基于transmon qutrits的阿贝尔希格斯模型混合模拟-数字模拟

《Physical Review A》：Hybrid analog-digital simulation of the Abelian Higgs model with transmon qutrits

　　为了探索近期量子计算机上的规范场论，需要探索非传统的量子模拟器，以寻找资源高效的模拟协议，并最终访问不同场论中的奇异特性，包括量子色动力学相图中尚未探索的区域。在这项工作中，利用超导transmon qutrit处理器，我们制定并实现了一种基于脉冲的、三能级、混合模拟-数字模拟协议，用于在两个格点上模拟（1+1）维阿贝尔-希格斯模型（AHM）。与此方法并行，我们还实验实现了该模型的基于门的实现。利用transmon希尔伯特空间的三能级截断到自旋-1截断AHM的自然映射，我们用两种协议观察到了AHM场算符（类似于电场算符）的实时动力学。对于模拟-数字协议，我们设计了一种Floquet模拟，结合了局域模拟驱动、两个transmon自然相互作用哈密顿量的驱动调制以及动态解耦脉冲。对于数字协议，我们使用最先进的qutrit处理器实现了该模型的Trotter化模拟，并结合了先进的误差缓解技术。我们进一步讨论了这两种方法的可扩展性，以及它们扩展到其他模型哈密顿量模拟的潜力。我们的实验证明，在当前和近期transmon qutrit处理器上，未来研究基于自旋-1和SU(3)的规范理论模型是可行的平台。

一、引言

近年来，用量子模拟器模拟量子场论的前景引起了广泛关注。虽然基于重要性采样的经典数值方法已成功建立了虚时格点量子色动力学（QCD），作为强相互作用的可靠非微扰表述，但它们在处理大化学势下出现的符号问题[1,2]以及观测实时非平衡动力学的困难[3]方面面临重大挑战。鉴于这些困难，已有若干努力在各种量子计算平台上模拟格点规范理论，包括超导电路、离子阱和里德堡原子模拟器，分别在(1+1)维[4–9]和(2+1)维[10–19]中实现。这些研究标志着向模拟(3+1)维QCD迈出的重要中间步骤，并涉及多种物理现象，包括相变[20]、粒子散射[9]、实时禁闭动力学[7,19]、淬火动力学[21]、纠缠在热化中的作用[22]以及量子混沌[15]。

到目前为止，大多数研究都在由量子二能级系统（即qubit）组成的平台上进行。然而，由qudit（量子d能级系统）组成的平台有可能减少格点场论模型中常见的自然d能级系统量子模拟所需的门深度和非局域量子操作[23–26]。尽管最近在超导电路[27,28]、离子阱[29]和光子系统[30]的qudit处理器开发方面取得了成功，并且有许多理论提议研究用qudit进行场论模拟[23,26,31–39]，但据我们所知，文献中至今只有两个基于qudit的场论模拟实验实现，均在离子阱量子硬件上展示[18,40]。

在这项工作中，我们考虑一个特定的格点场论模型——自旋-1截断阿贝尔-希格斯模型（AHM）[41–44]在二维时空中的情况——并在超导电路平台上通过两种独立但互补的方法进行基于qudit的量子模拟（图1）。第一种方法中，我们利用哈密顿量工程技术进行模拟-数字混合模拟；第二种方法中，我们进行全数字模拟，利用最先进的误差缓解方法，发现与基于qubit的数字模拟相比，纠缠门深度减少了近五倍。AHM是验证原理模拟器的有用测试平台，尤其是因为它与QCD具有共同特征，包括禁闭[45,46]和弦断裂[42]，使其成为迈向QCD量子模拟的重要一步。在这里，我们在两个格点上实现该模型的量子模拟，以展示基本构建块，作为观察阿贝尔-希格斯模型中多体现象的第一步。由于模型的自旋-1截断，每个格点可以自然地映射到qutrit（d=3），在两种模拟方法中，我们都将其编码在由transmon最低三个能量本征态张成的截断子空间中。Transmon是超导非谐振子，其非线性使得能够对其希尔伯特空间的一部分进行高保真度的通用控制[47]。虽然最初是为实现qubit而设计的，但它们正越来越多地用于高维量子计算和模拟[27,28,48–51]。

图1. (a) (1+1)维阿贝尔-希格斯模型（AHM）的格点场论表示。顶点表示物质场，边表示离散时空中的规范链接。在这项工作中，我们考虑一个宽度为两个plaquette的时间切片。(b) 在适当的极限和近似下（见参考文献[5]），(1+1)维AHM可以映射到自旋-1链，其中自旋态对应于plaquette量子数。我们展示了实验中模拟的两个自旋-1粒子及其相互作用哈密顿量H_ZZ的形状。(c) 我们的实验平台由一对transmon qutrit组成，其固有的交叉克尔相互作用H_XX是对角的，但形式与目标相互作用有很大不同。通过向两个transmon施加微波驱动，我们可以用两种不同的方式近似模型哈密顿量下的演化。(d) 模拟-数字混合方法，用于设计目标哈密顿量的演化。这里我们在模拟驱动设计的哈密顿量演化和近似瞬时的局域π/2门之间交替，这些门在每个transmon上分别转置态|0?和|1?。(e) 全数字方法。这里重复使用从通用门集绘制的数字门序列，以有效地Trotter化时间演化。门定义见第四节。对于两种协议，状态轨迹的示意图如图所示。在模拟-数字模拟中，演化可以显著偏离理想轨迹（虚线），但在一个完整的Floquet周期后返回，误差在Magnus展开的误差范围内。在数字模拟中，演化在整个过程中更接近精确解，并在每个Trotter步结束时近似到Trotter误差。

