利用局部层析高效学习全局量子信道

《PRX Quantum》：Efficiently Learning Global Quantum Channels with Local Tomography

　　量子处理器的可扩展表征对于减轻噪声和缺陷至关重要。虽然随机化测量协议能够高效获取局域可观测量，但推断多量子比特过程全局一致的描述仍然具有挑战性。在此，我们引入了一维多量子比特态和通道的局部到整体重建框架。只要由条件互信息量化的关联呈指数衰减，该方法就是高效的。特别地，我们证明在此假设下，所需样本数随系统规模和期望全局重建误差的倒数呈多项式增长，其中误差通过真实Choi态与重建Choi态之间的迹范数距离来量化。我们的方法基于将局部阴影层析成像与通过凸优化获得的局部最优恢复映射相结合。我们通过对局域Lindblad动力学和含噪浅层电路下系统演化的协议性能进行数值研究来补充这些严格保证。通过采用张量网络表示，我们重建了作用于多达50个量子比特的通道，并准确恢复了全局诊断量，如过程保真度、Choi态纯度以及Pauli权重分解的过程矩阵元。因此，我们的工作将局部阴影层析成像的强大工具扩展到可访问全局属性的可扩展通道表征。一、引言量子技术的发展一直突飞猛进。领先的量子计算平台现已达到超过100个量子比特的规模[1-4]，并已执行了超出经典计算机能力范围的计算任务[5-8]。在这些设备上以最小噪声运行量子电路的能力，关键依赖于对其准确的表征和校准。这构成了一个艰巨的实际挑战，因为系统规模过大，无法进行完整的层析成像或全设备规模的建模与仿真。随着设备在通往量子纠错和容错量子计算的道路上不断增大规模和复杂性，这一挑战预计将变得更加严峻。随机化方案如随机基准测试[9-11]和阴影层析成像[12-18]解决了这一挑战的一部分。然而，随机基准测试仅探测受限的结构化随机序列族，并报告平均误差率，这可能掩盖重要的门依赖和上下文相关效应，如特定操作之间的串扰。虽然阴影层析成像提供了对更大类可观测量的访问，但它需要更深的电路来探测全局属性。在本工作中，我们通过做出一个物理上合理的假设来克服这一限制，该假设允许我们从局域测量重建全局态，从而获得包括纯度、纠缠熵和过程矩阵的各个分量在内的非局域属性。我们方法的关键假设是用条件互信息表述的局域性条件。我们专注于一维系统，并假设条件互信息随条件子系统的大小呈指数衰减。该假设对于局域哈密顿量的Gibbs态可以被严格证明[19-21]，我们预期它在弱噪声存在下的浅层电路中更普遍地成立。这一假设的正式作用在于允许我们以受控误差将来自小子系统的信息拼接起来，从而得到图1中总结的协议。我们首先对远大于条件互信息衰减长度的子系统进行层析成像。然后，利用这些信息，我们使用所谓的恢复映射重建全局态，每个恢复映射将单个位点追加到当前重建上，同时仅作用于由前几个位点形成的小条件区域。我们将其称为重建宽度。条件互信息随条件区域大小的指数衰减确保只需随系统规模和目标误差倒数对数增长的重建宽度就足够，这构成了协议高效性的基础。我们证明，在迹范数下，个样本足以重建个量子比特上的（混合）量子态，误差小于。图1. 过程矩阵重建协议。(a) 在每次实验射击中，我们制备，在未知通道之前独立采样单量子比特门，并在计算基测量之前施加。 (b) 局部到整体拼接。测量记录首先被转换为重叠窗口上约化Choi态的估计，其中表示重建宽度。然后逐个位点组装全局Choi态：在步骤，当前重建（支撑在位点上并以MPO形式存储）通过仅作用于个位点上的恢复映射扩展到位置。该映射由方程(5)中的凸优化确定，该优化将扩展态在窗口上的边缘分布与层析估计相匹配。迭代直到达到位点，得到全局估计。当应用于量子通道时，我们的保证相应地用归一化Choi态之间的迹范数距离来表示。在操作上，该度量量化了在Choi表示中使用的固定Bell态乘积作为输入时两个通道的可区分性，并控制过程保真度和单个过程矩阵元等量。该度量弱于最坏情况下的菱形范数距离，后者通常需要付出随系统大小指数增长的维度因子才能转换，但对于结构化通道（如Pauli通道）该因子可以是多项式的（见附录D）。重建态可以用矩阵乘积算符表示[22-24]，从而允许高效计算多种属性。我们通过将该方法应用于过程层析成像问题来展示其高效性。在此背景下，我们的方法恢复了所探测量子通道对应的Choi态[25]。当可用时，过程层析成像是获取量子门细粒度信息的强大工具，可能有助于识别噪声和缺陷的成因。然而，在实践中，过程层析成像仅限于非常小的系统，因为描述作用于个量子比特的通道的过程矩阵由个参数组成[26,27]。我们能够从作用于3个相邻量子比特块的约化通道估计中准确重建作用于50个量子比特的通道的过程矩阵，并观察到我们的方法即使在严格误差界适用的范围之外也表现良好。我们预期该协议对一维架构中少层操作的细粒度表征最为有用，例如在离子阱或超导量子比特链中一层并行纠缠门。