甜甜圈上的伊辛模型：拓扑量子纠错的统计力学机制

《PRX Quantum》：Ising on the Donut: Regimes of Topological Quantum Error Correction from Statistical Mechanics

　　实用规模的量子计算机需要具有大量物理量子比特的量子纠错码，才能实现足够低的逻辑错误率。量子纠错（QEC）的性能通常通过大规模数值模拟来预测，用于估计阈值、有限尺寸标度以及阈值以下逻辑错误的指数抑制。QEC与统计力学模型的联系为分析QEC性能提供了另一种工具。然而，预测这些模型的行为也需要大规模数值模拟，因为解析解通常未知。在这里，我们利用一个精确映射，从在无综合征后选择条件下比特翻转噪声下的环面码，映射到环面上可精确求解的二维伊辛模型，从而推导出逻辑故障率在其完整物理错误率域上的解析解。具体而言，该映射在四个不同区域提供了逻辑故障率的闭式表达式：路径计数区、阈值以下（有序）区、近阈值（临界）区和阈值以上（无序）区。我们的框架为许多熟悉且长期存在的数值观察结果奠定了坚实的理论基础。它还为传统QEC设定中非后选择码的显式ans?tze提供了动机，这些码的统计力学映射涉及随机键无序。具体而言，我们引入了阈值以下区域的有效张力模型，以及基于畴壁能量成本分布分析得出的近阈值区域的新标度ansatz。通过连接统计力学理论与量子纠错实践，我们的结果为设计、基准测试和理解超越当前计算极限的拓扑码提供了新的工具包。I. 引言随着量子设备向容错量子计算（FTQC）迈进，目标是用数百万个物理量子比特在噪声组件上执行有用的量子计算[1]，量子纠错（QEC）研究几乎完全依赖大规模数值模拟来基准测试码性能。从早期对级联码和表面码的蒙特卡洛研究[2,3]，到最近对阈值值的张量网络和蒙特卡洛估计[4–6]以及有限尺寸标度[7–9]，这些数值方法为阈值以下的逻辑错误抑制和开销优化的资源需求提供了不可或缺的见解。然而，解析处理很少，最著名的包括级联码阈值的严格下界[10–13]和通过统计力学构造的上界估计[5,7,14,15]。这些处理通常给出保守界限，而非精确的性能预测。随着量子计算机的系统复杂性增长到超过即使最强大的超级计算机也能忠实模拟的范围，能够提供精确的、跨越区域的性能公式的解析方法，对于指导FTQC区域的码设计、解码器开发和资源分配至关重要。拓扑码与经典统计力学之间有着丰富的联系[3,7–9,14–20]。值得注意的是，已在著名拓扑码（如表面码）的逻辑故障率与著名无序统计力学模型的配分函数之间建立了显式映射[3,14]。一个著名的例子是比特翻转错误通道下的表面码与二维随机键伊辛模型（RBIM）之间的对应关系，具有耦合[3]。统计力学模型的有序-无序相变对应于码的逻辑阈值[3,9]。在热力学极限下，对于低于此临界值的物理错误率，解码成功以确定性发生。高于此临界值，所有逻辑扇区变得等概率，因此解码成功概率变为逻辑扇区数的倒数。这种映射不仅提供了错误过程的直观图像，还允许利用统计物理的既有工具来分析逻辑阈值和故障率[4,21,22]。虽然拓扑QEC的概念框架自引入以来已相当成熟，但对逻辑故障率的定量理解仍然是一个挑战。精确的错误率预测取决于微观细节，如晶格几何、边界条件、物理噪声通道和解码器的选择。这使得在实用区域运行的QEC码的解析处理通常是一个棘手的问题。相反，聚焦于QEC码更简单的后选择极限可以产生可处理的模型。在参考文献[23]中，证明了将后选择纳入QEC码分析会约束对应统计力学模型中的淬火无序，热力学量在该模型上取平均。这种约束无序观点也是最近证据的基础，即部分后选择可以通过丢弃指数级罕见的综合征来产生可扩展的精度提升[24]。全后选择是在测量到任何非平凡综合征时中止并重新初始化码。在比特翻转错误通道下表面码的全后选择的极端情况下，RBIM中的固有无序被完全消除。这将该模型简化为干净的二维伊辛模型，其精确解由Onsager于1944年首次推导[25]。这一观察为进一步理解最优QEC性能提供了解析立足点。在这项工作中，我们利用从全后选择环面码在比特翻转噪声下到二维伊辛模型的映射，推导出该码在物理错误率和码距离完整域上的逻辑故障率的闭式解析表达式。我们识别出拓扑纠错的四个不同区域，作为物理错误率和码距离的函数。首先，在足够低的物理错误率下，系统由在物理错误率趋于0时变得精确的近似很好地描述。我们称之为路径计数区，其中故障率可以通过计数无法纠正的最低权重错误来估计。其次，对于足够大的码距离（或等效地，晶格尺寸），以及低于拓扑码阈值的错误率，系统进入阈值以下（有序）区，其特征在于逻辑故障率随码距离增加而指数衰减。第三，当相关长度与系统尺寸相当时，有限尺寸标度描述了阈值周围的临界区域。在这里，逻辑故障率的标度行为由底层统计力学模型中相变的普适类决定。最后，对于大码距离和高于阈值的物理错误率，系统转变为阈值以上（无序）区，其中逻辑故障率收敛到由逻辑扇区上均匀分布决定的值。我们使用“区域”而非“相”来强调这些行为是针对有限晶格尺寸定义的；在热力学极限下，只有有序和无序相仍然存在。图1提供了（a）该映射的示意概述，（b）总结了产生的区域以及（c）它们的物理解释。图1. 解码拓扑码：统计力学视角。（a）拓扑码中逻辑算子的作用通常可以映射到等效统计力学模型中非平凡缺陷或畴壁的插入（例如，某些表面码的随机键伊辛模型，其中对应于自旋之间的铁磁耦合，对应于反铁磁耦合）。（b）最优解码的性能表现出作为物理错误率和码距离函数的不同区域，反映了相关统计力学模型的区域：路径计数、有序、临界和无序。所示边界是示意性的，可能在有限下重叠：路径计数和临界区域表示有限尺寸交叉窗口，其中相应近似预期是准确的，而只有有序和无序区域在极限下保持为不同的热力学相。（c）总结表，提供每个识别区域内逻辑错误的物理起源、功能行为以及对量子纠错的影响。这些特征对于解码映射到经历二阶相变的经典统计力学模型的拓扑码是通用的。在有序相中，表格条目表示逻辑故障概率的渐近抑制，其中是逻辑类中最小代表元的支撑大小。在无序相中，表示向渐近故障概率的指数逼近，其速率由共轭逻辑类中最小代表元的支撑大小控制。通常，和不需要一致，尽管对于二维环面/平面码两者都按标度。对于单个逻辑自由度上的比特翻转噪声，。为二维伊辛模型推导的精确解析表达式允许对每个区域进行详细的解析研究。对于全后选择环面码在比特翻转噪声下，逻辑故障率在不同区域的功能行为被精确确定。此外，我们推测，虽然无序的引入（或没有后选择）可能定量地移动与这些区域中逻辑故障率功能行为相关的某些参数，但区域的定性性质不仅在非后选择表面码中保持稳健，而且在广泛的其他拓扑码类别中也是如此。在这里，我们专注于噪声模型映射到经历二阶相变的经典统计力学模型的拓扑码。因此，这项工作为理解有限实用区域中的拓扑量子纠错奠定了严格的基础——弥合了理想化热力学极限描述与现实的、实验可访问系统之间的差距。手稿的其余部分结构如下。在第二节中，我们总结了稳定子码与经典自旋模型之间的映射。我们解释逻辑故障概率如何编码为畴壁的自由能成本，以及这些如何映射到解码策略，并总结自旋玻璃文献中关于畴壁能量标度的关键结果。在第三节中，我们专门讨论全后选择环面码，利用其到干净二维伊辛模型的精确映射，推导每个区域逻辑故障率的闭式表达式。在第四节中，我们将这些见解扩展到非后选择表面码，提出有效张力和误差函数ans?tze，以捕捉有限尺寸标度和阈值以下行为。在第五节中，我们研究前面章节发展的结果如何应用于电路级噪声。最后，在第六节中，我们将早期章节的结果扩展到拓扑QEC的一般框架，概述其假设和范围，解释关键参数的物理意义，并讨论局限性和未来工作方向。II. 故障率与自由能在本节中，我们简要总结QEC码统计力学映射的形式体系及文献中的关键结果，这些结果支撑我们后续的分析。我们假定熟悉稳定子码、逻辑扇区和陪集以及解码的基本原理[26,27]。我们引入稳定子码的广义统计力学映射[3,9]，从物理错误过程构造无序哈密顿量，以及配分函数计算与解码策略之间的对应关系[4]。在有用之处，我们总结最大似然和最大概率解码之间的区别，以及后选择在修改底层自旋模型中的作用[23]。最后，我们引入自旋玻璃文献中的关键结果，特别是随机键伊辛模型中畴壁能量成本的标度[28,29]，我们在后续分析中利用这些结果。泡利稳定子码允许精确映射到无序经典自旋模型。码噪声模型的每个实现对应于经典模型中耦合的随机选择。该模型的配分函数对应于具有相同逻辑作用且无法被码的稳定子区分的错误构型之和。通过这种映射，无序配分函数、自由能成本和经典自旋模型相变点的计算直接产生逻辑故障概率和解码阈值[3,9]。我们现在总结这种对应关系，为了教学清晰性，将注意力限制在量子比特CSS码上。此类码的稳定子生成元可以选择为型或型，分别仅包含和恒等算子或仅包含和恒等算子。对于超出这些限制的处理，包括一般量子比特稳定子码和相关噪声模型，请参见参考文献[9]。在该映射中，经典自旋自由度被分配给每个稳定子生成元。假设单量子比特泡利噪声，如果自旋对应的稳定子在至少一个物理量子比特上重叠，则它们相互作用。比特翻转噪声会引起与 \(\hat{X}\) 型稳定子相关的自旋之间的相互作用，相位翻转噪声会引起与 \(\hat{Z}\) 型稳定子相关的自旋之间的相互作用，而 \(\hat{Y}\) 型噪声则会同时涉及两种类型的自旋。每种相互作用的耦合强度由作用于相应量子比特上的底层噪声过程决定。在无错误的情况下，所有耦合强度都倾向于自旋对齐，我们将此称为铁磁耦合。物理量子比特上的单个泡利错误会使与该错误相关的耦合符号反转，从而在系统中引入无序。

映射产生的统计力学哈密顿量，对于给定的错误构型 \(\epsilon\)，为
\[
H_\epsilon(\{s_v\}) = -\sum_{v} J_v s_v \prod_{i \in v} s_i
\tag{1}
\]
其中 \(J_v\) 是依赖于噪声的相互作用强度，\(P_v\) 是量子比特 \(v\) 上的局域泡利群，标量对易子 \([P_v, \epsilon_v]\) 区分铁磁与反铁磁耦合，而 \(\epsilon_v\) 是泡利错误，它定义了系统中的无序。我们将此称为淬火无序，因为它不随时间演化。因此，热力学量的平均是通过先固定无序实现、取热平均，再对由物理量子比特上的噪声过程决定的淬火无序分布进行平均来完成的。

