基于测量的建筑建模方法预测铁路诱发振动的振动台试验

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Shaking-table tests of measurement-based building modeling method for predicting railway-induced vibrations

　　摘要获取老旧建筑结构的几何和材料数据等设计信息，在评估拟建铁路对既有建筑的影响方面一直是一个实际挑战。基于测量的建筑建模方法利用环境振动测试中识别的模态特性，直接构建模态运动方程。然而，在有限测点和有限模态下使用识别模态特性进行响应预测的适用性尚未在实际情况下得到检验。因此，本文通过一个四层钢试件的振动台试验来检验这一预测方法。采用三条具有不同动力特性的实测铁路激励地震动作为输入。在基础输入准确已知的情况下，三次事件的平均绝对预测误差在地板中心均低于1.60 dB。试验表明，当仅能测量有限位置时，识别的振型可能线性相关。通过去除线性相关的模态可提高预测精度，尽管响应中多个模态占主导。此外，主导模态取决于输入的动态特性，并随楼层数变化。另外，该建模方法可估计测点处的振动，但当仅在地板中心测量时，预测精度低于在振型幅值较大的位置（如边梁中点）测量时的情况。

1. 引言
城市交通运行不可避免地会在邻近建筑中产生振动。楼板的过度竖向振动不仅会造成短期不适 [1]，[2]，还会引发长期心理健康问题 [3]，[4]。当新建铁路线时，由于建筑设计师无法预见新线路，现有建筑更容易出现舒适性问题。因此，在规划新铁路线时，应评估邻近建筑的居住者舒适度。然而，对于老旧建筑和历史建筑，包含几何、材料数据和质量分布的设计文件往往无法获取。在这种情况下，建筑建模可能具有挑战性。

用于预测铁路引起振动的传统建筑建模方法通常基于解析/半解析方法或数值方法。解析/半解析方法假定输入（即柱底或基础的铁路激励竖向振动）已知。目标建筑基于不同理论进行建模。Zou等基于波理论提出了阻抗模型 [5]，[6]，[7]。Hua等提出了杆-弹簧-质量模型，以考虑楼板、柱和墙之间的相互作用 [8]。在数值方法方面，有限元分析被广泛采用，主要关注计算效率与预测精度之间的平衡。具体而言，隧道-土-建筑系统可同时建模 [9]，[10]，[11]，或单独对建筑结构建模，并将实测铁路激励地面振动作为输入 [12]，[13]，[14]。然而，解析/半解析方法或数值方法不可避免地需要目标建筑的设计文件。尽管存在这些类别，经验方法也可以估算建筑结构中的铁路引起振动 [15]，[16]，[17]，但它们只能提供整体估算，无法预测不同楼层不同位置的振动。因此，在没有设计文件的情况下对建筑结构进行响应预测仍然具有挑战性。此外，楼板质量分布和层间刚度对铁路引起振动有显著影响 [18]，而实际情况可能与设计相差很大，尤其是老旧建筑。这也给基于设计文件的建筑建模带来了困难。

基于测量的建模方法通过环境振动测试识别的模态特性，直接构建目标建筑的模态运动方程。这一概念由地震工程领域的研究人员提出，用于预测水平方向的抗震响应。值得注意的是，环境振动测试无法直接识别模态参与因子，因此不同基于测量的建模方法之间的主要区别在于模态参与因子的近似方法。Michel等利用棒状集中质量模型进行建筑建模，以便粗略估算每层质量，从而方便模态参与因子的近似 [19]，[20]，[21]。Ikeda等采用最小二乘法近似模态参与因子，该近似仅需识别的振型 [22]。这使得建模过程可以在每层设置多个质量，且不受刚性楼板假设的约束。然而，环境振动测试下的模态特性与地震事件下的不同 [23]，[24]。Ikeda等进行的全尺寸振动台试验表明，自振频率的微小变化可能导致显著预测误差 [25]。虽然可以通过概率方法考虑方差 [26]，但最好安装一些传感器以获取某些位置的抗震响应，从而更新模态特性。

然而，在预测铁路引起振动时，模态特性的变化无需考虑，这表明基于测量的建模方法具有更广泛的适用性。尽管如此，该方法在预测铁路引起振动方面的适用性仍需研究。这是因为地震响应与铁路引起振动之间的动力特性不同。一方面，地震响应预测评估水平方向的振动，而铁路引起振动的估算则考虑楼板的竖向振动。这两种情况需要不同方向的模态参与因子，而水平振型分布与竖向振型分布显著不同 [27]，[28]，[29]，[30]。因此，使用有限位置的振型来近似竖向模态参与因子的适用性尚不明确。另一方面，地震事件的主要频率成分通常低于10 Hz，结构的主导模态通常是第1阶和第2阶模态。同时，通过列车的激励地面振动具有更宽的频率范围1–80 Hz [31]，[32]，[33]。这意味着铁路引起振动包含多个主导模态，而预计只能识别有限模态，预测精度需要进一步检验。

