Rydberg原子阵列中Ising临界性的奇异对称性介子谱学

《PRX Quantum》：Meson Spectroscopy of Exotic Symmetries of Ising Criticality in Rydberg Atom Arrays

　　伊辛模型作为探索量子临界系统中涌现对称性的典型平台，其地位不言而喻。一维伊辛链的临界点由共形伊辛场论描述，该理论在存在磁微扰时仍保持可积性，从而产生与例外李代数??8相关联的有质量粒子。将两条伊辛链弱耦合形成梯子结构会破坏这种可积性，并预计会束缚解耦链中的基本扭结激发，从而产生由??(1)8理论描述的更为丰富的激发谱。??8激发的实验特征已在自旋链材料CoNb2??6的散射研究中得到相当程度的观测，但由链间耦合产生的束缚态谱的直接观测仍然难以实现。在此，我们在里德堡原子量子处理单元中探测这些涌现对称性，利用其可调的几何构型来实现链和梯子两种结构。我们在单链临界点处识别出与??8一致的质量谱，并在弱耦合梯子中首次报告了伊辛激发重组为??(1)8对称性所预测的束缚态谱的特征。我们的结果展示了里德堡平台在探究量子多体系统中对称性涌现方面的强大能力，并为理解准粒子相互作用、几何构型与临界性之间的相互关联提供了直接窗口。

I. 引言

量子临界点处的涌现对称性为多体系统的普适行为提供了深刻的见解[1]。其中，例外李代数因其在一维横场伊辛链（TFIC）的量子临界点处，在受到纵向场作用时涌现而引起了广泛关注[2–4]。结构因子中出现的并非量子临界连续谱响应，而是束缚态的离散峰，这些特征已在准一维伊辛铁磁体[5]中通过实验观测到。值得注意的是，束缚态谱具有由对称性决定的普适能量比值，如图1(a)所示。

FIG. 1. (a) 由涌现的??8和??(1)8对称性预测的介子质量谱[2,6]。(b),(c) 在中性原子平台上实现的原子寄存器几何构型，用于实现(b)一维伊辛链和(c)准一维伊辛梯子，以及相应的畴壁介子激发示意图。(d–f) 模拟量子处理单元（QPU）测量结果（上）和精确数值计算结果（下），显示了从|↑…↑?态淬火后的关联传播。面板(d),(e)显示伊辛链在??=1.0, ?=0.0：(d) ??=1.0, ?=0.0和(e) ??=0.9, ?=0.4。面板(f)显示弱耦合伊辛梯子，参数为??=1.0, ?=0.0，链间耦合为??⊥=0.2。蓝色虚线表示从介子色散关系提取的理论光锥速度。(g) 模拟QPU对畴壁密度???dw?的测量结果，其中平均值对所有最近邻对进行。水平线表示通过经典模拟获得的长时间平均畴壁数。

然而，后续研究表明，??8的激发谱可能更准确地由仿射李代数??(1)8描述[6–8]，该代数源于强链间相互作用[见图1(a)]，使得系统实际上表现为伊辛梯子而非简单链。这种对称性的转变凸显了涌现现象对系统内部几何构型和相互作用的敏感性。

在微扰量子临界点处涌现的束缚态可以通过不同的机制产生，其中一种是禁闭，即在有序相深处，微扰导致畴壁准粒子之间产生单调递增的势能，从而形成离散的介子束缚态[9,10]。这些受限激发连续演化成为相应可积场论中的有质量粒子，并主导淬火后的实时动力学[11,12]。在量子伊辛系统中，外部磁场[12–14]、长程相互作用[15,16]和链间耦合[17,18]等微扰可以重组临界理论的基本激发，产生反映潜在对称性性质的丰富激发谱[11,19]。

在本工作中，我们利用里德堡原子阵列的通用性，首次实验研究了一维伊辛链和伊辛梯子中??8以及??(1)8对称性的涌现[20–22]。通过精确设计这些量子模拟器中的几何构型和相互作用，我们能够探测这些系统的临界点并观测相应的涌现粒子谱。虽然禁闭特征此前已在孤立伊辛链中被观测到，无论是在模拟[16]还是数字量子处理单元（QPU）[14,23]中，但相应的耦合链激发谱在量子模拟器的伊辛梯子几何构型中尚未被探索。在本工作中，我们揭示了耦合链系统中扭结束缚的特征，以及与??8和??(1)8理论预测的粒子谱一致的特征频率。这首次提供了在量子模拟器上实现的伊辛梯子中由链间耦合诱导扭结束缚的实验证据，并确立了这些对称性在相应临界点处的涌现。我们的研究展示了QPU在模拟模式下探索复杂多体物理的能力，为未来研究更高维系统和其他奇异对称性铺平了道路。

