力矩驱动的受限活性布朗粒子中的精确动力学与维度效应

《APS Open ScienceNEW》：Exact dynamics and dimensional effects in torque-driven trapped active Brownian particles

　　手性、自推进和受限的相互作用产生显著的非平衡涨落，高阶矩编码了位置分布的形状。我们提出一个精确的解析框架，基于福克-普朗克方程的拉普拉斯变换，用于描述二维和三维谐振子势阱中手性活性布朗粒子的瞬态动力学。时间相关矩至四阶的闭式表达式允许对瞬态和稳态区域的超额峰度进行完整表征。在二维中，超额峰度呈现阻尼振荡，具有多次重返交叉，从负值（指示偏心环状分布）演化到小正值（接近高斯分布且尾部弱增强的特征）；增加势阱刚度逐步抑制这种振荡响应。在三维中，力矩驱动的活性布朗粒子的超额峰度保持负值，反映由力矩轴定义的平面内半环状到带状位置分布所导致的稳健非高斯涨落。这些结果揭示了手性、推进、受限和维度如何共同塑造瞬态动力学，并为受限手性活性运动提供了实验可探测的特征。 I. 引言手性存在于化学、物理和生物系统中，是广泛活性物质模型类别中的关键要素 [1–7]。在单粒子层面，具有内在旋转的自推进粒子表现出圆形和螺旋轨迹 [7,8]，手性源于推进或粒子几何形状的不对称性 [9,10]，或通过与外部场的耦合 [11,12]。这种手性运动在生物分子系统中被实验观察到 [13]，包括蛋白质 [14]、微管 [15]、细菌 [16–20] 和精子细胞 [21,22]，以及跨越微观尺度 [23–25] 到宏观尺度 [26–31] 的合成活性系统。理论上，单手性（圆形）游动者提供了一个最小框架来理解手性如何改变输运 [32–37]，包括大肠杆菌中的圆形轨迹 [38,39] 和化学驱动的圆形或螺旋运动 [40,41]。手性活性系统表现出奇粘度和奇扩散率 [42,43]，更广泛地说，手性作为一个控制参数改变输运，产生诸如螺旋图案、反常扩散和受限诱导的振荡状态等现象 [44–49]。这些考虑促使我们对单粒子手性活性运动进行重点研究，强调通过高阶位移矩表征的瞬态非高斯涨落。自由手性活性运动中偏离高斯性的特征已通过非高斯参数和高阶矩进行表征 [35,47]。在这里，我们研究谐振子受限如何重塑这种瞬态非高斯结构，以及这种行为如何依赖于空间维度。受限在手性活性粒子动力学塑造中起核心作用 [50–52]。诸如光镊和微流控室等实验平台提供了受控环境，将粒子活性与恢复力耦合起来 [53,54]。在这些环境中，已知受限显著改变均方位移（MSD）[32,55–58] 和稳态分布 [49]。在这项工作中，我们发展了谐振子势阱中手性活性布朗粒子在二维（2D）和三维（3D）中动力学的精确解析理论，特别强调趋近稳态的过程。我们采用基于福克-普朗克的方法，能够系统计算任意动力学矩。这种方法最初用于半柔性聚合物的构型统计 [59,60]，后来被应用于活性粒子动力学 [61–63]，最近扩展到自由活性粒子的力矩驱动运动 [47] 及其在受限下的稳态性质 [49]。在这里，我们获得粒子位移的时间相关二阶和四阶矩的闭式表达式，提供动力学的完整表征，包括由活性布朗运动内在非线性产生的非高斯特征。我们的分析揭示了显著的维度效应：在二维中，超额峰度在负值和正值之间呈现阻尼振荡，表明在偏心分布和近高斯分布之间的交叉，而在三维中，对于力矩驱动的活性布朗粒子，它保持严格为负，反映持续的非高斯涨落。这些预测与我们的数值模拟结果一致，并指向手性诱导动力学的实验可探测特征。通过阐明自推进、手性和受限如何共同塑造非平衡涨落，这项工作为手性活性物质提供了一个全面、精确的理论框架。它还突出了维度在控制受限手性活性运动普遍特征中的基本作用，为实验验证提供了明确途径。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们分析谐振子势阱中手性活性布朗粒子在二维中的精确时间相关矩。第三节将分析扩展到三维，并突出由维度引起的定性差异。在第四节中，我们总结主要结论并讨论我们结果的物理意义，包括手性诱导非高斯涨落的特征及其实验相关性。 II. 二维模型。我们考虑一个在二维中的手性活性布朗粒子，位置为 和朝向方向（或取向单位向量） 。粒子被谐振子势 受限（见图1）。其过阻尼动力学可以写为 [7,44,49] (1) (2)其中 是自推进（或活性）速度， 和 分别是平动和转动扩散系数， 是恒定手性（力矩）频率。参数 表示由粘性阻力 缩放的势阱强度。平动和转动维纳过程的特征为方差 （对于 ）和 ，所有混合相关性消失。在无受限（ ）情况下，控制方程简化为自由手性活性布朗粒子 [47]。图1. 谐振子势阱中受力矩作用的活性布朗粒子示意图。粒子以活性速度 沿其取向向量 自推进，具有内在手性或经历外加力矩 旋转其取向，并被刚度 的势阱限制。