数值模拟在焦耳热和磁场效应下，带有导管的渐进性狭窄动脉中电渗血液流动

《Computers in Biology and Medicine》：Numerical simulation of electroosmotic blood flow through progressive stenotic artery with a catheter under the joule heating and magnetic field effects

　　•检查倾斜导管化动脉中的搏动性血流。
•为指数时变不规则狭窄建立了模型。
•展示了各种流变学参数对流动特性的影响。
•采用显式FTCS方法分析速度和热效应。
•在开发医疗器械和治疗方案中具有实际应用。
引言
心血管疾病（CVD）一直是全球死亡的主要原因。根据世界心脏联盟路线图[17]，每年约有2050万人死于心血管疾病，占全球死亡总数的三分之一。该报告还指出，动脉粥样硬化性心血管疾病占CVD负担的大部分，包括冠状动脉疾病、外周动脉疾病、脑血管疾病和动脉粥样硬化性主动脉疾病。这引起我们对研究此类疾病预防和治疗的严重性的关注。动脉粥样硬化是一种脂肪沉积或斑块积聚导致血管管腔狭窄的病症，可能阻碍正常血流并导致严重的健康危害，如中风。
已有大量研究探讨了血液通过时间依赖性狭窄动脉管腔的流变学特性。Young [34] 首次使用牛顿流体模型研究了动脉中狭窄的时间依赖性生长。他观察了时间依赖性生长对动脉管腔的影响，并讨论了其生物学意义。Chakravorty和Datta [8] 于1990年使用Herschel-Bulkley流体模型研究了具有多发性狭窄的数学模型。动脉被视为各向异性的粘弹性管。这项研究对生物工程师设计人造器官具有实用价值。Anurag [31] 研究了通过逐渐狭窄动脉的血流，其具有搏动特性，由宾汉塑性流体模型控制。研究结果表明，通过较窄动脉的血流速度比通过较宽动脉更快，并且随着时间推移，流动阻力随着狭窄进展而增加。Biddha [23] 将时间变化几何纳入双层血流框架。狭窄呈钟形，这使得即使在早期阶段，阻塞也更为严重。通过研究静态狭窄流变学模型中无法观察到的血流动力学特性，该模型更具现实性。
血液由悬浮在血浆中的细胞成分组成。当流经较大直径（直径超过330微米）的血管时，其表现为牛顿流体；而当以低剪切速率流经较小直径的血管时，则表现为非牛顿流体。在我们的研究中，采用了非牛顿流体模型。使用非牛顿流体模型可能比牛顿模型更有优势，因为在牛顿模型的情况下，只能通过改变狭窄的几何特性来调节速度。而对于非牛顿模型，除了几何特性外，还可以相应改变机械特性以调节血液的速度分布。我们在本研究中采用了宾汉-帕帕纳斯陶流体模型。
导管是一种直径很小的细长中空圆柱管，置于动脉内，并引导至动脉的狭窄区域。使用导管治疗狭窄动脉的过程称为导管插入术。导管的插入可能改变动脉阻塞区域内的压力梯度和流动模式。这凸显了研究此类导管化动脉中流动行为的重要性。导管可用作导管工具装置，以测量动脉任何区域的流量、速度和血压。它还可用于诊断技术（如X射线血管造影和超声）以及治疗过程（如球囊血管成形术）。N. Ali [4] 建立了采用Carreau-Yasuda模型的数学模型，用于分析在磁场和体加速度作用下通过导管化动脉的流动。该研究对导管化通道中包括幂律、Carreau和牛顿模型在内的血液流动进行了比较研究，并分析了流动特征。Ajani [5] 进行了涉及Casson流体模型的研究，以分析导管化狭窄动脉中的溶质分散现象。结果表明，压力梯度项和Womersley数对分散现象没有显著影响，而在轻度狭窄条件下，狭窄区域高度和屈服应力对其有显著影响。Gauri [29] 于2025年研究了在磁场和滑移条件影响下，通过导管化弯曲动脉的Jeffrey流体模型。该研究定量分析了流动参数，并讨论了捕获现象。
研究流体流动中的电能和磁能至关重要，考虑到其对流动流变学的显著影响。已知血液本质上具有导电性。血液的流动同时受磁场和电场的影响。在本模型中，磁场沿横向施加，产生与流动方向相反的阻滞力，而电场沿轴向流动方向施加。这两种力都能显著改变流动特性。磁场有助于外科手术中调节血流。磁流体动力学在医学领域的重要性及其临床结果，使得研究磁场通过狭窄动脉变得重要。
