随机高维态纠缠检测判据的层级结构

《Physical Review A》：Hierarchy of entanglement detection criteria for random high-dimensional states

　　纠缠是量子信息科学中的基石，然而高效检测纠缠仍然是一项具有挑战性的任务。本文聚焦于具有非正部分转置的量子态，在有限维度下针对哈尔均匀随机生成的量子态，建立了基于熵、优超化、重排和约化判据之间的层级关系，并基于秩和子系统维度分析了它们的性能。我们证明了混合量子态秩的下界，超过该下界后重排判据和熵判据将无法检测到纠缠。我们使用三个关键指标——检测态的比例、平均可检测纠缠量以及最小所需纠缠量——来评估所考虑的检测方法的相对有效性。我们的结果为可靠检测所需的纠缠阈值提供了见解，表明在超过某一纠缠水平后，所有判据对于低秩态变得同样有效，而在中高秩态中，各判据之间出现了层级关系。有趣的是，在qubit-qudit系统中提出的判据排序与更高维度中的排序不同。此外，我们通过说明当子系统维度差异较小时重排判据比其他检测方法表现得更高效，确立了检测效率受子系统维度不对称性的影响。一、引言量子关联[1-5]，特别是纠缠[6]，没有经典对应物，是当前量子技术第二次革命的基础。纠缠态在各种协议中是实现量子优势的关键资源，包括量子通信[7-9]、量子密码学[10-12]和单向量子计算[13,14]。在这些应用中，纠缠通常需要在两个[15-17]或多个参与方[18-21]之间分发，以创建二方或多方资源态。此外，高维系统已被证明表现出更强的量子关联[22-26]，这可以显著增强量子信息处理任务的性能[27-39]。这使得在任意维度中可靠地认证纠缠成为一项关键任务。自20世纪90年代中期以来，已经发展了许多纠缠检测技术[40-47]。其中一些在理论上优雅，一些在实验上可行，还有一些具有直接的操作意义。这些包括贝尔不等式[48-50]、部分转置（PT）[51,52]、熵判据[53]、约化判据[54,55]、优超化判据[56,57]和重排判据[58-61]、纠缠见证[62-64]、协方差矩阵方法[65,66]以及基于半定规划的方法[67-69]。在这些方法中，PT为qubit-qubit和qubit-qutrit系统提供了充要条件；在更高维度中，它提供了充分条件，但无法检测具有正部分转置（PPT）的束缚纠缠态。约化、重排、优超化和熵判据仅提供检测纠缠的充分条件，其中重排判据特别能够识别某些束缚纠缠态。虽然纯态纠缠可以通过约化密度矩阵的冯·诺依曼熵来表征，但混合态的量化和计算依赖于可计算的度量，如任意维度下的对数负度[70,71]，以及两个qubit的生成纠缠[16]。鉴于制备纯态的困难及其在噪声环境中的有限效用，确定现有检测判据在有限维度下成功预测纠缠态的有效性变得至关重要，尤其是在两qubit和qubit-qutrit系统之外。根据哈尔测度（酉群上唯一的酉不变测度）生成的随机量子态提供了一种统计无偏的方式来探索量子态中量子特性的广阔景观[72-80]。研究随机态对于量子算法的基准测试[81-84]、理解纠缠的典型性质[85-89]、分析随机量子电路[90,91]以及评估量子协议的平均性能[92,93]非常重要。此外，这些随机态自然地出现在涉及量子混沌和退相干的情景中[94]，使它们对于探究纠缠、相干性和其他量子关联的统计性质具有重要价值。此外，大多数现有研究主要集中于多qubit随机态，对多qudit系统的关注有限，尽管更高局部维度的研究对于展现更丰富的纠缠结构和增强的量子优势至关重要。在这项工作中，我们系统地分析了四种广泛使用的纠缠检测判据，即优超化、约化、重排和熵判据，针对随机二方量子态，通过改变维度和秩，并将它们的性能与PT判据进行比较。我们解析地证明了两个qudit态的秩下界，用它们的局部维度表示，超过该下界后，熵判据和重排判据都无法检测到纠缠，从而突出了它们的局限性，特别是对于高秩混合态。通过生成非正部分转置（NPT）态，我们展示了检测效率如何随着秩的增加而降低，表明这些判据通常不太能够识别弱纠缠态。有趣的是，我们观察到优超化和重排判据之间存在依赖秩的性能逆转——优超化在qubit-qudit系统中更有效，而重排在更高维度和低秩情况下超越它。此外，我们独立证明了qubit-qudit系统中PT判据和约化判据的等价性。我们进一步探讨了随机生成的高维态的两个关键问题：（1）是否存在判据有效运作所需的阈值纠缠含量？（2）局部维度在检测方法性能中扮演什么角色？为了解决第一个问题，我们引入了给定判据在模拟的NPT纠缠态中可检测的平均纠缠量和最小纠缠量。前者揭示了对于给定秩和维度，某个判据有效所需的平均纠缠值，而后者可用于判断其强大程度。具体来说，较低的最小可检测纠缠量意味着更优越的判据，表明它甚至可以检测到纠缠含量极低的态。此外，平均和最小纠缠量为成功检测态所需的资源提供了界限。虽然所有判据在检测秩为二的态方面同样擅长，但对于全秩态，大多数判据变得极为薄弱。