力矩、推进和受限的联合作用在受限势内产生二维中的特征圆形轨迹或三维中的螺旋轨迹。时间和长度分别以持续时间和扩散长度标度为单位测量。无量纲控制参数为佩克莱数 （活性）、手性 和势阱强度 。无量纲位置和时间将分别记为 和 。这些无量纲单位和参数在二维和三维中均使用。精确的动力学矩通过建立相应的福克-普朗克方程、应用拉普拉斯变换并系统求解所得的矩生成方程获得，详见附录A。我们使用欧拉-马鲁山方法数值积分无量纲朗之万方程，并发现与我们的解析预测高度一致。 A. 均方位移以无量纲形式，二维中手性活性布朗粒子的MSD由下式给出 [55,56,58,64]（详见附录A中的推导） (3)方程(3)中给出的时间相关MSD捕捉了二维中活性、手性和谐振子受限之间的完整相互作用。我们模型的非手性极限，即势阱中的活性布朗粒子，已在理论和实验上被研究 [53,54,62]，并且方程(3)在 时简化为相应的结果 [62]（见附录A）。小时间展开。在 极限下，展开方程(3)，我们得到 [58,64] (4)在非常小的时刻，动力学由热涨落 主导，在 时交叉到弹道行为 ，条件为 。值得注意的是， 携带对势阱强度 的显式依赖，表明一旦自推进变得相关，受限会影响短时增长。相比之下，手性仅在 阶贡献，显示其在早期行为期间的有限相关性。在长时间极限下，方程(3)中的MSD达到稳态 [49,55–57,64]， (5)趋近稳态[方程(5)]不是代数的，而是由指数弛豫控制。方程(3)在稳态附近给出 其中 [见方程(3)]，证明指数收敛。因此， 对于 且 对于 （在 处简并）。特征弛豫时间尺度为 ，稳态在 时达到[见图2(a)–2(c)]。因此，对于弱受限（ ），长时间弛豫由热涨落控制，而对于强受限（ ），它由活性-势阱耦合主导。图2. 谐振子势阱中CABP在2D中的MSD随时间变化，参数为(a) ，其中 和 ，(b) 手性 ，其中活性 和谐振子势阱刚度 ，(c) ，其中 和 。稳态MSD作为(d) 的函数，对于 其中 ，(e) 对于 其中 ，(f) 对于 其中 。面板(a)–(c)中的线是方程(3)的图，点来自模拟。面板(d)–(f)中的线是方程(5)的图。图2展示了受限谐振子势中手性活性布朗粒子的无量纲MSD 的时间演化和稳态行为。图2(a)–2(c)呈现了方程(3)的解析预测（实线）与模拟结果（点）的比较，在所有参数区域显示极好的一致性。MSD演化揭示了四个不同的动力学区域，这些区域在不同参数下一致出现：由平动噪声主导的初始扩散区域（ ），由持续推进主导的弹道区域（ ），具有阻尼振荡行为的中间交叉区域，以及受限平衡手性活性和扩散的最终稳态平台。由于手性运动引起的这种振荡动力学已被报道过 [1,19,20,44,47,49]。我们在此将其作为与时间相关超额峰度结果以及相应三维行为比较的基本参考点。对于固定的 和 [图2(a)]，增加 增强了弹道区域的振幅和持续时间。对于固定的 和 [图2(b)]，增加手性 在更长时间抑制MSD，因为快速旋转运动减少了定向推进。对于固定的 和 [图2(c)]，更强的受限（更大的 ）增强了弛豫并降低了稳态值。在弱势阱极限（ ）下，MSD在长时间内保持无界，稳态饱和仅在非常晚的时刻发生。稳态MSD[方程(5)]绘制在图2(d)–2(f)中，量化了其对活性 、手性 和势阱强度 的依赖性。图2(d)突出了低活性（ ）下的被动布朗极限 ，以及高活性（ ）下出现的强二次标度 。这种转变发生在临界活性 处。图2(e)显示 随着手性增加而单调递减，从低手性区域（ ）的非手性活性布朗极限 [62]转变，并在高手性极限（ ）下趋于饱和到被动布朗值 。低于非手性活性布朗值的初始衰减始于临界手性 处。第二个临界手性定义为 尾部中活性修正变得与布朗贡献可比较的点，由 给出。超过这个尺度，MSD由布朗项主导，并有效饱和到 。图2(f)展示了对势阱强度的特征反比依赖性 ，反映了强受限如何抑制空间涨落。稳态涨落也可以表示为每个笛卡尔分量，通过势阱力和位移的标准差的乘积 ，对于被动布朗粒子，根据均分定理等于 。由于 与位置成正比， 精确地成立，独立于均值，并且由于 （附录A），乘积为 。使用 ，这以 为单位为 ，给出 (6)活性贡献是第二项，每当 时，它依赖于势阱强度非单调：乘积在 处达到最大值 ，与无手性情况 相比，其中活性项作为 单调衰减。最大值出现在位置-取向相关性 [方程(A18)]的衰减率 处，该衰减率将活性引入位置涨落，与手性频率 匹配。在弱势阱中，力矩将轨迹卷曲成圆形轨道，其半径由 而非势阱设定，因此小的恢复力 使乘积保持较低；在强势阱中，位移本身被抑制。因此，手性活性粒子在中间受限时偏离平衡值最远。尽管MSD提供了不同动力学区域的定量视图，但它不能完全捕捉位置分布的行为，尤其是在振荡区域内。为了表征这些偏离高斯行为的偏差，我们计算超额峰度作为非高斯性的度量。 B. 超额峰度：偏离高斯过程偏离高斯过程由超额峰度测量，可以写为 [47,49] (7)其中 。