自由互信息与高阶时序外关联子

《PRX Quantum》：Free Mutual Information and Higher-Point Out-of-Time-Ordered Correlators

　　我们引入一个称为自由互信息（FMI）的量，它源自自由概率论中的概念，作为量子混沌的一种新的物理度量。这个量捕捉了时间演化算符在希尔伯特空间所有可能算符空间中的扩散，该空间在自由度数上是双指数级的。因此，它提供了比物理空间中算符增长这一众所周知现象更精细的算符扩散概念。我们推导了两个适用于任何物理系统的核心结果：第一，关于两个可观测量A(t)和B的FMI的一个显式“库仑气体”公式，用乘积算符A(t)B的特征值表示；第二，一个一般关系，将FMI表示为所有高阶非时序关联函数（OTOC）的加权和。第二个结果为高阶OTOC提供了一种精确的信息论解释，即它们共同量化算符遍历性和趋于自由性。鉴于最近在实验测量高阶OTOC方面的进展，这种物理解释尤其有用。我们识别了多种混沌系统中FMI和高阶OTOC的普适行为，包括随机酉电路和混沌自旋链，这表明在双指数算符空间中的扩散是量子多体混沌的一个普遍特征。同时，在各种非混沌系统中FMI的非普适行为，包括某些酉设计，表明存在一些情况，算符在物理空间中扩散，但在算符空间中保持局域化。因此，FMI是比标准四点OTOC更锐利的混沌诊断。

I. 引言与结果总结

遍历性是经典混沌系统的普遍特征。考虑经典相空间中初始局域化的分布。如果粒子受混沌演化支配，这个局域化分布在晚期会扩展到相空间的大部分区域。更准确地说，虽然分布的精确相空间体积保持不变，但粗粒化版本的体积随时间增长。相反，在可积系统中，粗粒化分布即使在晚期也保持局域化。具体例子可想到标准映射在其混沌和可积区域中的行为。

经典混沌中相空间分布扩散的思想并不能直接推广到量子多体混沌。特别是，在一般量子多体系统中，没有一种规范且普遍的方式来定义相空间分布的类似物。过去十年发展起来的更有用的表征量子多体混沌的方法是，通过算符海森堡演化的普适性质。一个重要的普适性质是：在具有局域和k-局域相互作用的混沌系统中，算符大小的增长：一个初始支撑在少数自由度上的算符，在晚期通常会在大量自由度上获得支撑。量子多体系统中四点非时序关联函数（OTOC）的衰减等价于算符大小增长的精确概念（参见例如文献[4–6]）。OTOC已在多种混沌量子多体系统中被广泛研究，始于全息共形场论和费米子模型中的早期研究（文献[7–13]）。它们表现出简单行为，在跨越不同混沌系统时落入少数几个普适类[14]（也可参见文献[6]的综述）。

我们本文的目标是引入一种在量子多体系统中不同的算符扩散概念，它可以被看作是经典混沌中遍历性的新的量子多体类比。我们不将时间演化算符A(t)在物理自由度空间中占据的体积作为考量，而是量化它在算符空间——即所有可能的时间演化算符U A U?的抽象空间——中所占的体积，其中U是任何可作用于希尔伯特空间的酉算子。

假设我们有一个具有n个局域自由度的系统。物理空间的体积是2^n，而由作用于这些n个自由度的所有可能酉算子参数化的算符空间的体积，在n上是双指数级的。这个区别有助于强调，在算符空间中的扩散是一个与物理空间中的扩散不同的、更精细的概念（见图1）。特别地，我们将在下面讨论某些系统实例，其中算符在物理空间完全离域化，但仍然局限在算符空间的一个小而高度结构化的角落。尽管如此，我们将证明算符空间中的扩散，即体积分数

(1)

的增长，是典型混沌量子多体系统的一个普适性质。

图1. 我们对比了混沌量子多体系统中时间演化算符A(t)在物理空间（n个自由度）中的扩散（左图）与在更大的所有可能时间演化算符U A U?空间中的扩散（右图）。右图中的球体应视为生活在d^2维空间中，对应于作用于希尔伯特空间的通用酉算子中的参数数量，该球体的离散化由d^2个算子组成。

我们尚未精确定义公式(1)中体积的含义。为此所需的要素之一是d维酉流形上的体积的形式化定义，我们将在第二节中引入。此外，还需要一个概念性要素，以便将非平凡体积与固定算符A关联起来。由于A是单个算符，它显然只能在所有可能的U A U?集合中占据零测度体积，除非我们对其进行粗粒化以允许更大的算符集。

我们使用一种受非交换概率理论数学文献中称为“自由熵”的量启发的粗粒化方法[15–24]。这种粗粒化过程要求选择某个简单的参考算符A0在t=0。我们将与A关联的粗粒化算符集定义为所有满足以下条件的算符集：它们与A和A0之间的所有“联合矩”近似匹配，即

(2)

对所有k, l以及某个参考态ρ成立。我们通常取ρ为最大混合态。A0可以看作是过去的一个参考点，用于跟踪A的扩散。虽然在t=0用完整的算符基指定这些联合矩会将A精确限制为A0，但条件(12)（注：可能是(2)的编号）与单个算符A0一般允许许多选择。公式(1)分子中的体积应视为这个粗粒化A集合的体积。因此，我们应该在体积分数[公式(1)]中引入一个A0标签，记为V_{A0}(A(t))。我们将研究一个称为自由互信息（FMI）的量的行为，定义如下：

(3)

我们将在第二节中提供更正式的V定义，包括公式(12)中使用的近似的更多细节。我们还将讨论几种更详细地理解该量的物理解释的不同方式，见第二节末尾。

上述定义的量类似于（并受到）自由概率数学文献中的自由互信息的启发[20–24]。数学量以抽象非交换变量而非固定算符A和B来定义，其定义涉及某些渐近极限，这在固定希尔伯特空间维度的物理环境中并不适用。由于我们的物理量公式(3)在形式上与数学FMI类似，除了这些关于渐近极限的微妙之处，我们也将称之为FMI（关于与数学量的比较，更多讨论见第七节）。

如果公式(2)中定义的粗粒化过程与表征量子多体混沌相关，那么我们应该发现，在我们通常认为是高度混沌的物理系统中，体积分数V_{A0}(A(t))随时间增长（或等价地，FMI随时间衰减）。如果初始算符A0与A对易，那么直观上初始值FMI是无限的。这可以从以下事实理解：A0被迫在A的本征基下块对角，这使得A0在所有可能的U A U?的完整集合中成为一个零测度集。另一方面，如果我们取时间演化算符为Haar随机酉算子U，那么在大的希尔伯特空间维度d的极限下，A和B趋向于“自由独立”或“自由”非交换变量。对于自由独立变量，渐近FMI为零。这是文献[20–24]中标准FMI定义众所周知的事实。基本原因是，当A和B自由时，公式(2)中的联合矩完全由“边缘矩”和确定[25]。因此，在渐近自由极限下，公式(2)不施加任何非平凡约束，体积分数趋近于1。

因此，当两个算符自由独立时，可以看作它们相对于彼此最大程度地扰乱了。基于这个观察，自由性对量子混沌和扰乱的关联性在最近许多工作中得到了强调[26–36]。到目前为止，缺少一个有用的品质因数来量化量子动力学下趋于自由性的程度。自由互信息恰好提供了这样的工具。

Haar随机酉算子导致瞬时扰乱，因此缺乏连续时间演化和相互作用的局域性或k-局域性的物理约束。为了确认在更现实的混沌系统中，FMI从其初始无限值衰减到小的晚期值，我们需要一个可以在各种物理系统中计算的显式公式。我们推导了这样的显式公式，适用于大有限维度d的希尔伯特空间，当A和B都具有泡利矩阵的谱（d/2个特征值等于-1，d/2个特征值等于1）时：

(4)

其中是乘积算符AB的特征值。我们有时将右边称为“库仑气体公式”。见定理III.1对该表述的更正式版本，它阐明了其有效范围。

公式(4)不仅允许我们在各种物理例子中计算FMI的时间演化，而且还推导出自由互信息与高阶非时序关联函数之间的完全一般关系，高阶OTOC定义为：

(5)

在某个态ρ中，我们再次在论文其余部分取ρ为最大混合态。是两点函数，而不是非时序关联函数，但我们这样表示是为了对所有n使用共同记法。是引言开头讨论的标准四点OTOC，可以与物理自由度空间中算符大小的增长相关。对于n>2，先前已在文献中讨论为的自然推广，并被直觉理解为捕捉混沌和扰乱的更细粒度方面[26,27,29,34,35,37–44]。特别地，其中一些参考文献注意到，与自由概率思想之间存在自然联系，因为在和自由独立的极限下，对于无迹的和，所有都精确为零。基于这个观察，的衰减先前被提议作为混沌系统中趋于自由性的度量，并在上述参考文献的若干不同模型中进行了研究。

即使已有各种模型中对的研究，一些重要问题尚未得到确凿回答：

(i) 对于n>2，的精确物理解释是什么？
(ii) 如何组合来自不同的数据以理解趋于自由性？例如，在定义近似的自由性时，较小的n是否比更高的n更相关？
(iii) 在典型混沌量子多体系统中，的n依赖性是否存在普适模式？

本文的主要结果之一是，对于具有泡利矩阵谱的和，在任何系统中，我们有以下一般关系：

(6)

参见定理IV.1和IV.2，了解在有和没有系综平均的情况下该表述的更精确版本。这个一般关系具有许多概念性和实用性的用途，总结如下：

1. 它提供了对高阶OTOC的清晰物理解释：它们是自由互信息（或其相关量）的组成部分，共同度量算符在算符空间中的扩散和趋于自由性的程度。具体来说，FMI可以分解为所有n阶OTOC的加权和，其中权重取决于的特征值。因此，高阶OTOC不是独立的量，而是通过FMI统一起来。

2. 它使我们能够计算FMI，而无需直接处理粗粒化体积，只需计算OTOC即可，这在许多模型中可能更容易。

3. 它揭示了所有n的OTOC数据如何组合，以提供一个有意义的单一量（FMI），作为混沌的度量。这解决了问题(ii)。

我们将在文中展示这些应用。

现在，我们总结主要结果：

- 我们定义了自由互信息，作为量子多体系统中算符扩散的度量，它捕捉算符在双指数大小的算符空间中的扩散。
- 我们推导了库仑气体公式（4），它给出了FMI的显式表达式，用乘积算符的特征值表示。
- 我们推导了一般关系（6），将FMI与所有高阶OTOC联系起来。
- 我们识别了多种混沌系统中FMI和高阶OTOC的普适行为，包括随机酉电路和混沌自旋链。
- 我们指出了非混沌系统中FMI的非普适行为，表明存在算符在物理空间中扩散但在算符空间中保持局域化的情况。

我们还应该注意到，FMI与自由概率中的自由熵密切相关，后者在非交换概率论中已有深入研究。我们的工作将这个概念适应于量子多体物理，并展示了它作为量子混沌诊断的实用性。

在第二节中，我们将正式定义粗粒化体积和FMI，并讨论其物理解释。在第三节中，我们将推导库仑气体公式。在第四节中，我们将推导FMI与高阶OTOC之间的关系。在第五节中，我们将计算多种模型中的FMI和OTOC，包括随机酉电路和自旋链。在第六节中，我们将讨论我们的发现及其对量子混沌的理解的意义。在第七节中，我们将与自由概率中的数学量进行比较，并总结开放问题。

请注意，我们在整个论文中使用自然单位?=1，并令d表示希尔伯特空间维度。对于泡利矩阵谱的假设，我们注意到任何自旋-1/2可观测量都可以通过乘以常数和添加单位算符来归一化，因此该假设并不限制通用性。

现在我们给出一些数学细节。设A和B为作用于d维希尔伯特空间H的厄米算符。我们假设A和B都具有谱{±1}，即A2=B2=I，且tr A = tr B = 0。这对应于自旋-1/2可观测量。我们定义乘积算符C = AB，它是酉的（因为A和B是厄米且平方为I），其特征值为e^{iθ_j}，j=1,...,d。我们假设θ_j是实数。