通过检测态的比例建立的层级关系在其他两个性能指标方面保持不变。为了解决第二个问题，我们揭示了检测效能与子系统维度不对称性之间的非平凡关系。具体来说，我们发现当两个子系统维度接近相等时，重排判据在高秩下仍然出奇地有效，突出了不仅总维度和秩，而且二方系统的内部结构所起的关键作用。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们回顾纠缠度量的定义并阐述它们现有的相互关系。在第三节中，证明了熵判据和重排判据运作的量子态秩的下界，并计算检测态的比例以建立判据之间的初步层级关系。第四节中提出了成功检测所需的平均和最小纠缠量的界限，其中进一步重新建立了层级关系。在第四B节中，我们证明局部维度的不对称性可以在检测判据的有效性中发挥作用。我们在第五节中以讨论和开放性问题结束工作。二、纠缠检测判据的定义与关系一个任意的二方密度矩阵ρ，作用于复合复希尔伯特空间H_A?H_B，以下简写为H_AB，可以表示为（1）其中{|i?}和{|j?}分别是H_A和H_B中的正交归一向量集，d_A和d_B分别是H_A和H_B的维度。追溯至20世纪初[95]，已经发展了大量用于检测和量化量子态中内在纠缠的判据[46]。虽然其中一些判据可以准确地区分纠缠态和可分离态，特别是在低维度中，但其他判据在特定场景中表现出色，但在某些情况下效果较差，这取决于所考虑的量子系统的性质。我们有兴趣评估这些纠缠判据在任意维度下对典型态的有效性。为此，我们关注文献中最广泛认可和最常用的纠缠检测判据。这些包括部分转置判据T[51,52]、约化判据R[54,55]、优超化判据M[56]、重排判据S[58,60]和熵判据E[53]。为方便起见，我们将这些判据的集合表示为（2）让我们简要阐明所考虑的检测判据。部分转置判据（T）。密度矩阵ρ相对于子系统1的部分转置ρ^{T_1}定义为（3）如果态ρ是可分离的，则ρ^{T_1}≥0，对于相对于子系统2的部分转置也是如此。这里ρ^{T_1}≥0意味着ρ^{T_1}具有非负特征值（即它是半正定的）。具有NPT的态拥有在C_2?C_2中可蒸馏的纠缠（通过大规模副本上的局部操作和经典通信转换为较小数量的最大纠缠态[96]），而在更高维度中则不能保证这一点[97]。约化判据（R）。如果ρ是可分离的，则（4）否则态是纠缠的[54,55]。I_d表示d维单位矩阵，而ρ_1(ρ_2)是对应于子系统1(2)的约化密度矩阵。熵判据（E）。如果态ρ是可分离的，则（5）否则它是纠缠的[53]。冯·诺依曼熵S(ρ)定义为S(ρ)=-Tr[ρ log ρ]，对于量子态ρ而言[98-101]。优超化判据（M）。对于可分离态ρ，以下不等式成立：（6）其中λ(ρ)是密度矩阵ρ的特征值集合，按降序排列，且λ(ρ)?λ(ρ_1)（λ(ρ)?λ(ρ_2)），对于两个列表x和y，分别包含m和n个元素且按降序排列，x?y表示对于k=1,2,...,m，有∑_{i=1}^{k} x_i ≤ ∑_{i=1}^{k} y_i，且对于k>n，y_i=0（或反之）[56,57]。重排判据（S）。对于态ρ，其重排矩阵ρ^R定义为（7）其中{A_i}和{B_j}分别是作用于各自希尔伯特空间的完备希尔伯特-施密特正交归一算符集合。设s(ρ^R)是ρ^R的奇异值集合。如果ρ是可分离的，则‖ρ^R‖_1≤1[58,59]。判据之间的现有关系我们的目标是研究方程(2)中定义的集合C中元素之间的相互联系，这由这些判据之间关系的先前基础性结果[40]所指导。对于C_2?C_2和C_2?C_3系统，PPT判据T是可分离性的充要条件[52]。然而，在这些低维情况之外，T仍然是可分离性的必要条件[102]，存在称为束缚纠缠态的纠缠态满足T[102-104]。由于约化判据R在C_2?C_3中等价于T[105]，它也是C_2?C_2和C_2?C_3中可分离性的充要条件。违反约化判据R意味着纠缠的可蒸馏性[54,55]，即违反R的态一定违反T，但反之不成立。换句话说，R在检测纠缠方面通常比T弱，超越C_2?C_3，例如在C_3?C_3系统的情况下，满足约化判据的态比满足PPT判据的态多得多[105]。在二方设置中，优超化判据M在检测纠缠方面比T弱，但它们共同构成了量子态可蒸馏性的必要条件[106]。M和T判据之间的对应关系随着子系统维度d的增加而逐渐变弱[105]。相比之下，熵判据E在C_2?C_2中是最弱的，因为它依赖于全局态性质而非操作性可分离性测试[6,107]。T、R和M之间存在一些数值关系，表明它们在C_2?C_3中行为相似[105]。对于高于C_2?C_3的维度，T和R-熵判据产生几乎相同的结果，表明两者在此设置中高度一致[105]。注意，由于冯·诺依曼熵的舒尔凹性[108]，被E检测为纠缠的态也被M检测到[109,110]。正映射、弱优超化和熵不等式之间的相互关系在二方量子系统的纠缠检测中起着重要作用[111]。最后，重排判据S虽然在低维系统中略弱于T[58,60]，但在更高维度中展现出独特优势。值得注意的是，S可以检测某些逃避T的束缚纠缠态[61,97]。