局域旋转不变性下基于自由概率对本征态热化假说的改进

《PRX Quantum》：Refinements of the Eigenstate Thermalization Hypothesis under Local Rotational Invariance via Free Probability

　　本征态热化假说（ETH）最初是作为理解孤立量子多体系统在长时极限下统计力学原理如何涌现的框架而提出的。此后，ETH将研究重心转向了物理可观测量在能量本征基中矩阵元的研究。在本工作中，我们重新审视了近期发展为完整ETH表述的相关进展，该表述是原始ETH假设的推广，考虑了多点关联函数。利用自由概率工具，我们探讨了局部旋转不变性的含义——这一性质源于可观测量在哈密顿量微小扰动所诱导的随机基变换下的统计不变性。该方法使我们能够做出定量预测，并推导出矩阵元关联次领头阶修正的解析表征，从而精炼了ETH假设。此外，我们的分析将随机基变换下矩阵元的统计性质与通常在处理系综单个实例时所考虑的能量窗口经验平均联系起来。我们通过与不可积Floquet系统的数值模拟进行比较来验证我们的解析预测。

I. 引言

本征态热化假说（ETH）是作为量子混沌、典型性和随机矩阵理论（RMT）思想的自然推广而引入的，旨在解释孤立量子系统中的热化现象[1-7]。在量子混沌学界，通常将确定性系统建模为有效随机系统。在此精神下，Bohigas-Giannoni-Schmit猜想确立了量子混沌系统展现出与RMT一致的本征值统计[8]。除了谱性质之外，量子混沌还体现在本征态的统计性质中。根据Berry随机波猜想，混沌系统的本征函数表现为具有高斯分布振幅和随机相位的平面波叠加[9,10]。

在这些基础之上，ETH聚焦于少体可观测量在能量本征基中的矩阵元。已有提议认为这些矩阵元可被视为随机变量：对角元的平均值随能量平滑变化并重现热期望值，而非对角元具有零均值和依赖于能量的方差[3,4]。这些微小涨落可以被视为由无穷小扰动系统的虚拟系综产生，通过任意混合邻近本征态有效引入随机性，而不改变统计力学相关尺度上的相关物理性质[5]。ETH将矩阵元的统计性质与热化行为联系起来，从而解释了孤立混沌系统中的热化。随机性作为潜在机制涌现：在保持能量最小结构的约束下，混沌本征态在其他方面尽可能随机，编码了微正则系综[4,11-16]。

最近的发展通过研究矩阵元之间的高阶关联扩展了标准ETH框架[17]。这些关联现在已知在确定时序外关联函数（OTOC）等量方面起关键作用，并已在从凝聚态物理[18-23]到高能物理[24-31]的不同背景下得到研究。完整ETH[17]对具有不同指标乘积给出了以下表达式：
(1a)
其中是一些关于能量差和平均能量密度的光滑函数，为系统尺寸。它们通常被称为ETH光滑函数，与高阶连通热关联函数的傅里叶变换相关。是平均能量处的态密度，为宏观熵。当指标重复时，乘积的平均值在态密度的领头阶下因式分解为
(1b)
值得注意的是，人们已认识到这一假设可以在自由概率理论的数学框架内重新表述[32,33]。后者通过用自由性替代统计独立性概念，将经典概率推广到非对易变量[34-36]。具体而言，它引入了理解大矩阵统计性质的强有力工具，例如混沌量子系统中出现的那些矩阵。将ETH以这一语言重新表述已带来若干概念性进展[20,37-41]，包括一个有趣的提议：在遍历系统中，不同时刻的局部可观测量在长时极限下变为自由独立的[42-47]。

在本工作中，我们进一步发展了局部旋转不变性原理，该原理最初促成了完整ETH的表述[48]。一方面，我们详细阐明了完整ETH如何从局部旋转不变性中涌现；另一方面，追求这一目标也为式(1)的次领头阶修正提供了定量表征，这些修正在文献[17]中仅被部分讨论。

旋转不变性可以在不同层面上实现。在最简单的实现中，基变换是全局的：哈密顿量的概率分布在任意幺正变换下保持不变[49]，导致完全随机的本征矢量均匀分布在单位球面上[50,51]。因此，的统计性质在随机全局幺正旋转下保持不变。然而，在实际哈密顿量中，随机性仅在能量上局部涌现：本征态在小能量尺度上表现出类随机涨落，同时在整个谱上保持平滑变化和物理结构[52-57]。这一观察激发了精炼的RMT模型，例如带状随机矩阵系综，其中随机性被限制在邻近能级之间[58,59]。在这些模型中，可观测量的统计性质仅在局部幺正变换下保持不变，为混沌多体系统提供了更忠实的统计描述。从全局到局部旋转不变性的转变因此可被视为ETH范式的精炼[17]：全局情形代表无特征随机极限，而局部版本则纳入能量结构。这一层级图景为研究ETH内部结构提供了可控方法，并能显式评估其首个次领头阶修正，这些修正自然地以局部自由累积量[60]的形式出现，正如我们旨在本工作中展示的那样。这些修正与文献[60]中引入的结构化随机矩阵在领头阶之外的假设相容。

A. 动机与主要结果

在进入技术性阐述之前，我们在此总结我们方法背后的物理思想及主要结果。

a. 局部旋转不变性与系综。我们的出发点是如下物理观察：如果我们以仅重排能量上相近本征态的方式轻微扰动哈密顿量，与热化相关的可观测量统计性质不应改变。事实上，介观物理预期对这种仅混合邻近本征矢量而保持谱的平滑粗粒化结构不变的微小扰动不敏感。这一预期体现在局部旋转不变性原理中[48]：能量本征基中的可观测量与经仅在能量上局部作用的随机幺正旋转后的版本共享相同的统计性质，
(2)
每个是独立的Haar随机幺正，仅混合以介观能量为中心的宽度为的小能量窗口内的态。该窗口由函数描述，可以是锐利矩形或围绕的平滑分布轮廓，如图1(a)所示，使其包含的态数为。对的平均仅在能量上局部地重排的矩阵元，同时保持关联的层级结构。