在此设置下，我们的方法可以检测并行执行的门之间的串扰关联，并通过全局量（如Choi态纯度）将相干误差与非相干误差区分开来。这与上述讨论的随机基准测试（报告平均误差率）和Pauli噪声学习[28]（高效表征随机Pauli分量但不保留任意相干误差）互补。在详细介绍我们的工作之前，我们简要评论与相关研究的联系。学习菱形范数下一般的量子比特通道通常是难以处理的。最近关于量子过程层析成像的查询和样本复杂度结果确立了随量子比特数指数增长的成本[29-32]。自洽门集层析成像重建门集的完整误差结构，但其成本也随量子比特数指数增长[33]。在过程层析成像的设置中，本框架进入了超出先前针对酉通道[34]、Pauli通道[28]以及具有低Pauli权重的Kraus算符描述的通道[35]所处理的范围。此外，当用于过程层析成像时，与Lindblad层析成像[36,37]不同，我们的方法不需要马尔可夫性假设。相关的机器学习方法已从含噪测量中推断出NISQ设备上的约化量子通道和局域有效生成元，但没有获得完整通道的全局一致重建[38,39]。从张量网络的角度来看，我们的协议可以看作是在指数衰减条件互信息假设下恢复量子态MPO表示的过程，从而补充了MPO层析成像的其他研究方向。先前的局部到整体重建方法在可逆性条件下从局域边缘分布恢复一维混合态的MPO形式[40]，并已在多达14个离子阱量子比特上进行了实验验证[41]。后续工作[42]比较了基于Petz恢复映射和基于矩阵重建的方法。与这一研究方向相比，我们处理一般量子通道而非态，在Choi表示下工作。我们还获得了端到端的保证，其中局域过程阴影直接输入重建，在指数衰减条件互信息假设下具有迹范数和样本复杂度界。也有启发式方案被提出，直接拟合张量网络模型到实验数据[43-45]。此外，还有若干工作在不同于我们的假设下提供了严格保证。其中一项工作假设可以用Rényi型近似马尔可夫行为表述的近似因子化条件，其理论保证主要以Hilbert-Schmidt范数而非迹范数表示[46]。另一项近期工作基于关于MPO张量谱性质的正式假设，但缺乏简单的物理解释[47]。指数衰减条件互信息下的重建先前已在Belavkin-Staszewski相对熵[48]和von Neumann熵[49]中考虑过。与后一工作相比，我们的分析使用局部最优恢复策略，并提供了更紧的误差界，导致样本复杂度标度上的二次改进。类似地，Gao和Yu[50]通过Petz恢复映射建立了量子马尔可夫链的样本最优层析成像。他们的分析适用于满足精确马尔可夫条件的态，而我们允许以指数衰减条件互信息形式的近似马尔可夫性，并为一般通道提供了端到端的局部阴影协议。二、设置我们考虑一个作用于个自旋的未知含噪量子通道，每个自旋由局域希尔伯特空间表示。为简单起见，我们将关注量子比特的情况（），尽管我们的结果可以很容易地推广到任何常数局域维度。设和表示单量子比特Pauli算符。对于任意，我们定义量子比特Pauli算符。我们通常用过程矩阵来表示通道，它是唯一的矩阵，满足 (1)进一步使用通道的Choi-Jamio?kowski表示更方便[25,51]。为此，我们考虑加倍的局域希尔伯特空间，它支持最大纠缠态，其中下标作为希尔伯特空间的标签。给定通道，我们定义Choi态 (2)其中，是恒等映射。根据Choi-Jamio?kowski同构，Choi态由通道唯一确定，反之亦然。此外，对于任何完全正迹保持通道，Choi态是正的且满足。过程矩阵对应于Choi态在正交基下的表示，即。实验上，我们通过图1所示的协议访问。在每次射击中我们制备态，并对其施加独立采样的单量子比特门。然后我们施加通道，随后再施加一层单量子比特门，最后在计算基下测量每个量子比特以获得结果位串。因此，每次射击完全由三元组描述。原则上，我们的协议适用于任何层析成像完备的单量子比特酉集。为具体起见，我们选择每个使其制备三个单量子比特Pauli算符的本征态。类似地，每个将后续测量的基旋转到三个Pauli算符之一的本征基。为保持协议可扩展，我们避免直接操作整个量子比特通道，而是重建小重叠窗口上的约化通道。对于窗口，其补集为，我们定义约化通道为在初始化为最大混合态并最终被取迹时在上的作用。具体地，对于任何支撑在上的态， (3)相应的Choi态满足，其中迹在子系统的“入”和“出”空间两者上执行。我们使用过程经典阴影在局部泡利基随机化下估计约化Choi态，或者等价地，由过程矩阵描述的约化通道[16,17]（关于单次估计量和重构公式，见附录C 1）。实际上，由于层析成像的样本复杂度和计算复杂度随系统的规模指数增长，只能确定小子系统的约化通道。然而，我们的目标是通过拼接局部重构的窗口来重构全局过程矩阵。一般来说，局部边缘分布不一定有唯一的全局扩展（量子态/通道边缘问题[52–56]），因此需要额外的假设。下面我们将证明，在以下假设下，即CMI随条件系统大小指数衰减，可以高效地重构全局过程矩阵。