它与二方密度矩阵的施密特系数有关[112]，这些系数本身形成纯态纠缠检测的判据[98-101,113]。基于它已经猜测了作为二方可分离性必要条件的三个不等式，但独立于母判据，并在C_2?C_4系统中进行了数值验证[112]。我们还将表明S对于高秩态比T表现得更弱。三、各种检测判据的有效性：秩的作用虽然所有定性二方纠缠检测判据对于纯态是等价的，但它们在检测混合态纠缠方面的能力却大不相同。我们的主要目标是分析一个给定的检测准则在多大程度上能够判定一个具有可蒸馏纠缠态的状态实际上是纠缠的。为此，我们采用PPT准则作为基准，首先确定一个状态是否具有可蒸馏纠缠。如果是，则将该组选定准则（如式(2)所示）应用于该状态，并检查其中哪些准则能够将该状态检测为纠缠态。这在很大程度上取决于子系统的维数和混合态的秩；一般来说，随着总维数的增加，纠缠检测变得更加鲁棒，但随着秩的增加则变得更加困难。以往的研究通常局限于低维系统或特定类别的状态，而本文通过模拟属于秩为 的两体密度矩阵，系统地分析了在全部维数和秩范围内检测能力的变化。我们研究了所选准则的纠缠检测能力相对于两个参数的变化：（1）对秩的依赖性：对于固定总系统维数，不同纠缠准则的性能如何随态的秩变化而变化？（2）子系统维数的影响：对于给定的秩，各个子系统的维数对准则的有效性有何影响？目标。我们分析了各个准则相对于上述参数变化的性能，并给出了它们之间的比较评估。准则的性能是指其能否成功检测出NPT纠缠态。其有效性通过两个主要因素来衡量：（1）准则能够判定为纠缠态的随机生成NPT态的比例，即给定准则识别为纠缠态的数量与采样NPT态总数之比；（2）态的纠缠含量，通过所有模拟NPT态的对数负性[71,114]（如第四节所定义）的均值和最小值来研究。较高的成功检测比例和相同条件下较低的纠缠含量意味着该准则有效。此外，如果一个准则比另一个准则具有更高的成功检测比例和/或更低的必要纠缠含量，则称前者相对更有效。为了量化纠缠，我们将归一化对数负性（LN）定义为 ，其中 表示迹范数。归一化因子的选择是因为LN的上界由较小子系统的密度矩阵的行列式给出，而该行列式又以其维数的对数为上界，即 。这确保了 。 A. 纠缠检测中秩与维数的联系在回答随机生成态的问题之前，我们首先给出任意维数下两体混合态秩的界。这决定了能否使用所考虑的两种度量——熵准则和重排准则——成功检测其纠缠。具体而言，我们证明了熵准则在评估高秩态是纠缠还是可分离时极不适用，而重排准则在子系统维数增大时表现更好。1. 熵准则在检测高秩态方面较弱鉴于熵准则作为条件熵的运算意义，其负性已被证明是若干量子信息处理任务中的资源[7,115–118]，分析熵准则在平均意义上能否成功预测任意有限维随机两体态的纠缠是值得的。我们下面的命题试图量化其有效性。命题1.对于 中的任意两体系统，当秩 时，熵准则 无法检测到Haar均匀生成态的纠缠。证明。不失一般性，考虑 。回想熵准则断定作用于 上的状态 是可分离的，如果 和 都成立，因此违反该不等式意味着给定状态存在纠缠。对于平均熵（其中平均是在Haar测度上进行的），已知[72,119–121] （8）其中 是密度矩阵的秩， 。让我们首先关注 。它在 处为零，并且一般来说，其导数为 （9）注意，式(9)中的分母始终为正。此外，对于 ，分子也是正定的，且其导数满足 。因此， 对所有秩 具有严格递增的导数，这意味着它是单调递增的。因此，当 时，我们有 。这完成了我们证明的第一部分。现在我们的工作是证明当 时， 。这将使我们能够证明 ，因此熵准则无法判定该状态为纠缠态。设 且 。我们注意到 （10）且 通过将 代入式(10)得到。此外，关于 的导数 ，因此 是 的单调递增函数，因此对所有 始终是半正定的。对其求导（这次关于 ），显然 （11）因此 在 处为零且单调递增，这表明 。证明完成。注1. 的表达式，即 维子系统、 维子系统和整个 维系统的平均冯·诺依曼熵，分别对 进行近似。我们从模拟中观察到，当固定 和 时，熵准则检测为纠缠态的比例仅为0.055（对于 ），且当 时该比例消失。上述命题表明，熵准则在检测混合态纠缠方面非常弱，特别是当 时，它在广泛的秩 范围内无法检测状态。这可以从后续章节中对随机态进行的数值模拟中再次得到证实。2. 重排准则的有效性除了重排准则能够检测PPT束缚纠缠态外，它还提供了表征纠缠破坏信道的必要准则[112]。与熵准则相比，它能够识别出相对更高比例的状态，这将在后面的数值模拟中得到验证。下面，我们建立状态秩的精确界，使得重排准则在判定其可分离性方面有效。命题2.当秩满足 时，重排准则 在检测作用于 上的两体态 的纠缠方面变得无效。证明。为了检验重排准则，我们需要考虑给定密度矩阵 的重排矩阵 。当 [58,60] 时，状态 是可分离的，其中 是重排矩阵的奇异值，违反该界则表明存在纠缠。由于矩阵 的维数为 ，其秩为 ，不失一般性假设 。利用Frobenius范数 [98,101]与迹范数之间的关系，我们可以写成 其中 为具有元素 的矩阵。