图1. 图示总结。(a) 局部旋转系综：具有块状结构的随机幺正（左）或能量上具有平滑/带状结构的随机幺正（右）。仅能量窗口内宽度约为各介观能量周围的个态被系综的矩阵混合。该窗口由函数描述，可能采取锐利矩形或平滑轮廓的形式。(b) 矩阵元乘积，如和，用个点上的蓝色图表示，其中重复指标由蓝线连接。这唯一确定了，由红边上的关联图所标识。(c) 重复指标关联的领头阶因式分解和次领头阶修正[参见式(9)]。领头阶贡献由确定，并以其块上的光滑函数在标记节点的能量处求值的乘积给出。次领头阶修正由合并两个块所形成的图得到。上行：式(5)的因式分解。下行：式(8)的因式分解。

b. 主要结果。在本工作中，我们计算矩阵元乘积的平均值，例如式(1)中出现的那些。局部旋转不变性允许这些量作为相应幺正(2)的系综平均来计算。执行这一计算得到完整ETH假设，表明局部旋转不变性提供了支配ETH中所编码关联结构的根本原理。显式求值进一步带来以下结果：
(1) 以全局矩阵量定义ETH光滑函数，使矩阵元的能量依赖性显式化；
(2) 定义进入ETH假设的经验平均。虽然推导依赖于随机旋转上的系综平均，但这些平均最终允许以单个确定性算符的矩阵元进行精确表述。
(3) 识别ETH因式分解的次领头阶修正。

这些是我们的主要结果。

最简单的例子：标准ETH。在本段中，我们在一阶和二阶的最简单例子上说明这些结果，它们对应于标准ETH假设[4,7]。

当指标不同时，局部旋转不变系综上的平均给出能量的光滑函数（结果1）：
(3a)
(3b)
其中是归一化的微正则投影算符，围绕能量集中，且。这样我们获得的能量分辨矩，即投影到能量窗口上的迹，它们定义了能量的光滑函数和[使用式(1)中的记号]。

此外，我们注意到，对于，我们可以将式(3b)重写为
(4)
如下文所讨论，这表明ETH平均可以解释为算符单个实现在小能量窗口上的平均，即进入ETH假设的经验平均（结果2）。

最后，当某些指标重复时，矩阵元的平均因式分解为这些光滑函数的乘积，加上一个次领头阶修正（结果3）；最简单的实例是对角两点函数
(5)
其中第一项是因式分解，第二项的相对阶为，是次领头阶修正。如下文更详细解释，后者编码了领头阶贡献的非平凡拼接机制，该机制生成高阶关联，尽管受限于等能扇区。式(5)是众所周知的表述：对角矩阵元的方差由零频率处的非对角元确定[7]。事实上，次领头阶贡献在标准ETH中已经存在，但在通常的高阶表述中缺失。本文的目标之一是将这些结果推广到任意阶，从而填补完整ETH框架中的结构性空白。

一般结果。我们现在展示上述结果如何在任意阶成立。

对于全不同指标的循环乘积（简单回路），平均值是能量的单个光滑函数，
(6)
它将式(3a)-(3b)推广到任意。我们将能够以微正则投影算符能量分辨的矩来写出的光滑函数，并表明这些表达式是局部自由累积量[60]，与算子值自由概率直接相关。这些为ETH光滑函数提供了自然定义，以全局矩阵量表达。

一个关键结果是系综平均与单个固定算符在小能量窗口上的经验平均一致。利用和自平均，不同指标的图满足
(7)
从而推广了式(4)。右侧仅涉及固定算符的矩阵元，在周围的归一化能量窗口上求和：系综随机性被单个确定性矩阵在小能量窗口上的平滑所取代。值得注意的是，这提供了数值提取ETH函数的标准方法，并通过仅对不同的指标进行平滑将其推广到重复指标情形。

重复指标处的因式分解及其次领头阶修正也允许一个简单的解释，作为式(5)中已强调机制的推广。例如在四阶情形，
(8)
即领头阶因式分解之后是由具有一个更多不同指标的乘积在相等介观能量处求值所构成的次领头阶修正。

这一机制可以从图1(b)-1(c)中形象化地理解。首先，我们将矩阵元素的每个乘积关联一个图，如图1(b)中公式(5)和(8)的示例所示。矩阵元素用蓝点表示，当它们的指标重合时用蓝线连接，而图从红边中读出。我们关注该图为非交叉的乘积，并证明平均值可写为(9)。领头项直接从图中读出[图1(c)，左]：它由光滑函数的乘积给出，对于中的每个块有一个因子，这些因子分别在该块内各点所关联的能量处求值。次领头修正来源于通过合并的两个块而得到的图[图1(c)，右]；每个同样是光滑函数的乘积。例如，在[图1(b)–1(c)的顶行]处，的图有两个块，产生因式分解。合并它们得到单一修正，这复现了公式(5)。在正文中，我们将证明该过程具有精确的数学表述，并且和自然地组织在自由概率中出现的非交叉划分格上。

论文策略。为建立直觉，我们从全局旋转不变性的最简单情形出发，即单个全局Haar旋转作用于所有矩阵元素。这对应于在中取单个大小为完整希尔伯特空间维数的块。该玩具模型已经捕捉到了因子分解性质和次领头修正的结构，但对任何能量依赖视而不见：在这种情况下，局域自由累积量约化为可观测量的归一化自由累积量，与能量无关。然后我们将此构造精化到局域旋转不变性，这恢复了能量依赖，并且关键地产生了ETH函数的光滑能量依赖。