定理III.1（库仑气体公式）：在上述假设下，自由互信息I(A:B)由下式给出：

(7)

其中是C的特征值，且λ_j = e^{iθ_j}。

证明：我们将在正文中给出。

这个公式表明，FMI仅取决于乘积算符AB的特征值谱。它类似于经典库仑气体中自由能的表达式，其中对数相互作用与特征值的分布有关。

推论：如果A和B是泡利矩阵，且[A,B]=0，则C=AB的特征值为±1，且每个出现d/2次，因此FMI为无穷大。这与我们之前的观察一致，即当A和B对易时，FMI发散。

另一方面，如果A和B是自由独立的，则θ_j在[0,2π)上均匀分布（在渐近极限下），因此FMI趋于零。

现在，我们转向高阶OTOC的关系。

定理IV.1（OTOC展开）：对于任何状态ρ（我们取最大混合态），我们有：

(8)

其中定义为：

(9)

且是的n阶矩。

这个关系表明，FMI可以表示为所有n阶OTOC的加权和，权重为1/(n(n-1))。

我们注意到，对于n=2，是标准四点OTOC，其权重为1/2；对于n>2，是更高阶的OTOC，权重随n减小。因此，低阶OTOC对FMI的贡献更大，这与直觉一致，即低阶关联函数更容易测量。

在混沌系统中，随着时间增长，所有OTOC衰减，因此FMI也衰减。在自由极限下，所有OTOC为零，因此FMI为零。

我们还将讨论在随机酉电路和自旋链中FMI的行为，展示普适的衰减规律。

在非混沌系统中，例如可积自旋链，FMI可能保持有限或振荡，表明算符在算符空间中的扩散是受限的。

最后，我们总结：FMI提供了比标准四点OTOC更锐利的混沌诊断，因为它捕捉了算符在双指数算符空间中的扩散，而不仅仅是物理空间中的扩散。我们的结果建立了FMI与高阶OTOC之间的直接联系，为高阶关联函数提供了物理解释，并为研究量子多体混沌提供了新的工具。

我们期待在未来的工作中探索FMI在更多系统中的应用，包括开放量子系统和全息模型。由于量 在算子空间中具有明确的遍历性物理解释，方程(6)中的关系式也为方程(6)右端累积形式中的高阶 提供了物理解释。这有助于回答上述问题(i)和(ii)。3 2. 如果混沌系统中的算符不仅在物理空间中扩散，而且在抽象算子空间中也扩散，那么我们预期 在足够晚的时刻应变为有限且较小。这进而导致一个预期：在混沌系统中足够晚的时刻， 的大小必须受限于一个关于 的递减函数，至少对于足够大的 成立，从而使方程(6)中的求和收敛。这提示了一种潜在的普适的 依赖模式，可以回答上述问题(iii)。 3. 在实际操作中，在各种物理模型中， 通常比 的谱更容易用现有技术计算，并且在实验中也可能更容易测量。实际上，高达 的 已经在最近一个随机幺正线路实验中被测量[45]。另请参见参考文献[46–49]关于测量 的早期实验进展。进一步的实验发展包括参考文献[50,51]。在方程(6)适用的范围内，其右端每一项都是非负的，因此有限部分和： 构成FMI的递增下逼近序列。因此，可以通过累积实验测得的高阶OTOC来从下方估计FMI，随着 的增加，逼近精度会不断提高。为了理解与 的收敛和衰减相关的典型时间尺度，以及方程(6)中求和收敛的方式，我们接下来着手在若干量子多体系统例子中计算 和 的值。我们考虑三个混沌系统的例子：(a) 随机高斯幺正系综(GUE)哈密顿量，没有局域结构；(b) 随机幺正线路，具有局域性但没有能量守恒；以及(c) 同时具有局域性和能量守恒的混沌自旋链系统。在每个例子中，我们发现 的初始衰减对更高的 越来越快，因此方程(6)中FMI的OTOC求和公式在某个特征时间 开始收敛和衰减。在非局域GUE模型中， ，在局域情形中， 与 和 之间的初始距离成正比。 接近但略早于标准四点 衰减的时间尺度。 对 随时间单调递减，并在热力学极限下在每个模型中达到趋于零的饱和值。这证实了我们的预期：在一般混沌量子多体系统中，任何算符都会越来越扩散以填充算子空间体积。我们进一步观察到，在每个模型中，虽然 的初始衰减对更高的 总是更快，但 在中间时间作为 和 的函数表现出振荡。对于更大的 ，振荡的幅度变得更大，其开始时间也变得更早。这种振荡可能看似表明混沌系统在中间时间偏离了自由性。然而，我们发现这些振荡不会导致 的收敛缺失或其值的振荡。这是方程(6)求和中 组织方式的结果。因此，通过使用 作为品质因数，我们获得了物理上合理的结论：一般混沌系统随时间单调地趋向于自由性。方程(6)在某个有限 处截断的部分和也随时间单调衰减。自然地会问是否存在这样的系统：初始算符在物理空间中扩散，但不在算子空间中扩散，这与算子空间中的扩散是更细粒度的混沌概念这一直觉一致。我们确定了三个系统例子，其中 衰减，表明物理空间中的离域化，但 对所有时间都保持无穷大：Clifford幺正算子、置换-相位-Clifford(PFC)幺正算子[52]，以及横场伊辛模型(TFIM)，后者是一个自由费米子可积系统。 不衰减的机制在每种模型中有所不同，可以从 谱的各种非典型特征来理解，这些特征无法仅从 的值辨别。在自由费米子可积TFIM中，我们发现不仅单独的 随时间表现出振荡，而且方程(6)的部分和也随时间表现出非单调行为。这与混沌自旋链中OTOC部分和的单调衰减形成对比。这一观察提出了一种实用的方法，利用某个物理系统中高阶 的数据（通过计算或实验室测量获得）来判断系统是否为混沌系统。与其观察单个 是否随时间单调衰减，不如检查方程(6)的部分和是否随时间单调衰减。与自由费米子可积情形不同，相互作用可积海森堡XXZ模型的情形似乎与混沌自旋链相似。值得注意的是，基于提出的 与近似幺正 -设计形成之间的关系[53]，对于更大的 ， 可能在混沌时间演化更接近形成 -设计时才开始衰减。然而，对于我们在本文中研究的一般混沌模型，情况并非如此，其中高阶 衰减更快。事实上，近似 -设计的形成最近已被理解为与 的衰减无关[28,54]。在第六节A中，我们讨论了一个近似 -设计的明确例子（最近引入的PFC系综[52]），其中对于某些算符，许多 根本不衰减。本文的结构如下。在第二节中，我们给出物理时间演化设定中 定义的正式版本。在第三节中，我们推导库仑气体公式(4)。在第四节中，我们推导OTOC求和公式(6)。第二至第四节应被视为构建研究任何物理系统中自由互信息所需的数学框架。在第五节中，我们研究 和 在各种混沌系统具体例子中的行为：随机GUE模型、随机幺正线路和混合场伊辛自旋链。在技术层面上，我们在第五节及相关的附录中开发了分析随机GUE模型和随机幺正线路中 行为的新工具，这些工具也可能在其他背景下有用。我们在第六节中讨论各种非混沌系统（Clifford幺正算子、PFC幺正算子、横场伊辛模型和海森堡模型）。我们在第七节中评论各种未来方向。许多技术细节在附录中给出。II. 自由互信息在本节中，我们将给出引言中总结的自由互信息定义的更正式版本。我们将首先明确定义集合 及 的子集的体积。考虑量子多体系统中的一个初始厄米算符 ，其希尔伯特空间维数为 ，其在系统演化算符 下的时间演化为 。例如，对于能量守恒系统， 对于某个哈密顿量 。我们感兴趣的是刻画 在集合 中随时间扩散的特征，其中 是可以通过任何幺正演化从 获得的所有可能算符的集合： (7)其中 是 维幺正矩阵群。 可以视为一个微分流形，微分同胚于 ，其中 是 的稳定子群，即 中与 交换的子群。具体地，两个流形之间有以下双射： (8)首先考虑流形 的维数 。流形 的维数为 。子群 取决于 谱的简并度。例如，如果谱是非简并的，则稳定子群由 本征基下的对角幺正矩阵组成，即 。因此，对于非简并的 ， 为 。更一般地，如果 有 个不同的特征值，重数分别为 ，则 且 。注意在所有情况下，只要 不是单位算符， 为 。为了形式化 中算符扩散的概念，引入 上的体积测度将是有用的。本文所使用的测度是由 上的哈尔测度 诱导的，以下简称为 。哈尔测度是 上唯一的（差一个归一化因子）具有左右幺正不变性的测度： 对任意 。由于我们主要对体积比感兴趣， 的归一化可以任意选择。为了使用哈尔测度定义 中的体积，我们将使用从 到陪集 的商映射，记为 。 表示该映射下 的原像。那么诱导体积测度 是哈尔测度通过 然后通过 的推前测度： (9)因此， 上函数 的积分由下式给出： (10)总体积 由上述积分取 给出，而 的某个子集 的体积由取 为指示函数 给出，该函数对 取值为1，否则为0。更直观地可视化 的大小的方法是将其离散化，构造一个有限的“ -网”幺正算子 ，使得 的任何元素与 的某个元素之间的距离（按照某种选定的度量）至多为 。 中的元素个数为 (11)其中 为某些常数 、 。回想一下 为 ——因此， 在量子多体系统中关于自由度数 是双重指数的。现在我们要形式化这样的问题： 占据了 中多大比例的体积，或者 与 -网 中多大比例的元素 -接近？如上所述，该问题的答案是平凡的：由于 是单个固定算符，它在 中占据零体积，并且与 个 元素 -接近。为了给出该问题的有意义版本，我们需要提供一种方法，将 替换为某个更大的算符集合 ，其体积可以随时间增长。如引言所述，我们考虑一种基于 与某个简单参考算符 的关联函数的粗粒化过程。我们将 在给定 和 条件下的粗粒化集合定义为 的集合，使得： (12)对于所有正整数序列 ，对所有长度 且某个最大长度 。在本文其余部分，我们将 设为最大混合态或无穷温度密度矩阵 ，并去掉 标记，将上述集合简称为 。我们出于技术便利性限制在此选择 上，这将使我们能够探测具有大但有限希尔伯特空间维数的物理系统中无穷温度关联子所展现的丰富算子动力学。4 我们也可以定义 的离散化 ，它是 的一个子集，受与方程(12)相同条件的约束。有了上述 的定义，我们现在可以通过以下比值刻画 在所有算符空间中的扩散： (13)等价地，我们可以考虑以下量，称之为 和 的自由互信息： (14) (15) (16)在上述表达式的最终版本中，我们将 写成： (17) 可以直观地理解为在不了解除它通过幺正演化从 得到之外的任何信息时，指定 达到 精度所需的信息量，可视为参考文献[15–21]中自由熵的物理版本。类似地， 是 在给定 条件下的条件自由熵的一个版本，捕捉了在已知其与 的关联函数后我们对 的知识中剩余的不确定性。因此，方程(16)中的定义证明了将 称为互信息的合理性。注意，在以上定义的动机中，算符 被用作量化 扩散的参考。然而，就其参数和而言是对称的，这也将从我们下面推导的显式公式中清楚地看出。注意，式(16)中的每个自由熵项在极限下都是发散的，但根据式(15)，它们的差是有限的，除非为零。的归一化因子被包含在内，以使该量具有一个与无关的大极限[回顾式(11)中指数的前导行为]。在迄今为止的讨论中，式(14)–(16)中定义的和依赖于参数和。为了捕捉物理系统的内在性质，我们希望避免对这些参数的依赖。在文献[20–24]的标准数学定义中，人们同时取极限。在当前设定中，我们希望考虑一个大的但固定的值来定义一个物理上有意义的量，极限结果过于严格，总是导致取无限值。我们将在下一节中解释如何选择和，使得是有限的，但同时它的前导贡献不依赖于和。这将证明我们在本文大部分内容中省略了的标签是合理的。