由于 与 具有相同的元素，我们得到 （12）其中最后一个等式由 得出，这不过是态的纯度，对于作用于 系统且秩为 的 ，给出为 [72]。这导致 （13）其中 。对其求导，我们发现 。由于函数的导数与其平方根在正定区域具有相同的符号， 是 的单调递减函数。设 由此其单调性意味着 。容易推导出 ，证明随之完成。B. 在 中 与 准则的等价性在进行数值结果之前，让我们关注另外两个纠缠检测准则，即 和 。虽然已经确定这两个准则在 系统中是等价的[105]，但在本小节中，我们提供这两个准则等价性的独立证明。命题3. 与 在 中等价。证明。设 为作用于 上的两体密度矩阵，在计算基下，使用谱分解[98–101]，可以表示为 （14）其中在第二个等式中，我们设 。关于子系统1的偏转置 由 给出。 可分离性的必要条件是 。另一方面，根据 ，可分离性条件为 和 。让我们考虑 中的算子 ，写为 （15）我们注意到 和 通过酉变换 相关联，其中 且 为泡利- 矩阵。因此，它们具有相同的特征值。因此，如果其中一个半正定，那么另一个也半正定；而如果其中一个至少有一个负特征值，则另一个也表现出相同的性质。由上述论证，我们可以得出结论：在 中， 与 等价。C. 典型态的纠缠检测能力我们现在继续对大量Haar均匀生成态，数值评估和比较各种准则识别纠缠的能力。1. 通过偏转置进行基准测试纠缠检测方法之间的比较将相对于偏转置 进行。我们专门关注在偏转置准则下纠缠的态，即仅考虑NPT态。关于这一选择立即出现一个问题，因为 不是任意有限维两体系统的必要条件[52]。一个主要原因是，对于所有实际目的，如信息论协议[7,8,11]、量子计算[122]，甚至通过多体系统的物理实现[123]，可蒸馏的NPT态被发现是有用的。因此，关注NPT纠缠态是自然的。虽然PPT束缚纠缠态已被证明在秘密密钥生成[126]、导引[127]和计量学[128]中提供操作优势，但除重排外，我们工作中考虑的所有准则都无法检测它们。因此，纳入束缚纠缠态的检测能力将无法让我们在平衡的基础上比较这些准则。特别地，它会在重排准则和其他准则之间造成明显区别，因为重排准则检测此类态的能力会产生一种微不足道的优越性，而我们将证明这对于NPT态并不成立。因此，我们在本工作中限于NPT纠缠态，并采用Peres-Horodecki可分离准则[51,52]作为基准，使用对数负性进行量化，从而建立不同定性纠缠检测准则之间的层级结构。作为我们选择的第二个理由，让我们论证 中秩为 的绝大多数态，当从 中的全局纯态通过偏迹得到时，在偏转置下表现出非正性。如果 [72]，则两量子比特混合态为NPT的概率极高，其中 是全局纯态的尺寸，即在我们情况下为 ， 表示所考虑状态中的量子比特数。因此，对于我们工作中模拟的状态，条件 始终满足，从而确保了NPT态的高概率。此外，这样的态具有PPT的充分条件是 [72]，这对于大的 永远不满足，因为 。现在让我们简要讨论随机密度矩阵 在 中是如何生成的。2. 两体混合态的生成我们模拟 个随机态，根据Haar测度均匀采样[129]。每个混合态通过从定义在 上的随机纯态 中迹除第三个子系统得到。系数 和 独立地从高斯分布 中采样，均值为零，标准差为1。得到的约化态 是秩为 [130–132]的两体混合态（另见参考文献[79]）。除了 和 维数外，在生成的态中，有一部分态也是PPT的[133]，我们将其丢弃，仅考虑NPT态以计算其他纠缠检测方法。尽管下文给出的所有结果都是针对 态，我们也数值模拟了 和 的Haar随机态，并检查所有报告的结果是否收敛到小数点后三位。确实，我们发现用 和 得到的结果收敛到小数点后三位（见第四节A）。3. 纠缠识别条件之间的层级结构为了建立属于 的准则之间的层级结构，我们现在引入关于非零 成功检测随机生成态的比例的概念。为了进行定量比较，我们定义给定纠缠判据的归一化分数， ，为 (16)其中，我们用 表示被某判据 成功检测到的状态，用 表示随机生成的NPT纠缠态，即具有非零LN的状态。根据定义， 。显然，对于部分转置规则， 并且 与 判据在 [58,105]中的等价性也意味着 。给定维数和秩，如果 ，那么我们可以肯定地推断判据 在识别典型纠缠态方面比 更有效。通过数值模拟得到的结果分为两个部分： 中的 随机态（ 和 ）以及 中的 态（ 和 ）。这样划分的原因是为了更好地理解纠缠检测方法在 中的行为，与 及更高维系统相比。例如，双体NPT束缚纠缠态的存在性问题在qubit-qudit系统之上仍未解决[124,125]。我们现在将展示，我们的研究可以揭示判据集合 对随机态的一些未知特征。确定纠缠的能力。我们观察并比较 和 的一些不同特征。正如预期， 是所有判据中最弱的。特别是，我们发现当 时（ ），几乎没有随机生成的状态能被熵判据检测到（参见表I中 态），这一观察也证实了命题1。另一方面，已有研究表明，可分离态和PPT束缚纠缠态都满足优超判据，而重排条件可以检测PPT束缚纠缠态。因此，人们可能会倾向于推断，在识别纠缠态方面，优超判据将比重排判据更弱。