为正式陈述该假设，我们引入进一步记号（详见附录A）。给定一个支撑在三个不相交子系统、和上的态，与之间的条件互信息定义为，其中是子系统上约化态的冯·诺依曼熵。当是Choi态且子系统按物理位置指定时，每个位置同时包含“入”和“出”两部分。因此，我们的关键假设可以表述如下。

定义1.（指数衰减CMI）。考虑三个子系统，具有确定的排序，对于所有、、。如果一个作用在位点上的通道具有指数衰减的CMI，那么存在常数和，使得对任意这样的子系统，Choi态满足 (4)

III. 学习协议

满足指数衰减CMI条件的态通常被称为近似马尔可夫态[57]，这是相对于CMI为零的精确马尔可夫态而言的。给定一个精确马尔可夫态，其中，存在一个所谓的Petz恢复映射，作用于子系统并将其扩展至，使得 [58,59]。关键是，Petz恢复映射可以用约化态表示，而不需要了解子系统的信息。对于近似马尔可夫态也存在类似的映射，但恢复不再精确，会产生与成比例的误差[60,61]。

我们的策略是利用这种恢复映射来重构描述全局通道的Choi态。我们逐步进行，每次添加一个位点。具体来说，给定支撑在位点上的约化Choi态，我们应用一个恢复映射将支撑扩展至。恢复映射假设只作用于位点上。我们称其为重构宽度。在前一段的记号中，子系统、和分别由、和给出。由于CMI指数衰减，通过增加可以使重构误差任意小。