电渗是由于施加电场而产生流体整体运动的现象。当固体表面与电解质溶液（血液）接触时，由于施加高电压，在壁面附近产生电荷，从而产生此过程。这些电荷随后会吸引相反电荷的离子，形成带电离子层，称为双电层（EDL）。该EDL由扩散分布的带电离子组成，其在壁面附近浓度最高，以Zeta电位为特征，而在核心区域接近中性条件。Liechty [18] 的研究涉及微管中具有电渗和任意Zeta电位的流动，研究结果明确指出，在较高的Zeta电位值下，电荷电位、温度、电渗流场和努塞尔数显示出显著变化。这表明在考虑低Zeta电位时研究电渗流中的热传输可能引入的误差。Bhupendra [30] 研究了具有红细胞压积依赖粘度模型的弯曲动脉，该动脉具有不规则狭窄，并在导管上存在血栓形成。详细研究了电渗、辐射和焦耳热的影响及其在生物医学设备设计和治疗策略开发中的潜在应用。作为该工作的进展，Bhupendra [26] 于2026年进行了类似研究，考虑具有不规则狭窄和动脉瘤的弯曲动脉，利用纳米粒子的靶向递送。绘制了流线以分析流动模式，该研究提高了部位特异性治疗效率。Ramesh [32] 比较了各种狭窄形状，并研究了电渗、磁场和热辐射对相应狭窄几何形状下血液速度和温度特性的影响。Mostapha [21] 研究了Bingham流体通过非均匀微通道的蠕动输运，结合了电渗、活化能、熵产生和焦耳热效应。研究结果在涉及电渗能量和质量交换现象的工业环境中具有应用价值。Glili [9] 研究了考虑外部磁场和电场以及多孔介质并加入纳米粒子的血流流变学。该研究显示了其在狭窄动脉靶向药物递送中的重要性。Ponalagusamy [24] 探讨了包括Jeffrey流体（血液）和颗粒悬浮液（血细胞）在具有狭窄和外部体加速度的动脉中流动的模型。这是首次尝试分析这种在电场和磁场作用下动脉中搏动血流的两相模型。结果表明，随着电场强度的增加，表面摩擦和流动阻抗减小，这有助于改善病变动脉中的血流。Ponalagusamy [25] 研究了采用Carreau流体模型在圆管中的溶质分散现象。结果阐明，Debye-Huckel参数的增加导致管中分散机制的增强。此外，研究了正常和狭窄动脉中的电流体动力学分散过程。这些发现有助于医学工程领域手术工具的设计。
一些研究人员进行了包括焦耳热效应的研究。Salman [28] 首次研究了具有蠕动现象的电渗血流的Casson模型。在这项研究中，讨论了焦耳热和粘性加热的影响。El-Kot [16] 进行了另一项研究，考虑Sutterby流体模型通过轻度狭窄伴动脉瘤，在电渗和焦耳热影响下。结果表明，混合纳米粒子的热性能优于纳米流体。Abdeljawad [1] 采用Reiner-Rivlin液体模型研究了流体通过狭窄动脉的蠕动传输，结合了化学反应、焦耳热、Darcy-Forchheimer特征和滑移条件。Akhtar [2] 的研究中包括了采用非牛顿流体模型的多发性狭窄数学模型，包括具有粘性耗散的焦耳热。该问题在Mathematica软件中求解，并讨论了对称和非对称情况下的捕获现象。
研究空白：已有大量文献指出了斑块积聚动脉中流体流动问题并讨论了流动特性。尽管对这类动脉已有研究，但在作者所知范围内，仍存在一个空白，即尚未考察包括宾汉-帕帕纳斯陶流体模型、倾斜几何、导管和时间变化不规则狭窄，同时结合电渗、热辐射、磁场和焦耳热效应的数学模型。狭窄几何中的时间变化因子捕捉了血管中阻塞随时间进展的过程。表1指出了显著的研究空白以及需要同时考虑所有这些参数以实现对血流问题更现实研究的必要性。上述文献均未考察时间依赖性狭窄的电渗行为，包括宾汉-帕帕纳斯陶流体模型，以及由于磁场和电渗联合作用产生的焦耳热效应。
研究问题：以下研究问题构成了我们问题的基础，明确了本研究的意义：
•电渗参数和Helmholtz-Smoluchowski速度如何影响速度和温度分布？
•壁面剪切应力对流动动力学有何影响，其后果可能损害动脉的血管健康？
•狭窄几何中指数时间因子对狭窄进展以及血流模式有何影响？
•动脉倾斜以何种方式影响动脉内的血流动力学？
•导管的插入如何影响血管内的流动特征？
•由于磁场和电渗共同作用产生的焦耳热效应如何影响流体流动的热学性质？
新颖性：已有许多研究考虑各种参数探讨狭窄血管中的血流，但关于通过具有不规则进展性狭窄的狭窄动脉、宾汉-帕帕纳斯陶流体模型和导管，在考虑电渗和焦耳热效应下的血流动力学行为，仍有发现空间。作者声称，通过具有指数时变项的倾斜导管化动脉、具有不规则狭窄的宾汉-帕帕纳斯陶血流动力学的研究仍未被探索。这构成了本研究的创新性，并有助于治疗方案中的应用部分。表1证明了我们研究工作的原创性，因为尚无现有研究同时纳入表中提到的所有物理特征，这为疾病状态下的流动特性提供了更好的理解。理解血流动力学被认为是一项重要研究，因为它在生物医学应用中具有实用价值。任何新颖的生物干预措施都可以受益于通过这些动脉的血流动力学研究，从而为改进治疗策略及其在器械设计中的适用性提供强有力的见解。通过这种方式，我们的研究在开发各种医疗器械和治疗策略（如磁导向器械、靶向药物输送和热疗）方面具有实际应用价值，因为它能更深入地理解流体流动的血流动力学。

