在二维中抵抗所有波前操控的结构

《Physical Review Research》：Structures resistant to manipulation by all wavefronts in two dimensions

　　利用光来操纵微小粒子是一种强大的工具，在生物物理学和纳米技术领域具有众多实际应用。通过采用整形波前（通常由空间光调制器生成），这种实验技术已取得了显著的性能提升。波前整形还使得操纵看似任意的物体成为可能，这些物体超出了传统光束的操控范围。与这一既定假设相反，我们在此展示了存在多种对操纵具有抵抗力的物体，即使采用最优的波前整形协议也是如此。这些反直觉的物体形状是通过二维逆设计发现的，这为将其自然扩展到三维奠定了基础。具体而言，我们表明最大拉力最多可降低4个数量级，最大捕获刚度最多可降低近2个数量级。我们的发现可能对需要可预测的任意波机械响应的微型机器开发有用。

I. 引言

自Ashkin的开创性工作以来，他首次证明了紧聚焦的光可以稳定地捕获微观粒子[1]，光微操纵已发展成为物理学、生物学和软物质领域的一种多功能工具[2–4]。例如，光捕获已被用于阐明生物过程的生物力学[5,6]，控制微型机器[7,8]，实验验证熵与信息之间的联系[9,10]，以及帮助将纳米粒子冷却到其运动基态[11,12]。相同的光场还可以传递角动量[13]，甚至产生拉力[14,15]。类似的能力也存在于声学中，包括用于操纵单个微粒、细胞和整个生物体的声镊[16]和声学牵引光束[17]。

超越传统高斯光束的光波前整形能力[18–21]已推动了微操纵能力的发展[22,23]。例如，波前整形实现了散射层后的捕获[24]，更硬的势阱[25,26]，角动量的受控传递[27]，多点捕获[28]，以及捕获和操纵杆状细菌[29]。或者，可以通过逆设计纳米腔和等离激元孔径来定制粒子周围的近场[30,31]。声学换能器阵列提供了类似的控制形式，例如，即使穿过无序和动态介质也能驱动物体[32]。改善微操纵性能的补充途径是针对固定波前照明（通常是平面波或高斯光束）逆设计粒子[33–35]。对最优力、力矩和照明场的界限[36,37]巩固了整形波对操纵物体有重大影响的理解。这些成功提出了一个基本问题：是否存在即使采用最优波前整形，机械控制仍然从根本上受限的目标？

在本文中，我们确定了即使最优入射波前也无法有效实现某些微操纵任务的目标。我们逆设计了对任意波前（在固定照明约束内）具有可预测机械响应的结构。作为一个例子，我们数值表明，在这些逆设计目标上可实现的最大拉力（“最优牵引光束”）相对于具有均匀折射率分布的通用结构可被抑制多达4个数量级。值得注意的是，设计这种结构的能力在广泛的参数范围内持续存在，表明波前整形不能保证任意的机械控制。我们的结果不仅表明可以找到可被任意波可预测操纵的结构，从而实现动态畸变波前的可靠微操纵。它们还表明，波前整形不能保证任意的机械控制，正如我们在广泛参数范围内数值确认的那样。

II. 抗操纵结构的逆设计

为了逆设计最优波前对目标影响可忽略的结构，我们首先需要计算最优波前的能力。对于第一个以大幅降低最优拉力为设计目标的目标示例，我们采用了广义Wigner-Smith（GWS）算符，该算符最初是为无序介质中目标的最优聚焦而引入的[38]，并已被广泛应用于各种操纵任务[26,39–41]。最优牵引光束波前通过求解 （在系统无损耗和增益时是厄米的）的特征值问题来找到最大特征值，其表达式为 (1)

其中 是目标的散射矩阵， （ ）描述任意波前的入射（出射）动量， 是模态振幅向量， 是特征值。从这个方程，我们可以将 解释为描述波的入射动量和出射动量之差，该差值（通过动量守恒）传递给目标。我们将分析限制在二维空间，其中波的散射由亥姆霍兹方程 控制，其中 是拉普拉斯算子， 是波矢， 是标量波， 是空间变化的折射率（在逆设计过程中不断调整）。我们使用公开可用的代码[42]数值求解二维亥姆霍兹方程，该代码基于开源有限元方法（NGSolve）[43,44]。我们注意到，如果包含每个偏振的独立模态振幅，并且散射矩阵考虑了偏振混合，则从散射矩阵到最优波态的流程可以扩展到三维。然而，扩展到三维会显著增加计算成本，需要非标准的模拟方法[35,45]。

我们的最终目标是找到 的最大特征值极小的结构[见图1(a)]。由于该特征值给出了所有可能入射波前的最大拉力（即最强的牵引光束）， 意味着不可能用任何波拉动目标。我们通过采用逆设计来实现这一目标[见图1(b)]，在逆设计中，我们根据代价函数（即 ）不断调整结构的折射率分布（由像素方形网格参数化，每个像素的折射率可在最小值和最大值之间单独调节）。为了使用最先进的基于梯度的逆设计算法，我们需要一种计算效率高的方法来计算代价函数相对于每个设计像素的折射率 的梯度，即 。从公式(1)可以看出，计算 相当于计算 ，因为 与折射率分布无关。我们使用一种基于广义Wigner-Smith算符的替代形式的方法，有效地计算散射矩阵对设计像素折射率的敏感性，该方法非常适合当前任务[46]。有关梯度计算和逆设计算法的详细描述，请参阅附录。