我们证明在qubit-qudit情况下并非如此。具体来说，我们发现，尽管对于固定的 系统， 和 可检测的NPT态的分数随着秩的增加而减少，但优超判据在确定纠缠态方面比重排判据更有效，如表I所示。确切地说，对于高秩态，重排判据无法检测到任何可蒸馏态，而 在 时亦然。这使我们能够建立一个清晰的纠缠检测方法有效性层级，从最强大到最弱在 典型系统中，为 (17)其中符号“ ”表示更强的纠缠检测能力。因此，不同判据可检测的状态集遵循通用态的顺序 ，其中判据的符号也用于表示相应的可识别状态集。请注意，低秩态可以被所有判据检测到，而极高秩（接近总维数 ）的纠缠态只能被 和 成功检测。为了直观表示不同判据的检测能力，我们在图1中给出了 中中等秩态 的图示说明。值得注意的是，虽然某些状态能被所有考虑的判据检测到，但其他状态只能被部分判据识别。重要的是，这种排序反映了可检测状态的典型包含关系，而不是对每个单独状态的严格集合论包含。图1. 随机秩-6态在 双体系统中纠缠检测判据的图示层级。彩色区域表示被不同判据检测为纠缠的状态集：PPT 和约化判据， （蓝色实线边界），优超判据， （红色点线边界），基于熵的判据， （黄色虚线边界），以及重排判据， （紫色点划线边界）。图中的每个点代表一个随机生成的密度矩阵，被 和 （星号）、 （三角形）、 （矩形）、 和 （圆形）检测为纠缠。彩色区域的相对大小和嵌套结构清晰地展示了纠缠检测能力的层级，其中 和 检测到最大比例的纠缠态，其次是 ，然后是 ，最后是 。彩色区域之间的部分重叠表明同一个纠缠态可以被多个判据同时检测。这些重叠反映了共同的检测能力，而不是判据之间的严格集合论包含关系，因此该层级纯粹以比较纠缠检测能力来理解。表I. 由判据 检测到的纠缠态的归一化分数 ，属于方程(2)中的集合 。这里我们考虑一个 维系统，秩为 。破折号（—）表示相应判据未能检测到任何纠缠态。由于 ，我们跳过它们。显然，对于qubit-qudit系统，优超判据在所有秩下都比重排判据表现更好，而熵和重排判据在状态秩较高时无法识别纠缠态，如命题1和2所证明。 2 1 0.999 1 3 1 0.998 0.999 4 1 0.946 0.968 5 0.799 0.494 0.563 6 0.510 0.054 0.145 7 0.333 0.001 0.021 8 0.223 — 0.002 9 0.150 — — 10 0.099 — — 中 纠缠检测判据的排序。 中的 态（ 和 ）与 和 之间的共同观察是，对于固定的总维数， 随秩增加而减小。两个qudit与qubit-qudit系统之间的差异如下：(1) PT和约化判据不再等价，后者的性能随秩的增加而变差。(2) 对于固定的 ，随着 增加，所有判据变得同样有效，在这种情况下，对于低 ， （见表II）。(3) 中等秩态表现出显著的对比行为——重排判据优于优超判据，这在 中不成立。令人惊讶的是，我们观察到即使对于固定的 ，也存在 使得 ，从而证实了重排判据在 中的表现比其他判据更强（见表II）。(4) 对于全秩态，只有约化判据能识别一些NPT纠缠态，而熵、优超和重排判据均失败，即 。表II. 应用于 系统中的态的多种检测判据 的随机NPT纠缠态的归一化分数 ，具有两个不同的秩， 和 （中等秩）。所有其他规格与表I相同。对于中等秩，重排判据明显优于约化判据。这与qubit-qudit系统形成对比。 9 0.004 — 0.743 0.352 9 0.014 — 0.968 0.902 12 0.001 — 0.330 0.424 9 0.049 — 0.995 0.999 15 — — 0.005 0.423 9 0.124 — 1 1 18 — — — 0.701 IV. 成功检测所必需的纠缠界限虽然归一化检测纠缠分数 揭示了判据是否能成功检测纠缠，我们现在感兴趣的问题是：“纠缠检测方法的效率是否取决于随机量子态所拥有的纠缠量？”我们通过引入两个品质因数——平均纠缠 和最小纠缠 ，其中纠缠用 量化，来肯定地回答这个问题。特别地，对于给定判据 ，它们定义为 (18)其中求和和最小值仅在纠缠检测方法能将状态 识别为纠缠时进行，我们仅对这些状态计算纠缠含量，其中 是判据 成功检测的状态总数。平均和最小可检测纠缠可以为成功检测纠缠所必需的状态资源含量提供界限。最小纠缠 越小，判据 能检测到的纠缠就越低，因此它越擅长。然而，需要注意一个微妙之处。由于纠缠含量随秩减小 [87,88]，在较低秩下更低的最小纠缠证明判据比具有更高最小纠缠的判据更强大。另一方面，平均纠缠不仅取决于检测到的状态的纠缠含量，还取决于检测到的状态数量，即 。更高的平均纠缠可能由两个因素造成：由于较低秩和较高总维度导致的更大纠缠[88]以及较低比例的检测状态。在这种情况下，在较高秩下更高的平均纠缠必然意味着检测到的状态数量更少，因此判据效率更低。A. 通过平均和最小纠缠衡量各种测量方法的检测强度现在让我们分析 和 的行为，以了解判据的有效性是否依赖于随机态所拥有的平均或最小纠缠。