过定量特征模态识别、静态到模态输出形状相关性以及模态惯性分布评估。

此外，十字形反射镜支架的故意非对称几何形状在物理上解耦了两轴的共振频率，以最小化动态耦合。将严格解耦的转动惯量（Jx ≠ Jy）和方向相关的修正系统刚度（ksys,x ≠ ksys,y，推导见第3.1节）代入控制动力学方程，即可准确获得解耦固有频率。基于更新后的动力学参数，修正后的理论固有频率在X轴方向为601.1 Hz，Y轴方向为687.8 Hz。对应的静态偏转角分别为4.58 mrad和4.61 mrad。这些修正后的动力学和动静态理论预测结果与后续的有限元及实验结果高度吻合，连同解耦惯性参数一并总结于表1.3.3中。

3.3 有限元分析
使用COMSOL Multiphysics 6.2对PFSM进行了有限元仿真。压电执行器采用PZT-5H建模，反射镜采用H-K9L建模，其余结构部件材料设定为Al 6061。仿真中采用了表3所列的材料属性和执行器规格。

表3 所提出的压电快速反射镜的材料属性及执行器规格
设备与参数 值
压电执行器（PSt 150/5 × 5/20H）
压电叠堆尺寸 5.1 mm × 5.1 mm × 18 mm
工作电压 0–150 V
压电叠堆刚度 60 N/μm
重量 3.8 g
柔性铰链（Al 6061）
弹性模量 68.9 GPa
密度 2700 kg/m3
屈服强度 276 MPa
泊松比 0.33
反射镜（H-K9L）
密度 2520 kg/m3
尺寸 Φ25 × 2 mm3

首先，对PFSM进行了动静态分析。在X轴或Y轴两侧的压电驱动器上施加差分电压，产生相应位移使反射镜发生偏转。图5(a)显示PFSM沿X轴的偏转角为4.62 mrad，与计算结果的偏差为0.87%。图6(a)显示PFSM沿Y轴的偏转角为4.76 mrad，与计算结果的偏差为3.25%。同时，如图5和图6(b)所示，PFSM沿X轴和Y轴达到最大偏转角时的等效应力明显低于Al 6061的屈服强度（276 MPa）。因此，PFSM的结构设计是合理的。

下载：下载高清图片（170KB）
下载：下载全尺寸图片
图5. 压电快速反射镜建模的X轴静态有限元分析结果：（a）位移分布；（b）等效应力分布。
下载：下载高清图片（169KB）
下载：下载全尺寸图片
图6. 压电快速反射镜建模的Y轴静态有限元分析结果：（a）位移分布；（b）等效应力分布。

为了进一步评估小变形假设，在与对应几何线性仿真相同的载荷和边界条件下，进行了额外的几何非线性静力分析。预测的反射镜倾斜角在X轴上从4.6219 mrad变为4.6123 mrad，在Y轴上从4.7635 mrad变为4.7534 mrad，相对差异分别为0.208%和0.212%。这些结果表明，在所研究的工况下，包括非线性轴向-弯曲相互作用在内的高阶几何效应对整体反射镜倾斜响应的综合影响有限。三维实体单元公式还允许横向剪切和局部三维变形，而这些是简化的基于Euler-Bernoulli的解析模型所无法明确解决的。

同时，对PFSM的动力学模型进行了仿真，结果如图7所示。在此分析中，用于静力仿真的规定执行器位移被禁用，而底部固定约束保持不变。前两阶固有频率分别为589.88 Hz和625.12 Hz，对应PFSM的两个主要工作方向。

下载：下载高清图片（196KB）
下载：下载全尺寸图片
图7. 从三维有限元模型获得的PFSM前两阶工作模态：（a）589.88 Hz的X轴倾斜模态；（b）625.12 Hz的Y轴倾斜模态。

为了定量识别相应的振型，在反射镜支架上选取了八个对称分布的点，并提取其面外模态位移。对于589.88 Hz的模态，沿X方向两侧的差分位移占主导，而对应的正交Y方向差分分量仅约为主分量的0.82%。因此，该模态被识别为X轴倾斜模态。对于625.12 Hz的模态，Y方向差分位移占主导，正交分量约为主分量的1.32%，确认第二模态主要对应Y轴倾斜。

为了进一步检查静态工作变形是否对应第一阶动态模态，将X轴差分静力变形与第一阶固有模态在同一组八个反射镜支架点上的归一化面外位移分布进行了比较。从每个位移矢量中减去平均面外平移后，采样的八点模态置信准则（MAC）为0.99995。这种高相关性表明，在差分静力载荷下反射镜支架的输出与第一阶固有模态基本共享相同的X轴倾斜主导模式。