图1. 通过逆设计降低最优牵引光束强度。
(a) 具有均匀折射率分布（ ）的传统结构（左）和最小化最优拉力的逆设计结构（右）的折射率分布。在两种情况下，施加最优牵引光束的波前（由彩色条形图显示振幅和相位）都是广义Wigner-Smith算符 的极值特征向量。
(b) 逆设计过程的示意图，该过程迭代地改变设计区域中的折射率分布以最小化最优拉力，即 的最大特征值 。在此，我们在达到局部极小值后对结构进行二值化并平滑其边界。
(c) 比较传统结构（左）和逆设计结构（右）的最优牵引光束强度分布。我们的逆设计过程使最优拉力 相比传统结构降低了近3个数量级。我们将入射波的孔径限制在圆形边界的四分之一。灰色方块表示设计区域的范围。

在图1中，我们展示了一次此类设计运行得到的结构，并将其性能与传统结构进行比较。更具体地说，我们在圆形散射区域的中间放置一个方形设计区域（ ），其中包含 个设计像素的网格。我们可以在一个 立体角内将具有任意振幅和相位分布的波前注入散射区域。为了结果可比，这些波前始终具有单位范数，即 。我们的模拟显示，传统结构（折射率均匀为 的正方形）上的最优拉力为 （a.u.）。相比之下，逆设计结构上的最优拉力小了近3个数量级： （a.u.）。我们注意到，波施加推力的能力（原则上）不受我们设计过程的影响。在此例中，逆设计[传统]目标上的最大推力为 （a.u.）[ （a.u.）]。

III. 抗牵引光束结构

在展示了一个逆设计结构的例子（其最优拉力降低了2个数量级）之后，我们现在将注意力转向是否可以普遍找到此类结构的问题。为此，我们改变所研究系统的参数，并研究最优拉力相对于相应传统结构的降低程度。具体来说，我们扫描结构到波源的距离、方形设计区域的边长、最大折射率和波长。我们注意到，每个结构都是针对特定波长设计的，即单色照明，而改变结构到源的距离也表明了改变数值孔径的影响。

我们的结果总结在图2(a)–2(d)中，清楚地表明在广泛的参数范围内存在（强烈）抵抗最优拉力的结构。这表明我们已经识别出一大类结构，并且波前整形通常不能保证任意的微操纵能力。我们的数据也清楚地表明，减小设计区域的有效尺寸（无论是直接改变尺寸，还是通过增加波长或降低最大折射率间接实现）会降低逆设计算法识别性能明显优于传统结构的结构的能力。直观地说，这一观察可以通过远小于波长的目标过渡到纯偶极散射来解释。在这种情况下，波无法分辨图案；因此，逆设计对最优拉力的影响消失。如果我们使用设计区域内不同的随机选择折射率集合重新启动逆设计过程，这些观察结果仍然一致，表明对初始化具有鲁棒性。波长扫描在0.04 a.u.的宽度下进行，以包括尺寸最大可达 的设计区域。即使在这样大的尺寸下，我们也能设计出抵抗操纵的结构，其抵抗程度相比传统结构可达4个数量级。这一点尤其值得注意，因为对于大型结构，波前整形通常比小型结构表现出更好的性能[25,26]。

图2. 抗牵引光束和抗捕获粒子的广泛参数范围。
图显示了逆设计目标相对于具有均匀折射率的传统结构，最优微操纵被降低的程度。上排和下排分别给出了最优牵引光束（即 的最大特征值）和最优捕获刚度（即 的最大特征值）的降低因子。降低因子显示为距离[(a)和(e)面板]、设计区域宽度[(b)和(f)面板]、结构的最大折射率[(c)和(g)面板]和波长[(d)和(h)面板]的函数。插图显示了最小化该比率的逆设计结构示例。黑色虚线表示在其他扫描中使用的参数值。唯一的例外是波长扫描，它们在0.04 a.u.的宽度下进行，以研究大于单个波长的结构。

在附录中，我们研究了逆设计结构代表性样本对制造不确定性的鲁棒性。我们的模拟表明，当均方根制造误差为 时，观察到的操纵抵抗效应失效。该特定值大致对应于结构上约为 的变化。此外，我们在附录中表明，当波长变化大于 时，操纵抵抗完全失效。这表明我们的结果依赖于干涉效应，因为干涉效应通常对这一尺度敏感。