B. 论文结构
本文其余部分组织如下。在第II节中，我们详细阐述全局和局域旋转不变性的思想；简要回顾用于计算矩阵元素乘积平均值的Weingarten演算，以及自由概率的关键概念。接下来四节包含我们新结果的主体：
(i) 第III节：从全局旋转不变性的最简单玩具模型开始；我们推导领头和次领头贡献的闭式公式；它们可以用非交叉划分格上的自由累积量来读出。
(ii) 第IV节：考虑具有局域旋转不变性的第二个玩具模型，这使我们能够通过纳入能量依赖来改进全局情形的闭式公式；我们将相应的量从标准自由累积量转换为与算子值自由概率相关的局域自由累积量。
(iii) 第V节：这些发现使我们能够为固定矩阵定义小能量窗上的经验平均，并直接将ETH的光滑函数与局域自由累积量联系起来。通过这种方式，我们恢复ETH和图的因子分解的第一个次领头修正。
(iv) 第VI节提供了在多体不可积Floquet系统中进行的数值测试，证明了与我们的理论预测高度一致。
在第VII节中，我们总结并讨论我们工作的含义，展望由局域旋转不变性原则建议的未来方向以及次领头修正的可能应用。

有若干附录。在附录A中，我们引入自由概率的补充概念，补充正文中的内容。然后我们在附录B和C中分别讨论通过Weingarten演算进行的详细计算，分别针对全局和局域旋转不变性。在附录D中，我们将从局域旋转不变性得到的结果与算子值自由概率联系起来。基于Harish-Chandra–Itzykson-Zuber积分的自由概率的另一种方法在附录E中讨论，而附录F给出额外的数值分析。在附录G中，我们展示本文讨论的次领头修正如何决定热自由累积量的晚期平台，为混沌动力学中的长时间自由性提供定量刻画。

II. 随机基变换
在这项工作中，我们通过研究某个可观测量在随机旋转基中的矩阵元素之间的关联，来研究其矩阵元，其中是取自我们即将指定的系综的幺正矩阵。基本假设是考察哈密顿量基中的单一矩阵，并假设其具有全局或局域旋转不变性。这意味着与全局或局域旋转版本具有相同的统计性质：
(10)
其中可以是Haar分布随机幺正矩阵，如图2(a)所示，或者是由能量局域结构刻画的带状随机幺正矩阵，如图2(b)中的块对角矩阵或其平滑版本如图2(c)所示。的矩显然等于的矩，因为它们仅取决于矩阵的谱性质。在局域旋转不变性的背景下，我们将遇到广义矩，并假设在大尺寸极限下这些的矩等于的矩，且特别是这些量是自平均的，即矩阵的单次实现等于平均结果。

图2. 公式(10)中随机矩阵的示例，用于旋转可观测量。展示了推导ETH的不同精化玩具模型。在(a)中矩阵是全局Haar幺正矩阵，因此相应地具有全局旋转不变性。局域旋转不变性通过纳入局域结构实现，如(b)和(c)所示：在(b)中矩阵由独立Haar幺正矩阵的不相交块组成，每个块仅作用于状态的局域区间。(c)中最精化的玩具模型是前者的平滑版本，见第II节讨论。

随机矩阵理论和自由概率为计算矩阵元素的阶矩提供了框架，这是ETH关注的核心。我们明确保留对和的依赖，以强调我们正在对随机矩阵系综取平均，假设。对固定可观测量的矩阵元素进行的经验平均将在第V节讨论。我们现在定义将要考虑的不同玩具模型。

在第一个玩具模型中，是无结构随机幺正矩阵，可观测量具有全局旋转不变性。因此，由Haar系综抽样。矩阵元素的阶矩如下：
(11)
Haar系综的统计性质已知精确，并可用Weingarten演算紧凑地表达，该演算源自Schur-Weyl对偶性和Schur引理，允许幺正不变量写成置换算子的形式[61]：
(12)
其中是阶对称群中个置换的Weingarten矩阵。是矩阵的维数，即希尔伯特空间维数。Weingarten函数的进一步讨论见附录B。

基于矩阵元素生成函数显式公式（Harish-Chandra-Itzykson-Zuber积分的低秩极限）的另一种方法在附录E中讨论。

第二个玩具模型考虑在局域基变换（即对能量局域邻域内的元素进行重排）下保持不变。我们考虑在哈密顿量能量上具有局域结构，即。我们将总能量范围分成个不相交区间，。每个区间的能量大小记为，直观上同一块中的所有状态与相同的介观能量关联。考虑一个一般区间，任意可以取为该介观能量的代表，因此我们用状态标记为。的状态数，记为，定义为
(13)
其中选取属于块的状态（属于的状态），作为锐利方框，而是能量处的态密度，其中是宏观熵。因此可以对每个区间定义矩阵，作为块稀疏矩阵，具有大小为的单一随机幺正块，支持在指标上。全局地，如图2(b)所示，
(14)
其中独立。因此，局域旋转矩阵为
(15)
其中现在和分别是块和的独立Haar幺正矩阵：旋转是在状态和的能量附近局域地进行的。局域旋转矩阵的矩阵元素阶矩为
(16)
与全局旋转不变性情形不同，必须考虑矩阵仅在相关联的指标集上是随机幺正的。因此，公式(12)不能直接应用；然而，通过适当耦合不同区间上的矩阵，Weingarten演算仍然可以使用。对于具有平坦的单个区间，可以清楚地恢复全局Haar情形，如公式(13)。

这个最小玩具模型，虽然便于解析计算，但具有内在的不连续性，因为能量接近的指标和可能仍属于不同的块和。然而，它具有一个自然的对应物，可以示意性地与图2(c)所示的带状幺正矩阵相关联。实际上，其表述允许将最小模型推广为平滑版本，考虑对每个状态以特征宽度在附近尖峰化。从锐利函数过渡到平滑函数，产生局域旋转不变性模型的精化版本。

在接下来的几节中，公式(11)和(16)将通过Weingarten演算显式求值，矩阵元素乘积将用自由累积量给出。由于这些概念对于解释我们的结果至关重要，我们在下一段简要回顾自由概率理论的基本要素。

A. 自由概率的关键概念
自由概率是传统概率论对非对易变量（如随机矩阵）的推广。起源于平面场论[62–64]，自由概率近来在许多多体物理分支中发挥作用，如量子信息论[65]、张量网络[66–69]、无序系统[70–75]和引力[76–80]。