对所有初始取向取平均， 简化为 (8)使用 的表达式[见附录A；方程(A32)和图6]和 [方程(3)]，我们得到超额峰度的精确时间相关表达式。超额峰度的小时间展开， (9)超额峰度的小时间展开表明非高斯性通过一系列良好分离的过程出现。在极短时间（ ）内，动力学由平动扩散主导，且 ，表明其行为近似高斯分布。首个主导项 表明分布最初变为偏离中心的双峰，反映了短时间范围内运动由自驱动主导的机制。在下一个时间尺度上， 项部分抵消了这一趋势，标志着连贯活性位移的开始。约束（ ）和手性（ ）仅在高阶项 中出现，表明其影响进入得更为缓慢。因此，早期行为反映了清晰的层级：活性控制初始非高斯性，而约束和手性仅在更高阶对其进行修正。值得注意的是，约束首次影响超额峰度在 阶，而其对均方位移的影响已出现在 阶 [式 (4)]，对四阶位移矩的影响则在 阶 [附录 A；式 (A33)]。在图 3(a)–3(c) 中，我们展示了位移分布的超额峰度 随时间演化，分别对应不同手性（ ）、活性（ ）和约束强度（ ）。解析预测（线）与模拟结果（点）高度吻合。在短时间（ ）， ，表明位移统计近似高斯且由平动扩散主导。随着时间增加， 变为负值，标志着活性主导状态。这种转变反映了持续活性运动的优势，正如式 (9) 所预测。图 3. 二维谐振子陷阱中 CABP 的超额峰度随时间变化，分别对应 (a) 手性 且活性 和谐振子陷阱刚度 ，(b) 且 和 ，以及 (c) 且 和 。面板 (a)–(c) 中的线为式 (7) 的绘图，点为模拟结果。(d) 选取三个具有负、正、负超额峰度的代表点，以检验其在 平面 [面板 (f)–(h)] 和径向 [面板 (j)–(l)] 的相应位置分布。(e) 解析取向自相关函数 （详细推导见附录 A）显示出与超额峰度同相的振荡。(f), (h) 与负超额峰度活性态相关的双峰位置分布 [见面板 (d) 中的 (i) 和 (iii)]，其径向分布分别在面板 (j) 和 (l) 中显示出与由均方位移 [式 (3)] 获得的高斯分布的明显偏离。(g) 与正超额峰度状态相关的单峰位置分布 [见面板 (d) 中的 (ii)]，其径向分布如面板 (k) 所示，相对于高斯分布表现出弱的尾部增强 [见面板 (k) 插图]。在短到中等时间范围内，手性和约束对非高斯波动的影响极小 [见式 (9) 和图 3(a) 及 3(c)]。在更长时间尺度（ ）且手性足够强（ ）的情况下，手性的影响变得显著。在此范围内，对应于取向自相关中阻尼振荡行为的起始 [见附录 A 和图 3(e)]，超额峰度出现阻尼振荡 [图 3(a) 和 3(d)]。自由手性活性运动的高阶统计中的阻尼振荡已有报道 [35,47]。它们源于推进方向的相干旋转，这也导致平均位移发生振荡。由式 (A13) 可知，在完成半圈旋转后， 达到最大，此时 最负。分布此时偏离中心且呈环状，给出 。半个周期后，取向记忆变为正，平均偏移减小，分布变为中心峰值且尾部略微增强，给出弱正 。因此，超额峰度随取向记忆振荡，并与 相反 [图 3(d), 3(e) 和 7(a)]。约束不改变频率 ，但将阻尼从 增至 ，因为陷阱作用于位置而非取向。因此，超额峰度继承了由旋转扩散和约束共同阻尼的振荡记忆。在阻尼振荡区，随着手性增加，超额峰度穿过零点并在负值和正值之间平滑过渡。这些振荡的幅度在中等手性时最为显著，反映了活性位移分布从偏离中心构型到近高斯波动的非单调演化。相反，零交叉次数随着手性增加而增加，尽管正超额峰度仍非常接近零。此外，在手性足够大时，阻尼振荡区逐渐被抑制并最终消失，超额峰度趋于零而不再振荡。随着活性（ ）增加，负超额峰度的幅度增加，与式 (9) 的预测一致。同时，其最小值向更早的时间移动，缩放为 。这表明更强的自驱动将扩散到非高斯活性动力学的交叉提前至更早的时间 [图 3(b)]。此外，增强的活性增加了超额峰度中阻尼振荡的幅度，并导致更多的零交叉。相反，更强的约束（ ）抑制阻尼振荡区并减少零交叉次数，因为谐振子陷阱限制了大的空间波动 [图 3(c)]。图 3(d)–3(l) 展示了超额峰度的符号如何控制位移分布的时间依赖结构。值得注意的是，超额峰度的振荡行为与均方位移和四阶位移矩均不同相 [见图 2(a) 和附录 A；图 6(a) 和 7(c)]，但与图 3(e) 所示的振荡取向自相关同相。这种均方位移或四阶矩与取向自相关之间的反相关系源于潜在的取向-位置互相关 [见附录 A；图 7(b)]。我们在图 3(d) 中识别出三个代表参数点，分别对应负、正、负超额峰度，捕捉了随时间观察到的多重重入行为。这些点用于检验位置分布在 平面 [图 3(f)–3(h)] 及其径向投影 [图 3(j)–3(l)] 中的结构。对于两个负超额峰度的点，如面板 (f) 和 (h) 所示，位移分布变为双峰且偏离中心。当活性圆周运动主导时，会产生环状结构而非单一中心峰值。