我们的研究表明确实如此。让我们首先从 的趋势详细说明：(1) 在Haar均匀生成的状态中，平均纠缠 随秩 的增加而减小，与单个维度无关（如图2所示，对于 和 系统）。这可能归因于随着秩增加，具有较低LN值的状态占主导[87,88]。(2) 在 系统中，平均 与 具有相同路径，因为 基于部分转置判据 ，而 在该范围内与之等价[105]，正如我们在命题3中独立证明的那样。(3) 对于小秩，即当 时，所有纠缠检测方法表现相似，即典型态的平均纠缠与任何属于 的判据检测到的平均纠缠一致。(4) 另一方面，对于固定的 和 ，当另一个子系统维数 增加时，所有识别方法的 都增加[参见图3(a)和3(b)，分别对应 中的 态和 中的 态]，这表明对于固定秩，态的纠缠随维度增加而增加。此外，通过固定 和 ，所有判据的性能变得相同（另见表III）。(5) 有趣的是，与熵判据 和重排判据 相关的 值表现出关于 的非单调趋势，这可能归因于随着秩增加，这两个判据在检测低纠缠态方面变得非常无效，即 接近全秩时 （见表I）。相比之下，其他判据能成功做到。(6) 对应于优超判据 的平均纠缠 高于PT 和约化 的平均纠缠，超过低秩态，尽管 在中等秩时几乎相同（见图2）。这表明 无法像其他两个判据那样高效地检测低纠缠态。由于增加秩也增加了生成小纠缠含量状态的可能性， 和 在较高秩时变得更加突出。图2. 两种不同局部维度下双体混合态的平均可检测纠缠 （垂直轴）与秩 （水平轴）：(a) 和 (b) 。比较方程(2)中讨论的纠缠检测判据： （红色圆圈）， （蓝色星号）， （绿色方块）， （洋红色菱形），和 （青色三角形）。对于低秩态观察到类似特征，尽管对于中等 值， 和 的效率随 的增加而互换。两个轴都是无量纲的。图3. 平均可检测纠缠 （垂直轴）与子系统维度 （水平轴），对于秩为 (a) 在 中，和 (b) 在 中的态。其他所有规格与图2相同。观察到熵判据的非单调行为。两个轴都是无量纲的。表III. 每个判据 的平均值 ，对于 中的秩 态。破折号（—）表示未检测到纠缠。 — — — — 最小纠缠 的行为与平均相似，随着秩 的增加而减小，对于 。对于 和 出现非单调行为（见表IV和V），表明 和 的效率随秩增加而降低，因为它们无法检测低纠缠态。 和 的性质都表明，当典型态的纠缠含量很高时（这必然发生在低秩态），所有现有的纠缠检测方法都同样有效。由于在某个秩之后，约化判据的 高于PPT判据，这意味着约化判据在 中当 时无法检测低纠缠态。因此，我们可以得出结论：根据检测纠缠态的功效， 是 的严格子集。重排准则优于PPT和约化准则，而优超和熵准则表现最差。这一点由以下事实所证明： 而熵准则无法检测 中秩超过 的纠缠态（见表IV，并得到命题1的支持），且对于 态，其最小可检测纠缠度也是最高的，如表V所示。最后，重排准则对于低秩 态（ ）是有效的。这些结果与研究态的比例所得结果高度一致。

表IV. 在固定的总系统维度 下，通过改变秩 ，给出了集合 中各种准则检测到的最小纠缠度 。其他所有说明与表III相同。
2 3 4 5 6 7 8 — 9 — 10 — 11 — 12 — 13 — 14 — 15 —

表V. 在固定的秩 下，通过改变子系统维度 ，给出了 中态的各个准则检测到的最小纠缠度 。其他所有说明与表III相同。
0.036 0.104 0.261 0.036 0.042 0.168 0.241 0.371 0.168 0.168 0.252 0.298 0.333 0.252 0.252 0.311 0.311 0.355 0.311 0.311 0.381 0.381 0.403 0.381 0.381 0.460 0.460 0.460 0.460 0.460 0.501 0.501 0.501 0.501 0.501 0.544 0.544 0.544 0.544 0.544

注记2. 熵准则在 中所表现出的非单调性可以通过其在高秩态纠缠检测方面的固有低效性来解释。如命题1所示，它无法检测秩为 的纠缠态。因此，对于这样的态，一旦达到临界秩，平均值和最小值都会突然降为零。此外，表I阐明了检测态的比例如何随秩的增加而急剧下降，因此，对于接近 的秩，熵准则的平均和最小检测纠缠度会急剧上升，因为 和 定义中的分母[式(18)]取非常低的值。这导致了熵准则的品质因数出现非单调行为。

品质因数的数值收敛性
本文的整个分析是在 个随机生成态的样本上呈现的。为了确保数值结果的收敛性，我们使用不同大小的样本进行了额外的模拟。具体而言，我们计算了所有品质因数，即归一化比例 、平均检测纠缠度 和最小检测纠缠度 ，样本包含 个Haar随机态，并观察到最后三组在第三位小数内提供了上述量的相同值，从而确认了数据的收敛性。作为实例，我们在表VI中列出了约化准则在 中秩为2和15的态所对应的三个品质因数。我们的数值模拟也确保了所有其他检测准则的类似观察结果。