该模型的以下对称性将对应于由稳定子关联的噪声实例的哈密顿量联系起来：
\[
H_\epsilon(\{s_v\}) = H_{\epsilon S}(\{s_v\})
\]
其中翻转自旋 \(s_v\) 表示翻转 \(s_v\) 自旋。换句话说，翻转 \(s_v\) 与将物理错误 \(\epsilon\) 乘以稳定子 \(S\) 具有相同的效果。因此，固定 \(\epsilon\) 后对所有自旋构型 \(\{s_v\}\) 求和，等价于对陪集 \(\epsilon \mathcal{S}\) 中的每个错误求和，即 \(\epsilon\) 与稳定子群元素的每个乘积。由于最优最大似然解码（MLD）必须考虑所有相差稳定子的错误，因此该对称性使得配分函数的计算——即对所有自旋构型求和——在耦合强度选择正确时，成为最优解码的直接实现。

我们选择模型的耦合强度使得 \(\beta J_v = \beta_v\) 成立。这样做的目的是，通过枚举所有可能自旋构型，我们有
\[
Z_\epsilon = \sum_{\{s_v\}} e^{-\beta H_\epsilon(\{s_v\})} \propto P(\epsilon \mathcal{S})
\]
即无序配分函数与逻辑陪集（其中 \(\epsilon\) 是代表性错误）的概率成正比 [30]。为使这些结果成立，可以证明相互作用强度的选择对应于Nishimori条件，这是一个流形，其上规范对称性允许热力学量的几个精确恒等式 [31]。Nishimori条件为
\[
\beta J_v = \frac{1}{2} \ln \frac{1 - p_v}{p_v}
\tag{2}
\]
其中 \(\beta\) 是模型的热力学贝塔，\(J_v\) 是对应于作用于量子比特 \(v\) 的局域泡利 \(P_v\) 的耦合常数，\(P_v\) 是作用于量子比特 \(v\) 的局域泡利群，\(|P_v|\) 是所考虑的泡利群的基数（例如，比特翻转时为2，去极化时为4），而 \(p_v\) 是局域泡利 \(P_v\) 作用于量子比特 \(v\) 的概率。

在满足Nishimori条件且无序对应于泡利错误 \(\epsilon\) 的情况下，非平凡逻辑算子 \(\bar{P}\) 的自由能代价为
\[
\Delta F(\epsilon, \bar{P}) = -\frac{1}{\beta} \ln \frac{Z_\epsilon(\bar{P})}{Z_\epsilon(I)}
\tag{3}
\]
其中 \(\beta\) 是满足Nishimori条件的有限热力学贝塔，而 \(P(\epsilon \mathcal{S})\) 是逻辑陪集 \(\epsilon \mathcal{S}\) 中所有物理错误的累积概率。在MLD下，当非平凡逻辑算子的自由能代价（以错误 \(\epsilon\) 已发生为条件）为正时，逻辑自由度解码成功。当对所有非平凡 \(\bar{P}\) 都有 \(\Delta F(\epsilon, \bar{P}) > 0\)（以错误 \(\epsilon\) 已发生为条件）时，所有逻辑自由度的解码成功。这种最优解码对应于在有限温度下沿Nishimori线计算畴壁的自由能代价，但通常是#P完全的 [32]。

为了克服MLD的计算难解性，还可以执行最大概率解码（MPD）。MPD选择每个逻辑陪集中最可能的单个错误，而不对稳定子等价的简并求和，它可以表示为自由能代价计算的零温极限（\(\beta \to \infty\)），此时只保留最小能量（或最大概率）的基态构型。我们写成
\[
\Delta E(\epsilon, \bar{P}) = \lim_{\beta \to \infty} \Delta F(\epsilon, \bar{P})
\tag{4}
\]
类似地，如果该基态能量代价为正，则在此错误 \(\epsilon\) 下MPD的解码成功。

例如，具有比特翻转噪声的平面码映射到具有 \(\pm J\) 耦合的二维随机键伊辛模型。在此类模型中，存在一个非平凡逻辑算子 \(\bar{P}\)，它只环绕晶格的一个方向。逻辑扇区之间的基态能量代价为 \(\Delta E\)，我们此后称之为 \(\Delta\)，其中对淬火无序参数的函数依赖性保持隐式。\(\Delta\) 与最小权重完美匹配的权重差成正比 [33]，也可以等价地表示为参考文献 [34–36] 中定义的符号逻辑间隙。最小权重完美匹配解码（MWPMD）下的逻辑失败率可以表示为 [35]
\[
P_{\rm fail} = \sum_{\epsilon} P(\epsilon) \Theta(-\Delta(\epsilon))
\tag{5}
\]
如果无序统计力学模型的畴壁自由能分布已知，则可以对任何码精确确定最优逻辑失败率。如上所述，对于具有比特翻转噪声的表面码，为了计算最优逻辑失败率，我们对畴壁自由能代价的概率分布积分：
\[
P_{\rm fail} = \int_{-\infty}^{0} P(\Delta) d\Delta
\tag{6}
\]
尽管二维随机键伊辛模型中畴壁自由能代价已经在自旋玻璃文献中被广泛研究 [28,33,37–42]，但这些见解在量子纠错界仍未得到充分利用。对于 \(\pm J\) 随机键伊辛模型，确定了两个重要的相。在铁磁（有序）相（\(\beta < \beta_c\)）中，系统表现出长程铁磁序，这意味着在热力学极限下存在非零自发磁化。然而，单个键仍然可能受挫，因此自旋并非完全对齐。自旋玻璃相仅在二维中于 \(\beta = \infty\) 时出现 [33]，即阈值以上。在自旋玻璃（无序）相中，随机键的受挫阻止了简单的长程铁磁序，导致具有复杂、空间无序自旋构型的冻结态 [43]。临界点 \(\beta_c\) 是这两个相之间的边界。在某些噪声模型下，一些码映射到被认为经历一阶相变的模型 [44,45]。尽管如此，当相变阶数不确定时，我们仍然应用我们的方法，并在我们研究的例子中使用我们的标度假设找到稳健的拟合阈值。在这种情况下，临界点和临界区等术语可能不准确。我们将确定这些相变的阶数留给未来的工作。

这些自旋玻璃描述中的一个关键诊断是畴壁代价的分布：沿Nishimori线 \(\beta = \beta_c\) 的畴壁自由能代价 \(\Delta F\)（与最优MLD相关），以及零温极限 \(\beta \to \infty\) 下的畴壁基态能量代价 \(\Delta E\)（与MPD相关）。对于给定的无序实现，这些量衡量插入非平凡畴壁的代价，而逻辑失败率由这些畴壁降低系统自由能的概率控制。因此，相关的对象不仅是无序平均的代价，而且是 \(\Delta F\) 或 \(\Delta E\) 的完整分布。

尽管如此，典型畴壁代价随系统尺寸的标度为相提供了重要的诊断。刚度指数 \(\theta\) 的定义是，重新缩放的畴壁代价 \(\Delta F/L^\theta\)（或在 \(\beta \to \infty\) 时为 \(\Delta E/L^\theta\)）在 \(L \to \infty\) 时具有非平凡极限分布 [46]。在铁磁相中，\(\theta = 1\)，因为畴壁自由能代价与其长度成正比。相比之下，在二维 \(\pm J\) 随机键伊辛模型的自旋玻璃相中，\(\theta = 0\) [33]，因为分布 \(P(\Delta)\) 在 \(L \to \infty\) 时收敛到与 \(L\) 无关的极限 [39]。

在这些极限之间，存在一个临界区，其中典型畴壁代价随 \(L\) 亚线性增长，并且，对解码更重要的是，其完整分布表现出非平凡的有限尺寸标度。在文献中，具有 \(\pm J\) 无序的随机键伊辛模型中畴壁代价的分布在临界点仍然研究不足。然而，对于耦合常数取自高斯分布的随机键伊辛模型，沿多临界点以下的低温临界线，已知 \(\theta = 1/3\) [28,37,46]。对于 \(\pm J\) 随机键伊辛模型，在（有限温度）Nishimori多临界点，也已知 \(\theta = 1/3\)，因为该分布显然是尺度不变的 [47]。正是 \(\Delta F\) 和 \(\Delta E\) 的这种分布标度，我们将在本工作的后面详细分析。

III. 完全后选择的表面码

在第二节中，我们确定了QEC码的逻辑失败率可以通过精确映射产生的统计力学模型中畴壁的自由能代价来确定。在之前的工作中，这些畴壁自由能代价被视为序参量，用于确定码的最优阈值 [3,9,14]。在本工作中，我们超越简单的阈值估计，利用畴壁自由能代价的分布获得逻辑失败率的定量结果。在本节中，我们将完全后选择的环面码映射到环面上的干净二维伊辛模型，从而获得在物理错误率和码距的整个域上的逻辑失败率的闭式表达式。我们使用该表达式分析码在图1中确定的四个区域中的逻辑失败率的功能行为。这些区域中畴壁的行为总结在图2中，为下面进行的定量分析提供了指导。

图2. 在比特翻转噪声下，完全后选择的环面码四个区域中的畴壁行为。(a) 路径计数区域（\(p \ll p_c\)）：在非常低错误率的干净晶格上，逻辑失败由最短的可能畴壁主导，这些畴壁基本保持直线且不受扰动。(b) 阈值以下区域（\(p < p_c\)）：在阈值以下，热毛细波涨落使原本主要为直的界面变得粗糙，在直壁上产生小振幅修正。(c) 近阈值区域（\(p \approx p_c\)）：在阈值附近，尺度不变性驱动畴壁发展出分形、自相似的结构，在所有长度尺度上的涨落反映临界行为。(d) 阈值以上区域（\(p > p_c\)）：在阈值以上，热涨落占主导，将系统碎裂成短而不连通的畴壁环的密集缠结。

二维伊辛模型是物理学中研究最深入的系统之一，为临界现象和相变提供了见解。该模型最初由Onsager在1944年在热力学极限下精确求解，在临界点 \(\beta_c = \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})\) 处表现出从铁磁（有序）到顺磁（无序）相的相变 [25]。Onsager的精确解标志着统计力学的一个重要里程碑，为理解临界点附近的普适性和标度行为奠定了基础。

具有周期-周期边界条件的有限环面上的伊辛模型配分函数最初于1949年通过映射到旋转群的自旋表示来计算 [48]。该计算后来被推广到反周期-反周期（\(AA\)）、周期-反周期（\(PA\)）及其逆（\(AP\)）边界条件，使用Grassmann路径积分 [49] 和简化的转移矩阵方法 [50]。我们使用这些不同边界条件下环面上伊辛模型的配分函数结果，找到环面码逻辑错误概率的精确解析表达式。

参考文献 [23] 表明，比特翻转噪声下环面码的完全后选择极限直接映射到干净的二维伊辛模型。我们将考虑 \(L \times L\) 晶格点的环面情况，尽管我们描述的结果可以推广到矩形晶格。Nishimori条件为
\[
\beta J = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-p}{p}\right)
\tag{7}
\]
其中 \(\beta\) 是干净二维伊辛模型的热力学逆温度。对于干净二维伊辛模型，临界点发生在 \(\beta_c = \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})\) [25]。将其代入Nishimori条件给出阈值错误率
\[
p_c = \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1 \approx 0.414
\tag{8}
\]