本节简要介绍理解本文主要结果所需的自由概率理论方面，重点是其组合表述。附录A提供补充材料，给出更标准的自由概率数学介绍和算子值自由概率的简要概述。后者将自由概率扩展到具有额外结构的变量，如块随机矩阵，并且如下所示，我们分析中出现的某些结构在该框架内具有自然解释。

关于自由概率理论的更全面处理，参见参考文献[81–83]。
图3中展示了主要概念的一些示例。

图3. (a)四个元素（蓝色）的一些划分及其各自的Kreweras补（红色）的图示。的唯一边界划分显示在右下角，没有Kreweras补。(b)非交叉划分的（子）格；行之间的线连接单位距离处的划分。底部是离散划分（最细），顶部是平凡划分（最粗）。相应地，可以看作测地区间，即Cayley图的子集，其中从一行到另一行的置换通过单个对换相关联。沿从到的路径的每组置换定义了区间中的单个测地线；一个显式示例以绿色高亮显示，右侧亦然。

a. 划分。为了描述自由概率的组合学，引入划分是有用的。一个元集合的划分是一组非空、不相交的子集，其并集等于原集合；我们将其表示为块序列，其中是划分中的块总数。每个划分通常用圆上顺时针排列的个点图形化表示，用线连接同一块中的元素。交叉划分是那些块交叉的划分，即各自图中线相交的划分。非交叉划分是所有其他划分，记为，其数目由Catalan数给出。两个特殊划分是离散划分（个1元素块）和平凡划分（1个元素的块）。