II. 伊辛链中的禁闭与束缚粒子

在本工作中，我们考虑横场伊辛模型，该模型描述相互作用的自旋-1/2粒子：
?? = ???∑?(?????????? + ??????) (1)

其中????是作用在第??个格点上的泡利矩阵算符，??是自旋-自旋相互作用强度，??是横场强度。在本文其余部分，我们设定??=1。

在一维TFIC中，该哈密顿量的准粒子激发对应于自由费米子。考虑??<1，其中??=1是哈密顿量的临界点，准粒子可以很好地近似为简单畴壁。引入有限的纵向场?≠0后，两个准粒子经历一个与其间距和?成正比的线性禁闭力[9]，见图1(b)。因此，每一对准粒子形成一个介子束缚态，其质量由以下公式定义：
??? = ??? ? ???

其中???是第??个能级（零动量）。已知禁闭会减慢关联和纠缠的传播[14]，延迟热化[15,24]，并导致弦断裂[25]和非弹性碰撞[23,26–31]等有趣现象。

弱耦合两条横场伊辛链提供了另一种束缚单链畴壁激发的方法（对于??<1），而无需额外的磁场。由此产生的横场伊辛梯子（TFIL）哈密顿量为：
?? = ???∑?∑?(???,?????,???? + ?????,??) ? ??⊥∑????,?????,?? (2)

其中???,?作用于第??条链，??∈{1,2}。一条链中的畴壁相对于另一条链会产生不利的链间对齐区域，因此分离扭结对所需的能量与其间距和链间耦合??⊥成正比。最近采用含时密度矩阵重整化群方法的理论研究揭示了TFIL支持丰富的束缚激发层次结构[17]。这些束缚态包括涉及单链内部激发的束缚态、跨越两条链的激发，以及高阶复合束缚态，见图1(c)。这种丰富的结构反映了耦合两个伊辛共形场论所引入的额外自由度[6]。从晶格角度来看，解耦链的扭结激发的这种束缚可以被视为一种禁闭机制。然而，相应的连续统描述与带纵向场的TFIC不同：后者产生真正的扭结禁闭和??8介子谱，而耦合链系统则由吸引正弦-戈登理论描述，其??(1)8谱由稳定的解禁闭孤子及其束缚态（呼吸子）组成[32]。为简单起见，在本文中我们使用晶格意义上的“禁闭”一词来指代链间诱导的伊辛扭结束缚，同时在必要时明确将其与场论意义上的禁闭区分开来。

尽管与??8和??(1)8对称性谱相关的量子场论预测是在短程相互作用的理想极限下推导的，但最近的理论工作表明，与稳定准粒子激发相关的淬火谱学特征在长程相互作用存在时仍可保持稳健[33]。这种稳健性与先前在包含长程相互作用尾部及超出理想最近邻模型额外微扰的系统中观测到??8谱的结果一致，例如在俘获离子实现[34]和更精确的CoNb2O6微观描述[11]中所遇到的情况。在后续章节中，我们将这一视角扩展到??(1)8谱，证明相应的淬火谱学特征在里德堡原子阵列中自然实现的长程相互作用存在时仍可被观测到。

III. 实验考虑

伊辛型哈密顿量可以通过光镊中的中性原子阵列自然实现。当原子被激发到高里德堡态时，它们表现出大的偶极相互作用。将原子基态定义为|↓?，里德堡态定义为|↑?，哈密顿量可以表示为：
?? = (Ω/2)∑????? ? Δ∑???? + ∑?
其中???=(1+????)/2，????是范德华反铁磁相互作用强度，ω和δ分别是外部激光诱导的拉比频率和失谐[35]。通过调节拉比频率和失谐，可以将该哈密顿量精确映射为周期边界条件（pbc）下的伊辛模型，对于开放边界条件（obc），则映射到系统边缘存在局部纵向场的伊辛模型，完整细节见补充材料i。此外，我们还可以探测保持时间反演对称性的初始态的铁磁伊辛模型的动力学[36]。