IV. 抗光捕获结构

我们现在表明，抗操纵结构的逆设计也扩展到粒子的光捕获。因此，我们使用由方程(1)中的广义维格纳-史密斯算子导出的算子，来计算具有最优捕获刚度的波前。捕获刚度（在方向 上）通过计算粒子偏离平衡位置时恢复力建立的速度，来量化粒子被捕获的紧密程度。相应的算子由[26]给出： (2)其中我们使用[38]得到 。由于 中唯一依赖于设计像素折射率的部分是散射矩阵 ，我们采用与牵引光束案例相同的逆向设计策略。这里，我们使用圆形设计区域，以将我们的结果与通常使用二氧化硅纳米球作为目标的光学捕获实验联系起来。这也意味着用作基线的常规结构是圆形的，且具有均匀的折射率分布。

对于设计用于抵抗光学捕获光束的结构，我们发现存在一个广泛的参数范围，在其中，最优捕获光束的性能相对于常规结构下降可达2个数量级[见图2(e)–2(h)]。较大结构在抵抗捕获光束方面表现更好的总体趋势，与观察到的用于抵抗最优牵引力的结构相似。有趣的是，随着与波源距离的增加，抗捕获目标的表现有所提升，而抗牵引光束目标的表现保持不变。在我们考虑的两个微操纵实例中，逆向设计过程识别出的结构主要由两种材料组成，因为我们采用了双曲正切正则化来引导优化器趋向具有该性质的解。这些结构也表现出相对平滑的边界，而无需在逆向设计过程中推动其具备这一性质。

然而，在光学捕获中，仅通过波前整形来提高捕获刚度通常是不够的[4]。相反，必须格外小心以确保陷阱不仅具有刚度，而且稳定；即，在零位移时没有施加力（ ）。在我们的案例中，这意味着捕获光束不仅应最大化 ，还应确保在平衡位置处 ，其中 是最优波前。我们通过数值优化找到具备这两个性质的波态（详细过程见附录），因为没有简单的特征值问题可用于计算相应的波前[26]。

在图3中，我们分析了常规结构和逆向设计结构对最大化捕获刚度同时保持陷阱稳定的波前的响应。我们的结果显示，将波前从仅最大化捕获刚度转变为同时实现稳定捕获，并不会对逆向设计结构的目的产生不利影响；即，最优捕获刚度仍降低约一个数量级，并且逆向设计结构所产生的光学陷阱势阱要浅得多。

图3. 最大捕获刚度和稳定捕获。对两个不同初始位置[(a) 和(b) ]，作用力随初始位置位移的变化。在两种情况下，我们比较了逆向设计结构（对于小的最优捕获刚度）和具有均匀折射率分布的常规结构的响应。此外，我们应用了两种不同的波前[分别对应面板(a)和(b)的左侧和右侧]。一种产生最优捕获刚度，因为它对应于 的最大特征值；另一种在稳定捕获约束下最大化捕获刚度。插图显示了所使用的结构以及通过计算0位移处斜率之比得到的逆向设计与常规结构之间的捕获刚度比。

V. 讨论与展望

剩余的问题是，这里报告的减小因子 在实验中是否会产生实际影响。为此，我们考虑一个标准的光学镊子实验（一个浸没在水中、经历布朗运动的微米级二氧化硅球），并添加一个空间光调制器，以实现波前整形，从而优化操纵的优值[26]。对于该实验，我们使用文献[26]的公开代码计算关键量，如具有最优捕获刚度的光束的最优牵引光束强度和捕获势阱深度。

对于牵引光束，我们通过考虑观察到目标平均位置变化大于一个标准差所需的时间，来确定区分牵引力效应与布朗运动所需的时间尺度： （我们在附录中提供详细论证）。这里， 是减小因子， 是每瓦激光功率的最优牵引力， 是激光功率， 是粒子摩擦力， 是玻尔兹曼常数， 。例如，对于 和 ，时间为 小时。

在光学陷阱的情况下，被捕获粒子的行为可以通过比较势阱深度 （ 是每瓦激光功率的势阱深度）与热能 来估计。如果 ，则粒子将无限期地停留在陷阱中。对于 ，粒子被限制很短时间（约几分钟量级），然后从陷阱中弹出；而对于 ，它仅受到光学镊子的微弱影响，主要经历自由扩散。为了确认这些估计，我们模拟了粒子在最优刚度陷阱的力场中（一维）受随机力（即布朗运动）作用下的运动。我们使用这些模拟来计算粒子从陷阱中弹出的时间，并确认上述近似（见附录）。

总而言之，我们已经逆向设计了能够抵抗牵引力和光学捕获光束的结构，即使使用针对当前任务的最优波前也是如此。我们通过数值模拟说明了我们概念的可行性，使对逆向设计结构的操纵能力相对于常规结构降低最多达4个数量级。我们发现的目标特性可能使我们能够将逆向设计流程应用于制造适合光学[35]和声学[34]微操纵的结构。尽管此处呈现的结果是针对二维系统的，但扩展到三维矢量波应该是可能的。由于我们的发现表明增加模式数量有助于设计抗操纵目标，我们不认为三维中增加的模式空间会构成障碍。

我们的方法为光学驱动的微机械[47]提供了一个有趣的视角，尤其是当只需处理特定自由度时。它可能使此类微机械即使在嵌入无序、变化的环境（即照明波前不断演变）中也能运行。抗操纵结构也可用于减少光学杠杆[48]中的反作用噪声。