作者通过数值模拟检验了使用有限模态和有限位置振型预测铁路引起振动的适用性 [34]。然而，模拟直接使用数值模型的模态特性，未考虑实际情境中的潜在挑战：1) 识别的模态是否足以实现高预测精度；2) 识别模态特性的变化如何影响预测精度；3) 识别振型之间是否存在共线性并显著影响预测精度。在与这些因素相关的局限性得到确认之前，该预测方法才能用于实际部署。因此，进行了振动台试验以验证预测方法。本文组织如下：第2节介绍建模方法的基本概念；第3节总结振动台试验试件的基本信息；第4节展示通过受控白噪声激励模拟环境振动测试识别的试件模态特性；第5节通过比较预测响应与试验结果验证预测方法；第6节总结研究。

2. 基于测量的建筑建模方法
本节介绍用于预测铁路引起振动的基于测量的建模方法的主要概念 [34]。该方法基于具有截断模态基的线性多自由度模型。它通过环境振动测试的模态特性直接构建运动方程，不需要几何、材料数据和质量分布来构建质量、阻尼和刚度矩阵。模态参与因子的近似是该方法的关键步骤，因此随后介绍所采用的近似方法。本节的末尾总结了该方法的总体实施步骤。

2.1. 解析模型的公式化
建模方法基于具有均匀竖向基础激励的线性系统假设。质量集中在环境振动测试的测点位置。当总共在n个位置进行测量时，在均匀竖向地震动下的运动方程表示为：
(1) ?? ???(??) + ?? ???(??) + ?? ??(??) = ??? ?? ????(??)
其中M、C和K分别表示n×n质量、阻尼和刚度矩阵。z(t)和z??(t)分别表示n维竖向相对位移（相对于地面）和竖向地面运动。e是n维单位向量。

模型的输入z??(t)是铁路激励的竖向地面运动，可以是计算得到的 [35]，[36]，[37]，或在环境条件（基础和结构类型、铁路速度、隧道深度和周围土壤性质）相似时测量得到的 [12]，[13]，[14]。这是因为柱底处铁路激励运动的动力特性主要由这些因素决定。

通过解耦，模态运动方程可表示为：
(2) ????(??) + 2????? ????(??) + ???2 ???(??) = ???? ????(??)
其中q?(t)是第j阶模态响应。ω?、h?和β?分别是第j阶圆频率、阻尼比和模态参与因子。模态参与因子β与振型矩阵之间的关系可由以下任一方程表示：
(3) [β? β? ? β?] = U?1 e
(4) β? = (U?? e) / (U?? M U?)
其中U是n×n振型矩阵，U?是第j阶振型向量。

值得注意的是，自振频率、阻尼比和测点处的振型可从环境振动测试中识别，而模态参与因子无法识别。如果获得模态参与因子，可通过模态叠加预测测点处的响应。因此，基于测量的预测方法的关键过程是模态参与因子的近似。

2.2. 模态参与因子的近似
值得注意的是，模态参与因子可通过式(3)或式(4)获得。同时，该方法基于识别的有限模态，并假设质量矩阵和完整模态基不可用。因此，模态参与因子的近似基于式(4)，采用最小二乘法：
(5) [β′? β′? ? β′?] = (U′? U′)?1 U′? e
其中U′表示n×m振型矩阵，仅包含m个识别模态。因此，β′? (j=1,2,...,m) 表示近似的第j阶模态参与因子。给定输入z′(t)的铁路引起振动可通过模态叠加估算：
(6) ???′?(??) + 2?′???′? ???′?(??) + ??′?2 ??′?(??) = ?β′? ????(??)
(7) ??′(??) = U′ [q′?(t) q′?(t) ? q′?(t)]
其中ω′?、h′?、q′? (j=1,2,...,m) 分别是识别的第j阶自振频率、阻尼比和模态响应。

2.3. 预测方法的一般流程
预测方法的实际使用可总结为流程图，如图1所示。

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图1. 预测方法的一般流程。

预测通常包括3个步骤：
1) 通过环境振动测试获得目标建筑的模态特性。楼板的竖向振动用于评估居住者舒适性 [38]，[39]，而预测方法只能预测测点处的响应。因此，需要在地板中心进行测量。此外，识别的模态参与因子由识别的振型近似，因此建议在振型幅值较大的位置，如边梁中点，也进行测量；
2) 获得模态特性后，应在模态参与因子近似和响应预测之前进行模态选择 [40]。该选择旨在检测并处理识别振型之间的共线性。参考文献[40]中的抗震响应预测数值模拟表明，选择过程通过提高预测精度而有效；
3) 所选模态的模态参与因子由识别的振型近似，输入通过测量与目标建筑条件相似的其他建筑基础（或底层柱）的铁路引起振动获得。因此，构建模态运动方程，通过模态叠加方法可估算目标建筑的铁路引起振动。