在量子纠错问题到无序统计力学模型的一般映射下，无序配分函数编码了与测量综合征一致的所有可能错误求和的逻辑错误概率。在完全后选择的情况下，我们可以通过具有不同边界条件的伊辛模型配分函数来描述这些逻辑错误的（无条件）概率。具体而言，通过固定环面边界上的逻辑算子索引，我们有
\[
Z_\epsilon = \sum_{\{s_v\}} e^{-\beta H_\epsilon(\{s_v\})} \propto P(\epsilon \mathcal{S})
\tag{9}
\]
总逻辑失败概率为
\[
P_{\rm fail} = \frac{Z_{PA} + Z_{AP} + Z_{AA}}{Z_{PP} + Z_{PA} + Z_{AP} + Z_{AA}}
\tag{10}
\]
由于我们关心正方形情况，将有 \(Z_{PA} = Z_{AP}\)。

参照参考文献 [49,51]，我们在附录A中评估了这些边界条件下二维伊辛模型的配分函数。晶格上二维伊辛模型的解通过将经典自旋映射到自由费米子变量系统来实现。费米子在相变处无质量，该模型由共形场论描述 [52]。费米子在远离临界性时获得质量，即
(11)
在临界点处该值为0，符合预期。参数在低温低值域为正，在高温下为负。这种带符号的质量对于描述相变两侧的物理行为很有用。沿环面的两个主方向，费米子可以具有周期性（Ramond）或反周期性（Neveu-Schwarz）边界条件[52]，由此产生四个扇区，记为，其中。取0（对应于或）表示费米子在该方向满足周期性边界条件，而取对应于反周期性条件。自旋模型的配分函数，例如，可以用具有这些边界条件的费米子配分函数来表示。具体而言，逻辑失败概率用费米子配分函数表示为
(12)
方程(12)已经为完全后选择码的阈值图提供了重要信息。在临界点处，解对所有给出，因此。因此，逻辑错误概率的交叉对所有都是完美的，并且发生在和处。在高和高极限下，所有配分函数几乎相等，对于带有位翻转噪声的托里克码，这是应有的结果。

利用的显式表达式，可以精确推导出完全后选择托里克码的逻辑成功概率。我们在图3中将该解析表达式与取自键维数的张量网络解码器的数值模拟值进行了比较[6]。由于该张量网络解码器在没有键截断的情况下是最优的，数值结果等于精确解析表达式。所有曲线在临界点处相交，与上述讨论一致。

图3. 完全后选择托里克码的逻辑失败率作为位翻转概率的函数，针对不同晶格尺寸显示。实线表示通过映射到二维Ising模型获得的精确解析曲线，散点表示使用截断键维数的张量网络解码器计算得到的失败率。曲线在阈值误差和逻辑失败概率处相交，与二维Ising模型解的预测一致。

完全后选择托里克码逻辑失败率的这种解析表达式使我们能够以闭式形式探究上述四个机制中每个机制的失败率函数行为。此外，有了这个精确公式，我们可以探索远大于蒙特卡罗采样或分裂方法技术[53]可处理的系统尺寸的失败率。现在，我们利用完全后选择托里克码逻辑失败率的精确闭式表达式，研究图1中识别的四个机制中每个机制的失败率函数行为。

A. 路径计数机制

对于足够低的物理错误率，QEC码的逻辑失败率可以通过评估所有最小权重错误配置的总概率来近似，这些配置在给定解码器下无法成功纠正。这些近似表达式变得准确的机制称为路径计数极限[8]，事实上，在极限下，这些近似变得精确。我们按如下方式获得完全后选择托里克码的路径计数表达式。对于足够低的，逻辑错误主要由一个环绕环面的畴壁形成所主导。不考虑后选择的概率为
(13)
路径计数近似仅在更长、更高权重的错误链的贡献可忽略时有效。在环面上，导致逻辑失败的下一个最短错误路径的长度为。这些路径可以可视化为由两个“扭结”变形的最小直线错误链（详见附录B）。为了评估长度路径何时变得重要，我们将它们的总概率与最小路径的概率进行比较。任何长度为的单一路径的概率相对于最小路径被抑制了倍。然而，还有额外的组合因子计算形成这种路径的方式数。在长度为的链上放置两个扭结的位置数标度为。因此，次最小路径的总贡献比前导项小倍。为了使路径计数近似成立，该项必须远小于1，这意味着条件。

接下来，我们必须使用贝叶斯法则确定完全后选择情况下失败的概率。事件包括所有闭环错误配置，而不仅仅是空配置。然而，空配置给出主要贡献，而首次修正来自长度为4的小可收缩环，其总权重被抑制了。由于我们处于路径计数机制，这些修正可忽略，因此

然后我们可以使用以下公式计算完全后选择机制中逻辑失败率的路径计数表达式
(14)
在图4中，我们绘制了使用方程(14)的路径计数表达式预测的失败概率，以及上述讨论的精确解析值，针对一系列值。近似在较小时很好，但一旦物理错误率达到足够大，路径计数近似失效，不再准确捕捉逻辑失败率。在这种机制下，路径计数公式低估了逻辑错误概率。在固定码距离下，将超过这个尺度会将系统驱动到低于阈值机制，我们现在对此进行分析。

图4. 完全后选择托里克码在位翻转噪声下的逻辑失败率，处于路径计数机制。失败率作为物理错误率的函数绘制，曲线以晶格尺寸为参数。虚线表示路径计数近似，实线显示精确解析值。灰色阴影区域表示路径计数机制不适用预期的参数。其边界通过将代入路径计数近似（方程(14)）获得，与正文中讨论的有效尺度一致。

B. 低于阈值（有序）机制

我们已经看到路径计数机制仅持续到。在此机制中，整个系统中的期望错误数仅为。在大且保持恒定的极限下，错误密度趋近于零，为。相反，如果我们要求在大极限下非零错误率，则应在时保持恒定。然后我们进入一个系统宏观的机制，具有恒定的非零错误密度。在此机制中，我们可以利用二维Ising模型中畴壁自由能的已知结果来估计错误概率。

在Ising模型的有序机制中，自旋尽可能对齐，但出现在公式中的三种不同反周期边界条件需要单个畴壁，其自由能会随系统的线性尺寸增加。在和的情况下，这些畴壁分别垂直和水平，长度为。在的情况下，畴壁对角线延伸，长度为（以曼哈顿度量计算）。这意味着与相比可忽略不计。

我们可以通过以下公式定义由畴壁引起的自由能变化
(15)
在热力学极限下，二维Ising模型中畴壁的自由能成本由Onsager表达式给出[25]，
(16)
其中是畴壁表面张力。在引用本身时我们使用的单位；然而，当Nishimori条件满足时，乘积与该选择无关，在这种情况下可以用错误概率表示为
(17)
参见附录C中当和时的渐近行为，它将路径计数机制与近阈值机制联系起来。

然而，在有限系统中，界面并非完全刚性，而是经历毛细涨落[54,55]。这些涨落以一定量修改配分函数，经过适当正则化后，导致自由能的对数修正。遵循近似毛细波处理（见附录D），人们发现有限尺寸修正导致畴壁自由能的形式为
(18)
毛细波修正在低于阈值机制下与无关，而与尺寸无关的修正已知具有一些温度依赖性，如参考文献[55]的图9所示。预计还有数量级为及更小的附加有限尺寸修正。

作为一级近似忽略加法常数，我们可以将代入方程(15)，然后评估逻辑错误概率，得到
(19)
在此近似中，忽略的贡献，因为其数量级为，且预计小于我们所忽略的次主导自由能修正。

我们可以将低于阈值逻辑失败率（方程(19)）与路径计数机制中成立的表达式（方程(14)）进行比较。在低时，误差的指数抑制主导项在两种情况下都趋近于。在中等时，错误率增加由方程(19)中的额外因子捕捉。毛细波导致畴壁在长尺度上游走，如图2所示。方程(19)中的因子可以解释为描述由此产生的有效畴壁宽度。方程(19)和方程(14)的有效范围并不精确重叠，因此这些自由能的对数贡献在我们用来寻找近似表达式的两个极限之间不一致。

我们在图5中比较了该近似表达式与使用自由费米子映射精确计算得到的失败率。

图5. 完全后选择托里克码逻辑失败率的毛细波近似（虚线）与精确解析计算（实线）的比较。结果作为物理错误率的函数显示，针对各种晶格尺寸，每种颜色代表不同的。灰色阴影标记毛细波表达式（方程(19)）不预期准确的参数。边界通过施加近阈值尺度（即；参见第III.C节），并在相关的低于阈值侧将代入方程(19)获得；我们对边界上方的区域进行阴影。

图5显示，随着接近临界值，我们的毛细波近似失效，因为畴壁涨落变得过大。这些涨落正在增大，因为表面张力在接近临界点时趋近于零。当系统尺寸变得与可比拟且逻辑错误概率为时，方程(19)不预期有效。在下一节中，我们转向有限尺寸标度理论来描述临界机制中的逻辑失败率。

C. 近阈值（临界）机制

当我们接近阈值错误率时，涨落跨越整个晶格，有限尺寸效应主导[56]。涨落由相关长度描述，在相变区域变得非常大。对于系统尺寸，无量纲物理量如逻辑失败概率仅是的函数。对于接近临界点的一般统计力学模型，相关长度以某个标度指数发散为。与Nishimori条件（方程(7)）比较，我们在此机制中也有。在二维Ising模型的情况下，已知[57]，通过对方程(16)给出的在处求导，可以简单确认已知结果。