b. 格。划分通过细化形成偏序：对于两个划分 和 ，若 的每个块都包含在 的某个块中，则记作 。在此序下，所有划分的集合构成一个格，可将其可视化为一个划分层级结构，从顶部的最粗划分——平凡划分，到底部的最细划分——离散划分。并非所有划分都可比较，这使得细化仅为偏序：不可比较的划分位于格的同一层级。当仅考虑非交叉划分时，可绘制出类似的结构，在相同的细化序下形成所有划分格的子格。 的子格呈现出一种上下对称性，这是非交叉划分的特有性质，在所有划分的格中并不成立。该对称性表现为交换最粗与最细划分，并反转其余所有划分的次序；这使格在组合上保持不变。这种反转对称性可以被精确刻画，从而定义出Kreweras补。c. 对偶划分或 Kreweras补。非交叉划分 的Kreweras补可通过图解方式获得：将集合 的第二份副本置于同一圆周上，取新点上的最大非交叉划分，且不与 的任何线交叉。直观上， 补全 使得二者共同构成加倍集合的最大非交叉划分。它是唯一的。交叉划分没有对偶补。Kreweras补定义了 上的一个逆序双射；即，若 则 。换言之，在Kreweras补下，最粗划分变为最细划分，最细划分变为最粗划分，中间层级被镜像映射。因此，Kreweras补实现了 与逆序格之间的同构。 也称为 的对偶划分，而 被称为自对偶的。d. 自由累积量。在概率论中，当从随机变量 的矩递归定义累积量时，划分的组合学通过矩-累积量公式发挥核心作用。经典情形中所有划分均有贡献，但在自由概率论中仅出现非交叉划分。矩-自由累积量公式则写为 (17)其中 对每个 隐式定义。每个 可表示为与 的块相关联的自由累积量的乘积： 表示 的第 个块 的长度。作为例子，前几个自由累积量由下式隐式定义 (18)这一表述突出了自由累积量底层的组合结构：每个累积量自然地对应于指标的一个非交叉划分，而第 阶矩通过求和所有大小为 的非交叉划分的关联贡献重构。矩泛函 可以相当一般地选取；在随机矩阵理论中，一个常见且自然的选择是归一化迹 。e. 划分-置换同构。这一对应关系在附录A 3中更详细地讨论，这里仅概述主要思想。对称群 中的每个置换 通过将属于同一循环的元素分组来诱导一个划分 ： 。其逆不成立：划分不能唯一确定一个置换，因为必须选择每个块内元素的顺序才能定义循环。当固定块内的顺序时——对我们而言是正规序——并排除交叉划分，该对应关系变为双射。因此，可以建立非交叉划分与特定置换子集之间的同构，即位于从恒等置换到正规序最大循环的测地区间上的置换，其中测地线是相对于凯莱距离定义的。这一陈述在附录A 3中更精确地说明，并在引入置换上的偏序后，突出格结构与凯莱图之间的对应关系。认识到这一同构后，我们将非交叉划分与相关联的置换视为同一。特别地，我们用相同的字母称呼它们，并以相同方式表示块和循环。其解释取决于上下文：当视为映射时，记号表示置换的作用；否则，它表示划分的块。我们用 表示恒等置换，即离散划分；用 表示正规序最大循环，即平凡划分。III. 全局旋转不变性我们的目标是计算方程(11)中的乘积，并推导出一个公式，为在希尔伯特空间维度 下计算领头阶贡献和第一子领头阶贡献提供组合规则。本节考虑可观测量 具有全局旋转不变性的情形。这里呈现的结果在附录B中推导，通过将方程(12)代入方程(11)并系统展开 的幂次得到。我们的分析聚焦于形如 的特定乘积，我们称之为ETH-循环[84]。为方便起见，定义有序指标集合 ，其中对于不同的 ，不同的 可能重合也可能不重合。通过允许 中所有可能的重复，我们涵盖了旨在研究的矩阵元乘积的所有相关情形。每个 可唯一关联于集合 的一个划分，其中数字表示 中指标的位置，即子指标：我们将 中相等指标的位置分配到同一块。具体而言，设 表示划分的第 个块，包含 个元素。对应于该块的所有指标均相等，即 。乘积中不同指标的总数由划分的块数给出。例如， 具有 且关联于2块划分 。确实， ，相对于一般的ETH-cycle 。基于哪些指标被重复，我们可有： (i) 简单环，若所有指标互不相同。这些由 –块划分定义； (ii) 仙人掌图，若存在重复指标且关联的划分是非交叉的； (iii) 非仙人掌图，若存在重复指标且关联的划分是交叉的。例如， 具有划分 的情形即如此。我们将非仙人掌图从讨论中排除[85]。每个ETH-cycle关联于一个图，可与所定义的划分图等同[32]。例如，对于 的一些例子为 在此图解表示中，我们用蓝色突出指标的原划分，用红色表示其对偶非交叉划分（当存在时）。事实上，为了写出领头阶和子领头阶贡献的闭式公式，方便的做法是根据前述划分的Kreweras补对图进行分类，我们将其一般记为 。虽然前述划分保证了同一块中由数字标记的指标相等，但对于 并非如此；将其解释为置换更为方便。具体地， 可视为 的子指标集合的置换；而 是矩阵元中第一位指标的集合， 是矩阵元中第二位指标的集合。这允许我们将矩阵元乘积（排除非仙人掌图）表示为 例如， 在 上的Kreweras补为 ，这反映了前两个指标形成一个循环并在前两个矩阵元中被交换： 和 ，而 和 。对于仙人掌图，对偶划分的块数 是图中的叶数，即捏合相等指标时圆周被分成的部分数。利用迄今引入的工具，我们现在可以解释 的领头阶和（第一）子领头阶贡献的公式。这里作为猜想给出，并在附录B中证明： (19)其中 是每个块对应的一个自由累积量的乘积， 为 的块数，参见方程(17)。这些自由累积量与由可观测量 的幂的归一化迹给出的矩相关联。我们强调，在方程(19)中， 不应被视为一般置换，而应视为描述简单环和仙人掌图的非交叉划分的Kreweras补所关联的置换。现在讨论方程(19)的推论。领头阶贡献由 的块相关联的自由累积量的乘积给出，并按希尔伯特空间维度的幂次缩放，该幂次依赖于块数。这构成了ETH的最简“玩具模型”（例如参见[7]中对 的情形），其中矩阵元乘积的期望值不依赖于指标，即方程(18)的常数自由累积量。领头阶项在另一上下文中通过附录E的方法在[86]中得到。值得注意的是，即使子领头阶修正也允许用自由累积量表示紧凑的表达式，即与非交叉划分格上距离为1且大于 的划分 相关联的自由累积量。因此，子领头阶贡献可以从格 上立即读出，定位 ，并考虑其上一行所有与之连接的划分。划分 可能取决于 ，可以是唯一的、非唯一的，或可能不存在。让我们通过显式例子来说明这些结果。对于简单环，距离为1的划分 不存在。事实上， 是平凡且最粗的划分：它位于格的顶部，其上没有划分。因此，一阶修正为零[87]。其关联的自由累积量为 。例如，对于 中图3顶部的划分，公式为： (20a) 因此，可以将自由累积量视为具有全异指标的图 (20b)在本文中，符号 表示领头阶和次领头阶行为，而所有小两个数量级的修正 被忽略。对于仙人掌图的情形，该公式给出矩阵元的第 阶矩关于仅含不同指标的低阶矩的因式分解，每个低阶矩由单个自由累积量 给出，每个代表初始图的一个块。这是完整ETH编码的通常因式分解：每当存在重复指标时，应对统计平均值进行划分。子领头阶贡献是对标准因式分解的修正。这可以在以下例子中更清楚地理解。对于 ，即 的Kreweras补，领头阶为 ，对应于因式分解 。对于子领头阶，存在三个非交叉划分满足 ，即 和 。从格中， 我们同时展示了与矩阵元乘积中重复指标相关联的划分的格（第二个格）以及其Kreweras补的格（第一个格）。确实，由于格是自对偶的，可以互换地从一个或另一个读取结果，仅需反转次序。从底部的格可以更清楚地看到，比 细一个单位的划分对应于矩阵元乘积中比初始乘积多一个不同指标的情形。图解上，这对应于一次一次地打断初始块中的线，实际上意味着考虑少一个重复指标，从而少一个块。子领头阶修正由这些配置的领头阶贡献给出。结果为： (20c)子领头阶通过以所有可能方式重组领头阶的因式化项得到，同时将原本相等的指标视为不同；这些指标在图中用虚线连接。再考虑另一个例子 ，即 的Kreweras补：领头阶为 ，对应于因式分解 。对于子领头阶，仅有一个非交叉划分满足 ，即 ，即对偶格顶部的那个。这确实对应于比初始乘积多一个不同指标的矩阵元乘积。因此，我们的发现是：每个仙人掌图的次领头阶贡献，等于具有一个额外不同指标（该指标在仙人掌图中原本重合）的构型的领头阶贡献。对于非仙人掌图，划分 未被定义，这反映了这些矩阵元乘积不存在唯一的分解方式，这一点在附录B的推导中可以得到更好的理解。方程(19)中的表达式不包含显式的能量依赖；事实上，众所周知，这个简单的随机矩阵理论玩具模型不足以推导ETH函数。在下一节中，我们将扩展该方法以纳入显式的能量依赖并克服这一局限性。IV. 局部旋转不变性

现在我们考虑第二个玩具模型，该模型考虑到 在局域基变换下保持不变，即其元素在局域邻域内的重新排列，即 。我们认为 在哈密顿量的能量方面具有局域结构，如第二节所述。用于计算矩阵元 阶矩的Haar平均在附录C中显式地执行，涉及前几个 阶的一些例子。尽管推导是使用图2(b)中的最小模型进行的，但所得表达式可以直接转换到图2(c)中更精细的模型。这里我们给出这些结果，将讨论分为简单环和仙人掌图两类。

A. 局部自由累积量

对于简单环，我们在附录C中证明平均值由能量的光滑函数给出：
(21)
现在我们为前几个阶（直到 ）显式写出该函数。为了指定函数 ，我们为每个能量态 引入一个归一化的delta算子：
(22)
其中我们回顾到 在 附近具有峰值，特征宽度为 ，因此 实现对能量 的光滑微正则投影。我们用 表示该算子的对角矩阵元。这使得我们可以将光滑函数 写为：
(23a)
(23b)
(23c)
(23d)