面板 (j) 和 (l) 中相应的径向分布明显偏离由均方位移 [式 (3)] 获得的高斯参考，反映了这些状态的偏离中心特性。相反，正超额峰度的点，如面板 (g) 所示，表现出单峰、中心峰值分布，并伴有弱尾部增强。这在面板 (k) 的径向分布中显而易见，显示相对于高斯尾部有轻微增强。我们注意到正偏移较小， ，因此这些状态接近高斯；物理上显著的特征是符号变化本身，而非正值的大小。综合面板 (d)–(l)，表明超额峰度的符号和幅度提供了空间统计的清晰诊断：负值对应由持续圆周运动驱动的偏离中心双峰分布，而小的正值则对应近高斯波动，并带有轻微的尾部增强，与更扩散、中心峰值状态相关。这些行为之间的平滑交叉构成了超额峰度中识别的多重重入结构的基础。最后，稳态超额峰度 的范围从负值（对应具有偏离中心双峰位置分布的活性态）到反映近高斯波动的小正值。这些行为已由 Pattanayak 等人详细讨论 [49]。许多表现出手性旋转的实验由手性活性布朗粒子的二阶矩理论模型描述 [8,9,25,29]。因此，这些系统为我们的超额峰度发现提供了有前景的直接实验验证平台。III. 三维模型。在三维中，朝向方向（或取向单位向量）表示为 ，其中 和 分别表示极角和方位角。在 It? 解释下 [35,65–68]，位置的朗之万动力学表示为 [49] (10)我们考虑一个力矩 ，其特征为大小 和由角度 及 确定的取向（见图 1）。朝向方向 的演化由广义力矩 和取向噪声共同控制。朝向方向角度的演化方程为 [47,49] (11) (12)其中广义力为 和 [69]。考虑恒定力矩， ，这意味着 ，方程简化为 (13)平动和旋转高斯噪声的特征为 和 。如前所述，我们构造相应的福克-普朗克方程，应用拉普拉斯变换，并进行后续分析以精确获得动力学矩；完整推导见附录 B。我们使用欧拉-马鲁亚马格式对上述朗之万方程进行数值积分，并将解析预测与模拟结果进行验证。A. 均方位移以无量纲形式，三维手性活性布朗粒子的均方位移为（详细推导见附录 B） (14)三维中的总均方位移自然分解为相对于力矩轴的垂直和纵向贡献， ，其中 表示垂直于力矩轴平面内的运动， 表示沿力矩轴的运动。 和 的闭式表达式为（详细推导见附录 B） (15) (16)上述 [式 (15)] 和 [式 (16)] 的显式表达式共同构成式 (14)。式 (15) 和 (16) 右侧的第一项是无源平动贡献：对于 它们线性增长，对于 则饱和，表明在平动弛豫时间 之外记忆丧失。活性在 阶进入，并分为性质不同的横向和纵向行为。沿力矩轴，平行于 的推进分量不被力矩旋转；因此， 不含振荡的 或 项，其稳态部分与 无关，且 。相反，垂直推进持续旋转，在横向平面内产生螺旋/圆周运动；这给出了 中的阻尼振荡项 和 ，以及其稳态部分通过因子 对力矩的显式依赖；即增加 抑制横向探索。最后，对 的依赖编码了初始取向设定的各向异性短时（弹道）偏置（纵向增长更多对于 ，横向更多对于 ），而所有此类记忆项均指数衰减，使得长时间均方位移变得与初始条件无关。注意， 描述平面内的运动，但不等同于严格二维均方位移式 (3)，因为它源于全三维动力学的投影，该动力学具有不同的取向弛豫谱。这种差异不仅体现在活性项和振荡项中 的替换，还体现在额外的弛豫通道和正比于 的各向异性记忆贡献中，而这些在二维中不存在。对于各向同性初始取向 ，各向异性记忆项消失，但由于不同的三维取向弛豫和额外的弛豫通道， 仍与二维均方位移不同。式 (14) 表示谐波陷阱中受扭矩作用的活性布朗粒子的完整时间依赖均方位移，以无量纲形式给出。它由无源热弛豫（第一项）、设定稳态平台的恒定活性贡献（第二项）以及编码从短时扩散到中间弹道区间交叉的瞬态指数项组成，随后约束实现饱和。对于各向同性初始取向（对应于单位球面上的均匀分布），正比于 的高次谐波瞬态贡献在取向平均后精确消失，因为其前因子包含 。正比于 和 的振荡项保留，但其幅度相对于二维情况受到强烈抑制，这是由于三维取向弛豫谱中额外的 相关极点以及占主导的非振荡纵向贡献 ，两者共同导致向稳态平滑、实际上非振荡的均方位移演化（图 4）。在短时极限下， (17)在极小时间时，动力学由热涨落 主导，随后在 且满足条件 时过渡到弹道行为 。值得注意的是， 对陷阱强度 具有显式依赖，表明一旦自驱动变得重要，约束会影响短时增长，类似于二维。扭矩的影响仅在 阶出现，表明其在早期动力学中相关性有限。我们注意到，当初始推进方向与力矩轴对齐时，即 ，扭矩依赖的贡献在 阶消失。在这种构型下，推进向量平行于旋转轴，因此扭矩不会改变它，导致粒子位移在领头阶没有修改。相反，当初始取向具有横向分量时，扭矩持续在垂直平面内旋转推进方向，降低方向持久性，从而抑制均方位移。这种行为与二维情形有根本不同，在二维情形中，力矩总是旋转推进方向，因此无论初始朝向如何都会影响动力学。为了分离相对于力矩轴的垂直分量和纵向分量，