特别地，带纵向场的tfic可以通过在里德堡原子平台上将原子排列成一维链来实现，或者在我们的情况下，采用圆形几何结构以考虑pbc，见图1(b)。此外，我们通过在里德堡原子平台上将原子排列成两条一维链来实现tfil。需要注意的是，给定二维（2d）俘获区域，不可能精确实现具有pbc的伊辛梯子，因此在本文中，我们对此准一维系统采用obc，见图1(c)。

iv. 禁闭的观测

禁闭动力学的一个典型特征是突然淬火后关联传播的抑制，即???????????c?(??)。在传统临界系统中，关联通常以准粒子的最大群速度进行弹道传播，对于tfic该速度为??lr=2??[12,37,38]。然而，在受限系统中，准粒子之间有效势的存在显著减慢了它们的传播，导致纠缠增长的特征性抑制和主要光锥速度的改变，这两者都依赖于禁闭场的强度。这一行为已在理论模型[12,15,17]和实验平台[14,16,39]中被广泛研究，使其成为识别禁闭效应的关键可观测量。

在我们的实验中，我们从|↑…↑?态进行量子淬火后测量连通关联函数???????????c?(??)，从而能够直接追踪关联在系统中的传播。实验获得的关联数据与经典数值模拟在所有探索的区间内表现出强烈的定量一致性，直至实验噪声水平，见图1(d)–1(f)。此外，我们通过比较不同区间直接观测到禁闭效应。在无禁闭的情况下，关联以清晰的光锥传播，与tfic在??=1.0, ?=0.0时解析已知的lieb-robinson界一致[12,38]，该界决定了量子系统中信息传播的最大速度，见图1(d)。然而，在存在纵向场或弱耦合伊辛链的情况下，关联的传播显著减慢，见图1(e)和1(f)。

这一行为与受限系统的理论预测一致，其中有效介子速度（通过低能级的最大群速度计算，见补充材料ii）主导关联传播的动力学[14]。然而，这一预测并非精确的，如在tfil结果中所见。在这里，关联在模拟qpu和经典数据中均被观测到超出由介子速度定义的光锥，表明系统的真实lieb-robinson速度更大。这是预期的，因为介子速度表征与最低受限激发相关的主导关联前沿，而来自更高能准粒子模式的较弱贡献可以以更大的速度传播[40]。因此，在该系统中，介子改变了主导传播动力学，但没有改变系统的最终因果界。除此之外，光锥外的小额额外涨落也可能源于实验噪声。

