神经网络量子态的绝热输运

《PRX IntelligenceNEW》：Adiabatic Transport of Neural Network Quantum States

　　变分方法几十年来为捕捉多体量子物理提供了可控且强大的工具。近年来，表达性强的神经网络量子态的引入，使得许多感兴趣哈密顿量的复杂波函数得以精确表示。我们提出了一种第一性原理方法，通过将简单哈密顿量的本征态绝热延拓到强关联区域，来构建多体激发态的神经网络表示。通过可控地访问完整的多体能隙，我们获得了临界指数的精确估计。连续的本征态估计可以完全并行运行，从而能够在不需要参考谱中其余部分的情况下精确瞄准激发态性质，为大规模数值研究整个物质相的普适性质打开了大门。I. 引言神经网络量子态（NQSs）近年来已成为多体系统中量子态的高效且精确的表示。与人工智能在经典学习任务中的快速进展相呼应，NQS社区采用并扩展了最先进的神经网络模型和流程[1–4]。使用NQS的变分蒙特卡洛（VMC）计算继承了更广泛的量子蒙特卡洛方法家族的一个关键优势——它们是第一性的，不需要独立数据集[5]即可对关联多体态产生定量预测。最初用作自旋系统变分基态优化的试探态[6,7]，它们迅速扩展到晶格上的费米子问题[8–12]以及直接在实空间中[13–21]。由于神经网络的表达力，NQS在捕捉困难的体积律态[22]方面表现出了特别的潜力，而张量网络方法[23,24]可能在此类问题上遇到困难[25]。因此，它们越来越多地被选作捕捉具有非平凡符号结构的非平衡现象的方法，用于有限温度计算[26,27]以及实时动力学[28–36]。尽管NQS方法取得了快速进展，但对多体激发态的访问常常受到令人望而却步的计算扩展的限制。激发态包含一系列下游物理可观测量的关键信息，如能隙、临界指数和准粒子激发谱。这些态也是实现高效精确杂质求解器以进行格林函数算法（如动力学平均场理论[37,38]或GW[39–41]）大规模计算所必需的。为了瞄准第k个激发态，传统方法依赖于投影掉低能态的贡献，在计算中添加惩罚项，并牺牲精度和计算效率。因此，这些方法需要在研究第k个激发态之前先获得前k-1个态。最近，提出了一种广义变分原理来捕捉由选定数量的变分态张成的子空间[42–44]。这种方法允许同时访问所有k个态，但需要集体优化它们，导致计算开销大幅增加。我们引入一种基于绝热输运[45,46]投影到高维NQS参数流形上的方法来访问基态和激发态。从简单经典哈密顿量的精确解出发，态被系统地赋予相互作用。与调整预优化网络以用于邻近参数的微调策略[47,48]不同，我们的方法直接利用高效的蒙特卡洛估计量在哈密顿量变化下更新变分参数，从而能够瞄准激发态。关键在于，这种方法在激发态上是并行的，允许在不参考谱中其余部分的情况下计算更高能态。由此产生的能隙有限尺寸标度恢复了转变处的预期临界行为，从而得到临界指数和底层共形场论（CFT）中普适能隙比的精确估计。通过直接计算证实文献[49]的结论，我们证明绝热输运能够在热力学极限附近捕捉三维（3D）伊辛和伊辛* CFT的非平凡算符内容。由于该方法在邻近哈密顿量参数处提供NQS表示，几何探针可以轻松评估，为临界行为提供通用特征。II. 方法考虑一个多体量子系统，其希尔伯特空间H由任意计算基{|σ?}张成，并由依赖于实参数λ的哈密顿量H(λ)描述。对于哈密顿量参数的微小变化δλ，瞬时本征态和相应能量平滑变化，除非在热力学极限下跨越相变。虽然最近的工作[46]为矩阵乘积态开发了绝热输运方法，但在这里我们引入一种在λ变化时输运NQS本征态的程序，使得能够绝热输运到二维（2D）系统的临界区域。