(18) (19)

式(18)和(19)分别是通过对式(15)和(16)中给出的闭式表达式进行短时展开而获得的。主导项， 和 ，简单地反映了三维中的热扩散，其中两个横向和一个纵向自由度以可加方式贡献。在 阶，活性通过权重 和 各向异地进入，表明自推进最初主要沿着瞬时推进方向增强涨落：初始横向朝向（ ）使 的活性增长最大化，同时使 的主导活性贡献为零，而初始轴向朝向（ ）则相反。受限效应分别在横向和纵向分量中产生负项 和 ，表明谐波恢复力已经在最早的非线性阶就抑制了扩散。最后，力矩仅在 阶且仅通过横向MSD影响短时动力学，因为绕 轴的旋转改变了垂直平面内的推进方向，但不改变沿该轴的运动。事实上，与力矩相关的部分可以写为 对于 （与力矩轴初始对齐）时为零，对于 （纯横向初始朝向）时最大，反映出只有当推进具有横向分量时，力矩才降低方向持续性。值得注意的是，在对各向同性初始朝向取平均后（ 在单位球面上的均匀分布，使得 ），直到 阶的短时展开满足 。

图4. 受谐波势阱约束的三维力矩作用下活性布朗粒子的MSD随时间变化的函数关系：(a) 且 和 ，(b) 手性 且活性 和谐波势阱刚度 ，以及(c) 且 和 。稳态MSD作为以下参数的函数：(d) 对于 且 ，(e) 对于 且 ，以及(f) 对于 且 。面板(a)–(c)中的实线是式(14)的绘图，数据点来自模拟。面板(d)–(f)中的实线是式(20)的绘图。