除了减慢关联的传播外，我们还观测到禁闭抑制了畴壁数量的增长，这是约束动力学的标志，见图1(g)右图。这种抑制与介子类束缚态限制畴壁增殖可用相空间的图景一致。 (3) 其中???=(1+????)/2，????是范德华反铁磁相互作用强度，Ω和Δ分别是外部激光诱导的拉比频率和失谐[35]。通过调节拉比频率和失谐，可以将该哈密顿量精确映射为周期边界条件（PBC）下的伊辛模型，对于开放边界条件（OBC），则映射到系统边缘存在局部纵向场的伊辛模型，完整细节见补充材料I。此外，我们还可以探测保持时间反演对称性的初始态的铁磁伊辛模型的动力学[36]。 特别地，带纵向场的tfic可以通过在里德堡原子平台上将原子排列成一维链来实现，或者在我们的情况下，采用圆形几何结构以考虑pbc，见图1(b)。此外，我们通过在里德堡原子平台上将原子排列成两条一维链来实现tfil。需要注意的是，给定二维（2d）俘获区域，不可能精确实现具有pbc的伊辛梯子，因此在本文中，我们对此准一维系统采用obc，见图1(c)。 iv. 禁闭的观测 禁闭动力学的一个典型特征是突然淬火后关联传播的抑制，即???????????c?(??)。在传统临界系统中，关联通常以准粒子的最大群速度进行弹道传播，对于tfic该速度为??lr=2??[12,37,38]。然而，在受限系统中，准粒子之间有效势的存在显著减慢了它们的传播，导致纠缠增长的特征性抑制和主要光锥速度的改变，这两者都依赖于禁闭场的强度。这一行为已在理论模型[12,15,17]和实验平台[14,16,39]中被广泛研究，使其成为识别禁闭效应的关键可观测量。 在我们的实验中，我们从|↑…↑?态进行量子淬火后测量连通关联函数???????????c?(??)，从而能够直接追踪关联在系统中的传播。实验获得的关联数据与经典数值模拟在所有探索的区间内表现出强烈的定量一致性，直至实验噪声水平，见图1(d)–1(f)。此外，我们通过比较不同区间直接观测到禁闭效应。在无禁闭的情况下，关联以清晰的光锥传播，与tfic在??=1.0, ?=0.0时解析已知的Lieb-Robinson界一致[12,38]，该界决定了量子系统中信息传播的最大速度，见图1(d)。然而，在存在纵向场或弱耦合伊辛链的情况下，关联的传播显著减慢，见图1(e)和1(f)。 这一行为与受限系统的理论预测一致，其中有效介子速度（通过低能级的最大群速度计算，见补充材料ii）主导关联传播的动力学[14]。然而，这一预测并非精确的，如在tfil结果中所见。在这里，关联在模拟qpu和经典数据中均被观测到超出由介子速度定义的光锥，表明系统的真实lieb-robinson速度更大。这是预期的，因为介子速度表征与最低受限激发相关的主导关联前沿，而来自更高能准粒子模式的较弱贡献可以以更大的速度传播[40]。因此，在该系统中，介子改变了主导传播动力学，但没有改变系统的最终因果界。除此之外，光锥外的小额额外涨落也可能源于实验噪声。>
其中???=(1+????)/2，????是范德华反铁磁相互作用强度，ω和δ分别是外部激光诱导的拉比频率和失谐[35]。通过调节拉比频率和失谐，可以将该哈密顿量精确映射为周期边界条件（pbc）下的伊辛模型，对于开放边界条件（obc），则映射到系统边缘存在局部纵向场的伊辛模型，完整细节见补充材料i。此外，我们还可以探测保持时间反演对称性的初始态的铁磁伊辛模型的动力学[36]。

特别地，带纵向场的tfic可以通过在里德堡原子平台上将原子排列成一维链来实现，或者在我们的情况下，采用圆形几何结构以考虑pbc，见图1(b)。此外，我们通过在里德堡原子平台上将原子排列成两条一维链来实现tfil。需要注意的是，给定二维（2d）俘获区域，不可能精确实现具有pbc的伊辛梯子，因此在本文中，我们对此准一维系统采用obc，见图1(c)。

iv. 禁闭的观测

禁闭动力学的一个典型特征是突然淬火后关联传播的抑制，即???????????c?(??)。在传统临界系统中，关联通常以准粒子的最大群速度进行弹道传播，对于tfic该速度为??lr=2??[12,37,38]。然而，在受限系统中，准粒子之间有效势的存在显著减慢了它们的传播，导致纠缠增长的特征性抑制和主要光锥速度的改变，这两者都依赖于禁闭场的强度。这一行为已在理论模型[12,15,17]和实验平台[14,16,39]中被广泛研究，使其成为识别禁闭效应的关键可观测量。

在我们的实验中，我们从|↑…↑?态进行量子淬火后测量连通关联函数???????????c?(??)，从而能够直接追踪关联在系统中的传播。实验获得的关联数据与经典数值模拟在所有探索的区间内表现出强烈的定量一致性，直至实验噪声水平，见图1(d)–1(f)。此外，我们通过比较不同区间直接观测到禁闭效应。在无禁闭的情况下，关联以清晰的光锥传播，与tfic在??=1.0, ?=0.0时解析已知的lieb-robinson界一致[12,38]，该界决定了量子系统中信息传播的最大速度，见图1(d)。然而，在存在纵向场或弱耦合伊辛链的情况下，关联的传播显著减慢，见图1(e)和1(f)。