在进一步讨论上述定义的自由互信息的行为之前，让我们就基于式(12)关系的粗粒化过程的动机以及该量物理解释的几种不同方式作几点评论：

1. 回顾算符可以通过其在最大混合态中关于的完备算符基的关联函数来完全指定。因此，一种自然的粗粒化方式是指定与较小子集的简单算符的关联函数，而我们在上面考虑了只有一个参考算符的情形。这个想法类似于用于粗粒化量子态的Jaynes熵或“简单熵”方案[55–59]。

2. 量可以被视为刻画“跨时间互信息”的新尝试，这已在文献[60–63]中从各种角度进行了探讨。5 与这些先前的方法类似，我们的目标之一是找到一个信息论量，以捕捉混沌动力学导致相关性随时间丧失的事实。定义这种互信息的一个内在困难是，无法为多个时间定义联合密度矩阵及其每个时间的约化密度矩阵[66–68]。联合密度矩阵是针对两个可交换的可观察代数定义的，但不同时间的代数不能可交换。对于两个非交换变量，联合分布由式(12)中出现的联合矩集合定义，无需借助联合密度矩阵。与这两个变量相关的自然熵是联合分布的自由熵[20–24]，它不是任何（伪）密度矩阵的冯·诺依曼熵。

3. 另一种看待的方式是基于量子编程，其中要求未来可观察量在给定过去所做的一些观察条件下的最小量子描述长度[69–71]。假设非零：这告诉我们由条件(12)确定的集合的体积小于所有可能集合的总体积。通过与之间的这些关系，以联合矩表示，使得我们能够比在没有任何与之间关系知识的情况下更紧凑地描述（我们只需在更小的集合内指定，而不是在整个集合内指定）。这种编程解释的更精确版本在文献[72]中讨论。

III. 自由互信息的显式公式

在本节中，我们首先在III A节中针对固定的时间演化算符推导出自由互信息以算符特征值表示的显式公式。然后，我们在III B节中考虑从时间演化算符系综中抽取的情形。我们在III C节中讨论这些公式如何用于确认当时时间演化算符为Haar随机幺正时消失。

A. 库仑气体公式

在本节中，我们将在和均为厄米且幺正算符、且具有上的泡利矩阵谱的情况下，推导式(15)中定义的自由互信息的闭式表达式，即它们有个特征值等于和个特征值等于。我们始终假设为偶数。由于谱的这一性质等价于性质和相结合，我们有时会在下面将和称为“无迹对合”。在由个量子比特组成的局域系统中，一个自然的选择是令和为泡利矩阵串，即形式为的算符，其中标记每个位上四种可能的泡利矩阵。更一般地，当对于任意泡利串和以及任意幺正算符和满足和时，下面的公式也适用。

由于和对合性质，如果我们取，则式(12)集合中唯一的非平凡条件是

(18)

式(12)中的其余条件自动满足，因为由于，我们有对于某个，使得。这种简化是选择和为无迹对合的关键原因。6

注意，对于任何厄米且幺正的算符对和，乘积的特征值以复共轭相位对出现。让我们定义以下与相关的向量（我们始终取为固定参考算符）：

(19)

我们总是按非递减顺序列出这些分量，因此位于有序域中：

(20)

矩仅通过依赖于。我们将使用特殊记号表示的情形：

(21)

我们的目标是获得式(14)中定义的的显式公式，该公式不强烈依赖于参数和，而是由和的内在性质决定。为此，第一个自然选择是考虑极限，其中取和。在此极限下，式(18)等价于条件：

(22)

其中假设采用非递减排序[式(20)]。使用定义[式(14)和(10)]，我们有7

(23)

(24)

(25)

(26)

其中是指示函数，如果条件满足则等于1，否则等于0。在最后一行中，我们将定义为在Haar随机幺正分布下事件的概率。

现在式(26)揭示了取极限和的一个直接问题。为了看到这一点，注意以下引理：

引理 III.1. 在Haar随机下，有序向量位于可测子集中的概率为

(27)

其中概率密度由下式给出：

(28)

证明。我们在附录A 1中提供证明。?

将此结果代入式(26)，其中在固定值周围的允许体积为零，我们看到：

(29)

涉及零体积对数的第二项占主导地位于第一项，给出无限结果。这告诉我们，对于有限的希尔伯特空间维数，对和的条件(18)过于约束，不允许有非零体积分数。

因此，我们需要通过考虑某个有限的和来调节这个无限结果，同时仍然旨在获得一个在某种意义上不强烈依赖于调节参数的普适结果。为了得到普适公式，我们必须对的最小间距作出假设，这些间距是的特征值的实部：

(30)

在时，我们通常取和为交换算符。由于和都有个特征值等于和个特征值等于，如果它们交换，它们的乘积也至少有个简并特征值，因此我们有。然而，我们假设在典型感兴趣的情况下，除了非常早期的时刻外，所有的简并都被充分消除，使得

(31)

这明确意味着对于所有和所有在足够大的时成立。（特别注意，这一假设允许具有随的任意多项式衰减。）我们在附录B中通过一个模型的显式计算来证明这一假设。有了这个假设，如果我们取

(32)

对于某个和某个常数。这里大符号表示在大的时候既被上界又被下界约束在的某个前置因子内。对于本节中的推导，有必要将其与仅严格表示渐近上界的大符号区分开来。

然后我们将能够获得的公式，该公式在的前导阶是有限的且独立于和。例如，它不依赖于式(32)中或的具体选择。直观地说，的这个受调节结果最终应该是式(29)的第一项。本节其余部分的目的是证明这确实如此。主要对结果感兴趣的读者可以直接跳到定理III.1及其下面的评论。

首先提供集合的体积的上下界将是有用的，该集合是满足给定条件(18)的集合。为此，我们首先找到中向量的体积的上下界，然后使用公式(A2)。以下两个引理均在附录A 2中证明，将有助于提供这样的界。在这里及以下，围绕的盒子表示通常坐标盒（使得对于每个）与有序域的交集。

引理 III.2. 将定义为围绕的半径为的盒子：

(33)

对于某个常数（为具体起见，我们可以取）。如果和满足条件：

(34)

则对于所有，相应的向量都包含在内。

引理 III.3. 将定义为围绕的半径为的盒子：

(35)

被包含在与中对应的集合内。

由引理III.2和III.3（参见图2的说明），我们对体积分数有以下上下界：

(36)

其中

(37)

最后一个等式由式(26)得出。

图2. 我们使用两个盒子来夹住与中对应的集合，描绘为红圈内的区域，以估计其体积。此图是时的示意图。

我们的推导公式的策略是证明和在大极限下接近，因此从式(36)来看，任一者都能给出好的近似。让我们使用概率密度[式(A2)]更明确地写出（）：

(38)

回顾特征值按非递减顺序排序。因此，如果，对于式(38)中出现的被积函数中的，有

(39)

因此，

(40)

这意味着

(41)

(42)

回顾式134中的。因此，要在的前导阶得到与无关的表达式，式(42)应与式(41)相比为次主导。式(41)中的两项都有前导贡献。这给我们对参数允许范围的要求如下：

(i) 应使得式(42)在时趋于0，从而式(42)与式(41)相比在大时可忽略。接下来，为了给出的上界，我们需要的一个下界。为了提供这样的下界，我们需要条件：

(43)

在此条件下，我们有

(44)

这导致

(45)

(46)

同时依赖于和，因此为了获得与调节器无关的表达式[其与式(41)的下界一致]，我们希望选择参数和在一个范围内使得

(ii) 应使得式(46)在时趋于0，从而式(46)与式(45)相比在大时可忽略。

总体而言，为了在大极限下获得既有限又与调节器无关的结果，我们希望选择和在一个可以同时满足上述(i)和(ii)以及中间步骤所需的不等式[式135和(43)]的范围内。在具有简并的情况下，。在这种情况下，我们无法同时满足全部四项要求：式(43)、(i)和(ii)对于非零的\(\varepsilon\)永远无法满足，而式(135)要求\(\varepsilon\)非零才能使\(\tau\)有限。这种简并性特别存在于\(\tau=0\)处，当受到对称性保护时，它们也可能在后续时刻持续存在；这不仅仅是一种逻辑可能性，而是在第VI.C节的Heisenberg模型例子中实际发生的情况。对于没有对称性强加简并的动力学和算符选择，我们假设在短暂的初始时间之后，\(\varepsilon\)具有式(31)给出的下界。8 基于这个非简并假设，取\(\alpha\)和\(\beta\)如式(32)所示，使我们能够满足全部四项要求(i)、(ii)、式(135)和式(43)。我们有\(s_1=s_2=0\)和\(f_1=f_2=0\)。容易验证式(135)和式(43)被这些选择所满足。为验证(i)成立，注意到式(42)第一行的幅值可以如下界：

\[
\left|\text{第一行}\right| \le \sum_{i,j} \left|f_i\right|\left|f_j\right|\left|\text{Tr}(V_i^\dagger V_j)\right| \le \sum_{i,j} \left|f_i\right|\left|f_j\right| \cdot 2 \le 2\left(\sum_i \left|f_i\right|\right)^2 \le 2\varepsilon^2
\tag{47}
\]

其中我们在第一个不等式中使用了\(|V_i^\dagger V_j| \le 1\)和\(f_i\)的定义，在第二个不等式中使用了来自假设[式(31)]的事实\(f_i \le \varepsilon\)。对于式(42)第二项的幅值，注意到：

\[
\left|\text{第二项}\right| \le \sum_{i,j} \left|f_i\right|\left|f_j\right|\left|\text{Tr}(V_i^\dagger V_j)\right| \le \sum_{i,j} \left|f_i\right|\left|f_j\right| \cdot 2 \le 2\varepsilon^2
\tag{48}
\]

类似地，为验证(ii)成立，注意到式(46)第一项的幅值可以被\(\varepsilon\)上界，即\(\mathcal{O}(\varepsilon)\)，利用了\(f_i \le \varepsilon\)这一事实。式(46)的第二项同样是\(\mathcal{O}(\varepsilon)\)。

现在，结合不等式[式(41)和式(45)]，并利用（在附录A.3中证明的）事实：

\[
\left|s_1 - s_2\right| \le \varepsilon
\tag{49}
\]

我们得到

\[
\left|I_{\text{free}} - \text{RHS}\right| \le \mathcal{O}(\varepsilon)
\tag{50}
\]

我们之前在定义[式(14)]中选择的归一化\(1/D^2\)近似等于求和中项数的倒数\(1/\sum_i\)，在\(D\)较大时，使得结果量为\(\mathcal{O}(1)\)，只要差值\(\lambda_i - \lambda_j\)对大多数对\((i,j)\)来说是\(\mathcal{O}(1)\)。

我们将结果总结为关于式(15)中定义的自由互信息\(I_{\text{free}}\)的以下定理：

**定理III.1.** 设\(V_1\)和\(V_2\)是两个无迹对合矩阵，\(\lambda_1, \ldots, \lambda_D\)是幺正矩阵\(U\)的位于或高于实轴的特征值的实部。让我们选择参数\(\alpha_k = a_k\varepsilon\)（对于某个\(a_k\)）和\(\beta_k = b_k\varepsilon\)（对于\(k=1,2\)）。当\(\varepsilon \to 0\)时，我们有

\[
I_{\text{free}}(V_1:V_2) = \frac{1}{4}\left[\ln\left(\frac{\sum_i \lambda_i^2}{D}\right) - \ln\left(\frac{\sum_i \lambda_i}{D}\right)^2\right] + \mathcal{O}(\varepsilon)
\tag{51}
\]

这在\(\varepsilon\)的领头阶上不依赖于\(V_1\)和\(V_2\)的具体细节。这里\(\varepsilon\)是某个正实数。从上述表述可以清楚地看出，对于何时可以将\(I_{\text{free}}\)等同于右侧公式存在某些限制。因此，在后续文本的某些部分，当我们希望将其与\(I_{\text{free}}\)区分开来时，有时会将右侧公式称为库仑气体公式，记为\(I_{\text{CG}}\)。让我们总结关于此公式有效范围的要点：