进一步直接从三维模态位移场评估模态惯性分布为
(30) IΩ = ∫Ω ρ(|u|2 + |v|2 + |w|2)dV
其中ρ为材料密度，u、v、w为模态的三个位移分量。对于第一阶和第二阶模态，反射镜及反射镜支架组件分别贡献了总模态惯性积分的95.94%和94.90%。因此，前两阶工作模态的惯性强烈集中在反射镜组件上。结合定量的振型识别，这些结果表明，在降阶动力学模型中保留的主要低阶运动直接对应于完整三维结构的前两阶工作模态，而有限元模型则提供了柔性机构的详细局部变形。

4. 实验与结果
如图8所示，制备并组装了一个配备25 mm直径镀银反射镜的PFSM原型用于实验评估。为进行PFSM的运动学性能和频率响应测试，搭建了专用实验平台，如图9所示。实验装置包括一个带气动支架的隔振光学平台（型号：OMTOOLS HGZH 0906，原产地：中国）、一台激光位移传感器（型号：KEYENCE LK-H020，原产地：日本，测量范围±3 mm，规定重复精度20 nm，在20 mm参考距离处标称激光光斑直径约25 μm）、一台计算机、四台电压放大器、一台信号发生器以及一台电源。产生的沿X轴和Y轴的偏转运动由激光位移传感器测量，并传输至计算机进行数据采集和分析。为尽量减少环境干扰的影响并确保测量精度，所有实验组件均安装在隔振光学平台上。

下载：下载高清图片（164KB）
下载：下载全尺寸图片
图8. 压电快速反射镜的组装原型。
下载：下载高清图片（235KB）
下载：下载全尺寸图片
图9. 压电快速反射镜的实验装置。

测量过程中，激光光斑位于距反射镜旋转中心有效径向距离D = 10 mm处。该位置测得的位移增量Δz根据式(31)转换为PFSM的角偏转。
(31) θ = arctan(Δz / D)
使用多轴调整台将传感器轴线调整为大致垂直于未变形的反射镜表面。残余角度偏差（记为α）在原始实验中未独立记录，因此无法作为直接测量的公差进行回顾性报告。相反，通过灵敏度分析评估了其影响。对于传感器轴线偏差α，对应的余弦投影误差可近似为式(32)。
(32) εα = (1/cosα - 1) × 100%
对于代表性的偏差角1°、3°、5°，对应的投影误差分别约为0.015%、0.137%和0.382%。在最大测量角位移4.68 mrad时，这些值分别对应约0.0007、0.0064和0.0179 mrad的角偏差。

此外，对于D = 10 mm，规定的位移重复精度20 nm对应于约0.002 mrad的角重复精度贡献。标称25 μm的激光光斑远小于10 mm的有效测量臂，主要代表局部空间平均区域，而非D的直接不确定度。由于激光光斑在标称D = 10 mm位置处的定位公差在原始实验中未独立记录，上述分析量化了可识别的传感器重复精度和校准灵敏度贡献，而非构成完整的回顾性不确定度预算。

4.1 运动学性能测试
对PFSM进行了运动学性能测试。首先，评估了沿X轴和Y轴的最大偏转角。在X轴（或Y轴）相对两侧施加差分驱动电压：正侧施加线性斜坡0–150 V电压信号，对侧施加反向斜坡150–0 V信号。测量输出角度如图10所示。如实验曲线所示，加载和卸载阶段之间存在明显的迟滞回线，这反映了压电执行器在开环控制下固有的物理特性。尽管存在这种固有的局部迟滞，多级柔性机构整体表现出优异的宏观线性。观察到，PFSM沿X轴和Y轴的最大偏转角分别为4.63 mrad和4.68 mrad。相对于FEA结果的相应相对误差分别为0.21%和1.65%，而相对于理论预测的偏差分别为1.08%和1.50%。

下载：下载高清图片（231KB）
下载：下载全尺寸图片
图10. 通过理论、有限元分析和实验获得的沿（a）X轴和（b）Y轴最大输出角比较。

为进一步评估所提出的TM方法的准确性和鲁棒性，在多个驱动电压下，将实验测量角度与相应的理论预测和FEA结果进行系统比较，总结于表4和表5中。在整个电压范围内，理论和FEA结果与实验测量结果高度吻合，表明所提出的建模方法准确捕捉了多级放大机构的力-位移传递特性。特别是，FEA与实验结果之间的相对偏差在两个轴向上均保持在2.2%以下，而理论预测与实验结果的偏差在X轴和Y轴上分别最高达1.51%和1.65%。