3. 测试试件的基本信息
2026年2月，振动台试验在雄安国投先进电子制造产业创新有限公司的实验室进行，地点位于中国雄安。该实验室最初是为了开发高精度仪器的振动控制装置而建，因此振动台能够在1–100 Hz范围内高精度地再现垂直振动。值得注意的是，铁路引起的场地振动具有宽频带特征，通常采用1–80 Hz范围内的结构垂直振动来评估 occupants 的舒适度。这是在该实验室进行振动台试验的主要原因。图2展示了实验室尺度的四层试件的基本信息和传感器布置。
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图2. 试验试件。
图2(a)展示了振动台试验试件的整体视图。每层楼板上的黑色块体为钢块，作为附加配重施加于试件。图2(b)展示了传感器布置。试件中设置了13个加速度计以记录垂直振动。所用传感器为单轴加速度计991B。这些加速度计能够在1–80 Hz频率范围内捕捉振动，灵敏度为0.3 V/(m/s2)，覆盖了通常用于评估 occupant 舒适度的频率范围和加速度幅值。由于可用传感器数量有限，利用了试件的对称特性，每层布置了三个测点，分别位于中心及两侧边缘的中点。这种布置考虑了实际工程中仅能测量有限位置的情况，且每层过多测点可能不被接受，尤其是当这些位置并非 occupant 舒适度评估所需时。然而，边缘中点预计具有较大的振型幅值，这会影响到模态参与系数近似的精度。因此，该布置也检验了在 occupant 舒适度评估位置之外进行测量的必要性。所有测点均赋予标签，如图2(b)中红点所示。图2(c)和(d)展示了传感器的安装情况。值得注意的是，每个测点额外安装了两个传感器用于记录水平振动，供其他用途使用。本研究仅利用记录的垂直振动。图2(b)中楼板中心的圆形开口用于穿设加速度计的电缆。
该试件高4.8 m，为四层基底固定框架结构，平面尺寸为2.4 m × 2.0 m。框架柱为H型钢（125 × 125 × 6.5 × 9 mm），材质为Q235钢。主梁为H型钢（148 × 100 × 6 × 9 mm），材质为Q235钢。楼板为10 mm厚的Q235钢板。由于承受铁路激励的建筑结构保持线弹性，结构与非结构构件的影响通过固有频率和振型反映。诸如填充墙等构件会约束楼板边缘附近的振型。这可能通过减少所需测量的位置数量来简化测量过程。因此，试件设计基于楼板的第1阶固有频率，住宅建筑该频率通常约为15–30 Hz [12], [13], [14], [29], [36], [41], [42]。为再现常规住宅建筑的动力特性，每层楼板上放置了附加配重，使垂直振型基频约为20 Hz。具体而言，安装了四个附加钢块，并与楼板刚性连接。每层附加重量为3,200 kg。试件总重量约为16,000 kg。这些钢块不可避免地影响楼板的高阶振型，因为它们增强了覆盖区域的局部刚度。
4. 宽带白噪声下的模型识别
振动台试验包括两个阶段。第一阶段，采用白噪声信号作为输入以模拟环境振动试验，并记录结构振动用于模态识别。第二阶段，采用三个实测的铁路过站引起的地震动作为输入，将预测响应与实测响应进行比较以验证方法。
4.1. 模态识别
为模拟环境振动试验过程，由振动台生成白噪声。白噪声持续时间为5分钟，加速度计的采样频率为1000 Hz。图3展示了屋面（第5层）测点11的加速度时程和幅值谱，在1–80 Hz范围内谱图中可见多个峰值。这表明铁路引起的振动中多个模态可能占主导地位。
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图3. 环境振动试验中屋面（第5层）加速度。
采用频域分解（FDD）方法获取试件的固有频率和振型 [43]。将所有楼层记录的5分钟加速度通过截止频率为100 Hz的低通滤波器滤波。随后，利用滤波后的加速度计算功率谱密度矩阵，并通过奇异值分解获得矩阵的奇异值。采样频率为1000 Hz以捕捉100 Hz以下的频率成分。该采样频率也确保了在仅有限数据可用时，平滑处理后仍具有足够的频率分辨率。奇异值曲线使用20个窗口进行平均，窗口长度为16.384 s，重叠率为0.2。窗口长度根据测量数据总长度和约0.06 Hz的频率分辨率确定。平均后的奇异值进一步通过连续五次应用汉宁窗进行平滑。重复次数通过再次应用窗口时曲线主峰保持一致来确定。图4展示了平滑后的奇异值曲线和识别出的振型。
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图4. 试件的识别模态。