图1说明了本征态的绝热输运与传统变分基态搜索之间的差异。图1. NQS基态的绝热输运与传统VMC基态优化的概述。连续的本征态近似在试探态|ψ_θ?的参数空间θ中描绘出一条曲线。我们选择H(λ_0)使得其相关本征态可以精确确定。H(λ_0)的第k个精确本征态|E_k(λ_0)?作为绝热输运到临界区域（定义为λ_c）的初始条件。λ处的本征态|E_k(λ)?通过假设网络参数θ本身依赖于λ，由NQS变分态|ψ_{θ(λ)}?近似，即对于固定的非归一化试探波函数形式ψ_{θ(λ)}，我们有
|ψ_{θ(λ)}? = ∑_σ ψ_{θ(λ)}(σ)|σ?, (1)
我们引入逆幂迭代（IPI）方法作为更新量子态一般变分表示的求解器。最近，类似方法在文献[50]中被用作基态问题的改进优化器，在某些情况下显示出比自然梯度下降[51,52]更快的收敛。IPI方法使用哈密顿量H的近似目标本征值E_t来恢复相应的本征态|ψ_t?，使得H|ψ_t?≈E_t|ψ_t?。连续的本征态估计然后通过众所周知的移位-求逆过程进行改进，
|ψ_{t+1}? ∝ (H - E_t)^{-1}|ψ_t?, (2)
忽略归一化因子。迭代方程(2)中的更新恢复能量E_t最接近估计值的本征态。在绝热输运的情况下，我们使用IPI求解器将近似能量E和相应的本征态|ψ?从某个λ传播到λ+δλ。我们将目标能量E_t设置为一阶微扰估计
E_t = E(λ) + δλ ?ψ(λ)|?_λ H(λ)|ψ(λ)?, (3)
并迭代IPI方案直到收敛。在足够多次迭代后，方程(2)中的结果态|ψ_{t+1}?被识别为|ψ(λ+δλ)?。通过直接将|ψ_{t+1}?代入方程(2)，可以确定更新δθ，对应于变分流形上的单次IPI步骤，如附录A所推导。该过程导致一个线性系统，A δθ = b，其中
A_{αβ} = Re[??_α ψ|?_β ψ? - ??_α ψ|ψ??ψ|?_β ψ?] + (E_t - E) Re[??_α ψ|ψ??ψ|?_β ψ?] / (E_t - E)^2 + ... (4)
这里，参数θ_α用希腊索引标记，且?_α = ?/?θ_α。实际上，变分参数更新为θ_α ← θ_α + η δθ_α，其中η是经验调节的混合参数，以稳定迭代并确保每个δθ_α很小。III. 结果绝热输运方法在具有周期性边界条件的一维（1D）链和二维正方晶格上的原型横向场伊辛模型（TFIM）上得到了验证。模型哈密顿量为
H = -J∑_{?i,j?} σ_i^z σ_j^z - h∑_i σ_i^x, (5)
其中σ_i^α表示作用在位点i上的泡利算符，第一个求和遍历所有最近邻对?i,j?，第二个求和遍历所有位点i。通过σ^z|↑? = |↑?和σ^z|↓? = -|↓?定义单自旋态，基态在h=0时取简单乘积形式|ψ_0? = ∏_i |↑?_i。单粒子激发扇区由动量本征态|k? = (1/√L)∑_i e^{ik·r_i} σ_i^x |ψ_0?张成，其中r_i是位点i的位置，σ_i^x |ψ_0?表示单个自旋翻转到|↓?态的构型。这些态在h=0处提供精确的低能激发态，并用作绝热输运的初始态。基态和激发态的输运从微扰小的h开始，直到超过已知临界点，一维h_c=1和二维h_c≈3.044[53]。初始条件|ψ(0)?被构建到波函数中为ψ_{θ(0)} = ψ_0，其中ψ_θ是由θ参数化的NQS。变分参数θ_θ和θ_h与θ_λ一起优化，并且ψ_θ在小的h处是精确振幅。NQS振幅ψ_θ被构建为自定义架构，结合卷积[54]和残差[55]层，顶层为受限玻尔兹曼机（RBM）[7,56,57]，保持由周期性边界条件引入的波函数输入σ的平移不变性。我们使用由θ_h参数化的残差编码器来生成隐藏自旋h，用于增强现有输入数据为