表4 不同驱动电压下沿X轴的输出角理论、FEA与实验对比
电压/V 实验值/mrad 理论值/mrad 误差（理论-实验） FEA值/mrad 误差（FEA-实验）
20 0.62 0.61 1.51% 0.62 0.16%
40 1.23 1.22 0.70% 1.23 2.16%
60 1.85 1.83 0.97% 1.85 1.64%
80 2.47 2.44 1.11% 2.46 1.79%
100 3.09 3.05 1.19% 3.08 1.99%
120 3.70 3.66 0.97% 3.70 1.78%
140 4.32 4.27 1.05% 4.31 2.00%
150 4.63 4.58 1.08% 4.62 0.22%

表5 不同驱动电压下沿Y轴的输出角理论、FEA与实验对比
电压/V 实验值/mrad 理论值/mrad 误差（理论-实验） FEA值/mrad 误差（FEA-实验）
20 0.62 0.61 0.86% 0.63 0.97%
40 1.24 1.23 0.86% 1.27 2.15%
60 1.87 1.84 1.39% 1.91 2.54%
80 2.50 2.46 1.65% 2.54 2.44%
100 3.12 3.07 1.50% 3.17 1.97%
120 3.74 3.69 1.39% 3.81 2.21%
140 4.37 4.30 1.54% 4.44 2.06%
150 4.68 4.61 1.50% 4.76 1.65%

观察到的偏差主要归因于制造公差、粘接缺陷和机械装配误差，这些在理想化解析模型中未被完全考虑。尽管如此，所有测试电压水平下一致的趋势和较小的相对误差证明了所提出的TM建模方法的有效性和预测能力。

为了进一步区分结构响应的线性与压电驱动系统路径相关的电压-位移行为，进行了额外的准静态表征。在连续10 Hz三角激励下，平均上升和下降分支之间的最大差值为9.83% FS，而中心曲线表现出最大非线性为1.53% FS，R2 = 0.999481。使用10 V增量在0–130 V范围内进行了额外的阶梯测试，每个电压电平保持15秒。在一个调节循环后，稳定响应产生的迟滞约为7.01% FS。相应的中心特性保持非线性仅为1.06% FS，R2 = 0.99967。这些结果表明，中心特性几乎是线性的，而在开环电压-位移响应中仍存在明显的加载历史依赖性。