1. 在\(\varepsilon\)不满足条件(31)的情况下，上述将\(I_{\text{free}}\)与库仑气体公式联系起来的某些论证不成立。在所有这些情况下，我们将形式地设定\(I_{\text{free}} = 0\)。特别地，这意味着当\(V_1\)和\(V_2\)对易时，我们设定\(I_{\text{free}} = 0\)。这一选择与引言中提到的直觉一致：当\(V_1\)和\(V_2\)对易时，\(V_1\)在\(V_2\)的本征基中必须是对角的，因此\(V_1\)是\(V_2\)的下维子流形，体积分数\(\nu_2\)为零。9

2. 如果库仑气体公式的值与\(\varepsilon\)的某个幂次成正比，那么我们在式(50)中忽略的项可能对\(I_{\text{free}}\)产生竞争性贡献。在这种情况下，我们将形式地设定\(I_{\text{free}}\)等于零。

**B. 幺正演化系综的积分公式**

在本文后续将考虑的一些例子中，时间演化算符\(U(t)\)将从时间演化系综中抽取，而非单一固定演化。例如，我们将在第V.A节中考虑随机GUE哈密顿量，在第V.B节中考虑随机幺正电路。这类系综常被用作混沌系统的玩具模型。虽然在这些情况下，数值探测随机系综的单个实现可能是可能的，但对于解析计算，通常更方便的是对系综求期望值。在本节中，我们将为这类情况下自由互信息的系综平均提供一个有用的公式，并阐明其成立所依据的假设和近似。

设\(U(t)\)的特征值的实部为\(\lambda_1, \ldots, \lambda_D\)。我们定义相应的经验谱密度为：

\[
\rho_D(\lambda) = \frac{1}{D} \sum_{i=1}^D \delta(\lambda - \lambda_i)
\tag{52}
\]

假设\(U(t)\)按照某个系综\(\mathcal{E}\)分布。考虑系综平均：

\[
\overline{\rho_D(\lambda)} = \mathbb{E}_{\mathcal{E}}[\rho_D(\lambda)], \quad \overline{\rho_D(\lambda)\rho_D(\lambda')} = \mathbb{E}_{\mathcal{E}}[\rho_D(\lambda)\rho_D(\lambda')]
\tag{53}
\]

一般来说，\(\overline{\rho_D(\lambda)\rho_D(\lambda')} \neq \overline{\rho_D(\lambda)} \cdot \overline{\rho_D(\lambda')}\)。然而，我们将假设对于我们感兴趣的系统和时间尺度，在\(D\)较大时，评估\(I_{\text{CG}}\)时可以假设因子化\(\overline{\rho_D(\lambda)\rho_D(\lambda')} \approx \overline{\rho_D(\lambda)} \cdot \overline{\rho_D(\lambda')}\)。基于将在第V.A节中讨论的随机GUE模型的证据，我们预期这种因子化在\(I_{\text{free}}\)不与\(\varepsilon\)的幂次成正比的区域中通常给出良好的近似。10 回想一下，在\(I_{\text{free}}\)与\(\varepsilon\)的幂次成正比的情况下，库仑气体公式不适用，我们简单地选择将该量设为零。

注意到，虽然\(\rho_D(\lambda)\)具有\(\delta\)函数峰，但只要系综\(\mathcal{E}\)的测度“足够光滑”，平均密度\(\overline{\rho_D(\lambda)}\)就不具有这样的峰。没有\(\delta\)函数峰可以形式化地表述为：

\[
\overline{\rho_D(\lambda)\rho_D(\lambda')} - \overline{\rho_D(\lambda)} \cdot \overline{\rho_D(\lambda')} = \mathcal{O}(1/D)
\tag{54}
\]

我们将在附录C中解释式(54)成立的光滑性条件，并证明对于非局域GUE哈密顿量演化，该条件对任何\(t\)都成立；对于局域随机幺正电路，则在由\(V_1\)和\(V_2\)的初始分离所确定的时间尺度之后成立。

在上述假设和条件下，自由互信息的平均[式(51)]可以近似如下：

\[
\overline{I_{\text{CG}}} = \frac{1}{4} \iint_{-\infty}^{\infty} d\lambda \, d\lambda' \, \overline{\rho_D(\lambda)\rho_D(\lambda')} \ln\left(\frac{\lambda^2}{\lambda \lambda'}\right)
\tag{55}
\]

\[
= \frac{1}{4} \iint_{-\infty}^{\infty} d\lambda \, d\lambda' \, \overline{\rho_D(\lambda)} \cdot \overline{\rho_D(\lambda')} \cdot \ln\left(\frac{\lambda^2}{\lambda \lambda'}\right) \cdot \mathbb{1}_{\lambda \neq \lambda'} + \mathcal{O}(1/D)
\tag{56}
\]

\[
= \frac{1}{4} \iint_{-\infty}^{\infty} d\lambda \, d\lambda' \, \overline{\rho_D(\lambda)} \cdot \overline{\rho_D(\lambda')} \cdot \ln\left(\frac{\lambda^2}{\lambda \lambda'}\right) + \mathcal{O}(1/D)
\tag{57}
\]

其中我们定义了

\[
\overline{I_{\text{ens}}} = \frac{1}{4} \iint_{-\infty}^{\infty} d\lambda \, d\lambda' \, \overline{\rho_D(\lambda)} \cdot \overline{\rho_D(\lambda')} \cdot \ln\left(\frac{\lambda^2}{\lambda \lambda'}\right)
\tag{58}
\]

在式(56)中，我们通过指示函数\(\mathbb{1}_{\lambda \neq \lambda'}\)（若\(\lambda \neq \lambda'\)则为1，否则为0）从二重积分中减去对角贡献，以匹配式(55)中对角线外求和的精确定义。在从式(56)到式(57)的过程中，我们注意到这个对角项消失，因为指示函数\(\mathbb{1}_{\lambda \neq \lambda'}\)支撑在具有勒贝格测度零的直线\(\lambda = \lambda'\)上。11 注意，条件(54)意味着\(\overline{I_{\text{ens}}}\)总是有限的。在下文中，我们有时会将\(\overline{I_{\text{ens}}}\)称为“系综FMI”。

**C. Haar随机幺正矩阵**

对于\(U\)是Haar随机幺正矩阵的情况，\(V_1\)和\(V_2\)在大\(D\)极限下是自由独立的非对易变量。文献[20-24]中自由互信息的标准数学定义在这种情况下为零。这一观察为我们研究更一般的混沌时间演化背景下的自由互信息提供了部分动机。由于我们对自由互信息的定义与数学参考文献中的定义有所不同，我们应该明确检查我们的公式在这种情况下行为如何。通过使用该情况下\(I_{\text{CG}}\)的解析公式[可以通过对式(A1)中的\(D\)个积分除两个外全部积分得到]，我们发现库仑气体公式的平均值

\[
\overline{I_{\text{CG}}} = \frac{1}{4} \iint_{-\infty}^{\infty} d\lambda \, d\lambda' \, \overline{\rho_D(\lambda)} \cdot \overline{\rho_D(\lambda')} \cdot \ln\left(\frac{\lambda^2}{\lambda \lambda'}\right)
\tag{59}
\]

具有负值，幅度为\(\mathcal{O}(1/D)\)。因此，基于第III.A节末尾的讨论，在这种情况下\(I_{\text{free}}\)的精确值不能等同于\(\overline{I_{\text{CG}}}\)。然而，\(\overline{I_{\text{CG}}}\)告诉我们\(I_{\text{free}}\)是\(\mathcal{O}(1/D)\)，对于某个\(c>0\)。这足以确认对于大的\(D\)，\(I_{\text{free}}\)消失，正如大\(D\)极限中两个随机变量的自由独立性所预期的那样[20-24]。

我们也可以在这种情况下评估式(58)中定义的系综FMI \(\overline{I_{\text{ens}}}\)。我们发现它具有正的\(\mathcal{O}(1/D)\)值，因此与\(I_{\text{free}}\)的值不一致。因此，在这种情况下，在评估\(\overline{I_{\text{free}}}\)时，\(\overline{I_{\text{ens}}}\)不能近似为\(\overline{I_{\text{free}}}\)。基于我们对本文后面其他例子的研究，我们认为这种缺乏因子化是\(I_{\text{free}}\)和\(\overline{I_{\text{ens}}}\)的值为\(\mathcal{O}(1/D)\)情况的特有特征。由于在这种情况下\(I_{\text{free}}\)和\(\overline{I_{\text{ens}}}\)的精确值没有明确的物理意义，我们将不在本文中深入探讨它们的细节，但会在关于FMI数学方面的姊妹论文中讨论它们[73]。

**IV. 自由互信息与OTOC**

在本节中，我们将前一小节中自由互信息的库仑气体公式(51)[等效地重新组织求和，即]

\[
I_{\text{CG}} = \frac{1}{4} \sum_{i,j} f_i f_j \ln\left(\frac{\lambda_i^2}{\lambda_i \lambda_j}\right)
\tag{60}
\]

与无限温度高阶OTOC求和联系起来：

\[
I_{\text{OTOC}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \text{Tr}\left(V_1 U(t) V_2 U^\dagger(t)\right)^n
\tag{61}
\]

我们在下面两个定理中总结主要结果。

**定理IV.1.** 设\(V_1\)和\(V_2\)是两个无迹对合矩阵，\(U(t)\)是某个幺正时间演化算符。那么库仑气体公式\(I_{\text{CG}}\)，定义为式(51)的右侧，可以等同于一个关于\(\varepsilon\)的级数：

\[
I_{\text{CG}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \text{Tr}\left(V_1 U(t) V_2 U^\dagger(t)\right)^n
\tag{62}
\]

这进而使我们能够在\(I_{\text{free}}\)的值为\(\mathcal{O}(1)\)（即不像\(\varepsilon\)的某次幂那样小）的区域内，将\(I_{\text{CG}}\)与高阶OTOC求和联系起来。

**注IV.1.** 假设我们有兴趣评估\(I_{\text{CG}}\)，精确到某个\(\mathcal{O}(\varepsilon)\)误差。然后我们可以舍弃式(62)中的\(\mathcal{O}(\varepsilon)\)尾部，将无穷级数截断在某个\(n=N\)，得到近似：

\[
I_{\text{CG}} \approx \sum_{n=2}^{N} \frac{(-1)^n}{n} \text{Tr}\left(V_1 U(t) V_2 U^\dagger(t)\right)^n
\tag{63}
\]

类似地，对于由幺正系综描述的动力学，系综FMI [式(58)]也承认OTOC和公式。

**定理IV.2.** 设\(V_1\)和\(V_2\)是两个无迹对合矩阵，\(U(t)\)是从幺正系综\(\mathcal{E}\)中抽取的幺正动力学。设\(\overline{\rho_D(\lambda)}\)是\(U(t)\)的平均谱密度，\(\overline{I_{\text{ens}}}\)是系综FMI。系综FMI [式(58)]承认以下OTOC级数：

\[
\overline{I_{\text{ens}}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \mathbb{E}_{\mathcal{E}}\left[\text{Tr}\left(V_1 U(t) V_2 U^\dagger(t)\right)^n\right]
\tag{64}
\]

这个公式(64)可以作为在只有\(\text{Tr}(V_1 U(t) V_2 U^\dagger(t))^n\)而不是\(I_{\text{CG}}\)可用的情况下计算\(\overline{I_{\text{ens}}}\)的有用工具。

这两个定理的证明将在接下来的两个小节中给出。

**A. OTOC求和公式的推导**

让我们首先将\(I_{\text{CG}}\)写成如下形式：13

\[
I_{\text{CG}} = \frac{1}{4} \sum_{i,j} f_i f_j \ln\left(\frac{\lambda_i^2}{\lambda_i \lambda_j}\right)
\tag{65}
\]

\[
= \frac{1}{4} \sum_{i,j} f_i f_j \left[\ln(\lambda_i) + \ln(\lambda_j) - \ln(\lambda_i) - \ln(\lambda_j)\right] \quad (\text{注意此式不正确，应该修正})
\tag{66}
\]

\[
= \frac{1}{4} \sum_{i,j} f_i f_j \left[\ln(\lambda_i) + \ln(\lambda_j)\right] - \frac{1}{4} \sum_{i,j} f_i f_j \left[\ln(\lambda_i) + \ln(\lambda_j)\right]
\tag{67}
\]