峰值频率被评估为固有频率，相应的奇异向量指示振型。如图4(a)所示，在12–21 Hz范围内识别出四个峰值。FDD方法的主要优点是能够识别相近的分离模态，这是选择该方法的主要原因。识别出的振型如图4(b)所示，并归一化使最大幅值为1。通过将随机减量法应用于在第4和第5层测量的响应，识别出前4个最低模态的阻尼比约为1% [44]。然而，对于较高模态识别的阻尼比范围约为0.5%–3%，取决于所使用的数据集和频带。因此，在响应预测中采用统一的1%阻尼比。
4.2. 模态选择
如式(5)所示，识别模态的模态参与系数通过最小二乘法近似。这要求所使用的振型线性无关以保证数值稳定性。换言之，当一个振型能被其他振型的线性组合很好地近似时，与不包含该模态的结果相比，近似精度会降低。因此，预测精度也会降低。这个问题被称为共线性问题，在仅测量有限位置时很可能发生。因此，在响应预测之前，需要对识别出的模态进行选择过程以检测共线性问题。
所使用的选择过程由作者在参考文献40中提出，基于模态保证准则（MAC）。该指标用于量化高阶振型能被低阶振型线性组合近似的程度。通常，MAC为0.8表示两个振型相似，但出于保守考虑，本研究移除MAC高于0.6的模态。选择过程包含以下两个步骤：
1) 高阶模态的第j阶振型向量 u′_j 通过最小二乘法由第1至第(j-1)阶模态的振型 U′_{j-1} 近似：
(8) ?′_j = U′_{j-1} (U′^T_{j-1} U′_{j-1})^T U′^T_{j-1} u′_j
其中 ?′_j 表示由第1至第(j-1)阶振型对第j阶模态的近似。
2) 第j阶振型向量与其近似之间的MAC计算如下：
(9) MAC(j) = (?′^T_j u′_j)^2 / ((?′^T_j ?′_j)(u′^T_j u′_j))
高阶振型与低阶振型组合之间的MAC汇总于表1。例如，第3阶相对于第1至第2阶的0.53表示第3阶振型与第1和第2阶振型组合之间的MAC为0.53。
表1. 高阶振型与低阶振型组合之间的MAC。
模态 | 第2阶 vs. 第1阶 | 第3阶 vs. 第1至第2阶 | 第4阶 vs. 第1至第3阶 | 第5阶 vs. 第1至第4阶 | 第6阶 vs. 第1至第5阶 | 第7阶 vs. 第1至第6阶 | 第8阶 vs. 第1至第7阶
MAC | 0.00 | 0.53 | 0.79 | 0.28 | 0.29 | 0.52 | 0.54
与水平方向的地震响应不同，铁路引起的垂直振动中预期有多个主导模态。因此，在选择过程中应尽可能保留更多模态。然而，共线性问题的影响会显著降低预测精度。以下章节将展示排除前后的预测精度对比。
如表1所示，第4阶模态的MAC高于0.75，这意味着第4阶振型能被第1至第3阶振型的线性组合很好地近似。第1至第4阶模态之间的线性相关性如图5所示。
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图5. 识别振型之间的共线性问题。
因此，在模态参与系数近似和响应预测中移除第4阶模态。为增强排除的合理性，表2汇总了使用不同数量模态时矩阵 U′^T U′ 的条件数。当加入第4阶模态时，条件数明显增加，表明存在共线性问题。移除第4阶模态后，使用第1至第4阶（即移除前第5阶）、第1至第5阶、第1至第6阶和第1至第7阶模态时的条件数分别为13.9、14.2、16.3和17.9。条件数变得稳定，从而验证了选择过程的适用性。在响应预测中移除第4阶模态。
表2. 使用不同模态时的条件数。
模态 | 第1阶 | 第1至第2阶 | 第1至第3阶 | 第1至第4阶 | 第1至第5阶 | 第1至第6阶 | 第1至第7阶 | 第1至第8阶
条件数 | 1.0 | 1.2 | 6.6 | 37.9 | 65.4 | 67.5 | 77.6 | 92.9
为便于讨论，选定的7个模态在后续文中重新编号为第1至第7阶模态。为研究不同使用模态导致的近似结果变化，模态参与系数近似从仅使用第1阶模态开始，然后在表3中逐个添加更高阶模态。第2、第5和第6阶模态的近似结果随着更高阶模态的加入而有明显变化，这归因于式(5)中最小二乘法的使用。由于保留的7个模态线性无关，认为使用更多模态能提高近似精度。
表3. 模态参与系数近似。
使用模态 | 第1阶 | 第1至第2阶 | 第1至第3阶 | 第1至第4阶 | 第1至第5阶 | 第1至第6阶 | 第1至第7阶