这一行为与受限系统的理论预测一致，其中有效介子速度（通过低能级的最大群速度计算，见补充材料ii）主导关联传播的动力学[14]。然而，这一预测并非精确的，如在tfil结果中所见。在这里，关联在模拟qpu和经典数据中均被观测到超出由介子速度定义的光锥，表明系统的真实lieb-robinson速度更大。这是预期的，因为介子速度表征与最低受限激发相关的主导关联前沿，而来自更高能准粒子模式的较弱贡献可以以更大的速度传播[40]。因此，在该系统中，介子改变了主导传播动力学，但没有改变系统的最终因果界。除此之外，光锥外的小额额外涨落也可能源于实验噪声。

除了减慢关联的传播外，我们还观测到禁闭抑制了畴壁数量的增长，这是约束动力学的标志，见图1(g)右图。这种抑制与介子类束缚态限制畴壁增殖可用相空间的图景一致。>这些结果提供了直接实验证据，表明受限效应改变了关联传播和激发动力学——这一特征也在一维[41]和二维[42]受限规范场理论的量子模拟中被定性观察到。V. 对称性的观测
涌现 对称性的标志是出现八个大质量激发，其质量比是普适的，并由描述纵向场微扰下临界横向场伊辛链的可积场论所确定。精确解预言了一个完整的质量谱，该谱由 李代数结构唯一确定，其比值与微观细节无关。因此，这些普适比值提供了该对称性的直接“确凿”证据。在实践中，我们从零动量动力学结构因子 (DSF) 的峰位提取激发能隙，其峰频 对应于介子质量 。比值 随后可直接与理论预言[5,11]进行比较。

梯子几何结构中出现了一个高度类似的情况，其标度极限由与 代数相关的可积场论描述。该理论同样预言了一组普适的大质量激发，具有固定的质量比。然而，正如参考文献[7,8]中所讨论的，对称性约束意味着并非所有预言的模式都会以可见权重贡献到零动量动力学结构因子中。因此，只有理论质量的一个子集以 中的峰的形式出现。考虑这些选择定则后，观测到的峰结构与普适的 预言一致。

为了研究伊辛链和梯子在临界点处的涌现 和 对称性，我们首先优化原子寄存器、拉比频率和失谐，以确保所研究的系统准确反映理论预言的能谱。为了验证 对称性的存在，我们检查了一个具有周期性边界条件 (PBC) 的12比特伊辛链。通过调节拉比频率和失谐使得 和 ，我们通过精确对角化获得的完整本征谱得到结果 ，如图2(a)所示。这些结果中看到的峰比值与 对称性的理论预言紧密匹配。与理想质量比的微小偏差源于有限尺寸效应，该效应导致激发能量相对于其无穷体积值发生与状态相关的偏移。然而，强纵向场显著减小了这些修正[34]。

图2. (a) 具有纵向场且 和 的TFIC，以及 (b) 具有 、 和链间耦合 的TFIL的零动量动力学结构因子。在两种情况下，垂直虚线表示与涌现对称性相关的理论预言质量比：链中为 ，梯子中为 。

同样地，为了评估里德堡梯子是否能用 对称性很好地描述，我们考虑了两个具有开放边界条件 (OBC) 的11比特伊辛链。原子间距、拉比频率和失谐被调整为 ， 和 ，总共22个比特。我们借助矩阵乘积态 (MPS) 方法模拟DSF[43]。如图2(b)所示， 中的主峰与 对称性的预言峰一致。与 情形相比，分辨率降低源于基于MPS的动力学模拟中使用的有限时间窗口，这引入了频率展宽。

为了在模拟QPU上观测两种涌现对称性 和 ，我们通过实时数据提取介子谱：首先在每个系统中进行淬火，并测量由此产生的局域磁化涨落 。随后，对 的淬火后动力学进行傅里叶变换，我们获得清晰的谱分解，其主频 可以与理论预言的介子质量比的线性组合相匹配。其次，我们通过多重频率傅里叶拟合法细化频率峰位。我们选择与底层对称性预言相同数量的主频 ，并使用ADAM优化器进行拟合[44]。我们运行20次独立拟合，每次最多20,000个epoch，以确保收敛性和鲁棒性（见补充材料III）。提取的频率随后在拟合间取平均值。该过程允许更精确地提取主频，然后我们将其与理论介子质量比进行比较。