我们现在定义一个无量纲标度变量

在临界标度机制中，我们预期
(20)
如果我们将逻辑错误概率对所有绘制为的函数，数据会坍缩到标度函数给出的单一曲线上。由于我们有二维Ising模型的解析解，可以精确看到标度极限如何从解中涌现。事实上，标度函数原则上可以从Ising模型的精确解确定。我们已经从之前的讨论中看到，当且时，当且时。通过对 在 处进行泰勒展开，我们可以看到 (21)对于小的 成立，其中斜率 可以通过费米子质量 的一阶展开（不同边界条件的配分函数）获得。在附录E中，我们利用文献[58]的结果进行此展开，得到 。图6展示了这一数据坍缩，特别是在相变附近，虚线表示推导出的标度函数 的一阶预测。一旦 或 （即 ），曲线不再落在单一的、与 无关的线上。图6. 完全后选择的环面码在比特翻转噪声下逻辑失败率 的数据坍缩。逻辑失败率相对于标度变量 作图，其中 是临界错误率。在临界点附近，数据坍缩到一条与标度形式 一致的曲线上，其中 对于二维Ising普适类。虚线表示从附录E的自由费米子配分函数推导出的标度函数的一阶预测。插图：重标度前的数据。我们现在明确展示有限尺寸标度行为如何从自由费米子映射中的低动量模式产生，以理解近阈值区域的有效范围。费米子配分函数 依赖于带符号质量参数 和 （通过边界条件），边界条件决定允许的费米子动量 和 ，其中晶格色散关系为 (22)在临界点附近，方程(11)意味着 。由于标度图以 表示，我们将 在 附近展开： (23)利用 ，我们得到 在临界点 处，即 时，这给出 因此 (24)因此，在临界区域中 ，正如对反相关长度的预期。方程(24)与方程(22)一起表明，低能区域由标度变量 控制。对于与有限尺寸标度相关的低动量模式， ，其中 在 时保持固定。由于 和 在 时都很小，我们可以对方程(22)中的 和 进行展开。这给出 (25)对于固定的 和 ，此量为 。每个费米子配分函数 如附录A中所定义，仅依赖于每个模式 的 。因此， 的 小于某个常数（例如100）的模式对配分函数 的贡献由方程(25)给出，且仅依赖于 。因此，在临界点附近，每个完整配分函数可以分解为对应于这些低 值的普适部分（仅依赖于 ）和来自较高能量模式（具有较大 值）的非普适贡献。当形成方程(12)中的比值时，这些非普适因子以类似方式出现在每一项中，因此它们相互抵消。这种抵消使得逻辑失败概率仅依赖于标度变量 ，从而捕捉到普适临界行为。这种普适标度的出现是在 区域对完全后选择情形推导得出的（见图6），在标度变量 为数量级1（例如， 对于某个常数 ）的特征窗口内尤为显著。这一观察为预期在非后选择环面码中也有类似的有限尺寸标度行为提供了基础，尽管标度变量为 且 ，反映了其不同的普适类。在固定的码距离 下，将错误率 增加到超过 会将系统驱动到阈值以上的区域，其中畴壁增殖且码失去保护量子信息的能力。这是下一小节的主题。D. 阈值以上（无序）区域阈值以上区域发生在更高的比特翻转概率下，即高于错误阈值。在该区域中，主导的热涨落破坏长程有序，导致Ising模型以及后选择环面码的逻辑失败率出现根本不同的行为。我们使用Kramers-Wannier对偶性将阈值以下区域的行为映射到阈值以上区域[59]。这表明逻辑失败概率 随 的增加从1指数衰减到 ，与高错误极限中逻辑陪集的四重简并一致。对偶热力学β通过以下定义[60] (26)或者更方便地， (27)代入Nishimori条件，我们得到 (28)我们同样可以写出 (29)并使方程(28)和(29)相等，得到 (30)Kramers-Wannier对偶性将配分函数的不同扇区混合为[61] (31)因此立即得出 (32)因此，我们可以利用在阈值以下区域推导的毛细波理论来估计阈值以上区域的逻辑失败率。在阈值以下区域，我们证明了失败率在固定 下随 指数衰减到0。然后由方程(32)，我们看到在固定 下，阈值以上区域的逻辑失败率指数逼近 。在下一节中，我们将超越完全后选择的情形。在继续之前，我们注意到本节推导的完全后选择表面码的解析表达式直接适用于各种魔态注入、蒸馏和培育方案（例如，文献[35,62,63]）。IV. 无后选择的表面码在本节中，我们考虑无后选择的标准量子纠错设置。因此，我们将淬火无序引入统计力学模型。众所周知，比特翻转错误模型下的环面码可以映射到二维随机键Ising模型（RBIM）[3]。虽然该模型不像纯净Ising模型那样被精确求解，但由于其与自旋玻璃的相关性，存在大量关于该模型的文献[28,33,37–42]。在这里，我们研究无后选择表面码的两种互补解码设置：零温极限 ，对应于MWPMD，以及沿Nishimori线 ，对应于最优MLD。在统计力学图像中，这些分别探测无序模型中畴壁基态能量代价和畴壁自由能代价。比较这两种设置使我们能够区分完整有限温度解码问题特有的特征与无序模型基态结构中已经存在的特征。它还使我们能够将标准高效解码器的行为与最优解码器的行为进行比较，同时保留共同的统计力学解释。对于 的数值计算，我们使用PyMatching[64]中实现的MWPMD。然而，我们注意到零温解码问题是高度简并的：给定的综合症可能允许多个最小权重校正，特定的匹配实现通常不能公正地采样这个简并流形[65]。正如文献[65]所强调的，这可能影响零温阈值性质的精确量化估计。因此，我们的 结果主要应被解释为表征这种标准匹配解码器的现象学及相关区域结构，而不是对零温RBIM临界点的无偏高精度确定。对于有限 的数值计算，我们使用Planar解码器[66]，它使用Kac-Ward行列式公式来计算平面无序Ising自旋玻璃的配分函数，从而能够精确评估固定无序实现下畴壁的自由能代价。用于计算此类配分函数的Kac-Ward行列式公式可以证明等价于FKT算法[67,68]。我们证明了第III节中对后选择情形识别的四个区域及其定性失败率行为，即使在无后选择的表面码中也保持稳健。这基于以下预期：从后选择表面码识别的四个区域可推广到描述具有淬火无序的系统的随机键Ising模型，对应于无后选择的纠错。我们现在详细描述表面码在这四个区域内的行为。对于每个区域，我们描述其关键特征，并引入逻辑失败率 的特定拟设形式，我们将在后续讨论中推导和分析这些形式： 1. 路径计数区域：在足够低的 下，可以确定发生具有解码所需最小汉明权重的错误的概率，该权重是造成逻辑错误所必需的。在此区域，如第IV A节所述，我们证明奇数的 下比特翻转错误模型的环面码的失败率形式为 2. 阈值以下区域（有序）：该区域发生在 和足够大的 下，并与随码距离指数衰减到0的逻辑失败率相关联。在该区域中，逻辑失败由畴壁自由能分布的负尾部控制。如第IV B节所示，对于比特翻转错误模型下的环面码，在数值可及的有限尺寸区域内，我们预计每个逻辑自由度的失败率遵循有效形式 其中 是有效张力， 是吸收次主导修正的有限尺寸偏移。在此有限尺寸参数化中，当拟合的 为零时，该偏移设定 失败概率。 3. 近阈值区域（临界）：在临界点附近，低动量模式主导物理过程，有限尺寸标度意味着逻辑失败率取决于标度变量 ，等价于比值 ，其中 。对于纯净的完全后选择问题，相变属于二维Ising普适类。然而，对于与非后选择解码相关的无序RBIM，与纯净Ising不动点的关系更为微妙。由于二维Ising模型在Harris判据下是临界的[69]，弱淬火键随机性是边缘无关的：在接近纯Ising点的顺磁-铁磁相变线上，临界行为仍由纯Ising不动点控制，但带有对数修正而非改变临界指数[70,71]。在足够强的无序下，相图交叉到不同的强无序不动点。在二维 RBIM中，Nishimori线是RG不变的[72,73]，并在Nishimori多临界点与顺磁-铁磁边界相交[31,74,75]，该点是与最大似然解码相关的点[3,9]。在Nishimori线本身上——即解码问题中改变物理错误率的相关方向——数值工作发现 [47,70,76]，而最近的解析工作主张精确值 [77]。在Nishimori多临界点以下，低温顺磁-铁磁边界被认为由不同于纯净Ising不动点的强无序不动点控制，其临界行为数值上与 端点的行为一致[70]。该低温强无序普适类被认为不同于Nishimori多临界点，尽管 铁磁-自旋玻璃转变处的关联长度临界指数在数值上也被发现接近 [7,8]。受此图像的启发，我们在第IV C节中通过分析畴壁能量代价的分布证明，该区域中具有比特翻转噪声的表面码的失败率受有限尺寸标度拟设控制 其中 是标度变量， 和 是与临界点处畴壁能量代价分布相关的常数。 4. 阈值以上区域（无序）：该区域发生在 和足够大的 下，并与随码距离指数逼近 的逻辑失败率相关联： 淬火随机性的引入从根本上改变了Kramers-Wannier对偶性。与纯净模型不同，对偶性不提供参数 处的RBIM与对偶点 之间的简单映射[78]，因此，将阈值以上行为与阈值以下区域联系起来的优雅变换丢失了。结果，我们无法从阈值以下的值 和 推断出 或 。由于淬火无序带来的复杂性，特别是简单对偶性的丢失，在该区域中为逼近渐近失败率开发和验证更精确的拟设超出了当前工作的范围。在概述了无后选择表面码四个操作区域的预期特征后，我们现在旨在定量建模其失败率。第III节中提出的后选择系统的精确解析解为开发合适的拟设提供了基础。随后对每个区域进行的分析用于测试这些模型，从而证实淬火无序存在下四区域结构的稳健性。A. 路径计数在本小节中，我们将注意力限制在 MWPMD数据上。路径计数区域在这种零温设置中最自然地表述，因为它描述了渐近 极限，在Nishimori线上也意味着 。路径计数区域中逻辑失败率表达的推导与后选择情形类似。人们通常认为，逻辑失败由最小不可纠正错误构型主导，在没有后选择的情况下，这些构型是恰有?\( \lfloor d/2 \rfloor \)?个错误沿长度为?\( d \)?的畴壁发生的情况[3,8,79,80]。在假设错误独立且以概率?\( p \)?发生的前提下，给定最小路径的概率正比于?\( p^{\lfloor d/2 \rfloor} \)。对于奇距离?\( d \)?的环面码，考虑此类路径的组合重数可得到形如
\[
P_L \approx A(d) p^{\lfloor d/2 \rfloor}
\tag{33}
\]
的表达式，其中依赖于?\( d \)?的前置因子?\( A(d) \)?考虑了不同畴壁构型的数目。对于偶距离?\( d \)，权重为?\( d/2 \)?的最小错误链仅有一半概率导致解码失败，这给前置因子引入了额外的因子?\( 1/2 \)。

该表达式代表了逻辑失败率的主导阶贡献，随着?\( p \to 0 \)?其准确性逐渐提高，此时这些最小错误构型主导所有其他失败机制。该展开中的后续项依赖于更长的错误路径，它们决定了该主导阶近似有效的?\( p \)?范围。遵循 Dennis 等人[3]和 Beverland 等人[80]的方法，我们在附录?B?中给出了下一个主导阶贡献的详细计算。这使我们能够估计路径计数估计的有效范围，我们发现其为?\( p \lesssim 10^{-3} \)，并凸显了对边界条件的强烈依赖性，因此环面码、奇偶?\( d \)?的平面码和旋转平面码都有不同的错误率。这种非常强的边界条件依赖性在大?\( d \)?时未被观察到。我们推荐读者参考 Beverland 等人[80]对这些点的更完整讨论。

为了探索路径计数方法的有效性，我们在极低物理错误率下进行了数值模拟。如图?7?所示，方程?(33)?给出的路径计数表达式确实在?\( p \to 0 \)?时收敛于模拟的逻辑失败率。我们还观察到，当?\( p \lesssim 10^{-3} \)?时路径计数表达式（方程?(33)）低估了逻辑失败率。这个有效范围与附录?B?中的解析论证一致。因此我们发现，路径计数近似对逻辑失败率的有效范围远低于完全后选择情形。这可能是由于在没有后选择的情况下可能出现的错误构型数量大得多所带来的熵贡献。