h = f_{θ_h}(σ), ψ_θ(σ) = exp[∑_i a_i σ_i^z] ∏_j (1 + e^{b_j + ∑_i W_{ji} (σ_i^z ⊕ h_i)}), (6)
其中⊕是拼接操作，且h_i是隐藏自旋。网络架构和输运过程的更多细节见附录B和补充材料[58]。图2(a)显示了1D TFIM的基态和几个激发态到临界点的绝热输运。相应的能量忠实地再现了使用Lanczos算法对哈密顿量进行精确对角化（ED）的结果。所有k的平均不保真度显示在插图中，展示了变分表示的质量。对于每个简并流形，跟踪一个代表性本征态，并相对于精确流形评估其不保真度。与ED的极好一致性证实了在所有h值下基态和激发态波函数都被可靠地捕捉。图2. 二维TFIM基态和激发态到临界点的绝热输运。面板(a)显示了4×4晶格，能量与精确对角化（实线）比较，插图显示每个简并流形中一个代表性本征态的平均不保真度。面板(b)显示了6×6晶格，插图报告V-score，面板(c)显示了临界点的色散关系。面板(d)显示了6×6 2D TFIM的普适能隙比R_j，在临界点h_c处与文献[49]的CFT估计（水平线）一致。我们观察到，属于不同离散对称扇区的态之间的能量交叉不会破坏输运的态。实际上，图2中显示的能量水平与未显示但存在于完整哈密顿量谱中的奇宇称激发态发生了多次交叉。我们还成功地在有限系统中将态输运越过临界区域，表明只要步长足够小，该方法可以分辨小能隙。如果在输运过程中出现精确简并，参数更新方程会变得奇异。然而，我们预期在交叉处使用简并微扰论应该足以恢复输运的态。远远超出ED的能力，图2(b)显示了6×6晶格本征态的输运。在没有ED参考数据的情况下，我们采用文献[25]中引入的V-score作为质量度量。V-score是一个重新缩放的、无量纲的能量方差，定义为V = (?H^2? - ?H?^2) / (N |?H?|^2)，其中N是自旋总数，对于TFIM等自旋系统，?H?是基态能量。我们获得了并行计算的15个本征态的可靠能量和波函数，即使在临界点的最高激发态，V-score也保持在0.001以下。尽管V-score被设计为基态计算的质量度量，但这些V-score值表明与目标态极好一致。更高激发态获得的值与受阻磁系统或费米子晶格模型基态的最先进结果相当。利用精确的基态和第一激发态，我们提取了临界指数ν和z，它们控制临界点附近关联长度ξ和能隙Δ的标度：
ξ ∝ |h - h_c|^{-ν}, Δ ∝ |h - h_c|^{zν}. (7)
尽管在热力学极限下临界点处发散，但关联长度在有限系统中受系统线性尺寸L的限制。这导致有限尺寸标度关系
Δ(L, h) = L^{-z} f(L/ξ) = L^{-z} f(L^{1/ν}(h - h_c)), (8)