一个关键技术挑战是找到合适的恢复映射。如果位点上的约化Choi态已知精确，我们可以直接计算参考文献[61]中引入的旋转Petz映射，它保证有界重构误差。然而，实际上由于有限样本局部层析的不确定性，约化态只能被近似知道。最近的一个结果[49]克服了这一挑战，表明旋转Petz映射可以对散粒噪声稳定。这里，我们采用不同的方法，因为旋转Petz映射的计算比较繁琐。此外，尽管有形式上的保证，旋转Petz映射通常远非最优，其表现甚至可能不如更简单的标准Petz恢复映射[62,63]。

受这些不足的启发，我们使用简单的数值程序来确定局部最优的恢复映射。我们记为从过程经典层析得到的位点上约化Choi态的经验估计。再设为位点上重构的Choi态。定义子系统、、和，以及并集，局部最优恢复映射满足 (5)

其中是从子系统到的CPTP映射集合。换句话说，我们不是通过Petz型公式解析地构造恢复映射，而是变分地定义它：是仅作用于条件区域的CPTP映射，当作用于当前重构时，最能重现层析窗口估计。它被计算为映射Choi矩阵上的凸优化问题，如下所述。获得后，我们对迭代该过程，得到算法1。算法的输出可以表示为应用于初始约化Choi态估计的通道序列。为了高效计算，我们将此表示转换为Choi态的MPO表示。由于每个作用于个位点，MPO的键维数随指数增长。为记号简单起见，我们的证明在链的左边缘初始化重构。这个选择不是根本性的：从内部窗口开始，可以分别向左和右应用单侧构造，两个方向的误差分别有界，然后通过三角不等式合并。因此，初始窗口的位置可以视为实际超参数，例如，通过留出边缘误差来选择。在本数值研究中我们不优化这一选择。

算法1. 从随机测量顺序构造全局过程矩阵。
输入：记录；系统大小；重构宽度。
输出：全局Choi态的估计。
1 使用过程经典阴影，获得位点上约化Choi态的经验估计。
2 将赋值为在密度算子集合上的投影。
3 对于到执行
4 使用位点上的过程经典阴影，获得位点上约化Choi态的经验估计。
5 根据式(5)获得。
6 赋值为。
7 返回。

Choi-Jamio?kowski同构意味着集合是凸的，因为相应的Choi态集合是凸的。由于式(5)中的代价函数也是凸的，找到构成一个凸优化问题，可以通过数值方法高效求解。我们在下一节中证明，算法1得到的全局Choi态估计的样本复杂度对期望的1-范数误差和系统大小呈多项式依赖。实际上，由于每个优化涉及加倍希尔伯特空间中的个位点，只能取相对较小的值。尽管如此，我们在第四节中表明，即使在严格界不适用的区域，算法也能表现良好。

我们简要评论算法1输出的物理合理性。因为初始窗口被投影到密度算子集合上，且每个后续恢复映射都是CPTP，最终估计满足和。因此它总是有效的量子态。然而，保迹Choi约束并未精确满足。由于迹范数在偏迹下是压缩的，定理1意味着 因此，保迹约束的违反至多为全局重构误差。线性保迹约束可以添加到局部凸优化中而不破坏凸性。虽然优化的残差损失可以用来认证小的全局重构误差，但在存在此约束的情况下，重构误差是否可以先验有界仍然是一个开放问题。

我们现在能够陈述我们的主要技术结果：算法1重构的Choi态的迹范数界，以及达到期望距离所需的样本复杂度。我们只给出证明的概要，技术细节和中间引理留待附录B和C。我们的第一个定理确立，在指数衰减CMI的假设下，如果重构宽度足够大且约化Choi态以足够小的误差估计，算法1可以实现Choi态迹范数误差任意小。

定理1.（Choi态的迹范数界）。设是一个根据定义1具有指数衰减CMI参数和的-量子比特通道。记为其对应的Choi态，为算法1的输出。假设算法1中计算的子系统上约化Choi态的估计满足 (6) 对所有成立。存在常数，使得如果且 (7) 那么 (8) 对任意目标精度成立。