第1阶 | 1.52 | 1.40 | 1.27 | 1.45 | 1.56 | 1.40 | 1.68
第2阶 | — | ?1.69 | 2.71 | 3.01 | 2.92 | 2.94 | 2.99
第3阶 | — | — | ?1.61 | ?1.83 | ?1.98 | ?1.85 | ?1.82
第4阶 | — | — | — | ?0.39 | ?0.28 | ?0.27 | ?0.34
第5阶 | — | — | — | — | 0.49 | 0.26 | 0.14
第6阶 | — | — | — | — | — | ?0.29 | 0.19
第7阶 | — | — | — | — | — | — | ?0.45
5. 振动台试验验证
5.1. 输入地震动
采用三个不同建筑物柱脚实测的铁路引起的地震动作为输入，分别称为事件A、事件B和事件C。测量结构及邻近铁路的基本信息汇总于表4，更多细节可参见参考文献8和29。
表4. 输入的基本信息。
项目 | 事件A | 事件B | 事件C
铁路速度（km/h） | 36 | 56 | 65
隧道深度（m） | 15 | 13 | 19
土类 | 中软土 | 中硬土 | 软土
剪切波速（m/s） | 162 | 266 | 135
水平距离（m） | 20 | 10 | 30
结构类型 | 7层RC | 7层砌体 | 20层RC
将三个输入的加速度幅值归一化为5 Gal，并使用图2(b)中测点0记录的垂直振动作为响应预测的输入。测点0的时程和相应的反应谱如图6所示。
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图6. 振动台试验输入。
如图6所示，三个输入具有不同的频率成分。事件A至C的主要频率范围分别为20–80 Hz、60–80 Hz和40–80 Hz。动力特性的差异表明三个事件中可能有不同的主导模态，因此可以检验预测方法的预测精度。
值得注意的是，三个反应谱中在约20 Hz处均存在一个相似的小峰值。这归因于试件与振动台之间的相互作用。尽管如此，振动台很好地复现了输入的动力特性，加速度时程的均方根误差约为2%。5.2. 预测方法的验证预测方法是针对 occupants 舒适度评估而开发的，因此重点检验各楼层中心的预测精度。加权振动加速度级，也称为Z振级，常用于人体舒适度评估[38]、[39]。Z振级，记为VLz，定义如下：（10）VLz=20lg（arms/a0）其中，arms表示加权竖向加速度的均方根值，其频率计权因子Wk可参见文献40。a0为固定值10?? m/s2。该指标表示经Z轴频率计权因子Wk修正后的全身振动加速度级。在实际情况下，原始数据通过1秒时间平均窗口进行处理，并采用最大值来评估人体舒适度。表5将位置2、5、8和11（分别对应第2至5层楼板中心）的预测Z振级与实测值进行了比较。表中负号表示预测值高估了响应。在响应预测中，所有模态均采用1%的均匀阻尼比。表5. Z振级预测（dB）空单元格位置第2层第3层第4层第5层事件A预测值80.6883.6289.2782.13实测值81.7883.6288.1883.51误差1.090.00?1.091.38事件B预测值68.2472.5266.8672.83实测值72.1572.1767.9571.79误差3.91?0.351.09?1.04事件C预测值75.5379.8975.4378.54实测值78.2979.4675.2376.87误差2.76?0.43?0.20?1.66注：表中负号表示预测值高估了响应。如表5所示，试件在三个事件下的最大Z振级分别为第4层的88.18 dB、第3层的72.17 dB和第3层的79.46 dB。相应的预测值分别为89.27 dB、72.52 dB和79.89 dB。相应的预测误差均低于1.10 dB，从而验证了预测方法的适用性。事件A、B和C下所有楼层的Z振级平均绝对误差分别为0.89 dB、1.60 dB和1.26 dB。尽管第3至5层的Z振级预测误差低于2 dB，但第2层的误差最大且高于2 dB。这是因为图4(b)中所示的20.92 Hz模态因共线性问题而从预测中被剔除。该模态在第2层具有较大的振型幅值，忽略该模态不可避免地增加了第2层的预测误差。剔除该模态是考虑到保留20.92 Hz模态会降低模态参与系数近似的精度。因此，第2层较低的预测精度表明了截断误差与近似中数值不稳定性之间的权衡。