容易看出，若 在整个能谱上平坦，则恢复到第三节讨论的全局旋转不变性结果(20b)。在此极限下，这些关联函数对应于重新缩放的自由累积量， ，其中 由整个矩阵幂的归一化迹定义，参见方程(18)。

我们假设，当光滑函数乘以能量投影算子时，它们可以在相同能量处求值，即 。这意味着当指标相同（零频率）时，光滑函数具有连续性。

通过反转方程(23)，我们得到：
(24a)
(24b)
(24c)
(24d)

可以注意到这些表达式与方程(18)之间的相似性；事实上， 可以从广义矩-累积量公式隐式定义：
(25a)
其中 是非交叉划分 的对偶，函数 定义为：
(25b)
函数 是重新缩放的delta函数 的乘积，它将属于 同一块中的指标等同起来；注意，如果多个指标属于同一块，我们应选择最少数量 的函数。通过检查前几阶，可以立即得到方程(24)。

从方程(23)可以清楚地看到，当能量充分分离时，这些量可以重写为具有适当归一化的迹，因此其标度关系为：
(26)
其中在右边，我们取大尺寸极限 并使用对有限秩可观测量，迹按平均能量 处的态密度标度。

我们注意到，除量纲因子外，相同的表达式(25)可以在参考文献[60,73,88]中找到，其中相应的量被定义为局部自由累积量。因此，在本工作中，我们同样将 称为局部自由累积量。主要区别在于，我们在局部旋转不变模型中推导出的 ，具有与能量 相关的不同量纲。在参考文献[60]中，矩阵的态密度是平坦的：没有能量依赖性，所有 都相同，如Floquet模型的情况，因此可以适当定义归一化函数。此外，参考文献[60]表明，那里引入的局部自由累积量可以与算子值自由累积量相关。

由于方程(25)是将方程(17)推广到具有能量结构的矩阵，这在我们情况下也成立：我们在附录D中展示了当将标量自由概率推广到算子值自由概率时，方程(25)是如何自然出现的。因此，局部自由累积量可以与特定算子值自由累积量的对角分量等同，即那些由能量窗口投影算子加权的分量。

B. 仙人掌图

最后，让我们讨论具有重复指标的矩阵元标度的影响。对于这些图，我们不仅可以表征领头阶，还可以表征次领头阶的标度，如同我们对全局旋转不变模型所做的那样。

我们在此举例说明；对于 ，具有重复指标的期望值为：
(27a)
这对应于通常的分解，其中修正项由在相等能量处求值的第二局部自由累积量给出。在方程(27)及以下中，我们使用符号 来突出能量依赖性。这个对角矩阵元的结果与众所周知的ETH两点函数结果一致[89]。

对于 ，两个例子为：
(27b)
和
(27c)
由此可以清楚地看出，在领头阶，通常的分解成立，而修正项来自高阶局部自由累积量，对应于具有更多不同指标但在相等介观能量处求值的矩阵元乘积。

这些结果将第三节中获得的全局旋转不变性结果推广到结构化矩阵的情形。特别地，方程(27b)–(27c)类似于方程(20c)–(20d)，但现在包含了显式的能量依赖。可以注意到，上述图中的虚线在局部旋转不变性情况下连接相等的介观能量。

因此，贡献可以再次从非交叉划分的格点读出，领头阶和次领头阶行为的通用表达式为：
(28)
其中，在集合 中，每当指标在 中重复时，能量也重复；函数 在方程(25b)中定义为局部自由累积量的乘积。对于 ，即使在 中可能存在重复，在其局部自由累积量 的依赖关系中，仅存在不同的能量，因为根据定义， 的每个块仅包含不同的指标。对于 ，由于与之相关的乘积中相对于初始乘积有一个额外的不同指标， 在之前相同的指标变为不同时在相等能量处计算。

因此，仙人掌图的每个次领头阶贡献等于具有一个额外不同指标的构型的领头阶贡献，其中对先前重合的指标在相等能量处计算。

方程(28)代表了本文的主要结果之一，它直接将完整随机矩阵理论的结果(19)推广到结构化矩阵。预期相同的性质也适用于非可积哈密顿量的矩阵元，从而为完整ETH提供了改进。在第六节中，我们将验证相同的性质也适用于非可积Floquet模型。

V. 小能量窗口上的经验平均

在局部旋转不变玩具模型之后，我们现在可以与标准ETH假设建立联系。首先，局部自由累积量 在方程(26)中的标度关系建议定义一些序一函数：
(29)
通常称为ETH光滑函数，通常写成平均能量密度 及所有其他 个独立频率 的函数。

为了与方程(1)中的ETH假设建立联系，我们在本工作中取得的一个重要进展是，将先前定义的带幺正矩阵系综上的矩阵元平均，与我们研究的具体算符在所选特定哈密顿量基底下单个实例的矩阵元的经验平均联系起来。对于具有不同指标的图，我们可以推导出：
(30)
为了推导这个关系，我们假设 的统计性质与 相同，因此在(23)的广义矩或(30)的广义求和中，我们可以任意使用 或 。然后我们假设这些量是自平均的，这在随机矩阵理论中通常是成立的。这个表达式仅对应于对矩阵单个实现中平滑不同指标的平均值的定义；我们将其定义为经验平均。该方程的优点在于它对应于确定性矩阵元的数值方法，正如文献中通常使用的[33]。此外，该表达式在重合能量处（即当 或 ）是连续的。

类似地，可以定义具有重复指标的图的经验平均。策略是在小能量窗口上平均矩阵元，仅对不同指标保持求和和平滑。作为示例，我们考虑：
(31)
在上述假设下，可以将这些经验平均识别为幺正矩阵系综上的平均，并得到分解及其修正项。其他经验平均的示例可以在(F2)中找到。