证明遵循附录B中定理9应用于Choi态的特殊情形，其中每个位点包含加倍希尔伯特空间中的“入”和“出”两部分。为建立定理9，我们证明如果两个态的局部边缘距离较小，那么它们的全局迹距离由两个量控制：局部不匹配和由CMI量化的长程关联量。这一步骤结合了将迹距离与所谓熵凹性间隙关联的量子Pinsker不等式[64]和熵量的连续性界，得到引理6。接下来，我们使用数据处理不等式证明算法1产生的态的CMI受目标态的CMI控制，误差取决于重构态的局部不匹配（引理7）。最后，通过将算法的恢复映射与（旋转）Petz映射比较来控制局部不匹配，后者的重构误差由真实态的近似马尔可夫性质控制。这产生一个递归，表明累积的局部不匹配由局部层析误差与指数小的CMI共同驱动（命题8）。

利用定理1，我们可以限制以小的迹距离误差估计Choi态的样本复杂度。具体来说，我们采用参考文献[17]的过程阴影层析协议，并限制满足式(6)所需的样本数。该条件可以以高概率同时满足所有子系统，得到以下推论。

推论2.（端到端样本复杂度）。设是一个根据定义1具有指数衰减CMI参数和的-量子比特通道。记为其对应的Choi态，为算法1以个记录为输入的输出。给定，存在选择使得以至少的概率满足，前提是 (9) 其中、和是常数，是一个关于线性依赖且关于、和多项式对数依赖的函数。证明见附录C 2，其中包含常数和的详细表达式。

式(9)中对CMI衰减长度的显式依赖界定了我们方法的适用范围。对任意固定的，样本复杂度关于和是多项式的，但多项式的次数随线性增长。如果Choi态的CMI衰减缓慢或距离较长，所需的重构宽度相应增加。由于确定恢复映射的优化涉及个位点的窗口，凸优化的成本和样本复杂度都随指数增长，使得协议不切实际。我们注意到，我们的结果以Choi态的迹范数误差来表述。相比之下，金刚石范数具有操作意义，即两个通道的最坏情况区分度。一般来说，两者通过形式为的不等式关联，其维度相关的前因子可能较松。对于结构化噪声模型，这种转换可以更紧。特别地，对于泡利通道（即过程矩阵在泡利基下对角的通道），我们可以用迹范数误差控制金刚石范数，从而消除维度相关的前因子。我们在附录D中提供详细信息。

IV. 应用

A. 学习开放系统动力学

我们现在将重构方案应用于开放量子系统动力学的具体模型。考虑具有局部各向异性噪声的开放海森堡自旋链。记为第个系统量子比特上的泡利算符，约化系统动力学由Lindblad主方程[65]控制 (10)

其中哈密顿量 (11)