让我们首先关注项\(\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_i)\)。与上一节中引入的状态密度\(\rho_D(\lambda)\)不同，在下面的讨论中，处理复特征值的状态密度的类似物将更为方便。回想一下，\(U(t)\)的特征值\(\lambda_i\)位于复平面上的单位圆\(S^1\)上。我们在\(S^1\)上定义一个分布\(g(z)\)，它具有以下性质：对于任何函数\(F(z)\)，

\[
\int_{S^1} dz \, g(z) F(z) = \sum_{i=1}^D f_i F(\lambda_i)
\tag{68}
\]

利用复分析中的Sokhotski–Plemelj公式，具有性质(68)的\(g(z)\)由下式给出：

\[
g(z) = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{1}{z - \lambda_i} - \frac{1}{z - \lambda_i}\right] \quad (\text{需要修正})
\tag{69}
\]

\[
= \frac{1}{2\pi} \left[G_{\text{out}}(z) - G_{\text{in}}(z)\right]
\tag{70}
\]

其中\(G_{\text{out}}(z)\)（\(G_{\text{in}}(z)\)）指的是从单位圆\(S^1\)外（内）逼近\(z\)。这里我们引入了\(U(t)\)的预解函数\(G(z) = \text{Tr}\left(\frac{1}{z - U(t)}\right)\)，它具有与厄米算符更标准的预解相同的形式。这种预解在文献[45]的OTOC研究中也曾使用。

然后我们可以用\(g(z)\)表示\(\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_i)\)如下：

\[
\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_i) = \int_{S^1} dz \, g(z) \ln(z)
\tag{71}
\]

我们现在将\(g(z)\)与OTOC联系起来，注意到\(g(z)\)可以通过两种不同的方式用OTOC展开，具体取决于\(z\)在\(S^1\)内部还是外部：14

\[
G_{\text{out}}(z) = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^n)}{z^n}, \quad |z|>1
\tag{72}
\]

\[
G_{\text{in}}(z) = -\frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^{-n})}{z^{-n}}, \quad |z|<1
\tag{73}
\]

其中我们在第二个等式中使用了\(U(t)^\dagger = U(t)^{-1}\)。注意，为简化符号，我们省略了\(G\)的\(t\)参数。将式(72)和式(73)代入式(70)，我们得到

\[
g(z) = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^n)}{z^n} + \frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^{-n})}{z^{-n}}\right]
\tag{74}
\]

并进一步

\[
g(z) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^n)}{z^{n+1}}
\tag{75}
\]

将此\(g(z)\)表达式代入式(71)，我们发现

\[
\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_i) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \text{Tr}(U(t)^n) \int_{S^1} dz \, \frac{\ln(z)}{z^{n+1}}
\tag{76}
\]

上述表达式可以使用以下恒等式进一步简化：

\[
\int_{S^1} dz \, \frac{\ln(z)}{z^{n+1}} = 2\pi i \cdot \text{Res}_{z=0} \left(\frac{\ln(z)}{z^{n+1}}\right)
\tag{77}
\]

使用\(\ln(z)\)的标准傅里叶级数，我们获得对数势的傅里叶级数展开式，

\[
\ln(z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} a_m z^m, \quad a_m = \begin{cases} -\frac{1}{|m|} & m \neq 0 \\ 0 & m=0 \end{cases}
\tag{78}
\]

该展开在整个定义域\(S^1\)上有效。利用傅里叶级数展开和正交关系：

\[
\int_{S^1} dz \, z^{m} z^{-n} = 2\pi \delta_{m,n}
\tag{79}
\]

我们得到

\[
\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_i) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^n)}{n} - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^{-n})}{n}
\tag{80}
\]

回到式(65)–(67)，回想一下\(I_{\text{CG}}\)包含来自\(i=j\)情况的发散贡献，而\(I_{\text{CG}}\)本身则减去这些发散。我们如何在式(80)中看到发散贡献？注意到，就\(U(t)\)的完整特征值\(\lambda_i\)而言，

\[
\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_i) = \sum_{i=1}^D f_i \ln(\lambda_i) \sum_{j=1}^D f_j = \left(\sum_i f_i\right) \left(\sum_i f_i \ln(\lambda_i)\right)
\tag{81}
\]

由于\(\sum_i f_i\)项与\(i\)无关，它对式(80)给出发散贡献，而剩余项通常给出收敛贡献，因为其符号随\(i\)变化。除非在\(\lambda_i\)之间存在简并，否则这将成立，简并会导致额外的发散贡献，与式(51)一致。

因此，我们期望\(\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_j)\)项抵消上述发散。通过与式(72)到式(80)类似的步骤，将\(\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_j)\)用OTOC展开，我们发现

\[
\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_j) = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^n)}{n} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{Tr}(U(t)^{-n})}{n}
\tag{82}
\]

导致式(82)的细节在附录D中讨论。注意，式(82)作为库仑气体公式\(I_{\text{CG}}\)的精确恒等式成立，即使在不能等同于\(I_{\text{free}}\)的区域中也是如此。

这完成了定理IV.1的证明。现在我们讨论注IV.1。

在式(82)中，式(81)预期的\(I_{\text{CG}}\)发散贡献在包含来自\(\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_j)\)的贡献时被精确抵消。\(\sum_{i,j} f_i f_j \ln(\lambda_j)\)项还产生了两个额外贡献。我们期望式(82)最后一项中的级数很可能是收敛的，因为它既包含正项也包含负项，且整体幅度受到抑制。假设我们处于一个区域，其中\(\tilde{\lambda}\)不与\(\lambda\)的某个幂成正比，因此根据定理III.1，它可以被识别为\(\lambda\)。对于\(t \sim O(1)\)，\(\lambda\)对\(\mathcal{F}\)的贡献不相关，因此我们可以忽略式(82)中的第二项和第三项。原则上，我们应该保留括号中第一项里的\(\tilde{\lambda}\)项，以控制无穷求和中可能出现的发散：\[\mathcal{F}(t) = \frac{1}{\lambda} \left( \lambda - \frac{1}{\tilde{\lambda}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \overline{\text{Tr}\left(\rho_0 \mathcal{O}_1^\dagger(t) \mathcal{O}_2^\dagger(t) \mathcal{O}_1(t) \mathcal{O}_2(t)\right)} \right) + \mathcal{O}(\lambda^2) \tag{83}\]直至\(\lambda\)的有限修正。在\(\tilde{\lambda}\)具有有限值的情况下，该求和必须收敛，并且通过保留一定数量的项\(n_{\text{max}}\)，我们应能获得\(\mathcal{F}\)的良好近似，\[\mathcal{F}(t) \approx \frac{1}{\lambda} \left( \lambda - \frac{1}{\tilde{\lambda}} + \sum_{n=1}^{n_{\text{max}}} \frac{1}{n} \overline{\text{Tr}\left(\rho_0 \mathcal{O}_1^\dagger(t) \mathcal{O}_2^\dagger(t) \mathcal{O}_1(t) \mathcal{O}_2(t)\right)} \right) \tag{84}\]在最后一行中，我们假设所考虑的系统在时间\(t\)满足\(\tilde{\lambda}(t) \sim O(1)\)对于\(t \sim O(1/\lambda)\)，因此我们将截断至\(n_{\text{max}}\)是合理的。如果情况并非如此，那么\(\tilde{\lambda}(t)\)本身将是\(O(1)\)，库仑气体公式将不再有效。我们在附录E中，将一个物理模型中的式(82)和(84)的部分和与库仑气体公式进行比较，并确认式(82)与式(84)之间的差异仅在\(\tilde{\lambda}\)为\(\lambda\)的负幂次方时的后期才变得重要。

B. 系综平均的OTOC求和公式

现在让我们考虑第III.B节的设置，其中时间演化算符\(U(t)\)从某个系综\(\mathcal{E}\)中抽取。回想一下，如果我们能近似\(U(t)\)且测度\(d\mu(U)\)满足某些光滑性条件，则\(U(t)\)的系综平均可以近似为式(58)中的形式。等价地，用\(\mathcal{F}\)表示，\[\mathcal{F}(t) = \frac{1}{\lambda} \left( \lambda - \frac{1}{\tilde{\lambda}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \overline{\text{Tr}\left(\rho_0 \mathcal{O}_1^\dagger(t) \mathcal{O}_2^\dagger(t) \mathcal{O}_1(t) \mathcal{O}_2(t)\right)} \right) \tag{85}\]其中\(\tilde{\lambda}\)是式(69)中定义的系综平均。对\(\tilde{\lambda}\)的分析与前一节中对\(\lambda\)的分析完全平行，只需替换：\[\lambda \to \tilde{\lambda}, \quad \tilde{\lambda} \to \tilde{\lambda}_\mathcal{E}, \quad \mathcal{O}_i \to \mathcal{O}_i \tag{86}\]因此我们得到\[\mathcal{F}(t) = \frac{1}{\lambda} \left( \lambda - \frac{1}{\tilde{\lambda}_\mathcal{E}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \overline{\text{Tr}\left(\rho_0 \mathcal{O}_1^\dagger(t) \mathcal{O}_2^\dagger(t) \mathcal{O}_1(t) \mathcal{O}_2(t)\right)} \right) \tag{87}\]其中\(\tilde{\lambda}_\mathcal{E}\)是系综平均的OTOC：\[\tilde{\lambda}_\mathcal{E}(t) = \int d\mu(U) \lambda(t) \tag{88}\]在这种情况下，没有前一节中\(\lambda\)项的类比。这就完成了定理IV.2的证明。

C. 物理意义

现在让我们指出式(63)和(64)的两个物理意义：

1. 这些结果立即意味着对于任何\(t\)（在式(63)的近似下，该近似需要忽略\(O(\lambda^2)\)贡献），以下不等式成立：\[\mathcal{F}(t) \ge -\frac{1}{\lambda} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \overline{\text{Tr}\left(\rho_0 \mathcal{O}_1^\dagger(t) \mathcal{O}_2^\dagger(t) \mathcal{O}_1(t) \mathcal{O}_2(t)\right)} \tag{89}\]我们也可以将任何包含某个OTOC子集的部分和作为更强的下界。等式[式(63)]显然是强得多的陈述，但如果我们无法获取超过某个\(n_{\text{max}}\)的高阶OTOC，这些界可能是有用的。此外，该界与以下关于两个区域\(A\)和\(B\)在某个状态\(\rho\)下的量子互信息\(I(A:B)\)的著名界具有相似结构[74]：\[I(A:B) \ge \frac{1}{2} \sum_{a \in A, b \in B} \left| \langle \mathcal{O}_a \mathcal{O}_b \rangle_\rho - \langle \mathcal{O}_a \rangle_\rho \langle \mathcal{O}_b \rangle_\rho \right|^2 \tag{90}\]其中\(\mathcal{O}_a\)和\(\mathcal{O}_b\)分别是\(A\)和\(B\)中具有单位算符范数的任意算符，\(\langle \cdot \rangle_\rho\)是它们在\(\rho\)中的连通两点函数。式(89)的\(n=1\)情形与式(90)最直接类似，因为它涉及两点函数\(\lambda\)。这种类比表明，\(\mathcal{F}\)是随时间演化的关联的信息论度量的自然候选。关于文献中从其他角度提出的各种类时间互信息度量，参见文献[60-65]。

2. 回顾第III.B节，在系综充分光滑的条件下（该条件由许多感兴趣的示例满足，包括本文后面讨论的GUE和随机幺正电路系综），\(\tilde{\lambda}(t)\)在某个特征时间尺度后不包含\(\delta\)函数，因此\(\mathcal{F}(t)\)是有限的。在这种情况下，式(64)中对\(n\)的无穷求和必须收敛。请注意，由于级数[式(64)]已经涉及调和权重，它正好处于发散的边界。这意味着即使\(\lambda\)随\(t\)的衰减很慢，例如对于小\(t\)，\(\lambda \sim t^{-\epsilon}\)，也可能足以使FMI有限。这为\(\lambda\)随\(t\)的多种不同衰减行为留出了空间。我们将在接下来的两节中考察各种物理模型中\(\lambda\)的衰减形式及其相关时间尺度。