稳态MSD。在长时极限下，MSD达到其稳态 [49]，

(20)

注意，MSD [式(14)]通过指数弛豫接近其稳态值 [式(20)]，即 且 。因此，与二维情形一样，向稳态的弛豫是指数型的，特征时间为 ，且在 时达到稳态。源自更高角谐波的 项在初始朝向平均后消失，将有效速率降低为 。因此，长时弛豫由 支配，对于 的情形由 支配（在 处存在简并）[见图4(a)–4(c)]。物理上，对于弱束缚（ ），弛豫由热涨落支配，而对于强束缚（ ），弛豫由活性与受限之间的耦合控制。

式(20)中的第一项代表来自无源布朗运动的热平衡贡献，而第二项对应于活性贡献，其随受限强度 的增加而减小。活性项随 二次增长，表明更强的推进增强了涨落。稳态MSD可以分解为相对于力矩轴的垂直和纵向分量，

(21) (22)

这些表达式揭示了力矩诱导的基本各向异性：(1) 平行分量 与 无关。这反映了力矩仅在垂直于其轴的平面内旋转推进方向，不影响沿该轴的运动。(2) 垂直分量 随 的增加而减小，因为力矩在垂直平面内持续重新定向推进，降低了持续性长度并限制了空间扩展。因此，力矩选择性地抑制垂直于其轴的涨落，同时保持纵向涨落不变，即使在各向同性谐波势阱中也产生各向异性受限。

对应的势阱力–位移乘积，按笛卡尔分量，由式(21)和(22)给出，其中 垂直于力矩轴， 沿力矩轴。当 时，横向乘积再次非单调，在 处达到峰值 ，而纵向乘积与 无关且单调递减，与 中不存在振荡项[式(16)]一致。

图4展示了受谐波势约束的力矩作用下活性布朗粒子的无量纲MSD 的时间演化和稳态行为。在这里，我们考虑各向同性初始朝向，对应于 在单位球面上的均匀分布，此时系综平均 且 。MSD演化揭示了四个在不同参数下一致出现的不同动力学区域：由平移噪声主导的初始扩散区域（ ），由持续推进主导的弹道区域（ ），以旋转去相关为特征的无振荡行为的中间交叉区域，以及受限平衡手性活性和扩散的最终稳态平台。图4(a)–4(c)展示了来自式(14)的解析预测（实线）与模拟结果（数据点）的比较，在所有参数区域均显示出极好的一致性。