VI. Floquet模型中的数值检验

本节对已确立的ETH以及前几节中解析推导的新次领头阶修正进行数值检验。我们考虑在频闪周期驱动下的非可积一维自旋链，该设置类似于Floquet多体系统文献[90,91]和近期量子混沌研究[33,92–94]中通常研究的模型。我们在下面介绍模型，然后介绍模拟方法和结果。本工作中使用的所有数值代码和数据集可在Zenodo上公开获取[95]。

A. 模型

我们考虑以下含时哈密顿量：
(32)
其中 和 分别表示(i) 由 个自旋1/2组成的链上的Ising相互作用，(ii) 纵向和横向场，以及(iii) 横向方向上最近邻之间的混合相互作用，类似于Dzyaloshinskii-Moriya相互作用。具体地：
(33)
我们考虑周期性边界条件。方程(32)在一个周期 内的时间演化算子为：
(34)
其谱由Floquet准能 （ 周期）给出；选择 ， 。驱动频率 与周期通过 相关联。为确定起见，我们固定 ，以及参数 。

这个遍历模型具有平移不变性和宇称对称性，但不具有时间反演对称性，后者被 相互作用破坏[96]。因此它属于幺正对称类，这意味着Floquet算子本征值的能级间距统计遵循从高斯幺正系综（GUE）中抽取的随机哈密顿量的统计规律[98]。这正是我们推导解析结果的情况：可观测量 被要求在幺正旋转下不变，反映了Floquet本征矢属于幺正类。作为可观测量，我们选择总磁化强度，并按自旋数重新标度，以保持平移不变性。

在附录F中，我们给出了略微不同哈密顿量的结果。首先，我们考虑没有平移不变性的哈密顿量，以检验我们对不同观测量的假设，例如单点磁化。然后，我们考虑时间反演对称性恢复的情形，此时哈密顿量属于正交对称类；我们将简要讨论与幺正情形观察到的差异。

B. 方法

我们的目标是数值验证方程(28)，特别地，我们将关注两个特定的矩阵元四阶矩，即示例(27b)–(27c)中的那些。当通过经验平均数值计算矩阵元乘积时，我们要验证分解及其次领头阶修正的有效性。此外，我们要确认不同贡献随希尔伯特（子）空间维数的标度关系。