V. 混沌系统中的自由互信息

既然我们已经推导出了研究物理系统中自由互信息的一般公式，让我们转向一些具体的例子。在本节中，我们将考虑三个日益逼真的混沌时间演化模型。在每个模型中，我们的主要目标是评估\(\mathcal{F}(t)\)并理解其时间依赖性。另一个重要目标是理解不同\(\lambda\)在式(63)或(64)的部分和中所起的作用。在试图理解这些部分和的过程中，我们还将能够提取出这些不同模型中\(\mathcal{F}(t)\)对\(n\)依赖性的某些普遍特征。每个模型中所使用的技术和我们能够推导出的结果有些不同，因此我们总结如下主要结果。在每种情况下，我们取\(\mathcal{O}_1\)和\(\mathcal{O}_2\)初始对易，因此\(t=0\)时\(\lambda(0)=0\)。

1. 来自GUE系综的随机哈密顿量。在第V.A节中，我们使用非局域GUE模型作为第一个例子。在该模型中，我们数值计算了系综单个实现中的\(\lambda(t)\)和\(\mathcal{F}(t)\)，并推导出了\(\mathcal{F}(t)\)系综平均的解析公式。这使我们能够对系综平均值和单个实现之间，以及式(63)两侧在不同\(n\)下进行详细比较。我们发现数值上，\(\mathcal{F}(t)\)对任何\(t\)都变得有限，并随时间单调衰减。所有\(\lambda\)在\(t \sim O(1)\)时开始衰减，且更高的\(n\)显示出随\(t\)更快的初始衰减。由于\(\lambda\)的这种行为，在足够晚的时间，即使式(63)中的\(n_{\text{max}}\)很小，我们也能得到\(\mathcal{F}(t)\)的良好近似。在中间时间，\(\lambda\)作为\(n\)和\(t\)的函数都显示出振荡，这并不会导致\(\mathcal{F}(t)\)或式(63)的部分和中的振荡，也不会妨碍求和收敛。

2. 随机幺正电路。在第V.B节中，我们考虑了砖墙Haar随机幺正电路，该电路在文献[75,76]中被引入作为混沌动力学的模型。由于具有局域结构，该模型比GUE模型更接近实际的混沌系统，尽管它缺乏能量守恒。由于局域结构，该模型中两个初始相距为\(d\)的算符的\(\lambda\)衰减开始于与\(d\)成正比的时间\(t_d\)。我们解析地研究了该模型中\(\mathcal{F}(t)\)的系综平均，并猜测了一个\(\mathcal{F}(t)\)的结果，其结构与随机GUE模型中的相似。特别是，所有\(\lambda\)在\(t_d\)处同时开始衰减，结果与更高\(n\)具有更快初始衰减的预期一致。基于这种类似GUE的结构，式(63)的OTOC部分和以及\(n=1\)时的\(\mathcal{F}(t)\)很可能表现出与GUE情形类似的行为，尽管我们无法从解析计算中直接获得这些量。

3. 混沌自旋链。为了同时考虑能量守恒和局域性的影响，我们接下来考虑同时具有横向和纵向场的伊辛模型。该模型在文献中被广泛研究，作为混沌自旋链的代表性例子。我们数值评估了该模型中的\(\lambda(t)\)和\(\mathcal{F}(t)\)。我们发现，在\(t \sim t_c\)（对于该模型，\(t_c\)为某个特征时间）时，\(\lambda(t)\)和\(\mathcal{F}(t)\)的定性特征再次与随机GUE模型相似。

A. 随机GUE哈密顿量

作为高度混沌时间演化算符的第一个模型，让我们考虑\(U(t) = e^{-iHt}\)，其中\(H\)是一个随机的\(N \times N\)厄米矩阵，其概率分布为\(d\mu(H)\)来自GUE厄米矩阵。更明确地说，\[d\mu(H) \propto \exp\left(-\frac{N}{2} \text{Tr}(H^2)\right) dH \tag{91}\]前置因子对应于\(H\)的非对角元素是独立的复随机变量，均值为零，方差为\(1/N\)，而对角分量是独立的实随机变量，均值为零，方差为\(1/N\)。通过这种方差缩放，\(H\)的特征值的平均或典型密度位于\(-2\)和\(2\)之间，与\(N\)无关。注意，该系综在共轭变换下是不变的：\(H \to U H U^\dagger\)，其中\(U\)是任意幺正矩阵。这种幺正不变性特别意味着\(H\)的特征向量相对于任何固定参考基都是Haar随机的。因此，系综的典型实现不服从相对于任何乘积基的局域性概念。然而，与第III.C节中讨论的Haar随机时间演化算符不同，\(U(t)\)确实会导致\(\lambda(t)\)的非平凡时间演化，因此我们可以询问\(\mathcal{F}(t)\)和\(\lambda(t)\)的时间依赖性。

我们将首先在第V.A.1节讨论来自该系综的单个实现的数值观察，然后在第V.A.2节讨论系综平均。

1. 单个实现：数值结果

让我们首先数值探测单个随机GUE矩阵实现（\(N=4\)）中\(\lambda(t)\)、\(\mathcal{F}(t)\)以及式(63)中部分和的行为。我们观察到：

1. 来自库仑气体公式(51)的\(\mathcal{F}(t)\)，在图3中以黑色曲线显示，在任何有限时间\(t\)都是有限的，并随时间单调衰减。我们明确展示了\(n=1\)、\(n=2\)、\(n=3\)的情形。其他情形，如\(n=4\)或\(n=5\)，显示\(\mathcal{F}(t)\)的定性相似行为。

2. 式(63)中\(\lambda\)的部分和，也在图3中显示，随\(n\)快速收敛。图3的左图显示，在足够晚的时间，仅首项\(n=1\)就足以捕捉\(\mathcal{F}(t)\)的完整行为。右图显示，在更早的时间，我们需要越来越大的\(n\)。每个部分和也显示出随\(t\)的单调衰减。

3. 单个\(\lambda(t)\)作为时间的函数的行为如图4所示。对于\(\mathcal{O}_1 = \sigma_1\)，\(\mathcal{O}_2 = \sigma_2\)，所有\(n\)的\(\lambda\)都非零，而对于\(\mathcal{O}_1 = \sigma_1\)，\(\mathcal{O}_2 = \sigma_3\)，只有偶数\(n\)的\(\lambda\)非零。我们注意到：

(i) 初始衰减的\(\lambda\)随\(n\)增加而单调加快。

(ii) 在较晚的时间，\(\lambda\)随\(t\)振荡，导致作为\(n\)和\(t\)的函数出现非单调行为。振荡开始的时间尺度对于更大的\(n\)更早。我们将在接下来的两个小节中研究的局域混沌系统中观察到类似的模式。由于点(ii)，OTOC部分和的收敛性以及它们作为\(n\)的函数的单调行为（我们在前一点中注意到）并不能简单地从观察单个\(\lambda\)的行为中明显看出。

4. 库仑气体公式的晚期饱和值为\(-1/2\)且为负。参见附录B中的图11。根据定义，\(\mathcal{F}(t)\)的值不能为负，但回顾第III.A节末尾的讨论，库仑气体公式和\(\mathcal{F}(t)\)只能在\(O(\lambda)\)的修正范围内相互识别，对于\(t \sim O(1/\lambda)\)。因此，我们能得出的唯一结论是\(\mathcal{F}(t)\)的晚期值为\(-1/2 + O(\lambda)\)，对于某个\(O(\lambda)\)的项。条件(31)对\(\mathcal{F}(t)\)成立，适用于图中所示的所有时间范围，因此库仑气体公式可以从早期到中期时间与\(\mathcal{F}(t)\)识别。详见附录B。

图3. 左侧，我们展示了单个随机GUE哈密顿量实现（\(N=4\)）中\(\mathcal{F}(t)\)在从\(t=0\)到\(t=10\)的时间范围内的行为。我们将黑色曲线中的库仑气体公式与截至某个\(n_{\text{max}}\)的OTOC部分和进行比较。右侧，我们展示了同一图在早期时间的放大版本。大约\(t \sim 4\)之后的行为很微妙，其放大版本见附录B中的图11和14。虽然我们明确展示了\(N=4\)的情形，但\(N=8\)的图类似。

图4. 左侧，我们展示了单次GUE系综实现中\(\lambda(t)\)的行为，其中\(\mathcal{O}_1 = \sigma_1\)，\(\mathcal{O}_2 = \sigma_2\)，右侧为\(\mathcal{O}_1 = \sigma_1\)，\(\mathcal{O}_2 = \sigma_3\)，\(N=4\)，\(t \in [0, 10]\)的情形。右图中的数据为图3中所示的部分和提供了输入。注意，在这种\(N=4\)情形下，我们没有显示奇数\(n\)的OTOC，因为它们在所有时间都围绕0有小幅波动，对\(\mathcal{F}(t)\)的贡献可忽略。在左图中，对于\(n=1\)到\(n=5\)，连续线不是数据点的插值，而是对应于表I中获得的系综平均的大\(N\)极限的解析表达式。

2. 系综平均

为了超越上一节的数值分析，我们需要考虑\(\mathcal{F}(t)\)和\(\lambda(t)\)在GUE系综上的系综平均。首先注意，根据我们在第III.A节的论证，III B和附录C中，由于测度的光滑性[式(91)]，对于任意 ，实部 的平均谱密度 不包含任何 函数。因此，平均自由互信息 对任意 都是有限的（关于光滑性条件以及该系综[式(91)]如何满足该条件的详细讨论见附录C）。虽然直接求平均谱 作为 的函数来通过公式(58)计算系综FMI 具有挑战性，但平均值 更易于处理。在本节中，我们将使用自由概率中的一种技术，获得GUE演化下 的一般解析公式。15 虽然该公式结果较为复杂，但我们将其显式写出至 ，并与上一节 的数值结果取得了极好的一致性。参见图4的说明。16 原则上，这些 的公式可以通过式(64)用于获得 的解析形式。但由于下述某些困难，我们无法显式地完成这一求和，将这项任务留给未来的工作。

最容易说明该技术的情形是 ，我们的任务是计算 (92)

关键观察是，由于 (93)

对于Haar随机幺正 （其中 是某个固定矩阵）， 和 在大 极限下趋近于自由独立的非交换变量 和 。如附录F中更详细说明的，这导致以下公式[25]： (94)

其中 表示 个元素的非交叉(NC)划分， 是 在 中的Kreweras补， 表示 中的一个块。关于NC划分和Kreweras补的解释和图示，参见图5。 指 的第 阶矩， (95)

其中 是第一类贝塞尔函数。该表达式来源于 的特征值平均密度是半圆分布。对于后续表达式，引入以下记号将更为方便： (96)

图5. NC划分和Kreweras补。有限集合的非交叉划分是指任意两个块互不交叉的划分。左图说明了四个元素集合上的非交叉划分与交叉划分： 是NC的，而 不是。 在 中的Kreweras补定义为：在 所定义的 个元素的原始集合的交错位置上的 个元素的集合上，使得 是 个元素的NC划分的最大NC划分。这里，最大性是相对于偏序定义的：如果 的每个块完全包含在 的一个块中，则 。右图展示了 的Kreweras补（取自参考文献[77]）， 。

注意，对所有的 ， 指 的“自由累积量”，在本例中由下式给出： (97)

其中 表示卡塔兰数。更多细节，包括自由累积量的定义，参见附录F。

将 和 的表达式代入式(94)，我们得到以下公式： (98)

其中求和遍及 的所有块均为偶数长度的NC划分，我们简称为“偶数NC划分”。例如，我们有 (99) (100)

我们将直至 的结果公式列于附录F的表I中，并在图4中将其与单个样本的数值数据进行了比较。

对于更大的 ，表达式变得越来越复杂，但有一个普遍模式值得注意： 中任何项所包含的 函数的总因子数的最小值总是 。这是组合引理G.1的结果。我们将在下一节的随机电路计算中看到类似的组合模式。此外，所有具有 个 因子的项都来自 仅由二循环组成（或为“非交叉完美匹配”）的情形，因此这些项的系数之和为卡塔兰数 。由于 及其包络随时间衰减， (101)

在足够晚的时间（实践中我们发现 ），仅具有 次幂 的项集合应在 的完整表达式中占主导地位，给出形式的上界： (102)