对于固定的 和 [图4(a)]，增加 同时增强了弹道区域的振幅和持续时间，因为更强的自推进在受限占主导之前驱动更大的位移。稳态值近似按 增长，与式(20)中的解析表达式一致。在固定的 和 下[图4(b)]，增加力矩 抑制了中间区域的MSD。更大的 值抑制了整体MSD振幅，因为快速进动平均化了定向运动并将粒子更紧密地限制在势阱中心附近。对于固定的 和 [图4(c)]，更强的受限（ ）加速了弛豫并降低了饱和值。在弱势阱极限（ ）下，MSD在长时间内保持无界，在后期趋近稳态。

图4(d)–4(f)中的稳态结果量化了这些依赖性。图4(d)显示稳态MSD随活性增加而增加，从低 时的无源布朗值 过渡到高活性时的二次标度 ，表明稳态涨落主要由自推进强度控制。该转变发生在临界活性

(23)

图4(e)显示 从常数值[ 在 时；这是无力矩ABPs的MSD ]随力矩 增加而单调递减，在大力矩（ ）时趋近一个常数[ ；标记为 ]，此时快速旋转动力学平均化了推进。这两个极限之间的交叉由单一频率尺度 控制，对应于MSD在两个平台之间下降一半的点。衰减的起始由从 得到的拐点 标记。第二个特征力矩可以通过考虑 向高 平台的饱和来定义，给出 超过该值后MSD与 实际不可区分。中间力矩下的衰减按 标度。最后，图4(f)展示了反比依赖 ，突出表明受限直接抑制了活性涨落的空间范围。在强束缚区域，所有曲线重合，表明一旦势阱主导动力学，力矩就变得无关紧要。

总之，这展示了从扩散到弹道再到无振荡的中间交叉区域最终到局域运动的完整动力学交叉。值得注意的是，时间相关的非振荡MSD与其二维振荡对应物[图2(a)–2(c)]表现出明显的定性差异，而稳态MSD显示出与二维情形相同的定性标度行为[图2(d)–2(f)]。

与二维情形类似，尽管精确MSD提供了动力学区域的定量视角，但它并未完全捕捉位置分布的行为。为了评估与高斯分布的偏差，我们因此计算超额峰度作为非高斯涨落的度量。

B. 超额峰度：偏离高斯过程

我们现在可以确定超额峰度随时间变化的函数，以捕捉与类高斯行为的偏离。为了评估它，我们首先将四阶中心矩 用二阶矩表示。在对所有可能的初始朝向取平均后，式(8)简化为 [49]

(24)

我们可以使用上一节中推导的表达式来计算 的表达式。类似于二维超额峰度在式(7)中的方法，我们使用 [见附录B；式(B79)和图8]和式(24)计算三维中的精确超额峰度。在短时区域，超额峰度 趋近于零，表明位移分布保持近似高斯。这一行为可以通过对 进行级数展开来量化，给出

(25)

其主导行为 表明活性诱导的非高斯性，与参考文献[47]中报道的自由活性布朗粒子在力矩下的行为一致。当 接近与受限和力矩相关的内在动力学时间尺度时，高阶修正变得显著。值得注意的是，受限首先在 阶影响超额峰度，而其对手均方位移的影响已经在 阶出现[式(17)]，对四阶位移矩的影响在 阶[见附录B；式(B80)]。稳态超额峰度保持负值，正如我们在Pattanayak等人的近期工作中明确讨论的那样[49]。在这里，我们关注超额峰度的精确时间行为，它作为高斯类似和非高斯区域之间动力学交叉的关键指标。

在图5中，我们展示了位移分布的超额峰度 随时间演化的结果，变化参数为活性（ ）、受限强度（ ）和力矩（ ）。在短时（ ）， ，表明位移统计近似高斯且由平移扩散主导。随着时间增加， 变为负值，标志着活性主导状态。这一转变反映了持续活性运动与谐波势阱恢复效应之间的竞争。力矩（ ）、活性（ ）和势阱刚度（ ）各自在时间上对非高斯性程度施加非单调影响。在小到中等时间区域，力矩对非高斯涨落的影响保持极小，与式(25)的预测一致。然而，在更大时间尺度上，力矩的影响在图5(a)中变得显著。对于增加的活性（ ），负超额峰度的幅度增大且其最小值向更短时间移动，表明强自推进加速了从扩散到非高斯动力学的转变，如图5(b)所示。相反，更强的受限（ ）抑制这些偏差，因为势阱限制了大涨落并在更早时间恢复了类高斯行为，如图5(c)所示。