**图?7.** 标准环面码（无后选择）在路径计数范围内的逻辑失败率比较。数值模拟结果（散点）与路径计数方法的理论预测（虚线）一起显示。数据点代表?\( 10^6 \)?到?\( 10^8 \)?个样本，解码使用 PyMatching [64] 进行。随着?\( p \)?减小，吻合度显著提高，确认了路径计数表达式在低物理错误率极限下的准确性。灰色阴影区域表示路径计数表达式预期不准确的参数。边界是通过在路径计数表达式（方程?(33)）中施加?\( p \lesssim 10^{-3} \)（参见正文中讨论的有效尺度?\( p_{\text{valid}} \)）得到的，我们将阴影置于该边界的右侧（更大的?\( p \)）。为了在非整数?\( d \)?处获得平滑边界，我们对方程?(33)?中的组合前置因子进行了连续?\( d \)?函数延拓，该延拓在整数?\( d \)?处与整数表达式一致（在奇偶舍入误差内），仅用于边界可视化。

**B. 阈值以下标度**

当物理错误率?\( p \)?超出路径计数法的窄适用范围但仍低于 RBIM 的临界阈值?\( p_{\text{th}} \)?时，非后选择表面码进入阈值以下区域。类似于完全后选择表面码的阈值以下区域，我们预期该区域中的逻辑失败率?\( P_L \)?随码距?\( d \)?指数衰减。然而，在存在淬火无序的情况下，这种衰减不由无序平均的畴壁自由能本身控制，而由畴壁自由能代价?\( \Delta F \)?分布的罕见事件尾部控制。

当引入淬火无序时，第?III?B?节描述的毛细波涨落受到抑制，因为无序引入了随机钉扎位点，导致畴壁变得粗糙和局域化，而非热涨落[81]。界面的熵由克服无序钉扎的能量代价主导，而非畴壁的熵游走，这实际上将表面张力重新标度到一个更小的值，并消除了毛细波带来的?\( 1/d \)?熵修正[82]。

非后选择设置产生的不是完全后选择模型中获得的确定性畴壁自由能代价，而是畴壁自由能代价的分布。在低温下，该分布的标度自然由随机环境中的有向聚合物（DPRE）理论[81,83,84]启发。然而，这里相关的几何构型并非精确的传统点对点或点对线聚合物几何[84]：畴壁可以自由选择其位置，而不是具有任一固定端点。因此，我们仅将 DPRE 图像作为预期自由能分布的定性指导，从而作为数值上观察到的逻辑失败率函数形式的定性指导。

在 DPRE 图像中，\( \Delta F \)?最方便地表示为服从 Tracy-Widom 定律[85,86]的随机变量?\( \chi \)?的函数。\( \Delta F \)?的函数形式依赖于（逆）温度和畴壁长度，并预计标度为
\[
\Delta F \approx \alpha(d) \chi + \beta(d)
\tag{34}
\]
其中?\( \alpha(d) \)?和?\( \beta(d) \)?是依赖于?\( d \)?的常数，?\( \chi \)?服从 Tracy-Widom 分布，?\( \mathcal{O}(d^{-1/3}) \)?表示次主导修正。我们在此将附加分布?\( \mathcal{O}(d^{-1/3}) \)?视为常数，这可以证明是合理的，因为它紧密分布（参见例如文献?[87]的方程?(1.5–1.7)）。当畴壁自由能代价为负时发生逻辑失败，因此?\( P_L \)?的领先渐近行为由下式确定
\[
P_L \approx \mathbb{P}(\Delta F < 0) = \mathbb{P}\left(\chi < -\frac{\beta(d)}{\alpha(d)}\right)
\tag{35}
\]
Tracy-Widom 分布的右尾渐近行为满足[88]
\[
\mathbb{P}(\chi > t) \sim \exp\left(-\frac{4}{3} t^{3/2}\right)
\tag{36}
\]
将方程?(36)?代入方程?(35)，这些渐近分析表明?\( \log P_L \)?获得一个与?\( d \)?线性相关的项。次主导项分别是对数项和常数项。完整地，我们有
\[
\log P_L \approx -a d + \frac{1}{2}\log d + b
\tag{37}
\]
换言之，?\( P_L \)?的领先渐近行为是随?\( d \)?的指数衰减，与文献[53,80]中的数值观察一致。我们期望有限温度（MLD）和零温度（MWPMD）的畴壁能量代价分布都遵循这种形式，因为 DPRE 的普适方面在两种设置中是相同的[84,89]。我们将对这些与 DPRE 相关的标度的详细研究留给未来的工作。

RBIM 中存在的淬火无序阻碍了真实畴壁表面张力的简单解析计算。然而，通过上述预测?\( P_L \)?渐近标度的论证，我们假设在数值可及的有限尺寸范围内，单一逻辑自由度的逻辑失败率采取有效形式
\[
P_L \approx C e^{-\sigma_{\text{eff}} d}
\tag{38}
\]
其中?\( \sigma_{\text{eff}} \)?扮演有效张力的角色，?\( C \)?是有限尺寸偏移量，在所考虑的晶格尺寸范围内吸收次主导修正。这个有效张力?\( \sigma_{\text{eff}} \)?不等于随机键伊辛模型的真实表面张力，而是表面张力和 DPRE 涨落振幅的函数，我们以唯象方式定义，以便在非后选择和后选择表面码之间进行同等比较。

该参数化旨在作为数据的有效有限尺寸描述，而非关于完全无序平均自由能的渐近精确陈述。特别地，任何对?\( \sigma_{\text{eff}} \)?的对数或其他次主导修正都在我们数值中可访问的有限系统尺寸范围内被吸收到?\( C \)?中。

尽管我们无法直接在我们的模型中计算?\( \sigma_{\text{eff}} \)，但我们在附录?C?中确定了其在?\( p \to 0 \)?极限下的值。有效张力?\( \sigma_{\text{eff}} \)?必须在临界点处消失，如同干净伊辛模型的表面张力[25]。如果我们考虑在阈值处的行为，方程?(38)?意味着?\( P_L \approx C \)。因此，这个有限尺寸偏移量预计近似决定阈值处与晶格尺寸无关的失败率。然而，我们注意到这些阈值以下近似的有效性并不一直延伸到阈值。

我们在图?8?中分别对?\( T = 0 \)（通过 MWPMD）和?\( T = T_{\text{N}} \)（通过 MLD）下，将非后选择平面码的逻辑失败率作为物理错误率和码距的函数进行了曲线拟合和绘制。由此我们提取了有效张力?\( \sigma_{\text{eff}} \)（绘制在图?9?中）和有限尺寸偏移量?\( C \)（绘制在图?10?中）。这些拟合表明，方程?(38)?的有效有限尺寸形式在所考虑的两种温度（?\( T = 0 \)?和?\( T = T_{\text{N}} \)）下，对所考虑的系统尺寸范围内的平面码阈值以下失败统计提供了良好的描述。

**图?8.** 非后选择平面码在阈值以下区域中位翻转噪声下的逻辑失败率?\( P_L \)?比较，分别在零温度（?\( T = 0 \)）和西森线（?\( T = T_{\text{N}} \)）下评估。对于每个数据集，失败率拟合到方程?(38)?的拟设，产生参数?\( \sigma_{\text{eff}} \)?和?\( C \)。散点显示数值结果，而拟合曲线显示为线：虚线为?\( T = 0 \)，实线为?\( T = T_{\text{N}} \)。?\( T = 0 \)?的数据使用 PyMatching [64] 获得，而?\( T = T_{\text{N}} \)?的数据使用 Planar [66] 获得，两者均为?\( 10^6 \)?个样本。

**图?9.** 非后选择平面码在阈值以下区域中有效张力?\( \sigma_{\text{eff}} \)?作为物理错误率?\( p \)?的函数图，比较零温度（?\( T = 0 \)）与西森线（?\( T = T_{\text{N}} \)）。这些点从逻辑失败率数据的拟合中获得，误差棒表示一个标准差，线是拟合值之间的插值：虚线为?\( T = 0 \)，实线为?\( T = T_{\text{N}} \)。

**图?10.** 非后选择平面码在阈值以下区域中有限尺寸偏移量?\( C \)?作为物理错误率?\( p \)?的函数图，比较零温度（?\( T = 0 \)）与西森线（?\( T = T_{\text{N}} \)）。这些点从逻辑失败率数据的拟合中获得，误差棒表示一个标准差，而线是加权最小二乘三次多项式拟合的目视引导线：虚线为?\( T = 0 \)，实线为?\( T = T_{\text{N}} \)。

在图?9?中，有效张力?\( \sigma_{\text{eff}} \)?在?\( T = 0 \)?和?\( T = T_{\text{N}} \)?下似乎非常相似，任何差异在拟合不确定度的尺度上都保持较小。相比之下，图?10?显示?\( T = 0 \)?和?\( T = T_{\text{N}} \)?下的?\( C \)?在所研究的?\( p \)?范围内相差大约一个常数偏移量。综合来看，这些结果表明 MWPMD 和最优 MLD 表现出相似的阈值以下标度，主导指数抑制由几乎相同的有效张力支配，主要差异被次主导的有限尺寸偏移量所捕捉。如果这种行为在更大的?\( d \)?下持续存在，那么逻辑失败率的差异相对于最优 MLD 的额外计算成本应该变得可忽略。

通过将我们的结果转化为 Bravyi 和 Vargo [53] 的标准参数化，我们赋予衰减率?\( \Lambda \)?一个清晰的物理意义，即由稀有逻辑畴壁的自由能代价控制的张力。对于我们的模型，在表面码的阈值以下区域，逻辑失败率采取方程?(38)?的形式。我们的有效张力直接映射到衰减率：
\[
\Lambda \equiv \sigma_{\text{eff}}
\tag{39}
\]

虽然方程?(38)?给出的拟设在阈值以下区域深处提供了逻辑失败率的良好描述，但预计它在物理错误率?\( p \)?接近临界点?\( p_{\text{th}} \)?时不成立。为了准确描述临界区域中的逻辑失败率，我们转向有限尺寸标度理论框架。

**C. 接近阈值**

在近阈值区域，逻辑失败率?\( P_L \)?的行为由有限尺寸标度支配。引入淬火无序（这是与非后选择表面码相关的随机键伊辛模型的特征）的一个结果是，对于给定的?\( p \)?和?\( d \)，畴壁的自由能代价不再是单一明确定义的值。在下文中，我们在两种解码设置中研究这个分布：在零温度极限?\( T = 0 \)（对应于 MWPMD）下，相关量是畴壁基态能量代价?\( \Delta E \)；以及在西森线?\( T = T_{\text{N}} \)（对应于最优 MLD）上，相关量是畴壁自由能代价?\( \Delta F \)。在量子纠错文献中，前者被称为“逻辑间隙”，因为它衡量了导致不同逻辑结果的解码器修正之间的汉明权重差[34–36,90]。在临界点处，畴壁能量分布?\( \Delta E \)?的均值已知随?\( d \)?按?\( \langle \Delta E \rangle \sim d^{\theta} \)?标度[46]，其中?\( \theta \)?是刚度指数，已在自旋玻璃文献中被研究[33,38–42]。下面，我们分析了全能量成本分布和逻辑错误率在阈值附近的有限尺寸缩放结果。为了简化分析的初步呈现，我们主要考虑具有开放边界条件的平面码。该系统编码单个逻辑量子比特，与环面码的两个逻辑量子比特形成对比，从而可以更清晰地阐述核心概念。然而，该框架可直接扩展到具有多个逻辑量子比特的系统，在这种情况下，需要处理逻辑算符成本的多维概率分布。