通过恒压保持和零指令测量进一步研究了时间相关位移。在60 V保持测试中，初始阶跃诱导位移为16.89 μm，随后在保持间隔内附加位移变化为1.34 μm，对应表观蠕变比为7.91%。卸载和恢复后的残余位移约为0.32 μm。在实验前、实验中和实验后获取的三段20分钟零指令记录显示拟合基线漂移率分别为+0.377、?0.0267和?0.138 μm/min。由于这些记录的幅度和方向均不同，这些值被解释为完整实验系统的基线变化，而非PFSM的固有漂移系数。因此，线性TM模型应解释为结构力-位移模型；上述迟滞和时间相关效应表征了完整的开环压电驱动和测量系统。量化的迟滞、非线性、蠕变、残余位移和基线漂移结果总结于表6中。PFSM的准静态与时间相关特性量化。
特性测试条件量化结果
迟滞10 Hz三角激励9.83% FS
中心曲线非线性10 Hz三角激励1.53% FS
中心曲线线性度10 Hz三角激励R2 = 0.999481
迟滞稳定阶梯波，15 s/级7.01% FS
中心曲线非线性稳定阶梯波1.06% FS
中心曲线线性度稳定阶梯波R2 = 0.99967
表观蠕变60 V，恒压保持1.34 μm（初始阶跃的7.91%）
残余位移60 V，卸载/恢复后0.32 μm
零指令基线漂移实验前，20 min+0.377 μm/min
零指令基线漂移实验期间，20 min?0.0267 μm/min
零指令基线漂移实验后，20 min?0.138 μm/min
相应地，表4和表5中报告的模型-实验偏差量化了在指定验证条件下挠度幅值的一致性，不应将其解释为总双向电压跟踪不确定度，也不应将其视为迟滞、蠕变和长期漂移的上限。4.2. 共振与瞬态响应测试
为验证第3.2节中预测的PFSM固有频率，进行了扫频正弦测试。扫频正弦激励分别沿X轴和Y轴施加。输入信号为幅值60 V、频率范围1–1000 Hz的正弦波形。测得的幅值响应如图11所示。结果表明，PFSM在X轴和Y轴的主共振频率分别为571.3 Hz和659.1 Hz。与有限元结果相比，相对误差分别为3.25%和5.16%；与理论预测值相比，相对误差分别为4.90%和4.35%。下载：下载高分辨率图片（144KB）下载：下载全尺寸图片图11. (a) 绕X轴旋转和(b)绕Y轴旋转的频率响应。
除扫频正弦频率响应外，还进行了时域阶跃响应实验，以评估瞬态行为并识别结构阻尼参数。方波激励分别独立施加于X轴和Y轴，并记录瞬态输出，如图12所示。下载：下载高分辨率图片（137KB）下载：下载全尺寸图片图12. (a) 绕Y轴旋转和(b)绕X轴旋转的瞬态阶跃响应与阻尼识别。
对于X轴，瞬态响应表现出明显的幅值调制衰减，即拍频现象。对瞬态信号的分析识别出两个相近的频率分量，分别为574.5 Hz和581.1 Hz。频率间隔约为6.6 Hz，对应拍频周期约为0.152 s，与实测响应中观察到的缓慢变化包络一致。
需要强调的是，这种小的频率分裂并非由标称降阶解析模型所预测，该模型假定理想几何对称性以及成对柔性支路具有相同特性。相反，实验识别的两个分量代表了制造原型的附加动力学特性。小的对称性破缺效应，如尺寸公差、粘接变化、预紧力差异和装配偏移，可能在标称等效的结构路径之间引入微小差异，从而产生紧密相邻的响应分量。
因此，解析模型用于表示标称X轴工作共振，而实验观察到的拍频提供了实际结构对微小对称性破缺缺陷敏感性的额外信息。要显式预测这种分裂，需要将相应的缺陷纳入摄动有限元或基于公差的模型中。
根据瞬态衰减分析，两个实验识别分量的阻尼比分别为ζx1 ≈ 0.0027和ζx2 ≈ 0.0028。作为对比，Y轴响应表现出传统的指数衰减正弦响应，从中获得瞬态频率650.6 Hz和阻尼比ζy ≈ 0.0013。5. 结论
本文介绍了包含多级放大机构的压电快速反射镜（PFSM）的动静力学与动力学建模及设计。为解决多级柔性结构建模中的计算与分析难题，基于经典弹性梁理论建立了动静力学建模方法。通过将级间力与位移相互作用封装为顺序传递矩阵（TM），该方法显式考虑了后续级引入的阻力效应。这种算法简化避免了对传统方法通常需要的大规模全局矩阵组装和求逆的需求，从而显著降低了计算复杂度，同时为载荷传递提供了透明的解析表示。
在此动静力学框架基础上，开发了集总参数动力学模型。通过直接从动静力学模型推导等效刚度和惯性参数，该方法确保了分析一致性，并能够准确预测系统的基本工作模态。所提出的建模方法通过理论计算、有限元仿真和实验测试进行了全面验证。实验结果表明，所提出的PFSM沿X轴和Y轴分别实现了4.63 mrad和4.68 mrad的偏转角，相应的基频固有频率分别为571.3 Hz和659.1 Hz。理论预测、仿真结果和实验测量之间的偏转角相对偏差均在2%以内。
所提出的TM公式为串联多级柔性放大机构提供了一种模块化建模流程，允许通过顺序矩阵乘法将各级的局部力-位移特性纳入其中。其固定尺寸状态表示便于对不同级联配置进行分析评估，并为推导集总动力学模型所需的等效参数提供了一致的基础。因此，该建模框架不限于本文研究的特定PFSM。对于其他串联柔性精密运动系统，包括光束转向、光学对准、激光加工和精密定位机构，原则上可以通过重新定义级几何、刚度、惯量和边界参数来保留相同的建模流程。尽管如此，当前公式依赖于线弹性欧拉-伯努利梁假设和规定载荷条件。详细的局部三维变形、独立施加的界面力矩以及非线性压电执行器特性超出了当前降阶公式的范围。未来工作将集中于丰富局部柔度描述，并扩展模型以考虑更复杂的载荷和机电耦合效应。
CRediT作者贡献声明
Meng Zhang：初稿撰写、资源、方法学、概念化。Kecheng Li：审阅与编辑、正式分析、数据管理。Zixuan Li：监督、软件。Yuqing Zhu：可视化、验证。
Meng Zhang|Kecheng Li|Zixuan Li|Yuqing Zhu