图5. 三维谐波势阱中力矩作用下活性布朗粒子的超额峰度随时间变化：(a) 力矩 且活性 和势阱刚度 ，(b) 且 和 ，以及(c) 且 和 。实线表示解析预测，数据点表示模拟结果。活性区域（ ）中 平面（其中 ）内位置分布的二维投影，在四个不同时间快照下，分别对应弱力矩 [面板(d)]和强力矩 [面板(e)]，其中 且 。在活性区域，分布从初始的半环状结构演化为弱力矩下的长时间偏心半环，以及强力矩下的带状结构，反映了旋转进动如何抑制径向扩散并增强各向异性活性运动。

我们通过计算粒子位移的空间分布进一步表征图5(a)–5(c)中的活性区域（负超额峰度）。在图5(d)中，对于弱力矩（ ）， 平面内的分布在中间时间显示出明显的半环状结构，反映了定向活性运动的出现。在更长时间，该结构变得越来越偏心，与负超额峰度和粒子从势阱中心的持续逃逸一致。相反，图5(e)表明强力矩（ ）显著改变了这一演化：分布迅速发展成与旋转轴对齐的窄带状图案，表明快速旋转进动抑制了径向扩散并增强了各向异性活性运动。图5(d)和5(e)中的这些视觉特征反映了 的时间演化，并突出了力矩如何同时控制非高斯涨落的大小和位移统计的几何形状。

三维中不存在重现的正超额峰度，是因为力矩仅旋转垂直于其轴的推进分量。在二维中，整个朝向旋转，因此取向记忆周期性地改变符号，环状分布坍缩为中心峰状分布，产生瞬态正的 （图3）。然而，在三维中，纵向分量 不受影响。因此，沿力矩轴的运动单调地加宽分布，而横向运动旋转。因此，分布保持半环状或带状[图5(d)和5(e)]，将权重保持在远离原点处，且 。三维中更快的取向弛豫， 而非 ，进一步抑制了振荡。

IV.结论
在本工作中，我们建立了一个精确的解析框架，用于描述在二维和三维谐波陷阱中，扭矩驱动（手性）活性布朗粒子的瞬态动力学。通过对福克-普朗克方程采用拉普拉斯变换方法，我们获得了直至四阶的含时位移矩的闭式表达式，从而能够在瞬态和稳态区间内完整刻画超额峰度。

我们的分析揭示了一个显著的维度对比。在二维情况下，超额峰度呈现阻尼振荡，并伴有多次重入符号变化，反映了偏离中心的环状分布与具有弱增强尾部的瞬态近高斯涨落之间的交叉。这些振荡由活性、手性和受限之间的相互作用所控制，并直接与粒子取向的转动动力学相关。相比之下，在三维情况下，超额峰度始终保持严格的负值，表明存在稳健的非高斯涨落而没有振荡性交叉。这一定性差异源于一个事实：扭矩仅使垂直于其轴的推进分量旋转，因此在三维中，纵向运动会单调地拓宽位置分布，并阻止周期性坍缩为在二维中产生正超额峰度的中心峰形。

理论预测与数值模拟表现出极好的一致性，并明确了清晰的实验特征，包括振荡性与单调的峰度演化及其对活性、手性和受限强度的依赖。闭式表达式依赖于矩层次封闭，这要求线性恢复力，因此它们专属于谐波受限情况。上述机制不依赖于势能的形式：在任何受限势下，轴向坐标都会单调拓宽，因此在三维中缺乏重入正峰度的现象应超越谐波情形而持续存在。四阶统计量对测量误差敏感，但加性定位噪声会衰减信号而非产生虚假结构。如果记录的位置携带独立且近似高斯分布的误差，其标准差为（以 为单位），则四阶累积量不变而方差增大，因此测得的超额峰度为（二维情况）。该前置因子严格为正，因此 的符号及其过零点时刻不受影响，且一旦从固定粒子中校准出 ，该衰减便是可修正的。这些特征最易于在合成体系中获取，因为此类体系能够以高定位精度累积大量系综，包括圆形微泳者[9]、手性颗粒转子[29]和空气驱动旋转体[26]；超额峰度本身已在自驱动胶体体系中被测量[70]。在细菌和精子细胞中，应存在相同的特征，但较小的系综以及推进速度和手性频率的细胞间差异，使得定量验证成为一项长期目标。总体而言，我们的结果为定量描述受限手性活性体系中的高阶涨落建立了一个严谨的框架，并突显了维度在塑造非平衡动力学中的基本作用。