由于模型中的随机耦合，RBIM中相关的畴壁成本可以取正号或负号。我们用\(E_{\mathrm{DW}}\)表示该量，其中在\(p=0\)时\(E_{\mathrm{DW}} > 0\)，沿西森线（\(p = p_{\mathrm{N}}\)）时\(E_{\mathrm{DW}} \lessgtr 0\)。在量子错误纠正的背景下，负的畴壁能量对应于解码器失败。我们将\(E_{\mathrm{DW}}\)的概率密度定义为\(P(E_{\mathrm{DW}})\)。因此，逻辑失败概率就是负\(E_{\mathrm{DW}}\)的总概率，如果\(P(E_{\mathrm{DW}})\)已知，就可以确定该概率。我们假设如式(20)所示，逻辑失败概率是标度变量\(\phi\)的函数，其中\(\nu\)是RBIM的标度指数。因此我们有

\[
P_{\mathrm{fail}} = \mathcal{F}(\phi) \tag{40}
\]

其中\(\mathcal{F}\)是标度函数。表示\(P_{\mathrm{fail}}\)的一般标度函数\(\mathcal{F}\)预期满足渐近极限：当\(\phi \to -\infty\)（阈值以下区域，\(p < p_{\mathrm{th}}\)）时\(\mathcal{F} \to 0\)，当\(\phi \to +\infty\)（阈值以上区域，\(p > p_{\mathrm{th}}\)）时\(\mathcal{F} \to \mathcal{D}\) [7]，其中\(\mathcal{D}\)是逻辑子代数的维数。对于编码单个逻辑量子比特（\(\mathcal{D}=1\)）的具有比特翻转噪声的平面码，上限为\(1\)（见附录F，第F 3节）。

方程(40)对阈值处的能量成本分布具有高度约束性。在临界点\(p = p_{\mathrm{th}}\)，发散的相关长度使模型具有尺度不变性，这反映在畴壁能量分布上，即在粗粒化意义上，该分布变得与晶格尺寸无关。具体而言，对于所有有限的\(L\)，\(P_{\mathrm{fail}}\)保持恒定的条件反映了这种尺度不变性。

在\(p = p_{\mathrm{th}}\)处，我们数值验证了适当重标定后的\(E_{\mathrm{DW}}\)分布随着\(L \to \infty\)收敛到包络曲线（见附录F，第F 1和F 2节）。使用每点\(N = 10^5\)个样本和\(c = 0.5\) [7]拟合\(P(E_{\mathrm{DW}})\)，得到刚度指数\(\beta = 0.24\)（见图11）。一个复杂性源于这样的事实：由于量子化的耦合常数，对于所有有限的\(L\)，分布\(P(E_{\mathrm{DW}})\)是离散的。其影响可以在图12中看到。因此，在附录中我们谨慎地定义了这些分布收敛性的适当粗粒化概念。

**图11.** 临界点\(p = p_{\mathrm{th}}\)处平面码两个逻辑扇区之间基态能量成本平均值\(-\overline{E}_{\mathrm{DW}}\)作为晶格尺寸\(L\)的对数-对数图。散点代表数值模拟的平均值，实线是基于假设\(-\overline{E}_{\mathrm{DW}} \propto L^{\beta}\)的线性回归拟合。拟合得到刚度指数\(\beta = 0.24\)。

**图12.** 临界点\(p = p_{\mathrm{th}}\)处平面码畴壁基态能量成本\(E_{\mathrm{DW}}\)的缩放概率分布。每个直方图（彩色）对应不同的晶格尺寸\(L\)，叠加的虚线是单个高斯分布，其均值和标准差取自\(L \in \{16, 32, 64, 128\}\)的合并数据（\(\mu = -0.002\)，\(\sigma = 0.021\)）。该高斯分布旨在近似提出的连续包络，所有分布随着\(L \to \infty\)坍缩到该包络上。

在\(p = p_{\mathrm{th}}\)处，以\(L^{\beta}\)（\(\beta = 0.24\)）对\(E_{\mathrm{DW}}\)在\(p = p_{\mathrm{th}}\)处的分布进行重标定，可以将所有\(L\)的数据坍缩到一条曲线上，该曲线在与\(P_{\mathrm{fail}}\)积分相关的区域内可以用均值为\(\mu = -0.002\)、标准差为\(\sigma = 0.021\)的高斯分布很好地描述（见图12和附录F，第F 1节）。这激发了在后续分析中对\(P(E_{\mathrm{DW}})\)采用高斯近似的合理性。

已知具有开放边界条件的二维随机键伊辛模型（即平面码）的基态能量成本分布表现出非高斯尾部 [33]。这种非高斯性可以在图12的尾部清晰地看到。然而，为了通过积分该分布以及\((\beta - p_{\mathrm{N}})\)自由能成本分布来确定逻辑失败率\(P_{\mathrm{fail}}\)，我们发现其行为，特别是在与积分相关的区域内，可以用变换后的高斯分布近似到领头阶。虽然这种近似忽略了尾部的真实非高斯性质，这可能会引入非普适的、依赖于\(L\)的修正项，但它捕捉了主要的标度行为。

相反，在\(p = p_{\mathrm{N}}\)处，\(E_{\mathrm{DW}}\)在\(p = p_{\mathrm{N}}\)处的分布明显是尺度不变的，无需任何重标定。换句话说，在该点，刚度指数\(\beta = 0\)。我们在图13中展示了该分布，使用\(N = 10^5\) [47]。在高斯核密度估计得到的概率分布上叠加了一个高斯分布，其均值和标准差取自合并数据（\(\mu = 0\)和\(\sigma = 0.013\)）。该高斯拟合的效果不如在\(p = p_{\mathrm{th}}\)处的拟合，这是由于已知的\(E_{\mathrm{DW}}\)分布的偏斜性 [47]。该分布已被充分研究，包括非零偏度和在\(E_{\mathrm{DW}} = 0\)处的非解析扭结。该扭结源于西森对称约束 [24]

\[
P(E_{\mathrm{DW}}) = e^{-\beta p_{\mathrm{N}} E_{\mathrm{DW}}} P(-E_{\mathrm{DW}}) \tag{38}
\]

该约束强制\(P(E_{\mathrm{DW}})\)在\(E_{\mathrm{DW}} = 0\)处的左导数和右导数之和等于原点的概率 [47]

\[
\left.\frac{dP}{dE_{\mathrm{DW}}}\right|_{0^+} + \left.\frac{dP}{dE_{\mathrm{DW}}}\right|_{0^-} = P(0) \tag{39}
\]

**图13.** 在临界点\(p = p_{\mathrm{th}}\)处，沿西森线\(p = p_{\mathrm{N}}\)评估的平面码两个逻辑扇区的畴壁自由能成本\(F_{\mathrm{DW}}\)的概率分布。每条彩色曲线对应不同的晶格尺寸\(L\)。每个\(L\)处的概率密度函数使用非参数高斯核密度估计器进行估计。虚线黑线显示了一个高斯分布，其均值和标准差取自\(L \in \{8, 16, 32, 64, 128\}\)的合并数据（\(\mu = 0\)和\(\sigma = 0.013\)）。与图12中通过\(L^{\beta}\)进行额外重标定不同，这些分布表现出近似尺度不变的形式，与刚度指数\(\beta = 0\)一致。

为了分析\(P_{\mathrm{fail}}\)，我们在后续分析中将畴壁能量成本分布\(P(E_{\mathrm{DW}})\)近似为具有均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)的高斯分布，对于\(p = p_{\mathrm{th}}\)和\(p = p_{\mathrm{N}}\)都进行一致的分析。失败概率通过积分该高斯分布的负尾部获得：

\[
P_{\mathrm{fail}} = \frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right) \tag{41}
\]

鉴于逻辑失败概率的假设标度行为，我们预期比率\(\mu/\sigma\)在阈值附近是标度变量\(\phi\)的函数。让我们定义

\[
\chi \equiv \frac{\mu}{\sigma} \tag{42}
\]

我们分析了模拟中接近已知阈值处发现的能量成本分布：对于\(p = p_{\mathrm{th}}\)，\(p_{\mathrm{th}} = 0.1094\) [7]；对于\(p = p_{\mathrm{N}}\)，\(p_{\mathrm{N}} = 0.1009\) [47]，在一系列系统尺寸\(L\)下，找到分布的均值和方差。我们将比率\(\chi\)绘制在图14(a)和14(b)中，并观察到非常好的数据坍缩，表明我们的标度假设的质量。我们对比率\(\chi\)进行二阶多项式曲线拟合，使用假设\(\chi(\phi) = a_0 + a_1\phi + a_2\phi^2\)。对于\(p = p_{\mathrm{th}}\)，从该过程提取的最佳拟合参数为：\(a_0 = -0.25\)，\(a_1 = 0.45\)，\(a_2 = 0.20\)，以及\(\nu = 0.81\)。对于\(p = p_{\mathrm{N}}\)，从该过程提取的最佳拟合参数为：\(a_0 = 0.01\)，\(a_1 = 0.20\)，\(a_2 = 0.10\)，以及\(\nu = 0.75\)。

**图14.** 畴壁成本的均值与标准差之比（\(\chi = \mu/\sigma\)）作为标度变量\(\phi = (p - p_{\mathrm{th}})L^{1/\nu}\)的函数的数据坍缩图。(a) 零温畴壁基态能量成本分布，由MWPMD获得。虚线黑线是二阶多项式假设\(\chi(\phi) = a_0 + a_1\phi + a_2\phi^2\)的最佳拟合。(b) 西森线上的有限温畴壁自由能成本分布，由最优MLD获得。虚线黑线是相同二阶多项式假设的最佳拟合。在这两种情况下，来自不同系统尺寸的数据坍缩到一条曲线上，支持了在各自阈值附近的有限尺寸缩放假设。注意y轴的不同尺度。

为了构建一个实用的假设来拟合逻辑失败率的数值数据，特别是为了捕捉阈值附近的行为，我们使用一个由式(41)的误差函数结构启发而来的唯象函数。我们考虑的一般形式是

\[
P_{\mathrm{fail}}(\phi) = \frac{1}{2}\mathrm{erfc}\left(\frac{g(\phi)}{\sqrt{2}}\right) \tag{43}
\]

其中\(g(\phi)\)是标度变量\(\phi\)的多项式，\(c_0\)和\(c_1\)也是拟合参数。多项式\(g(\phi)\)的阶数\(d\)确定了该假设中自由参数的总数。具体而言，我们研究\(g(\phi)\)的两种情况：

1. **二次型** \(g(\phi) = c_0 + c_1\phi + c_2\phi^2\)。这导致\(P_{\mathrm{fail}}\)的5参数模型（即\(c_0, c_1, c_2, p_{\mathrm{th}}, \nu\)）。这是图15(a)和15(b)中数据坍缩所使用的主要形式。
2. **线性型** \(g(\phi) = c_0 + c_1\phi\)。这导致\(P_{\mathrm{fail}}\)的4参数模型（即\(c_0, c_1, p_{\mathrm{th}}, \nu\)）。