对于具有纵向场的TFIC，介子谱跨越很宽的能量范围，因此我们选择一个相对较大的纵向场 ，这使我们能够将多个相关频率压缩到量子硬件可操作范围 可获得的时间尺度内，显著超过了先前工作中实现的范围[16,19,45]。然而，这个大场导致平凡的初始态 主要与 谱的最低质量 和 耦合，严重限制了较高介子态的可见性。为了解决这个问题，我们采用两级淬火协议。系统首先在400ns的时间段内，从 和 的斜坡协议演化到所需的目标 和 ；这产生了一个具有非平凡结构的中间态，其与多个 介子本征态的重叠增强。然后，我们用 和 演化这个态。模拟QPU收集的实时数据（上图）与用经典方法获得的精确结果显示出显著的一致性，偏差归因于模拟QPU数据中的实验噪声，参见补充材料IV。在图3(a)的下图中，我们展示了由此产生的谱，其与四个主要的 理论频率 显示出极好的一致性。

图3. 从 态到 (a) 具有纵向场且 、 和 的TFIC，以及 (b) 具有 、 和 的TFIL的淬火后动力学分析。上图显示模拟QPU（其中使用了移动平均来减少统计涨落）和经典模拟的 实时数据。左下角面板显示该数据的傅里叶变换，主峰对应于 和 对称性预言的介子质量的线性组合及其差值，由垂直虚线指示。右下角面板显示经典数据的傅里叶分析主频与拟合到QPU数据的拟合法频率之间的比较。

对于在TFIL几何结构中实现的 情形，基态 自然与几个介子模式重叠。因此，从该初始态进行单次淬火就足以激发宽范围的介子质量，无需准备演化阶段。因此，我们考虑从 到具有 和 的TFIL的单次淬火，见图3(b)。QPU磁化时间信号（上图）与精确结果一致，其表现出比 情形更丰富的行为。特别地，它表现出缓慢和快速的调制，导致 具有宽谱，主峰位于 附近（左下角面板）。次主峰的宽泛特性使得在设备退相干和残余哈密顿量错误校准存在时提取 频率更具挑战性[46]。后者导致 的多重傅里叶拟合的不确定性更大，如图3(b)的下图所示。尽管如此，拟合过程识别出的频率仍与底层 对称性的理论预言一致。已经建立了对模拟QPU噪声模型的详细理解[46]，从而能够在经典可处理的区域中定量预测器件在广泛物理现象下的输出；更多细节在补充材料IV中提供。

与经典模拟的一致性因此证实了模拟QPU捕捉到了与 和 对称性相关的关键谱特征。我们强调，两种模型中束缚态形成的物理机制是不同的。在TFIC中， 谱源于纵向场引起的真正扭结受限，而在伊辛梯子中，链间耦合产生了吸引的sine-Gordon区域，支持稳定的孤子及其束缚态。VI. 结论与展望

在本文中，我们借助处于模拟模式的中性原子QPU观测了临界伊辛模型的涌现对称性。我们首先利用原子寄存器的灵活性，探测了具有PBC的一维伊辛链和具有OBC的伊辛梯子的受限现象。特别地，我们观察到了这些模型中由受限引起的关联传播减慢。最后，通过光谱学，我们表明这些模型中的涌现 和 对称性可以从实时淬火动力学中提取出来。因此，我们的模拟QPU使我们能够探测一个捕捉 基本磁性物理的玩具模型的低能谱，并且我们观察到与中子散射测量的定性一致。

虽然本工作中在模拟QPU上模拟的所有动力学对于所考虑的系统尺寸和维度在经典上是可计算的，但处于模拟模式的中性原子QPU可以扩展到二维中的数百个原子。事实上，一些研究已经使用中性原子平台[47]以及超导比特[42]研究了二维系统中的受限物理。通过改进初始态制备，介子散射实验[23,26–28]将成为可能，并将允许更好地表征散射的弹性或非弹性性质。

最后，处于模拟模式的中性原子QPU可以随时用于探测希尔伯特空间碎裂[48]。后者已在二维中性原子平台中观测到[49,50]，而进入二维有望带来更丰富的现象学。已经确定，使用经典方法准确模拟接近临界的二维模型动力学在存储和计算成本上都是指数级困难的[51,52]。相比之下，模拟QPU自然地实现这些多体系统而没有这样的瓶颈，为研究二维中的量子临界性提供了一个新的窗口。