其中f是普适函数。能隙Δ作为h的函数分别在图3(a)和3(b)中显示，分别对应一维和二维。在临界点，标度Δ ∝ L^{-z}允许通过线性回归估计z。一旦找到z，通过根据方程(8)在不同系统尺寸上折叠能隙数据来获得指数ν，插图显示了由此产生的高质量折叠。该过程的详细信息可以在补充材料[58]中找到。临界指数的数值在表I中给出，显示与已知值良好一致。图3. 一维[面板(a)]和二维[面板(b)]系统的能隙Δ vs h。临界点的标度Δ ∝ L^{-z}用于提取动力学指数z，而插图显示用于确定关联长度指数ν的有限尺寸数据折叠。提取的临界指数列于表I。面板(c)和(d)显示了相应的一维和二维基态保真度磁化率，插图中展示了标度折叠。在一维[面板(c)]中，通过Jordan-Wigner变换获得的精确解显示为实线，与NQS结果极好一致。表I. 绝热输运得到的临界指数ν、z和CFT能隙比。临界指数与共形自举[59–61]计算的精确值比较，能隙比与文献[49]的文献值比较。维度 指数 精确 输运 一维 1 0.99(1) 1 1.024(3) 二维 1 1.03(2) 0.629 97 0.6315(7) 尺寸 比值（） 文献 输运 5.305 5.26(3) 0.352 0.345(6) 0.484 0.507(7) 不同下NQS波函数的可用性使得可以直接估计基态保真度磁化率，这是一种不依赖于序参量先验知识的量子相变通用探针[62]。其定义为 (9)其中 。在热力学极限下， 在临界点发散，遵循普适标度律[63,64]，并可从相邻保真度估计为 。如图3(c)和3(d)所示，这一估计在一维和二维中都再现了预期的发散行为，插图显示了标度坍缩。在一维中，TFIM可以通过Jordan-Wigner变换转化为自由费米子模型求解[65]，我们的结果与精确解高度一致[图(c)中的实线]。更多细节参见补充材料[58]。在临界点，物理由CFT支配。空间环面上 维CFT的谱预期是普适的[49]，但与二维情形不同，它们不由径向量子化固定，且无法解析求解[66]。在图2(d)中，我们展示了绝热输运再现了三维伊辛和伊辛* CFT的普适环面能隙比。以全周期边界条件的最低激发为参考能隙， ，能隙比定义为 (10)这里， 表示周期边界条件（PP）下的有限动量激发，或沿环面一个（AP）或两个（AA）周期施加反周期边界条件所得到的低能态。前者对应共形后代，而AP和AA边界条件实现缠绕环面一个或两个周期的 缺陷线。表I列出了临界点处 结果的CFT能隙比估计。有限动量和AP比值与文献[49]的估计吻合良好，而AA比值显示出更大偏差，这与两条相交缺陷线引起的更强有限尺寸效应一致。结合临界指数估计，这些结果表明变分NQS方法解决了跃迁附近动量激发和缺陷激发的分辨问题。四、结论我们提出了一种精确的输运方法来获取NQS激发态，自然扩展了现有可靠的VMC工具箱。基于移位-求逆过程的广义随机参数更新方程，结合目标能量的简单微扰估计，能够并行制备NQS激发态。在不牺牲精度的前提下，这一特性消除了强制正交约束带来的二次计算开销。对可积（一维）和大型不可积（二维）TFIM的基准测试表明，绝热输运结合NQS，通过精确估计多体能隙和临界指数，能够同时访问低激发态和普适临界物理。按需获取激发态消除了精确多体计算中的重大障碍。它们是强关联态上准粒子激发谱的关键要素。针对目标性质筛选候选材料，例如光学带隙的估计[67,68]，可以显著受益于精确获取高能态。同样，有限温度和实时求解器间接依赖于激发态，以推动我们对热性质及预热的理解。绝热输运本身已成为近期实用量子优势的关键计算基准[69]。在恢复伊辛和伊辛*扇区的普适CFT能隙比后，绝热输运已展现出作为普适物理数值探针的潜力。由于拓扑态以环面上稳健的基态简并度为特征，NQS输运方法可能为解析其他拓扑有序系统中的小能隙提供途径。利用NQS的高表达能力来表示关联谱，有望成为计算驱动物理洞察的新前沿。绝热输运为实现这一目标提供了普适且可快速扩展的计算框架。我们期待它接下来将攻克哪些具有挑战性的开放问题。