**图15.** 非后选择平面码在比特翻转噪声下的逻辑失败率\(P_{\mathrm{fail}}\)，绘制为标度变量\(\phi\)的函数以展示数据坍缩。(a) 零温（\(p = 0\)），对应于MWPMD。(b) 沿西森线\(p = p_{\mathrm{N}}\)，接近西森多临界点，对应于最优MLD。在两个面板中，虚线黑线显示了式(43)的有限尺寸缩放假设的最佳拟合，其中二次标度函数\(g(\phi) = c_0 + c_1\phi + c_2\phi^2\)，将参数\(c_0, c_1, c_2\)、临界错误率\(p_{\mathrm{th}}\)和临界指数\(\nu\)视为自由拟合参数。散点代表使用PyMatching [64]在(a)中\(N = 10^6\)个样本，以及Planar [66]在(b)中\(N = 2 \times 10^6\)个样本获得的数值模拟结果。

我们在图15(a)和15(b)中绘制了使用二次\(g(\phi)\)假设（5个自由参数）的数据坍缩曲线，通过自变量\(\phi = (p - p_{\mathrm{th}})L^{1/\nu}\)进行重标定。在\(p = p_{\mathrm{th}}\)处，我们的拟合返回了\(c_0 = 0.35\)，\(c_1 = 0.45\)，\(c_2 = 0.20\)，以及\(\nu = 0.81\)。拟合还优化了临界参数为\(p_{\mathrm{th}} = 0.1095\)和\(\nu = 0.81\)，这些参数用于构建图中的\(\phi\)。在\(p = p_{\mathrm{N}}\)处，我们的拟合返回了\(c_0 = 0.01\)，\(c_1 = 0.20\)，\(c_2 = 0.10\)，以及\(\nu = 0.75\)。拟合还返回了临界参数为\(p_{\mathrm{th}} = 0.1010\)和\(\nu = 0.75\)。

为了量化临界失败率，我们比较了三种独立方法，这些方法将畴壁能量成本分布或逻辑失败数据映射到\(P_{\mathrm{fail}}\)。我们首先使用MWPMD研究\(p = p_{\mathrm{th}}\)处的临界失败率。(1) 固定\(\nu = 0.81\)，对跨\(L \in \{16, 32, 64, 128\}\)的临界分布拟合高斯，给出\(P_{\mathrm{fail}} = 0.14\)。(2) 对\(\chi\)进行数据坍缩，\(\nu\)自由，给出\(P_{\mathrm{fail}} = 0.15\)和截距\(a_0 = -0.25\)。(3) 直接使用（二次）误差函数假设拟合逻辑失败率，给出\(P_{\mathrm{fail}} = 0.145\)和\(p_{\mathrm{th}} = 0.1095\)。临界失败率的预测在不确定性范围内不一致。然而，总体而言，所有三种方法都将\(P_{\mathrm{fail}}\)置于0.135–0.155的窄范围内；因此，我们依赖直接失败率拟合进行精确的阈值估计，并使用基于分布的坍缩作为标度形式的补充交叉检验。

接下来，我们使用最优MLD研究\(p = p_{\mathrm{N}}\)处的临界失败率。(1) 固定\(\nu = 0.75\)，对跨\(L \in \{8, 16, 32, 64, 128\}\)的临界分布拟合高斯，给出\(P_{\mathrm{fail}} = 0.16\)。(2) 对\(\chi\)进行数据坍缩，\(\nu\)自由，给出\(P_{\mathrm{fail}} = 0.16\)和截距\(a_0 = 0.01\)。(3) 直接使用（二次）误差函数假设拟合逻辑失败率，给出\(P_{\mathrm{fail}} = 0.155\)和\(p_{\mathrm{th}} = 0.1010\)。同样，这三种方法的预测在不确定性范围内不一致。然而，所有三种方法都将\(P_{\mathrm{fail}}\)置于0.155–0.165的窄范围内。

我们比较了二次误差函数假设（式(43)）与几种替代形式，包括线性误差函数形式，以及文献中常用的两种假设：简单多项式模型，和带有有限尺寸修正的多项式（详见附录F 4）。在所有三个比较指标——残差平方和（RSS）以及赤池和贝叶斯信息准则（AIC和BIC）中，二次误差函数模型始终为我们的数值数据提供了最佳拟合，对于\(p = p_{\mathrm{th}}\)和\(p = p_{\mathrm{N}}\)两种设置都是如此（见附录F 4中的表II和表III）。尽管使用的参数少于某些替代形式，但这种强劲的性能凸显了由能量成本分布的高斯近似所启发的误差函数结构，更准确地捕捉了\(P_{\mathrm{fail}}\)在近阈值区域的真实标度行为。

我们相信，该假设改进的性能源于以下事实：我们选择的标度函数假设在逻辑错误概率随物理错误概率快速变化的整个区域内准确地拟合了失败概率。该区域携带了关于阈值位置的最多信息，即使物理错误概率的相关范围随着系统尺寸的增加而移动。通常的方法，例如文献[7]中的方法，在逻辑失败曲线交叉点附近对标度函数进行泰勒展开。正如我们所见，该交叉点可能距离失败概率导数最大的点相当远。更显著的例子包括最近关于动态偏置排列的工作 [91]（见图8）以及单次错误纠正中可持续阈值的工作 [92]（见图S2）。在这些情况下，交叉点发生在\(P_{\mathrm{fail}}\)接近其渐近极限的地方，使得通过交叉点定位阈值效率较低。总的来说，我们认为在失败概率导数最大的区域内准确拟合数据的标度假设将优于那些寻找交叉点的方法。有许多可能的方法；一个例子是第V节中描述的假设。参考文献[92]的S3节。最后，我们不针对非后选择表面码包含专门的阈值以上小节。淬火无序并不会破坏克拉默斯-瓦尼尔对偶；相反，它将清洁模型的干净映射替换为一种广义对偶，不再在处的随机键伊辛模型与任何对偶点之间建立简单关系（例如，参见文献[93,94]）。因此，我们无法简单地从阈值以下的量自举出阈值以上的拟设（例如，）。其次，对于，随着的增加，逻辑失效率迅速趋近于，使得不同码距之间的差异呈指数级难以分辨，且诊断价值有限；只有在由有限尺寸标度支配的狭窄近阈值窗口内，才携带有用的"到阈值距离"信息。

V. 扩展到电路级噪声

在本节中，我们研究上述发展出的洞见如何扩展到码容量噪声之外，通过考虑在均匀退极化电路级噪声下、具有轮综合征提取的旋转表面码记忆实验。在存在噪声综合征测量的情况下，解码问题自然地与一个三维统计力学模型相关联。对于独立的比特翻转数据错误和测量错误，该模型最容易表述为随机方格规范模型[3,7]。对于退极化噪声，错误相关性耦合了和时空体积，导致了文献[45]中提出的随机耦合方格规范模型。电路级退极化噪声并不能精确映射到一个简单的均匀随机耦合方格规范模型，因为微观电路故障会传播为依赖于调度方案的相关事件。尽管如此，随机耦合方格规范模型为退极化电路级设置提供了一个紧密的统计力学类比，并激发了将依赖于电路的逻辑失效率解释为有效畴壁能量代价的动机。

为了研究我们的拟设能在多大程度上捕捉电路级噪声下逻辑失效率的行为，我们比较了三种综合征提取电路：标准的钩错避免测量调度[95–97]、文献[98]中最近提出的对角调度，以及一种故意次优的易钩调度，其中相关故障与逻辑算符对齐[99]。对角测量调度旨在保持完整的电路距离，同时维持全局均匀的测量调度。相比之下，在易钩调度中，路径计数图像预测了降低的有效距离：在路径计数区域中，主要故障模式的支持标度类似于而非[98]。然而，在阈值以下区域，简并和有限效应软化了这种简单的两倍图像，因此必须通过数值方法提取有效抑制率。

所有电路级模拟均使用Stim[100]执行，解码使用PyMatching[64]完成。受第IV.B节中发展的阈值以下形式的启发，我们对每个调度的逻辑失效率拟合为

（44）

其中是与调度相关的有效衰减率，是吸收次主导有限尺寸和电路相关效应的前置因子。

尽管随机耦合方格规范模型具有西森条件，但这些条件指定了多个无量纲耦合常数，而非唯一的标量逆温度。此外，这里考虑的电路级噪声模型包含依赖于调度方案的相关故障机制，因此不存在唯一的西森逆温度来归一化以获得有效张力。因此，我们直接将本身作为主要现象学量报告。

图16显示了逻辑失效率作为物理电路退极化概率的函数，以及对等式(44)中拟设的拟合。在阈值以下区域，该拟设很好地捕捉了数值数据。改变综合征提取调度的主要效果是改变衰减率：易钩调度显示出系统性更弱的指数抑制，而钩避免和对角调度在不确定度内表现出更大且相互一致的衰减率。这与预期一致：易钩电路降低了逻辑故障构型的有效代价，而保持距离的调度在低极限下恢复了完整的电路距离。

图16. 均匀退极化电路级噪声下旋转表面码记忆实验的逻辑失效率。码距为，每次实验使用轮综合征提取，每个数据点使用次采样。结果展示三种测量调度：(a) N/Z（易钩），(b) N/Z（钩避免），(c) 对角。散点显示数值模拟数据，实线显示对现象学阈值以下拟设的拟合。

为了使这一点更加明确，我们在图17中绘制了拟合的衰减率。随着向阈值增加，三条曲线趋向于零，与临界点附近指数抑制的丧失主要由体相变控制这一事实一致。然而，在较小的下，曲线根据电路质量清晰分离。特别地，标准和对角调度保持等效（在不确定度内）的衰减率，而易钩调度在整个阈值以下区域具有更小的衰减率。然而，易钩调度的衰减率大于路径计数图像预测的降低。

图17. 从图16中的逻辑失效数据提取的拟合电路相关衰减率。当接近阈值时，衰减率趋向于零，而在较低的下，三种调度根据电路质量分离。易钩调度具有最小的衰减率，反映其在低极限下降低的有效距离。

接下来，我们检查近阈值区域。对于每个调度，我们将逻辑失效率拟合为有限尺寸标度形式

其中拟合阈值、有效交叉指数和标度函数均允许依赖于综合征提取调度。得到的塌缩图，如图18所示，对每个调度都非常好。

图18. 均匀退极化电路级噪声下旋转表面码记忆实验的逻辑失效率有限尺寸标度塌缩。结果展示三种综合征提取调度：(a) N/Z（易钩），(b) N/Z（钩避免），(c) 对角。对于每个调度，阈值和有效交叉指数独立拟合，标度函数在标度参数附近局部近似为二阶多项式。

每个调度的拟合阈值和交叉指数总结在表I中。阈值和有效交叉指数均在对角测量调度时最大，在易钩调度时最小，而钩避免调度居中。拟合阈值在不同调度之间存在差异，这正如微观电路故障依赖于调度方案的传播所预期的那样。