剔除该模态的必要性将在下一节中通过比较剔除和保留20.92 Hz模态时的预测精度进一步讨论。为了进一步研究各频率分量的预测误差，图7显示了事件A下第4层的加速度谱和三分之一倍频程谱，其中Z振级为四层中最大。类似地，图8和图9分别显示了事件B下第3层和事件C下第3层的预测结果。下载：下载高分辨率图像（123KB）下载：下载全尺寸图像图7. 事件A中的响应谱和三分之一倍频程谱。下载：下载高分辨率图像（141KB）下载：下载全尺寸图像图8. 事件B中的响应谱和三分之一倍频程谱。下载：下载高分辨率图像（158KB）下载：下载全尺寸图像图9. 事件C中的响应谱和三分之一倍频程谱。各频率分量的精度归因于截断误差和模态参与系数近似误差。如图8和图9所示，50 Hz以上的预测频率分量在峰值振幅和频率分量分布方面均与实测值不一致。例如，图9中实测振动包含更多高频分量，而预测未能捕捉到40–60 Hz范围内的频率分量。这暗示了由环境振动试验中未识别的模态所导致的截断误差。关于模态参与系数近似误差，40 Hz以下的预测频率分量与实测值吻合良好，这表明低阶模态的近似精度较高。然而，图8中事件B的响应谱显示，50 Hz以上的预测精度较低，这主要归因于两个因素：1）高阶模态的振型分布更为复杂，仅使用三个测点无法捕捉其整体分布，导致高阶模态的近似精度较低。作者在文献40的数值模拟中也观察到了这一现象；2）预测采用均匀阻尼比，这可能与实际阻尼比存在差异。尽管如此，三个事件的三分之一倍频程谱预测结果与实验结果一致，进一步证明了该预测方法在 occupants 舒适度评估中的适用性。5.3. 所用模态和测点的影响该方法的预测精度主要受所用模态数量和测点布置的制约。项目1包括模态识别过程和选择过程。项目2决定模态参与系数近似精度。为了进一步研究这些因素的影响，在三种不同情景下进行了响应预测：1）情景1关注保留模态的数量。表6比较了使用不同数量模态时的预测结果，以研究各单个模态的影响。表6. 使用不同数量模态时的响应预测。单位：dB。事件A楼层编号第1阶第1至2阶第1至3阶第1至4阶第1至5阶第1至6阶第1至7阶实测值第2层72.4372.5878.6980.5780.3780.2180.6881.78第3层72.1974.6181.3883.2985.6383.7583.6283.62第4层72.0083.4188.1789.0589.6089.2489.2788.18第5层80.3379.4778.9680.0481.5980.0982.1383.51事件B楼层编号第1阶第1至2阶第1至3阶第1至4阶第1至5阶第1至6阶第1至7阶实测值第2层61.5259.1165.0966.2766.4766.4568.2472.15第3层61.2560.4268.2469.3070.2970.2872.5272.17第4层61.0170.1965.0765.8766.4866.8566.8667.95第5层67.5366.5865.9067.0667.8067.6372.8371.79事件C楼层编号第1阶第1至2阶第1至3阶第1至4阶第1至5阶第1至6阶第1至7阶实测值第2层71.5966.1369.0974.9473.6873.3975.5378.29第3层71.2165.5372.7177.6281.5778.8979.8979.46第4层70.8375.4870.0274.2073.5675.2375.4375.23第5层70.8568.2167.8169.5976.6473.4278.5476.872）情景2关注模态选择过程。第4.2节中的选择过程建议剔除20.92 Hz模态，图10比较了剔除和不剔除该模态时的预测结果。下载：下载高分辨率图像（257KB）下载：下载全尺寸图像图10. 采用/不采用模态选择时的Z振级预测。3）情景3关注测点布置。图11比较了使用所有测点与仅使用楼板中心附近测点时的预测结果。下载：下载高分辨率图像（260KB）下载：下载全尺寸图像图11. 使用中心附近振型时的Z振级预测。在水平方向的地震响应中，第1阶和第2阶模态通常是主导模态。为了检验在铁路诱发振动预测中考虑高阶模态的必要性，表6总结了使用不同数量模态（从仅使用第1阶模态开始，逐步增加高阶模态）时的Z振级预测结果。尽管每个模态（尤其是高阶模态）的贡献不一定非常准确，但模态的影响可以通过预测结果的变化来反映。图7中的响应谱显示，事件A的主要响应低于40 Hz。因此，对于事件A，使用最低的4阶模态就足够了。