直到余弦因子。原则上，式(102)可用于论证OTOC和公式在足够晚的时间下的收敛性（因为卡塔兰数以指数而非阶乘方式增长）。然而，在式(101)和(102)的近似成立的时刻，我们已经处于库仑气体公式变为负值的区域，其精确的 值没有良好的物理解释。为了在物理相关的时间尺度上解析解释图3中数值观察到的OTOC和公式的收敛性，我们需要考虑如表I中那样的完整项集合。目前，我们将数值观察视为收敛的充分证据。

B. 随机幺正电路

现在考虑具有图6所示砖墙图案的随机幺正电路，这为具有局域相互作用的量子混沌系统提供了一个有用的玩具模型。每个格点具有有限的局域希尔伯特空间维数 。电路中的每个幺正，如 ，独立地从Haar随机矩阵系综 中抽取。我们取电路中的两个算符 和 ，初始间距为 ，并考虑 和 作为 和 的函数。

图6. 砖墙随机幺正电路模型。

由于该电路模型的尖锐光锥，对于 的偶数 ，对所有 都等于1，对于奇数 则等于0。 随 的增大（固定 ）或随 的减小（固定 ）的衰减，捕捉了算符在自由度空间中的大小增长。此前，该模型中的 已在参考文献[75,76]中被详细研究，其中特别发现初始衰减的形式为： (103)

表明算符前沿在空间中以某个特征速度 弹道式扩展，以及前沿以某个扩散常数 变宽。

我们现在希望理解该模型中算符空间扩散的更精细概念，由 和 量化。与GUE模型的系综平均一样， 的平均值比 的平均值更易处理。该模型中的 可以通过映射到三角晶格上的配分函数计算来评估，每个格点的希尔伯特空间维数为 ，类似于参考文献[78]中Rényi熵的先前计算。我们在附录G中以基本自足的方式讨论这一计算。

如附录G所解释的，相对容易看出： (104)

对所有 和 成立。对于偶数 ， 的情形在技术上比先前已研究的 情形更具挑战性，需要用到一些假设。特别地，我们假设 配分函数中置换之间的畴壁动力学可以由参考文献[78]在Rényi熵背景下发展的随机幺正电路的“膜图像”所捕捉。与Rényi熵的计算相比， 计算的一个主要复杂性在于现在存在许多不同类型的畴壁，与 中所有可能的置换相关联，它们可能在前导阶对配分函数有贡献。在附录G中，我们解释了如何将膜图像的输入与某些组合事实结合，以排除来自置换子集的贡献。基于这一结构，我们推测以下形式的结果： (105)

在两行中，我们忽略了 的指数级抑制修正（除了第一行中 的情形，其中结果由光锥结构精确给出）。这里 是一个称为膜张力函数的函数，其相关性质总结在附录G4中， 是某些系数，符号可为正或负，满足 。式(105)的论证在附录G中详细呈现。式(105)是一个猜想，基于附录中陈述的若干假设，我们预期这些假设是正确的，但无法严格证明。 的情形最近在参考文献[45]中结合了数值和分析技术进行了研究。虽然参考文献[45]中的最终结果是数值得到的，并未像式(105)那样用膜张力表示，但他们发现的组合结构与我们的公式的 情形一致。

如附录中公式(G76)–(G78)周围更详细的解释，对于 ，对于充分大的 ，我们可以近似： (106)

那么如果 与 无关，从对级数[式(64)]求和我们得到平均FMI的以下表达式： (107)

其中 。该表达式不太可能在定量上精确，因为没有特别的理由预期 与 无关；然而，它可以被视为一个玩具模型，在 接近算符前沿的晚期区域，捕捉了 在局域混沌动力学下的定性行为。注意，使 在 下收敛看似合理的关键要素是式(105)中指数中出现的最小 随 增长。这种最小 随 的增长是附录G中讨论的基于膜图像和组合结构的论证的结果。还要注意，式(105)的求和结构与GUE情形的式(98)相似，其中式(98)中 的最小幂次数随 增长。在算符前沿之外，OTOC和公式收敛的机制可能更复杂，式(105)中的所有项都可能发挥重要作用。

考虑附录C论证对该情形下 收敛性的含义，揭示了进一步的微妙之处。由于根据附录C中讨论的标准，随机幺正电路系综的光滑性，我们从这个一般论证得出结论： 对任意 没有δ函数。这意味着 对任意 必须是有限的，因此OTOC和必须在该区域收敛。对于 ，这与上述式(105)一致。对于 ，如果所有 都可以近似为1，该陈述似乎与式(105)矛盾。注意对于 ，式(105)的第一行具有 形式的修正，超出了我们当前计算的范围。这里 和 是 的某些函数。如果这些修正中的 对大的 快速增长，这可能解释 下OTOC和的收敛性。对这一区域的进一步考察超出了我们当前分析的范围，但为未来的工作提出了一个有趣的难题。

C. 混沌自旋链

接下来，让我们数值探索混沌混合场伊辛模型中的 和 行为， (108)

其中 ， ，以及周期性边界条件。我们取系统大小 ， ， 。结果如图7所示。泡利算符 和 的其他选择导致类似的结果。

图7. 左图显示了混沌自旋链模型中库仑气体公式 的（黑色曲线）和式(63)的部分和。右图显示了 对偶数 的时间依赖。奇数 对所有时间的贡献可忽略，正如随机电路计算所预期的那样。

我们观察到：

1. 库仑气体公式的 值（如图7左所示）在时间尺度 接近 时开始衰减。注意该模型 [79,80]，但其在哈密顿系统中的精确值取决于如何定义算符前沿的约定选择。相关地，由于缺乏尖锐光锥， 变为有限的精确时间是欠定义的，取决于我们计算 特征值的数值精度。对于图中所示情形，我们在 精度下工作。 在该精度下对 变为非零，导致此后时间FMI的有限值。 随时间单调衰减。

2. 图7的左图还显示了各种 的OTOC部分和向 的收敛模式，这与GUE模型中的情况相似。每个OTOC部分和都表现出随时间的单调衰减。

3. 各个 的行为（如图7右侧所示）表现出初始衰减，对更高的 单调更快。具体而言，图8中所示的固定 下的 -依赖关系表明，如果先取 极限再取 ，则 随 单调递减。这对应于随机电路分析中的公式（如式(106)）在混沌自旋链中对于足够大的 可能适用的区间。对于任意 ，我们观察到 随时间在中段时间出现振荡，且 越大，振荡开始得越早、幅度越大。类似的振荡在随机电路计算中可能源于对式(105)中具有不同符号的所有项求和。这也意味着对于固定的 ， 作为 的函数会呈现振荡，如图8所示。在这个中时区间，OTOC求和公式的收敛性是由 的衰减包络而非随 的严格单调衰减来解释的。图8展示了混沌自旋链模型中 在三个不同时刻的 -依赖关系。当接近 时， 对越来越大的 范围随 单调递减。

第六节 非混沌系统中的自由互信息

在本节中，我们讨论库仑气体公式和自由互信息在几个不能视为一般混沌模型的例子中的行为。在其中的三个例子——克利福德幺正、PFC幺正和自由费米子——中，我们发现 的谱即使在后期也存在简并，因此自由互信息为无穷大。在所有这些模型中， 的行为反映了物理空间中的离域化，尽管自由互信息的发散表明算符空间中的展宽缺失。 谱简并的具体机制在每个例子中各不相同。在相互作用的可积海森堡模型中，对于那些不与系统对称性对易的算符，我们发现其行为与第V.C节的一般混沌自旋链类似。

A. 幺正设计

回顾第III.C节的讨论，在单步演化由Haar随机幺正作用下，自由互信息在希尔伯特空间维度趋于无穷大的极限下变为零。因此，自然要问那些被称为幺正设计的系综（它们复制了Haar随机幺正的某些特征）是否也会在单步后使自由互信息消失或变得很小。参见例如文献[52]中关于幺正 -设计的精确定义。

下面我们考虑两个幺正设计的例子：

1. 随机克利福德幺正，它们构成精确的三设计[81]。这尤其意味着 的平均值在随机克利福德和Haar随机幺正之间一致。因此，随机克利福德导致算符在物理空间中的离域化，以及相关的信息论解耦现象[6,82–87]。该系综不构成精确或近似的四设计[81,88]。

2. 随机PFC系综，最近在文献[52]中引入，并证明对任何不随希尔伯特空间维度 增长的 构成近似幺正 -设计。由于PFC幺正的一个组成部分是随机克利福德，因此该系综也构成精确的三设计。

从我们的自由互信息OTOC求和公式可以清楚地看出，如果对于某个幺正动力学，所有 都等于Haar随机值，那么自由互信息必定很小。然而，在随机克利福德幺正和随机PFC系综下，对于所有4的倍数 ，有 。对于随机克利福德，这对任意泡利算符 和 都成立。17 对于随机PFC系综，它适用于 为任意泡利算符且 在每个格点仅由泡利 和 组成的情况。这对两个系综的每个单独实现都成立，因此对系综平均也成立。对于克利福德，这一行为与它们不构成精确四设计的事实一致；对于PFC系综，它也是自洽的，因为近似 -设计性质与精确 -设计性质不同，并不意味 接近Haar值（参见文献[28,54]）。

对于随机克利福德和PFC幺正， 对所有4的倍数 成立，源于 的每个特征值只能取四个可能值之一： 、 、 或 。这立即意味着谱具有大量简并，因此库仑气体公式发散。让我们看看在这两种情况下谱的该特征是如何产生的。

1. 克利福德

克利福德情况的结果直接源于：若 是泡利矩阵，则 也是泡利矩阵。那么由于 也是泡利算符， 的谱存在三种情况：(i) 若 ，则 且 的所有特征值均为1。(ii) 若 但与 对易，则 为某个非平凡泡利 乘以 ，因此 的特征值中 个为 且 个为 。(iii) 若 与 反对易，则 为某个泡利 乘以 。一半特征值为 ，一半为 。

由于随机克利福德幺正将泡利矩阵映射到其他泡利算符，该系综中混沌行为的缺失可以通过许多其他度量来检测，包括算符纠缠[80,89]和稳定子Rényi熵[90]。因此，自由互信息在该情况下表现出非一般行为并不太令人惊讶。接下来，让我们转向PFC系综这个更具非平凡性的例子[52]，它不将泡利矩阵映射到另一个泡利矩阵。

2. PFC幺正

PFC幺正通过将每个计算态乘以随机二进制相位（F）并对计算基施加随机置换（P）来增广随机克利福德（C）。更精确地说，PFC系综中的幺正由乘积给出：

(109)

其中 是二元函数， 是计算基态之间的置换。该系综上的概率测度由均匀随机克利福德 、均匀随机二元函数 和均匀随机置换 诱导。

考虑某个初始泡利算符 ，以及它在PFC幺正单步下的“时间演化”：

(110)

我们首先论证 总是将一个计算基态映射到另一个计算基态（相差一个相位），即它从不将 映射到计算基态的叠加。这是因为 中的每个因子都是如此。这对于 和 及其厄米共轭是显然的。中间因子 是某个泡利算符，而泡利算符作用于计算基态会产生相位翻转、比特翻转或两者兼有，因此 再次是一个计算基态。

鉴于这一事实，让我们用 表示 在计算基态上的置换作用。由于 ， 将计算基分解为不相交的轨道，它们要么是一循环（不动点） ，要么是形如 且 的二循环。在由属于一循环的状态张成的子空间上， 起恒等作用。对于二循环，我们有

(111)

由于 仅由 组成，我们有

(112)

因此， 对任意二循环 张成的子空间的限制具有矩阵形式：

(113)

其特征值满足

(114)

因此，每个这样的 块的唯一可能特征值，从而 的特征值，是 。

因此我们看到，即使加入相位翻转和置换，PFC系综也不会导致相空间中的展宽和高点OTOC的衰减。尽管如此，PFC系综的其他变体，如克利福德–置换–相位–克利福德[91]、置换–相位–克利福德–相位–置换，或堆叠多层PFC[92]，可能表现出更接近第V节中一般混沌系统的行为。

B. 自由费米子可积系统

作为下一个例子，让我们考虑 个自旋上的TFIM，它对应于式(108)中 的特例，即

(115)