表I. 均匀退极化电路级噪声下旋转表面码记忆实验的拟合近阈值参数。

调度
N/Z（易钩）
N/Z（钩避免）
对角

对指数的解释需要谨慎。在随机方格规范模型和随机耦合方格规范模型文献中，底层相变通常使用规范不变可观测量如威尔逊环[7,44]或波利亚科夫线[45]来诊断。此外，随机耦合方格规范模型相变被认为是第一类的，在这种情况下，相关长度保持有限，通常将解释为发散相关长度临界指数的解释不适用[44,45]。因此，我们将拟合指数记为，仅将其解释为控制逻辑失效概率的有限尺寸交叉指数。在这个意义上，塌缩不应被解读为传统连续临界点的证据。相反，它表明非局域量子纠错可观测量即使当底层统计力学相变可能是一阶时，也表现出简单且稳健的有限尺寸标度。

VI. 讨论与展望

在本工作中，我们利用二维伊辛模型的精确可解性，对完全后选择的环面码提供了全面的解析处理，得到了其在所有码距和物理错误率域上的逻辑失效率的闭式表达式。这一分析确立了四个不同运行区域的存在和特征：路径计数、阈值以下（有序）、近阈值（临界）和阈值以上（无序），见图1。我们从物理角度推导了每个区域内逻辑失效率功能行为的近似。具体而言，我们提出了一个在路径计数区域中计算最小不可纠正错误的组合表达式。在阈值以下区域，我们结合毛细波理论，提出了依赖于畴壁表面张力的失效率表达式。在近临界区域，我们展示了有限尺寸标度如何通过不同边界条件下配分函数的低动量模式的支配作用体现在逻辑失效率中。最后，我们展示了克拉默斯-瓦尼尔对偶如何将阈值以下区域的失效率精确映射到阈值以上区域的对偶概率。

这些物理考虑随后激发了无后选择分析，即标准表面码上的分析。首先，我们表明路径计数表达式对非后选择的环面码是准确的；然而，这种近似的准确性仅在比先前数值研究[8]中建议的物理错误率低得多的情况下成立。接下来，我们考虑阈值以下（有序）区域内畴壁涨落的物理行为，以提出失效率的拟设。我们的物理动机拟设有效地捕捉了失效率的功能行为。虽然恢复了与文献中先前拟设（例如，文献[80]）相似的形式，但我们的方法为组成参数提供了更清晰的物理解释，即有效张力驱动的自由能代价。最后，我们通过提出一种新的随机键伊辛模型基态能量代价分布的数据塌缩概念，研究了失效率的近阈值行为。该分布的通用包络被用来为表面码近阈值逻辑失效率的有限尺寸标度函数提出新的拟设。我们将这种新的基于误差函数的拟设与文献中提出的指数拟设进行了比较，在等效自由参数数量下，拟合精度提高了一个数量级。

这四个运行区域在精确可解的后选择模型和数值研究的非后选择模型中一致的结构，表明了一个广泛适用的理解拓扑量子纠错框架。我们现在描述这些区域预期成为此类代码通用特征的一般条件。

A. 物理解释

我们通过拟设（等式(38)）对非后选择环面码的定量分析提供了对淬火无序影响的洞见。在处和处提取的有效张力（图9）随呈单调递减趋势，按预期在时消失。这种行为量化了创建系统跨越畴壁的能量代价如何被增加的序系统性降低，然而仍保持足够大以确保阈值以下的错误抑制。

依赖的有限尺寸偏移（图10）源自于随机导向聚合物期望图像的渐近行为的对数和常数次主导修正。在有序区域内，保持为正、量级为1，且随变化微弱。非零的存在强调了无序在简单线性标度之外的能量贡献，并且可以直接与在阈值处的临界振幅相关联，该振幅独立于。此外，我们的误差函数拟设（等式(43)）用于有限尺寸标度函数，该拟设源自变换后的基态能量和自由能代价的高斯分布，表明虽然底层能量景观复杂且在其完整细节中非高斯[33]，但临界失效统计主要由适当重标定和平移后有效高斯性质的涨落主导。这为建模近阈值行为提供了一个强大的简化。

B. 与先前工作的比较

在这里，我们将结果与现有文献进行比较。Dennis等人[3]建立了表面码到二维随机键伊辛模型（以及带测量错误的三维随机方格规范模型）的映射，并将阈值确定为相变。我们反而使用完全后选择获得环面上的清洁伊辛模型，并在该设置下对所有推导出闭式表达式，然后通过有效张力将这些洞见转移到非后选择码。在西森线上，Wang、Harrington和Preskill[7]将阈值与临界现象联系起来，并提供了有限尺寸标度分析。文献[7]中的有限尺寸标度拟设涉及标度函数在逻辑错误概率交叉点附近的泰勒展开。我们的误差函数标度拟设捕捉了逻辑错误概率随物理错误概率快速变化的整个区域，其灵感来自阈值处畴壁自由能代价的分布。

Watson和Barrett[8]识别了一个小路径计数区域和一个近阈值标度区域，为开销估计提供了信息。我们的结果在定量上恢复了这些相同的极限：（i）当\( p \ll p_{\text{th}} \)时，我们再现了路径计数行为；（ii）在阈值以下区域，当接近近阈值区域时，我们的表达式渐近地简化为他们的指数衰减拟设，同时对指数衰减系数给出了物理解释；以及（iii）我们通过从畴壁能量成本的完整分布推导标度函数，改进了他们的标度拟设，从而得到了具有可解释参数的显式误差函数坍缩。Beverland等人[80]分析了方形晶格和旋转表面码之间的权衡，强调了低权重逻辑错误的组合计数和边界条件效应如何主导小\( L \)时的性能，而这种边界效应在接近阈值时并不显著。我们的分析通过为具有一系列边界条件的表面码推导出闭式路径计数表达式，并确定了路径计数近似的精确有效窗口\( p \ll p_{\text{th}} \)，扩展了这一工作。Bravyi和Vargo[53]使用稀有事件蒙特卡洛（分裂）方法估计了带孔表面码在\( L \)高达\( \sim 10^4 \)时的\( p_{\text{th}} \)，确认了\( p_{\text{th}} \approx 0.109 \)，并给出了衰减率\( \Delta \)的拟合。我们的分析用干净的伊辛映射公式取代了这种经验衰减率拟合，将\( \Delta \)识别为畴壁表面张力。Bravyi、Suchara和Vargo[4]通过匹配门模拟给出了独立比特/相位翻转噪声的多项式时间MLD（以及退极化噪声的基于MPS的近似）；我们的结果与解码器无关，为\( p_{\text{th}} \)提供了参数可解释的拟合，可应用于任何MLD或MPD实现的输出。最近，Xiao、Srivastava和Granath[15]通过选择旋转边界将特殊的无序点简化为解耦的一维伊辛链，推导了XY和XZZX表面码在偏置噪声下的闭式逻辑失效率；我们的结果是互补的，为无偏、完全后选择的情况提供了闭式\( p_{\text{th}} \)，以及一个超越单一偏置特定点的物理解释\( \Delta = 2J \)。C. 适用范围与局限性我们的四区域框架广泛适用于二维空间中的拓扑稳定子码，这些码具有局部校验和余维数为1的逻辑算符，在Nishimori线上的独立同分布泡利噪声下，最大似然解码映射到经典自旋模型中的自由能差。在这些条件下，解码问题表现出序-无序转变，从而支持我们使用的有限尺寸标度。关于我们的框架适用所需假设的更详细解释，以及进一步示例和畴壁自由能的技术界限，见附录G。虽然这项工作提供了一个全面的框架，但应承认某些局限性。我们的主要分析集中在\( p < p_{\text{th}} \)的位翻转噪声模型下的表面码，利用了其与伊辛型模型的直接映射。将完全后选择情况的精确解析处理扩展到更复杂的噪声通道（如映射到八顶点模型的退极化噪声）仍然是一个开放的挑战，尽管我们的一般四区域结构预计会持续存在。对于非后选择的码，我们的分析仅依赖于\( O(L^3) \)（MWPMD）和\( O(L^2) \)最优MLD。还应研究偏离Nishimori线的有限温度解码的影响（例如，最近在参考文献[101]中提出的方案，或其他解码方案）。此外，虽然我们的拟设与数值数据表现出极好的一致性，但它们在部分上是唯象的，从随机键伊辛模型的第一性原理对这些形式中的某些部分（特别是\( p_{\text{th}} \)对\( L \)的依赖或导致误差函数标度的能量成本分布的精确形式）进行更严格的推导将是可取的。最后，我们数值模拟中的系统尺寸范围\( L \)和射击次数虽然可观，但本质上限制了可以确认渐近标度行为的精度，尤其是在极低\( p \)下。D. 展望未来的工作应确定控制容错逻辑操作（如晶格手术[102]）的有限尺寸标度函数，基于最近对基于晶格手术的逻辑态传送及其交叉标度行为[103]的统计力学研究，并更广泛地包括边界条件[104,105]、几何[106–108]和拓扑特征（如扭转缺陷[109]）的影响。我们预计底层体标度行为与无缺陷情况相同，任何偏差完全由修正的有限尺寸（或边界）标度函数捕获。例如，虽然主要标度变量\( \Gamma = (p - p_{\text{th}})L^{1/\nu} \)将保持其形式，但近阈值失效概率\( p_{\text{fail}} \)将由依赖于边界的标度函数描述。因此，\( p_{\text{fail}} = F_{\text{bc}}(\Gamma) \)，其中\( F_{\text{bc}} \)明确依赖于表征特定边界条件或几何的参数集\( \{ \text{bc} \} \)，将其与理想化标度函数\( F_0(\Gamma) \)区分开来。除了这些标度研究之外，从表现出高温转变的统计力学模型探索新码构造有望带来新的拓扑码构造。鉴于八顶点模型的精确可解性，未来的工作还可以探索将当前的统计力学映射扩展到退极化噪声下的表面码，在完全后选择极限下该模型映射到八顶点模型。此外，研究该模型在涉及测量误差的场景中的适用性，可能通过与随机plaquette规范模型的联系，或更复杂的电路级噪声，也为研究提供了一个方向。解决拓扑码在测量误差下是否映射到具有一阶或连续相变的统计力学模型这一问题将是有意义的。这需要仔细考虑这些转变表现出伪一阶行为的可能性[110,111]。在一阶转变的情况下，我们的有限尺寸标度方法可能无法在所有系统尺寸下工作，尽管在本研究我们研究的示例中，我们能够通过有限尺寸标度将逻辑失效率分析为非局域序参数。虽然前述要点概述了扩展和完善理论框架的方向，但本文开发的方法在分析特定实际码族方面也立即具有前景。例如，本文开发的方法的一个有趣应用是固定校验结构[113,114]的双变量循环码族[112]，因为这些码满足我们分析所基于的假设。这可能为近期的量子低密度奇偶校验码量子纠错提供实际区域中最佳逻辑错误率的准确高效估计。最后，对于在\( p \)下运行但仍处于近阈值区域的近期量子计算平台，我们的框架提出了一种实用诊断方法：通过将逻辑失效数据拟合到我们的有限尺寸标度形式，可以提取定量的“到阈值距离”度量。这将使实验系统能够基准其接近容错的程度，并跟踪进入阈值以下区域的进展。