我们首先将我们的发现具体化为Floquet模型。在这种情况下，ETH光滑函数不依赖于绝对能量，而仅依赖于能量差[99]。 。这反映了周期驱动系统中不存在守恒的总能量，因此矩阵元的统计性质只能依赖于相对准能间隔。此外，态密度是平坦的，因此 ，其中 是希尔伯特（子）空间维数。因此，对于简单回路，调用 ， (35)该关系与全局旋转不变性的关系类似，同时仍保持对准能量差值的依赖。让我们写出(27b)–(27c)中仙人掌图的表达式，并专门针对Floquet情形进行推导。 (36a) 其中 ，以及 (36b)其中 。每个矩阵元乘积的数值计算通过采用经验平均来完成，其中求和与平滑操作直接作用于准能量差值，并且只涉及不同的指标。重要的是要考虑准能量的内在周期性，确保平滑过程以相应的周期方式表述。具体而言，由于 与 等同，我们采用： (37)因此，对于简单回路，经验平均表示为： (38)其中 。随后对仙人掌图的表述也相应建立。所有数值实现的表达式在附录F 3中明确给出。C. 数值结果我们使用QuSpin软件包[100,101]对Floquet算符(34)进行精确对角化，用于写出(33)中的各项。特别地，我们将希尔伯特空间限制在正宇称和零动量的对称块内；我们用 表示该子空间的维数。作为观测量，我们选择沿 方向的总磁化强度，按自旋数进行重标定，即 。在评估Floquet基 中的矩阵元后，我们通过表达式(F2)计算(36a)–(36b)中涉及的矩阵元乘积的平均值，并在第二个例子中固定 。我们在 中选取51个 值。数值上，我们通过高斯函数实现平滑 (39)选择 使得有足够数量的态满足条件，但仍远小于 。此外，我们对每个矩阵元矩在多个 值上进行平均，以便为每个 值获得带有相应误差棒的最终函数。在附录F 3中，我们明确写出了参数 的选取区间。所有结果绘制在图4中。对于固定的自旋数 ，我们将(36a)–(36b)的右端（紫色曲线）与相应的领头阶（粉色曲线）进行比较，然后从右端减去领头阶，以将该差值（棕色曲线）与次领头阶的预测（橙色曲线）进行比较。所有曲线均作为 的函数绘制。此外，在面板(c)、(f)中，我们对每条曲线研究其随子空间维数 的标度行为，固定 。该值被任意选取为代表参数值；图表的定性行为对 的变化不敏感，这证实了结果的稳健性。数值结果与预测很好地吻合，这源于以下事实：对于不同指标，简单回路的标度行为为 。图4. Floquet系统(34)以及观测量 的数值结果。我们数值重现(36a)–(36b)，其中 在 中选取。误差棒通过对每个 的每个乘积在不同平滑参数 值上取平均而得，如正文所述。(a)、(b)、(c)对应(36a)，而(d)、(e)、(f)对应(36b)。在(a)、(d)中，我们针对固定的 比较右端（紫色曲线）与相应的领头阶（粉色曲线）；对于(a)，领头阶为零，而在(d)中，数据很好地再现了预期的领头阶因子化。在(b)、(e)中，我们针对固定的 比较右端与领头阶贡献之差（棕色曲线）与相应的次领头阶修正（橙色曲线）。数据验证了因子化的次领头阶修正。在(c)、(f)中，我们表示所有曲线随 的标度行为。标度研究针对值 以及固定的 值进行。虽然(c)中所有曲线按 标度，因为领头阶为零，但在(f)中我们观察到领头阶（紫色和粉色曲线）的不同标度，即 ，以及次领头阶（棕色和橙色曲线）的标度，即 。由于 ，我们注意到 的领头阶为零，因此平均值直接跟随次领头阶贡献 ，并按 标度，如预期。相反， 在 中很好地因子化，按 标度，而次领头阶很好地遵循预期曲线 ，按 标度。由于磁化强度已按总自旋数 重标定，作为局域观测量，需要用 进行重标定。VII. 结论与展望在本工作中，我们重新审视了完整ETH发展背后的基本思想。特别是，我们讨论了如何在与哈密顿量的局域微扰相关联的随机基变换下研究矩阵元的性质。模型的不同细化层次使我们考虑：(i) 由Haar分布随机酉矩阵的应用定义的完全随机基；(ii) 分块对角酉矩阵，其中每个块独立且服从Haar分布；(iii) 最后一种模型的平滑版本，可与带状对角酉矩阵相关联。我们研究的自然数学框架由自由概率论提供。事实上，对于所有这些系综，我们推导了观测量矩阵元矩的解析表达式，用（局域）自由累积量表示。正如之前所注意到的，为计算关联函数之目的而感兴趣的乘积可以分类为如“简单回路”（当指标连接但不重复时）和“仙人掌图”（指标的非交叉划分，且具有某些重复）等图示。人们推测仙人掌图的期望值可因子化，而在我们的工作中，我们对该假设之外的次领头项提供了详细刻画，该次领头项可用更高阶的非交叉划分表示。此外，我们展示了在（局域）旋转不变性假设下，在随机酉矩阵作用下矩阵元的平均值与在单个矩阵系综实例上执行的经验平均相容，只要在能量窗口上取平均即可，这正是在数值模拟中通常用于提取此类条目统计量的方法。正如引言中所强调的，从局域旋转不变性原理推导ETH及其次领头阶修正，使我们能够更深入地理解矩阵元关联的物理意义、进入ETH假设的平均值，以及ETH函数本身在算符全局性质方面的含义。同时，对次领头阶修正的表征——这在标准ETH中已经存在——填补了完整ETH框架中的一个结构性空白。更一般地，这些结果开辟了几个有前景的未来研究方向，我们在本节剩余部分进行讨论。A. 我们结果的应用我们首先讨论所计算的次领头阶修正的应用，这些修正在量子动力学中起着定量作用。(i) 高阶关联函数：晚期平台与自由性。本文讨论的次领头阶修正决定了热自由累积量的晚期平台[32]。在附录G中，我们计算了高阶热关联函数，并明确识别了长时间下相应的次领头项；这些可以纳入热自由累积量，从而得到参考文献[32]中引入的ETH自由累积量的细化。由于领头阶ETH自由累积量在晚期因非共振条件[43]而平均为零，这些修正控制了晚期平台及其周围的涨落。对于第二和第四热自由累积量，我们得到 (40) (41)其量级为 ，平台涨落量级为 。次领头阶修正因此设定了指数级小的晚期平台，为混沌动力学中的长时间自由性提供了定量表征。我们注意到，对于非Floquet系统，应考虑由观测量对平均能量的依赖而产生的进一步修正，参见例如参考文献[96]。(ii) ETH的失效。我们的次领头阶修正也可能为混沌提供一个敏锐的诊断指标。在 时，它们预测对角矩阵元的方差等于零频处的非对角两点函数[等式(5)]，按 衰减。相反，在可积系统中，对角矩阵元的涨落要强得多，其方差仅按系统尺寸的多项式衰减，即 [103]，这违反了 的预测。因此，这里推导的全阶修正可以提供一种精确的方法来区分可积系统与不可积系统。与此相关的是，近期关于遍历性破坏的工作，例如多体局域化区域附近的“褪色遍历性”[104]，涉及ETH函数的反常低频标度行为，我们的框架可在其中找到自然应用。(iii) 不同的对称类。次领头阶修正也依赖于对称类。已经在 时，对角方差由零频处的非对角两点函数固定，直至一个依赖于类的因子，酉类为一，正交类为二[7,48,89][等式(E10)–(F1)]，我们在附录F 2中进行了数值验证。该差异源于旋转不变性：在正交类中，观测量在局域正交变换下不变，因此这里使用的置换Weingarten演算不再适用。对称类之间更高 阶差异的完整预测仍然是一个开放问题。B. 新方向除了这些应用之外，局域旋转不变性原理还提出了几个可以更广泛应用的潜在方向。(i) ETH系综的表征。近来许多关注集中在表征酉矩阵系综 及其再现Haar系综的能力上。一个主要的开放性挑战是确定适合混沌哈密顿时间演化的系综， (42)其中 是合适的时间分布。由于这种演化守恒能量，实际上守恒每个本征态，Haar系综必须被赋予额外的结构以捕捉混沌动力学的随机性。迄今为止，大多数努力要么集中在态系综的背景下，涉及深度热化与希尔伯特空间遍历性[105–108]，要么集中在随机哈密顿量上[109]。局域旋转不变性，通过关联的分块酉矩阵 ，提供了这种ETH系综的第一个构造性定义：一个酉矩阵系综，当作用于观测量矩阵元时，通过构造再现完整ETH所规定的关联，包括平滑的能量依赖和次领头阶修正。使 与上述系综之间的关系精确化仍然是一个重要的开放问题。(ii) 与本征态关联的联系。在这里，我们将局域旋转不变性应用于观测量的矩阵元。然而，人们对于本征态本身之间的关联[22,28]非常感兴趣，这些关联控制信息论量以及算符的扩散。由于此类量可以写成合适的投影算符的迹，局域旋转不变性原则上也可以应用于那些投影算符，从而为在同一框架内推导本征态关联结果提供了一条途径。(iii) 分块与带状酉平均。在技术方面，我们的工作引入了一种新的方法工具：分块结构随机酉矩阵上的平均，这代表了朝向具有能量结构的酉矩阵的系统性Weingarten演算的第一步。虽然我们已经展示了如何处理分块对角Haar酉矩阵，但主要的开放性挑战是将这一框架扩展到真正平滑的带状酉矩阵，例如图2(c)中所示的。除了当前的设定之外，我们预期这种方法论具有独立的价值，并将在其他自然出现结构化随机酉矩阵的社区中找到应用，例如在具有守恒量的量子动力学研究中。