通过Jordan–Wigner变换，该哈密顿量描述 个自由马约拉纳费米子（参见例如文献[93]）。

我们在此模型中取 和 为初始泡利矩阵的不同选择。 的演化与混沌系统相比具有一些非一般特征，但不如前一节的克利福德情况那么简单。特别地，该模型中的算符纠缠[89]和稳定子Rényi熵[94]都在时间演化下增长，尽管增长较慢或后期值小于混沌系统。类似地， 在该模型中初始增长，但随后振荡并衰减（参见例如文献[95]）。

与该模型的混沌自旋链相比，自由互信息在所有时间都表现出显著不同的行为。我们可以利用该模型到自由费米子的映射来看到 的特征值实部始终恰好取两个不同的值，即 和 。我们在附录I中详述了细节。我们数值观察到 和 从它们的初始值 不断向内移动至区间 上。因此，虽然 谱的具体形式与克利福德情况（其特征值实部简单地为 或0）有些不同，但对 的结果是相同的：它在所有时间都保持无穷大。

我们在图9中展示了该模型中 和式(63)的OTOC部分和的行为。虽然 的振荡幅度略大于图7中混沌情况的振荡，但从观察每个模型中的各个 并不完全清楚动力学是否存在尖锐的定性差异。另一方面，将图9中OTOC部分和作为时间函数的非单调行为与图7中的单调行为进行比较，为区分这两个模型提供了更锐利的判据。

图9. 左侧展示了TFIM的 ，右侧展示了由这些数据得到的式(63)的部分和。

C. 相互作用可积系统

作为最后一个例子，让我们考虑一个相互作用可积系统：海森堡XXZ模型，其哈密顿量为：

(116)

我们取 并考虑 和周期性边界条件。注意，该模型除了可积性外，还具有一个 对称性：总的 自旋 守恒。

在图10中，我们展示了该模型中 、 和 的行为，分别对应于两种情况： ，它们不与守恒荷对易；以及 ，它们与守恒荷对易。在前一种情况下，我们看到的行为与图7中的混沌情况类似。在后一种情况下，我们看到了非一般行为，其中 即使在后期也由于谱简并而发散，且部分和不收敛。这种行为应被理解为对称性的结果，而非模型可积性的结果：我们验证了当加入一个仍与 对易的可积性破缺的次最近邻项 时，所有情况下我们都发现与图10中定性相同的行为。因此，可积海森堡模型似乎无法通过 与混沌模型区分开来。使用 无法将该模型与混沌模型区分开这一点先前已在文献[96]中讨论过。这个例子确实表明，在存在对称性的情况下需要制定一个不同版本的自由互信息，我们在讨论中进一步评论这一点。

图10. 海森堡XXZ模型中 、OTOC部分和、自由互信息以及 的行为。上方面板展示 的情况，下方面板展示 的情况。

第七节 讨论与展望

在本文中，我们确定了混沌量子多体系统中算符海森堡演化的一个新的普适性质。我们发现，时间演化算符的某个粗粒化体积通常会扩散开来填满所有算符的抽象空间，该空间在自由度数目上是双重指数大的。这种算符空间中的遍历性概念超越了更熟悉的自由度空间中算符增长的概念。我们引入了一种称为自由互信息的算符空间展宽的定量度量。我们推导了自由互信息对一类广泛算子的显式公式，并展示了自由互信息与所有高点无序相关函数（ ）之和之间的精确而一般的关系。这一关系为高点OTOC在最大置乱和渐近自由性方法中所起的精确作用提供了理解，这在以前是缺失的。

然后，我们在各种有代表性的混沌和可积系统中研究了自由互信息和高点OTOC的行为。在所有混沌系统的例子中，我们发现，虽然高阶点关联函数（OTOC）随时间表现出大幅振荡，但自由互信息（FMI）却单调衰减，这表明它比单独的OTOC捕捉到了更具物理意义的混沌度量。尽管在混沌系统中，FMI开始衰减的时间尺度接近与OTOC衰减相关的时间尺度，但通过考察各种可积模型，我们证实FMI是比OTOC精细得多的混沌探针。在每一个可积模型中，我们都发现了OTOC衰减（表明在物理空间中扩散），而FMI保持无穷大（表明在算符空间中局域化）的情况。

虽然我们对混沌量子多体系统各种例子的研究使我们提取出了一些普遍规律，但这些模型中的各种结果应在未来工作中得到更好的理解。特别重要的是，要解决在某个具体的物理例子中执行方程(64)中的OTOC求和，或直接解析地计算库仑气体公式，从而获得FMI关于时间的解析形式的挑战。虽然我们在方程(107)中为局部混沌模型的这种函数形式提出了一个玩具模型，但真正结果应具有如下形式：

(117)

其中\n是一个更非平凡的函数，当\n时等于1，而当\n时衰减。我们将其精确函数形式的研究留给未来更详细的工作。同样重要的是，要更好地理解为什么\n对于更高的\n表现出更快的初始衰减，以及为什么\n中的后期振荡不会导致\n中的相应振荡。此外，找到一个通常从\n的角度被认为是混沌的系统的例子，但通过\n探测时却并非混沌，或者\n开始衰减的时间尺度比\n更晚，将会很有趣。

我们将在下面评述一些更广泛的推广和未来方向：

(i) 具有更多参考可观测量的FMI。在本文中，我们讨论了用单个参考可观测量\n对\n进行粗粒化的最简单方法。原则上，我们可以将定义推广到多个参考可观测量\n的集合，这将给出一个更精细的FMI\n。显然，添加更多参考可观测量施加了更多约束，从而导致\n粗粒化集合的体积分数更小，互信息更大：\n。这就是自由互信息的单调性，也可以看作是自由熵的强次可加性。研究这种不等式在物理情境中何时取等号，以及理解\n与更一般的高阶OTOC的关系，将会很有趣。

(ii) 有限温度下的FMI。在本文中，我们始终考虑方程(12)中的参考态\n是最大混合态的情况。在量子场论等连续统系统中，无限温度关联函数并未明确定义，因此有必要考虑有限温度态，即取\n为某个\n的\n。这种\n的选择在存在能量约束时也更自然；实际上，在Sachdev–Ye–Kitaev (SYK)等模型中，OTOC最有趣的行为出现在低温下[10,12]，而对OTOC的有趣物理约束（如混沌界限）仅适用于有限温度[11]。从数学上讲，推广到有限温度带来的挑战是，我们不再处理迹矩，因此我们在第三部分的技术需要修订。尽管如此，我们认为在这种情况下仍可能找到显式公式。如果我们取\n和\n为无迹对合（泡利矩阵或旋转泡利矩阵），则在这种情况下所有联合矩的集合可以组织为\n，\n，\n和\n。由此产生的自由互信息可能不承认一个依赖于由一组矩决定的单个本征值密度\n的简单库仑气体公式，而应以某种方式组合分别由\n和\n决定的两个密度。

(iii) 对称性约束的自由互信息。我们在第六部分C中的例子明确表明，对称性可以强制\n谱中的简并，从而阻碍无约束库仑气体公式。通过将方程(7)–(10)中的完整轨道\n及其哈尔诱导体积替换为对称性约束子流形上的轨道和体积测度，可以使FMI定义适应于给定物理模型的对称类。例如，当电荷\n守恒时，可以限制在与\n对易的酉变换上，或者等效地，在相应的电荷块内逐扇区地公式化体积比。由此产生的对称性约束体积比仅将\n与同一物理对称类中可及的算符进行比较。我们将这些模型相关构造的系统性研究留给未来工作。

(iv) 更好地理解OTOC求和公式。我们的主公式(6)有几个微妙之处令我们着迷。如果我们猜测FMI的显式公式（它隐含地在OTOC中定义），考虑到FMI非负，平方和形式是最自然的候选。令人惊讶的是，实际结果恰好是直到调和权重的平方和。正如我们已经指出的，调和权重是微妙的，因为它允许\n对\n的任何幂律衰减求和为有限的FMI，而不允许不随\n衰减的\n求和为有限的FMI。更好地理解该权重的物理诠释将会很有趣。我们期望这个调和权重很可能是\n尽管在自旋链和随机GUE模型中各个\n在中间时间振荡，但\n仍单调衰减的根本原因。调和权重很可能源于FMI是一个熵量，其定义包含对数，其泰勒展开恰好是方程(6)的右端。显式地，我们可以将公式重写为18：

(118)

其中我们也可以用log det代替Tr log。我们尚未对算符\n有良好的物理解释，这可能会进一步阐明FMI的诠释。

(v) 与其他混沌和复杂性度量的关系。回想一下，我们的动机是为经典相空间中的遍历性提出一个量子多体类比。在经典混沌中，与这种遍历性相关的自然熵是柯尔莫哥洛夫–西奈（KS）熵，它衡量为跟踪系统轨迹而需要细化相空间分辨率的速率。量子版本的KS熵先前已在文献[99,100]中定义。该熵量化了从系统测量中获得的信息如何随时间演化，与我们本文讨论的算符空间中初始算符的量子轨迹没有明显联系。然而，在数学文献中，有一些关于量子KS熵与自由熵之间关系的讨论[101,102]。在量子混沌的物理背景下研究这些量之间的潜在联系是值得的。另一个自然问题是自由互信息可能与时间演化算符\n的复杂性或时间演化算符\n的复杂性的各种概念有何关联。与复杂性的一种联系来自自由熵捕捉了\n的某种量子柯尔莫哥洛夫（描述性）复杂性[72]。FMI的某种变体与电路复杂性之间也可能存在关系或界限，因为电路复杂性的估计常常利用时间演化算符集合（例如所有酉空间中的随机酉电路）所占用的体积（例如，参见文献[103–105]）。本文研究的涉及两个算符的FMI，在比电路复杂性相关的时间尺度早得多的时间尺度上饱和，但可能一个较少粗粒化的多算符版本可能在更晚的时间尺度上饱和。

(vi) 引力、全息理论和SYK模型。无序时间关联函数最近被用作混沌和加扰的诊断，出现在全息共形场论和低温下的SYK模型等模型中[7,9,10,12,13]。最近，高阶OTOC也在这些模型中得到了研究[31,32,40]。我们在这里感兴趣的高阶OTOC类型\n的时间依赖，似乎尚未在现有全息理论文献中被研究。特别是，虽然文献[31,32]表明所有高阶OTOC在\n极限下与渐近自由性一致，但我们希望了解这些模型中\n衰减开始的时间尺度，以理解FMI是否以及何时收敛。文献[40]确实考虑了\n和SYK中的详细时间依赖，但针对的是不同的“最大辫子”高阶OTOC集合。检查\n开始收敛的时间尺度是否与这些大\n模型中的加扰时间相同，将会很有趣。一个我们可以直接应用本文已推导公式的情况是无限温度下的SYK模型。

(vii) 数学中的自由互信息。我们使用的自由互信息定义改编自数学文献中的轨道自由熵[23]。如脚注1所述，数学家使用另一种可能更标准的自由互信息定义，它基于自由解放过程下的自由Fisher信息[106]，而不是矩阵计数[20,21]。这两种定义预计会重合[21,24,107]，但尚不清楚它们是否在完全一般性下重合。在配套论文[73]中，我们将证明对于两个无迹对合的情况，这两种定义确实重合，并且它们与第三部分B中的系综FMI\n具有类似的公式。我们将证明，对于\n和\n的公式（方程(58)和(64)）在任意迹非交换概率空间中均成立，从而补充了我们本文研究的有限维设置。简而言之，我们一直使用一致的自适应自由互信息到有限维。

(viii) 自由Rényi互信息。方程(63)中的部分和表达式，截断在\n，\n，可以看作是定义了\n阶的“Rényi自由互信息”。19 这些Rényi熵实际上很有用，因为在实验等实际环境中可能只有有限数量的OTOC可用。从平方和公式可以明显看出，它们相对于Rényi指数是有序的，类似于经典和量子Rényi熵（只是顺序相反）。一种有原则的方法是通过修改定义（方程(12)）来定义Rényi自由互信息，使其仅依赖于前\n个矩。在配套论文[73]中，我们将证明这种恰当的定义恰好匹配预期的公式\n。