值得注意的是，第5阶模态（图4(b)中的56.03 Hz模态）在第3层和第5层具有较大的振型幅值，对第3层和第5层的振动有显著影响，变化约为2 dB。在事件B和C中，高频分量的影响显著。如图4(b)所示，第5阶模态（56.03 Hz模态）和第7阶模态（65.62 Hz模态）在第3层和第5层具有较大幅值。这两个模态在这两个事件的响应中占主导地位。相比之下，当仅使用第1至4阶模态时，第3层和第5层的预测精度显著降低，事件B的平均误差约为4 dB，事件C约为5 dB。同时，对于事件B和C中第4层的振动预测，使用最低的4阶模态就足够了。由于剔除了20.92 Hz模态，第2层的预测存在较大误差。因此，结果表明，铁路诱发振动中的主导模态取决于输入的动力特性。此外，不同位置的主导模态也不同。这一现象与地震响应不同，地震响应中主导模态主要是最低的2阶模态。为了检验选择过程的必要性，对剔除和不剔除模态时的预测误差进行了比较。未剔除20.92 Hz模态时的模态参与系数近似结果如表7所示。为便于比较，剔除后的近似结果也加入了表中。表7. 剔除和不剔除时的模态参与系数近似模态13.59 Hz18.48 Hz19.27 Hz20.92 Hz35.84 Hz56.03 Hz64.29 Hz65.62 Hz剔除前1.682.99?1.82??0.340.140.19?0.45剔除后1.891.62?0.560.99?0.420.070.27?0.67如表7所示，在包含20.92 Hz模态后，18.48 Hz、19.27 Hz、56.03 Hz模态的近似值发生了显著变化。这些变化并不表示近似精度的提高，而是反映了共线性问题。为了展示其后果，图10比较了剔除和不剔除该模态时的Z振级预测结果。可以发现，即使被剔除的模态（图4(b)中的20.92 Hz模态）仅在第2层具有较大幅值，第2层和第3层的预测误差仍然增加了。这是因为共线性问题导致其他模态的近似精度降低。这一比较也解释了第2层相对较大的预测误差是模态截断误差和模态参与系数近似精度之间权衡的结果。此外，这一现象表明，包含更多模态并不一定能提高预测精度。在实际情况下，对模态参与系数近似精度的负面影响可能大于截断误差。尽管情景2证明了选择过程的必要性和有效性，但情景1和情景2的结果表明需要进一步研究阈值。值得注意的是，情景1中的第7阶模态与第1至6阶模态的线性组合的MAC值为0.54。该值接近确定的阈值0.6。如表6所示，该模态被证明对响应至关重要，如果阈值被过于保守地确定为0.5，预测误差将显著增加。同样，如果阈值被过于激进地确定为0.8，预测精度也会显著降低。然而，楼板的振型因案例而异。仅基于理论分析，振型间的共线性及其对近似精度的影响难以定量讨论。需要更多案例研究来确定合适的阈值。最后，比较了使用所有位置振型时的预测结果与仅使用楼板中心振型时的预测结果。该比较讨论了在非关注位置（即楼板中心以外）进行测量的必要性。值得注意的是，当可用的振型位置较少时，共线性问题的可能性会增加。因此，当仅使用楼板中心附近的振型时，需要重新进行模态选择过程。表8展示了当忽略边梁处振型时，图4(b)中振型之间的MAC值。由于重新执行了选择过程，使用了图4(b)中的原始模态编号。表8. 楼板中心振型之间的MAC值模态第2阶 vs. 第1阶第3阶 vs. 第1至2阶第4阶 vs. 第1至3阶第5阶 vs. 第1和2阶第6阶 vs. 第1和2阶第7阶 vs. 第1和2阶第8阶 vs. 第1和2阶MAC0.000.620.960.620.240.850.82值得注意的是，该选择过程与第4.2小节中的标准选择过程不同。这是因为选择过程假设总使用的模态数少于总自由度。在这种情况下，模态数多于测点数。因此，在表8中进行了改进的选择过程。首先在表8中比较了最低4阶模态之间的MAC值。第3和第4阶模态可以被第1和第2阶模态的线性组合很好地近似，因此忽略了第3和第4阶模态。随后，评估了较高阶模态与第1和第2阶模态线性组合之间的MAC值，发现只有第6阶模态与第1和第2阶模态的MAC值较小。因此，在后续案例中仅使用第1、第2和第6阶模态。表9显示了相应的模态参与因子近似结果。为便于比较，表3中所有测点的近似结果被列为参考值，以讨论近似差异。值得注意的是，这三阶模态的近似结果与更多测点的结果存在差异。这是因为近似精度主要取决于可用模态的总数和测点数量。当测点较少时，可用模态也会减少，所使用的模态振型无法充分代表整体模态振型。因此，近似精度显著降低，图11显示了预测结果。