**工作目标：** 基于上述研究问题和研究空白，本研究的目的是探讨 Bingham-Papanastasiou 流体通过动脉狭窄区域时的非定常流动中的血液流动行为。假设狭窄是不规则且随时间变化的，这可能随着时间推移显著影响流动动力学。分析了导管的注入以检验其对血液循环的影响。采用 Bingham-Papanastasiou 流体模型来表征在磁场、电渗、辐射和焦耳热效应作用下，通过这种病变血管的流动行为。我们旨在使用显式有限差分格式求解所得的偏微分方程。考虑了所有可能影响流动动力学和温度分布的基本参数进行图形研究，从而为真实流动条件的物理特性提供更广阔的视角。能量方程包含了由磁场和电渗的联合效应引起的焦耳热效应，这为研究提供了一些新的见解。医疗干预的发展需要完全了解治疗策略如何影响流动行为，因此我们的工作有助于更好地设计此类器械。涉及将导管插入动脉腔的治疗可以显著改变流动动力学，我们的研究提供了在这些条件下血液的血流动力学流变学评估。

**章节片段**

**问题的几何模型**
在该模型中，我们考虑不可压缩、非定常和脉动的流体通过倾斜血管的流动，采用非牛顿模型。流体被迫通过由导管插入形成的环形区域。分析中采用圆柱流动坐标 \((\bar{r}, \theta', \bar{z})\)，其中 \(\bar{r}\)、\(\theta'\) 和 \(\bar{z}\) 分别表示径向、周向和轴向。血液的轴对称流动导致周向方向的消除。