局部噪声的跳跃算子为，其中，速率为和。这些动力学生成一族CPTP映射，使得，其相关的Choi态为。我们强调，尽管我们使用Lindblad自旋链动力学作为受控且物理动机明确的测试平台，但我们的重建协议并不假设Lindblad生成元或马尔可夫性：它直接从随机测量中恢复通道，而非像Lindblad层析成像那样识别潜在的哈密顿量和跳跃算符。这一区别在实践上具有重要意义，因为在真实器件中，有效噪声可能是时间依赖的、非马尔可夫的，或仅能近似地由局部主方程描述，而我们的方法仅依赖于诱导Choi态的局域结构。我们还注意到，关于Choi态条件互信息在一般多体Lindblad演化下如何增长的一般性刻画仍然缺乏。因此，我们将衰减的CMI视为一个合理的假设，这由下述短时域内重建的准确性和稳定性所证明。此外，我们在附录E（图4）中提供了直接的数值证据。在那里，我们评估了此处考虑的Lindblad示例的Choi态CMI。我们观察到CMI受条件区域大小的指数衰减包络所界，其衰减长度随演化时间增长，这与关联在动力学下传播的图像一致。为了模拟，我们在加倍链上工作，其中每个超位点由一个系统量子比特和一个参考量子比特组成。我们在每个超位点上初始化系统与参考之间的Bell对乘积。所有哈密顿量和Lindblad算符以作用于系统和参考的方式作用，使得加倍链上在时刻的状态恰好是系统量子比特上开放系统通道的Choi态。我们将表示为MPO，并使用TEBD风格的张量网络时间演化方法模拟开放系统动力学[66,67]。所有张量网络收缩和MPO操作均使用quimb实现[68]。从全局Choi态MPO中，我们提取加倍链上连续窗口的约化边缘。我们将合成约化Choi态解释为在位点上的。在下面的数值计算中，我们取。在无噪声情形下，取为从MPO中提取的精确约化边缘。在含噪情形下，我们考虑一个现象学的层析成像误差模型，其中我们对Choi态的相应局域Pauli展开系数施加加性高斯噪声扰动。具体而言，对于对应于Pauli算符的每个系数，我们采样独立噪声并设。然后，我们将这些含噪系数转换为局部Choi态的估计，通过强制厄米性、将负特征值设为零并重新归一化到单位迹来投影到物理态上。我们通过量化局部估计误差，并将定义为最大窗口误差，作为局部噪声水平的概要。给定窗口估计集合，我们执行算法1的从左到右顺序重建。记当前重建的位点上的Choi态为，我们在每一步通过拟合预测的3位点窗口边缘到目标窗口边缘来计算局部优化恢复映射，如式(5)所示。在我们的数值实现中，我们对的Choi矩阵进行优化。我们不将迹范数作为式(5)中的目标函数，而是使用Frobenius范数目标作为实用替代，因为它产生平滑、廉价且适用于高效求解器的目标函数，在实践中比迹距离更快且更稳定地优化[69]。由于每个位点窗口上，所得迹范数残差在迹距离最优值的因子范围内。所得的映射随后用于通过更新全局估计。凸优化使用cvxpy进行[70]。数值实现的进一步细节见附录F。我们使用过程矩阵的对角元素作为通道下权重如何传播的便捷诊断。图2总结了该开放系统动力学的重建性能。面板(a)和(b)表明，在无散粒噪声的情况下，重建通道与Pauli权重分解的Pauli基过程矩阵对角元素之和的精确通道相匹配。相对误差随演化时间平滑增长，从时的低于到时为的数倍，反映了在固定宽度下重建的固有精度。这种增长表明动力学下Choi态中关联的积累，与附录E中观察到的CMI衰减长度的增长一致。面板(c)和(d)探究了重建误差如何依赖于局部窗口估计的误差。我们通过如上所述扰动每个局部边缘的Pauli展开系数来引入局部估计误差，并通过汇总所得局部噪声水平。然后我们执行顺序重建。对于每个噪声水平，我们重复噪声采样和链的完整重建10次独立实现，并报告均值及其标准误差。图2(c)显示了固定演化时间下的全局误差，而(d)显示了时的相同依赖性。在这两种情况下，全局重建误差随减小而降低，然后在较小时饱和于一个平台，该平台与面板(b)中相应演化时间下的无噪声固有重建误差一致。与此一致，平台在较早时间较低。因此，全局误差受局部层析噪声控制，直到后者降至拼接过程的固有精度以下。这些结果表明，对于此处研究的链，局部到全局拼接过程对中等局部估计误差是稳定的。图2。在具有局部各向异性噪声的开放海森堡链（量子比特）中，Pauli权重分解的过程矩阵对角元素的重建。(a) 对于Pauli权重，累积量，其中表示Pauli权重，精确通道（实线）与我们的优化程序获得的重建通道（标记）吻合良好。