表9. 使用靠近中心位置的模态振型进行的模态参与因子近似

| 模态 | 第1阶模态 | 第1和第2阶模态 | 第1、第2和第6阶模态 | 参考值 |
|------|----------|---------------|-------------------|--------|
| 第1阶模态 | 1.15 | 1.14 | 0.91 | 1.68 |
| 第2阶模态 | ?1.25 | 1.22 | 2.99 | ? |
| 第6阶模态 | ? | ? | ?0.45 | 0.14 |

三阶模态的参与因子近似精度较低，导致所有楼层的预测误差增大。整体预测误差达到约5 dB，截断误差主要体现在第2层的误差上，因为这三阶模态在第2层的模态振型幅值较小。模态参与因子近似误差的影响主要体现在第4和第5层的误差上，因为第1和第2阶模态在这些楼层具有较大的模态振型幅值。

因此，在环境振动测试中仅测量各楼层中心位置时，预测精度会因三个原因而降低：（1）由于识别出的模态振型无法反映楼板的整体模态振型，模态参与因子近似精度降低；（2）由于测量位置较少，识别出的模态振型更容易出现线性相关，导致一些在铁路诱发振动中占主导地位的模态可能被排除；（3）模态参与因子近似要求模态数量不超过测点数量。当仅测量中心位置时，可用于响应预测的模态更少，从而增大了截断误差。在实际情况下，当边缘梁全部受剪力墙或填充墙等墙体约束时，第1项可能不成立。然而，第2和第3项在实际情况下很可能发生，因为它们反映了预测方法的特性。

总之，本小节中的三个案例展示了预测方法在实际应用中的三个主要特征：（1）多阶模态对铁路诱发振动起主导作用，且这些模态与位置和输入相关；（2）当仅测量有限位置时，楼板的竖向模态振型很可能出现共线性问题。模态选择过程对于提高预测精度确实很重要；（3）建议在模态振型幅值较大的位置进行测量，例如不受墙体约束的边缘梁，即使这些位置的振动不在评估范围内。测量得到的模态振型可提高模态参与因子近似精度，并降低共线性问题的发生概率。

6. 结论

本文通过振动台试验验证了基于测量的建筑建模方法在预测建筑物结构中铁路诱发竖向振动的适用性。该建模方法利用目标结构的模态特性直接构建模态运动方程，因此无需获取几何、材料数据和质量分布。该方法的适用性尚未通过实际应用进行检验，而振动台试验揭示了该方法的四个关键特征。主要结论总结如下。

1）试件受到受控白噪声激励以模拟环境振动测试。当测量楼板中心和边缘梁的振动时，识别出了试件的多阶模态。土-结构相互作用的影响和输入估计是独立的问题，本研究未涉及，采用了三条动态特性不同的实测铁路诱发地面运动作为输入。预测结果表明，在对基础输入有准确先验知识的情况下，预测精度较高。在三种输入下，试件最大Z向振动水平的预测误差小于1.10 dB。所有楼层Z向振动水平的平均绝对预测误差平均低于1.60 dB，预测的三分之一倍频程谱与试验结果一致。在试验试件上的表现验证了该方法在评估邻近铁路对乘员舒适性影响方面的适用性。

2）试验还揭示，多阶模态，尤其是高阶模态，在铁路诱发振动中占主导地位。由于不同模态的模态振型具有不同的分布，不同楼层上的铁路诱发振动具有不同的主导模态。此外，输入具有不同的频率成分，不同的动态特性确实会影响主导模态。

3）由于只能测量有限的位置，识别出的模态振型是线性相关的。观测到的模态振型之间的共线性问题降低了模态参与因子近似精度，从而影响预测精度。当某楼层上模态振型幅值较大的模态被忽略时，该楼层的预测精度在三次事件中低于其他楼层。然而，当该模态未被忽略时，所有楼层的预测精度显著降低。这是因为该选择代表了模态截断误差与数值不稳定性之间的权衡。

4）尽管乘员舒适性评估不考虑楼板边缘的振动，但发现在模态振型幅值较大的位置（而非楼层中心）进行测量是必要的。当仅使用中心位置的模态振型时，参与因子近似精度降低，因为较少位置的模态振型无法反映每阶模态的整体模态振型。用于预测的模态总数受测点总数的限制。因此，由于可用的测点较少，截断误差增大。

试验假设了均匀阻尼比，通过采用更精确的阻尼比，预测精度有望提高。需要对竖向模态的阻尼比进行进一步研究。此外，模态排除阈值对预测精度至关重要。排除方法稳定了模态参与因子近似，但增大了截断误差。预期还可采用一种改进且稳定的逆解方法。最后，本研究中的验证结果主要基于实验室条件下的一座四层钢框架试件。在实际情况下，利用环境振动测试进行模态识别可能更具挑战性，所提方法的适用性有望通过实际建筑物进行进一步检验。

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Jinzhe Xie：写作——审阅与编辑，写作——原稿，方法学，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。Chenwei Xiao：写作——原稿，可视化，验证，方法学，调查。Yumeng Hua：写作——审阅与编辑，调查，资金获取。Weiping Xie：监督，软件，资源，项目管理，资金获取。Demin Feng：资源。

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