表VI. 对于 （约化准则），在不同样本量和秩 下计算的平均值 、最小值 和归一化比例 。为了论证收敛到第三位小数，括号中的数字表示相应量在第四位小数的值，表明对于本文中考虑的样本量，数值结果的任何变化都发生在第三位小数之后。上表是针对系统 的。结果表明，随着样本量的增加，归一化比例和平均值在第三位小数处保持稳定和收敛。由于最小值对应于分布中的极端事件，重复观察到相同的最小值是不太可能的，即在不同样本量下生成具有相同最小纠缠度的态在统计上是不可能的，因此我们不期望 在第一小数位之后有任何收敛。

样本量 2 1 0.702(5) 0.499(9) 15 0.566(1) 0.133(7) 0.069(3) 2 1 0.701(5) 0.493(9) 15 0.575(1) 0.133(8) 0.064(6) 2 1 0.701(7) 0.455(7) 15 0.572(4) 0.133(7) 0.058(1) 2 1 0.701(5) 0.438(5) 15 0.572(9) 0.133(7) 0.058(8) 2 1 0.701(5) 0.452(0) 15 0.573(7) 0.133(6) 0.053(3) 2 1 0.701(5) 0.428(9) 15 0.573(1) 0.133(6) 0.060(1) 2 1 0.701(6) 0.427(2) 15 0.573(1) 0.133(7) 0.055(5)

B. 子系统维度不对称性对检测效率的关键作用
对于 中的纯态，由于施密特分解，纠缠含量由较小子系统维度的冯·诺依曼熵[6]（记为 ）给出上界。因此，如果保持较小的子系统维度固定，而增加系统的总维度，那么纠缠含量，以及平均和最小可检测纠缠度，预计将随着两个子系统维度中不对称性 的增加而保持不变。然而，在混合态的情况下，情况并非如此简单。本节的目标是理解不同的纠缠检测准则的功效如何随双体混合态的 而变化。虽然已知态的纠缠含量随总维度增加[88]，但其对不对称性的依赖（独立于总维度）在文献中尚未被研究。此外，由于我们使用LN来量化纠缠，而LN已知仅给出可蒸馏纠缠的上界，并且与局部子系统熵没有简单的关系，因此来自纯态的直觉并不直接适用。我们将展示纠缠随子系统不对称性的变化如何直接影响不同检测准则的性能，特别是当超越量子比特系统时重排准则的性能。据我们所知，关于准则检测效率对其维度依赖性的研究（超越其量化纠缠的作用）此前尚未有报道。因此，虽然我们迄今为止集中讨论了各种准则在秩和系统维度变化条件下的性能，但探究子系统维度差异是否也在准则功效中发挥作用是值得的。具体而言，将总维度固定为 ，我们希望分析平均检测纠缠度如何随 变化。虽然明显的是， 的增加导致具有更高纠缠含量的态，因此准则即使在更高秩时也保持其有效性，但对 的依赖在文献中对于典型态尚未明确研究。特别是，对于给定的 和秩，尤其是最低和最高秩，我们研究了 和 对Haar均匀态的变化。

让我们考虑可以表示为两个不同整数乘积的最小总维度，即12。它可以被认为是 和 。我们观察到，当子系统维度差异更大时，对于固定秩 （纯态之外的最低秩）或最大秩12，集合 中所有度量的平均纠缠度 和最小值 都更高。这可能表明，随着 增加，对于固定的 和 ，平均生成更多纠缠态，因此通过准则确定纠缠所需的平均纠缠度也较高。这种趋势在更高维度中持续存在；例如，从 （可视为 和 ）到 （视为 和 ），子系统尺寸更大的不平衡再次导致更强的平均和最小纠缠度（见表VII）。对于跨不同局部维度的系统中的秩2态，所有纠缠检测准则表现出等效强度。相反，对于满秩态，层次结构遵循前述结构，即只有 、 ，有时 变得有效。有趣的是，我们注意到重排准则 只有在子系统维度的绝对差 较小时才变得充分——例如，当 时，对于表VII中的 和36——否则，其检测能力消失。这一点也在检测态的归一化比例分析中得到了证实，特别是表II。对 检测能力上升的直观理解可以从命题2获得。对于 和 ，必须有秩满足 才能使重排失败。然而，由于 ，该条件在维度不对称性较小时不成立。我们可以得出结论：态的纠缠含量和给定准则的检测效率不仅取决于秩和维度，还取决于子系统维度的差异，即取决于态是如何构成的。

表VII. 对于固定的总系统维度 ，其中子系统维度 变化使得乘积 ，评估了式(2)中考虑的各种纠缠准则（列）的平均（最小）可检测纠缠度 。我们考虑秩的两个极端情况， 和 。 表示该行中的值与 相同。其他所有说明与表III相同。有趣的是，结果显示纠缠准则的性能取决于局部维度之间的差异 。