(b) 相应的相对重建误差，其中上标和分别指精确通道和重建通道。面板(a)、(b)假设无噪声的完美局部层析成像。(c)、(d) 在存在局部噪声时的相对重建误差，由约化Choi态中的误差量化，在固定演化时间(c)和(d)下。每个数据点是10次独立噪声实现上的平均值。误差线表示均值的标准误差，通常小于标记尺寸。B. 学习含噪电路为了展示我们的方法对浅层含噪电路的适用性，我们考虑形式的通道[见图3(a)]，其中是作用在偶数键上的最近邻双量子比特门单层，，表示作用在偶数和奇数键上的相干噪声层，模拟了不希望的相干耦合。这里是基中强度为的位点上的单量子比特退相位通道，例如，。当时，该通道简化为偶数键上不相交双量子比特酉算子的深度一电路。将Choi态视为通过将每个量子比特的输入-输出自由度分组为单个位点得到的位点链，则分解为独立的两位点块。因此，对于任何具有的连续三分，我们有。在弱噪声、浅深度区域，我们因此期望由生成的Choi态表现出类似的近似马尔可夫性质。图3。量子比特含噪浅层电路的全局重建。(a) 通道的结构，其中是最近邻双量子比特门的单层，表示相干微扰，是单量子比特退相位通道。(b) 相对于理想酉电路的过程保真度，显示精确含噪通道的（实线）和基于优化的重建的（标记），作为的函数。(c) Choi态的纯度（实线）与重建通道的纯度（标记），作为的函数。我们在附录E（图5）中检验了这一预期。我们发现最大CMI随条件区域宽度快速衰减，并在时达到数值底，超出了电路的因果范围。在固定下，CMI近似随相干微扰强度成比例缩放，并随外部区域大小和的增加而快速饱和。这些结果表明相干串扰仅产生弱的、短程的条件关联，支持了指数衰减CMI假设，并有助于解释图3中已获得的良好重建精度。然而，我们强调这一预期仅限于足够浅的深度。在含噪随机电路中，CMI可以超线性传播并在更大深度下变为长程[71]。我们在附录E中对含噪随机Clifford电路的数值结果量化了这一局限性在所研究参数范围内的表现。如图6所示，对于所有考虑的电路深度和噪声强度，Choi态CMI仍能很好地由条件区域宽度的指数衰减描述。当外部区域和被扩展以覆盖整个链时（图7），衰减仍然存在。然而，拟合的衰减长度随深度和噪声强度均增加，意味着随着噪声率和电路深度的增加，需要逐渐更大的重建窗口。图4。具有局部各向异性噪声的开放海森堡链的Choi态CMI（，，），即第IV A节研究的模型，包括式(11)的相干海森堡相互作用。(a) 作为四个演化时间下条件区域大小的函数。固定下的数据点受指数衰减函数上界约束，对应衰减长度–0.18个位点，随演化时间缓慢增长。(b) 作为固定下演化时间的函数。CMI随单调增长，与图2(b)中重建误差的增长相匹配。(c) 固定下的依赖性，条件区域固定于链中心随增长。CMI随单调增加，但从到的总增长低于0.4%，在此尺度上不可见。当时，相干串扰与局域退相位结合，在Choi态中诱导空间关联噪声并增加CMI。对于，Choi态对任何分解，且CMI消失（见附录E）。对于每个选择，我们计算相应的Choi态，并根据第II节的访问模型生成合成局部数据。此处我们考虑，对应于iSWAP门。我们取，其中。我们设，其中。对于每个数据点，每个的系数独立地从上的均匀分布中抽取。我们改变噪声幅度从0到。图3显示了量子比特的重建性能。为了基准重建，我们计算含噪通道的Choi态与理想酉通道的Choi态之间的保真度。由于酉通道的Choi态是纯态，保真度简化为简单的重叠[72]。保真度根据Fuchs-van de Graaf不等式界定了迹距离。图3(b)报告了该保真度作为的函数。重建通道紧密跟踪精确通道，偏差随相干微扰强度增长，且在时保持较小。我们还报告了Choi态纯度，作为量子过程幺正性的简单全局诊断[73]：通道中相干与不相干噪声的相对量。图3(c)表明，对于中等相干微扰，从重建Choi态计算的纯度能很好地重现精确值，而对于最强微扰，重建在最大噪声率下低估了纯度。这一趋势与附录E中量化的Choi态CMI随增长一致，其中重建随CMI增加而变得不太准确。对于固定，变化仅修改通道的相干酉部分，这诱导Choi态的酉基变换。由于纯度在酉共轭下不变，独立于且仅取决于。总之，这些结果表明，我们的局部到全局学习方案能够可靠地从局部数据重建含噪浅层电路层的物理相关全局泛函。V.讨论与展望