**无量纲化**
给定问题的无量纲化变量如下：
\[
r=\frac{\bar{r}}{R_0}, \quad d=\frac{\bar{d}}{l_0}, \quad R=\frac{\bar{R}}{R_0}, \quad h=\frac{\bar{h}}{R_0}, \quad p=\frac{\bar{P}R_0^2}{U_0 l_0 \mu_0}, \quad z=\frac{\bar{z}}{l_0}, \quad w=\frac{\bar{w}}{U_0}, \quad u=\frac{l_0 \bar{u}}{\delta^* U_0}, \quad e=\frac{A_p}{A_c}, \quad S_{rz}=\frac{R_0}{U_0 \mu_0}\bar{S}_{\bar{r}\bar{z}}, \quad S_{rr}=\frac{l_0}{U_0 \mu_0}\bar{S}_{\bar{r}\bar{r}}, \quad S_{zz}=\frac{l_0}{U_0 \mu_0}\bar{S}_{\bar{z}\bar{z}}, \quad \theta=\frac{T-T_1}{T_w-T_1}, \quad t=\frac{U_0 \bar{t}}{R_0}, \quad M=\frac{m^* U_0}{R_0}, \quad Gr=\frac{R_0^2 \rho g \beta (T_w-T_1)}{U_0 \mu_0}, \quad Ma=\frac{R_0 B_0 \sigma_e}{\mu_0}, \quad B_1=\frac{R_0^2 A_c}{\mu_0 U_0}, \quad c_1=\frac{\omega_p R_0}{U_0}, \quad Bn=\frac{\tau_y R_0}{\mu_0 U_0}, \quad Nr=\frac{16 \sigma^* T_1^3}{3 k^* k_f}, \quad Pr=\frac{\mu_0 C_p}{k_f}, \quad Re=\frac{\rho U_0 R_0}{\mu_0}, \quad Ec=\frac{U_0^2}{C_p (T_w-T_1)}, \quad St=\frac{R_0}{U_0 T^*}, \quad \Phi=\frac{\bar{\Phi}}{\zeta_1}, \quad m=\frac{2 \eta_0 k_B T_a}{E e z^* R_0}, \quad U_{hs}=-\frac{E E_z \zeta_1}{\mu_0 U_0}, \quad s=\frac{E_z^2 R_0^2 \sigma (T_w-T_1)}{k_f}.
\]
无量纲压力梯度项表示为：
\[
-\frac{\partial p}{\partial z}=B_1 (1+e \cos(c_1 t)).
\]

**流动变量**
为了理解重要的流动特征和狭窄进展，我们绘制了一些重要流动参数（如壁面剪切应力 \(\tau_w\)、流量 \(Q\) 和流动阻力 \(\lambda\)）的曲线图。这些参数的数学表达式如下：
\[
\tau_w=\left( \frac{1}{R-h} \frac{\partial w}{\partial \eta} + Bn \left(1-e^{-M \frac{R-h}{|\frac{\partial w}{\partial \eta}|}}\right) \right)_{\eta=1},
\]
\[
Q=(R-h)^2 \pi \int_0^1 w ((R-h)\eta + h) d\eta,
\]
\[
\lambda=\frac{L \left( \frac{\partial p}{\partial z} \right)}{Q}.
\]

**数值方法**
所得的非线性偏微分方程使用有限差分法进行数值求解。该方法在处理动脉血流问题中的复杂边界条件时很有效。该方法对时间导数采用前向差分公式，对空间导数采用中心差分格式。\(w_{ij}\) 表示 \(w\) 在网格点 \(\eta_i\) 和时间步 \(t_j\) 处的值。根据 Hoffmann [13]，差分。

**结果与讨论**
本工作考虑了不可压缩流体通过带有导管的不规则狭窄动脉的非定常流动。研究重点在于检查导管在流动区域中的存在及其如何阻碍流动模式的影响。因此，研究了通过环形区域的流动，以了解从导管壁到血管壁沿径向方向的各种流动特性的影响及其时间变化。

**结论**
本研究考虑了在不同物理条件下环形区域内的生理流体流动，并阐述了其对血液流动行为的影响和后果。导管化狭窄动脉中的血液流动动力学因其在生物医学和临床研究中的应用而受到越来越多的关注。Bingham-Papanastasiou 流体模型表征了血液通过动脉壁和导管管之间环形区域的流动。

**CRediT 作者贡献声明**
Anushka Keshari：写作——初稿，可视化，验证，软件，方法学，调查，概念化。
Supriya Yadav：写作——审阅与编辑，监督，概念化。

**伦理声明**
• 我们，Anushka Keshari 和 Supriya Yadav，作为本文作者，证明本研究遵守学术出版中的最高道德标准。本研究中提出的所有数据、分析和发现均为原创，且未在其他地方提交或发表。所有参考文献均已适当注明，确保透明度和学术诚信。
• 与本研究无利益冲突。
• 本研究未涉及人类参与者或动物。

**利益冲突声明**
作者声明，他们没有已知的、可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

Anushka Keshari|Supriya Yadav