12 2 0.803(0.363) 12 0.174(0.003) 0.236(0.095) — — 0.174(0.003) 2 0.625(0.329) 12 0.120(0.005) 0.207(0.138) — 0.149(0.073) 0.141(0.052) 16 2 0.855(0.495) 16 0.176(0.028) 0.221(0.108) — — 0.176(0.028) 2 0.597(0.392) 16 0.098(0.026) — — 0.106(0.054) 0.148(0.099) 18 2 0.873(0.528) 18 0.176(0.055) 0.216(0.133) — — 0.176(0.055) 2 0.763(0.513) 18 0.123(0.039) 0.185(0.145) — — 0.130(0.059) 24 2 0.906(0.652) 24 0.177(0.081) 0.206(0.132) — — 0.177(0.081) 2 0.830(0.640) 24 0.124(0.050) 0.171(0.152) — — 0.127(0.070) 2 0.720(0.547) 24 0.101(0.040) 0.145(0.121) — — 0.132(0.056) 36 2 0.938(0.735) 36 0.177(0.109) 0.196(0.139) — — 0.177(0.109) 2 0.891(0.751) 36 0.125(0.063) — — — 0.127(0.066) 2 0.827(0.695) 36 0.102(0.068) — — — 0.121(0.103) 2 0.674(0.576) 36 0.080(0.052) — — 0.090(0.184) —

我们可以尝试如下解释秩 时平均（最小）纠缠度 随子系统维度差异 增加而增加的原因。注意，所考虑的秩2态的总子系统维度为 。因此，总态的熵在 中相对于最大可达到的平均熵由 给出，随 增加而增加[72]。因此，随着 增加，双体态越来越远离其对应维度的最大混合态。此外，秩2态的纯度 对于 [72]。这再次表明 维态的纯度等于其维度低得多的最大混合态的纯度。因此，实际上，我们可以认为该态对于大总维度 是纯态。在这种情况下，其纠缠含量由其约化密度矩阵的冯·诺依曼熵给出 [72]，不失一般性地假设 。在两个极端情况 和 下，我们分别有纠缠近似为 和 。因此，这为秩2态的平均检测纠缠度随子系统维度差异增加而增加提供了直观论证。

V. 结论
纠缠，作为最早且被最广泛研究的量子关联形式，在量子信息理论的发展中继续发挥着核心作用。尽管纠缠态的优势在一系列量子技术中已得到充分确立，但在任意维度下纠缠态的丰富结构，无论是双体还是多体，仍未完全理解。纠缠理论中的核心问题之一是如何明确地将态分类为纠缠态或可分离态，从而确定它们在信息论应用中的有用性。虽然已经开发了几种检测方法，但其计算和实验实现仍然是一个重大挑战。另一方面，能够高效计算和实现的标准并不总是检测可用纠缠所必需且充分的。因此，迫切需要系统地对纠缠检测准则进行分类，并严格评估其有效性，特别是对于随机生成的量子态。虽然一般多量子比特态的纠缠特性已在某种程度上被探索，但更高维度的随机量子态是否表现出任何形式的普适纠缠行为的问题仍未解决。解决这个问题不仅可以加深我们的理论理解，还可以指导更可扩展和实验可行的纠缠检测技术的发展。

我们分析了四种广泛使用的纠缠检测准则——优超、约化、重排和基于熵的方法——通过将它们与PT准则和基于PT的对数负度测度进行基准测试，评估其性能。我们聚焦于具有NPT性质的双体量子态，从三个因素——态的总维度依赖性、秩的影响以及局域维度的差异——考察了各种判据在任意维度随机混合态纠缠判定中的检测效能。这种全面方法使我们能够构建一个数学上稳健的框架，用于评估这些检测方法在任意有限维度下的普适性和可靠性。特别地，我们给出了量子态秩的解析下界，超过该下界时重排判据和熵基判据将无法检测纠缠，从而凸显了这些方法在高维系统中识别高秩纠缠态时的内在局限性。为研究随机态的特征，我们定义了三个品质因数——检测态的比例、平均可检测纠缠度以及检测所需的最小纠缠度。检测态的比例提供了一个直观的度量，反映给定判据在哈尔随机模拟样本中识别纠缠态的有效性——该比例越高，判据越强大。相比之下，平均和最小可检测纠缠度更深入地揭示了判据发挥作用所需的纠缠“阈值”。这些度量有助于量化检测所需的纠缠量，并为每个判据在不同维度和秩下可靠识别纠缠态所需的资源建立了实际界限。我们揭示了qudit-qudit系统中纠缠检测判据的明确层级结构，这与在qubit-qudit系统中观察到的行为有显著不同。特别地，我们发现重排判据在高于某一维度的系统中始终优于majorization判据。在研究过程中，我们独立证明了qubit-qudit系统中PT判据与约化判据的等价性。我们的结果表明，检测到的纠缠态比例随秩的增加而下降，但随系统总维度的增加而改善。当通过平均和最小纠缠的定量视角来评判判据强度时，基于检测态比例的层级结构保持一致。虽然熵基判据在量子通信中具有明确的运算相关性，但它在所有研究的系统中都是效果最差的。相反，尽管重排判据能够检测正偏转束缚纠缠态，但随着NPT态秩的增加，其有效性显著下降，揭示了其在高秩情形下的局限性。一般态纠缠检测方法之间观察到的层级结构为探索其他资源理论（如非局域性和非稳定化性）中的类似结构开辟了有趣的研究方向。此外，基于这些判据在计算和信息论任务中预测量子优势的能力来评估它们，是一个有前景的研究方向。