我们介绍了一种在维度为1的量子通道下从局部到整体的重建框架，该框架基于物理上合理的Choi态条件互信息（CMI）指数衰减假设。通过将可扩展的过程经典阴影方法用于小窗口，并结合顺序恢复过程，我们获得了明确的全局估计以及相应的过程矩阵。该表示支持高效评估局部量和真正的非局部量，包括纯度类和熵类泛函以及选定的过程矩阵元素。数值上，我们观察到即使严格的坏情况体制未被完全满足，该方法仍然有效，从而使我们的示例中能够从大小为3的约化窗口重建作用于多达50个量子比特的通道。虽然我们能够严格界定Choi态的1-范数误差，但能否用类似方法获得通道的钻石范数紧密界仍然是一个开放问题。

几个方向特别有前景，可提高实际性能并拓宽该方法的应用范围。一个自然的做法是将我们的局部到整体拼接框架与启发式张量网络学习算法[43,44]相结合。这些工作通过张量网络拟设参数化全局Choi矩阵，并在信息完备的测量数据集上通过数据驱动的（通常非凸）优化来拟合其参数。受此启发，我们设想了一种混合策略：可以直接从随机测量记录中学习限制在每个局部窗口上的低复杂度张量网络模型，然后将学习到的窗口边缘分布输入我们的恢复映射过程，以产生全局一致的MPO（矩阵乘积算符）估计。这种混合方法可以提高样本效率，相比坏情况窗口层析，同时避免需要直接训练单个全局张量网络模型。

我们的访问模型假设理想的局域随机化门和测量。在实验中，态制备与测量（SPAM）误差会使窗口估计产生偏差，并由此通过恢复过程传播。我们方法的一个吸引人的特点是，SPAM误差通常很大程度上是局部的。因此，如果SPAM误差能被浅层局域噪声很好地建模，它们可能被吸收到恢复映射所利用的同一局域结构中。在我们的流程内对SPAM缓解策略进行仔细的经验研究，特别是在SPAM主导本征通道噪声的体制中，将有助于确定最稳健的实验路径。

我们的保证依赖于Choi态上CMI的指数衰减，这是一个强但物理上合理的局域性条件。我们预期它适用于由具有局域相互作用的浅电路和足够弱噪声生成的通道，在这种情况下信息不会传播很远，长程相关性保持抑制。相反，对于深电路、强相关噪声或在对偶系统中产生长程纠缠的通道，CMI尾部可能衰减得更慢。在此类体制中，可能需要更大的重建宽度，从而导致更大的键维数和更高的样本需求。因此，对于实际部署，开发诊断工具是有用的，例如，估计窗口子系统三元组上的经验CMI，以探测是否随窗口增大而减小。我们注意到，此类诊断使用与重建相同的随机测量记录，这使得能够估计最多至个位点的窗口上的CMI，并监控其随窗口尺寸的衰减（参见附录E对该衰减的基准测试）。

在不引入额外测量设置的情况下，可以执行两个互补的一致性检查。一个是交叉验证，其中使用重建的状态来预测从拼接过程中留出的窗口的边缘分布；另一个是监控重建的全局量随重建宽度增大的收敛性。任一检查失败都表明所需的重建宽度超过了可访问的窗口大小，在这种情况下，协议的输出不应被信任。我们注意到这些检查提供的是物理上的可靠性保证，而非严格证明。混合Choi态可能包含系统范围的相干成分（例如，GHZ型相干性），这些成分对每个正确的局域边缘都是不可见的。然而，这种障碍在我们应用部分讨论的体制中预计不是普遍的。理解相关设备噪声模型的典型衰减长度仍然是一个重要的方向。

将该框架扩展到更高维几何结构是近期设备的另一个重要目标。主要挑战在于表示和操纵二维张量网络对象（例如，投影纠缠对算符和态，PEPO/PEPS）通常需要近似收缩方案，计算成本可能随键维数和分隔符宽度快速增长。开发基于分块或基于分隔符的二维恢复方法变体，以及有效的近似收缩和CMI类局域性假设下的稳定性保证，是未来工作一个令人兴奋且具有挑战性的方向。