在我们的第一种模拟方法中，我们设计了一个双transmon系统的哈密顿量，以通过模拟-数字混合协议近似目标模型，通过在模拟演化周期和相对较短的数字门序列之间交替来产生有效的Floquet哈密顿量[52–54]。类似的方法已被用于各种平台上先前的量子模拟[55–61]。这些实验证明了模拟-数字混合方法是量子模拟的强大工具，因为它们能够减少或消除相对低保真度的双qutrit门，同时保留精细调谐数字控制所提供的部分灵活性。

在我们的第二种方法中，我们在通用qutrit处理器[62,63]的一对transmon上对我们的模型进行基于数字门的模拟。与基于qubit的模型门分解相比，我们观察到使用基于qutrit的量子门分解所需纠缠操作时资源需求减少了四倍。我们结合了最先进的误差缓解协议，包括随机编译和纯化方法，以计算可观测量，这些观测量在未来的研究中可以识别大晶格中的相变。我们的研究表明，当计算单元从qubit替换为qutrit时，使用twirling的数字误差缓解资源需求没有显著增加，这与先前的研究[63]一致。

本文结构如下：第二节，我们回顾阿贝尔-希格斯模型的可实验实现的晶格哈密顿量表述。第三节，我们介绍单格点AHM的模拟方法和多格点AHM哈密顿量的模拟-数字混合方法。我们讨论了设计和实现该协议的实际考虑，并呈现实验中获得的结果。接下来，第四节，我们将AHM哈密顿量生成的幺正操作分解为处理器的原生门集。我们展示从器件获得的结果，并讨论不同误差缓解策略在我们数字量子模拟中的影响。最后，第五节讨论两种方法的权衡和可扩展性，第六节给出结论。

二、阿贝尔-希格斯模型

阿贝尔-希格斯模型是标量量子电动力学的一个玩具模型，描述光子场与自旋为零的粒子之间的相互作用。我们首先简要描述该模型及其在晶格上作为自旋-1哈密顿量的近似表示。模型的作用量由U(1)规范场和复物质场φ描述[33,43,64]：

S = ∫ d^2x [ -1/4 F_{μν}F^{μν} + |D_μφ|^2 - V(|φ|) ] (1)

其中F_{μν}是电磁张量，D_μ是带物质电荷q的协变导数。模型在U(1)规范变换下不变：φ → e^{iα(x)}φ，A_μ → A_μ + (1/q)?_μα。我们工作在希格斯模式解耦的极限下，复标量场简化为常数乘以复相位（南部-戈德斯通模式）。在(1+1)维中，该模型没有去禁闭相；然而，在更高维度中，它确实表现出电荷和反电荷对的类似禁闭特征[42,43]。禁闭的特征是静态电荷分离在临界距离尺度以下势能线性增长，而弦断裂现象在大距离上被观察到，表明电荷屏蔽[65]。在实时量子模拟器中，禁闭特征和弦断裂现象都可以从局域电荷密度中观察到[66]。光锥的形状可以识别模型中的禁闭特征，而弦断裂可以通过计算存在的电荷数从积分局域电荷密度中识别。

作用量被转化为离散形式，通过将物质场放在格点顶点上，规范场放在二维格点的链接上——如图1(a)所示——这也可以用于使用路径积分公式对该模型进行经典数值模拟。按照参考文献[5]中概述的步骤，对晶格作用量取时间连续极限，我们得到在N_s个格点上的晶格哈密顿量，假设开放边界条件：

H = (J/2a) Σ_{i=1}^{N_s-1} [ L_i^2 + L_{i+1}^2 ] + μ Σ_{i=1}^{N_s} L_i^2 - (1/a^2) Σ_{i=1}^{N_s-1} [ cos(θ_i - θ_{i+1} - aA_i) + ... ] (2)

我们在这项工作中定义?=1。哈密顿量表述中出现的L算子是规范场的正则共轭，类似于量子电动力学中的电场算子，而电荷对应于希格斯场相位算子的共轭。在这个(1+1)维模型中，我们不需要显式考虑物质场，因为电荷可以通过高斯定律计算为电场算子之差（L_i - L_{i+1}）。

因此，局域算子L_i（其中i索引每个算子作用的格点）提供了一个方便的基础来分析模型的行为，并将作为我们这项工作的主要可观测量。在未来更大规模的研究中，通过这些可观测量监测局域电荷可能使得直接研究弦断裂现象成为可能。

哈密顿量中的各项可以分别解释为：电场的局域能量；驱动场局域演化的能量注入；以及电荷产生带来的能量成本。算子L_i与角动量算子相同，定义为：

L_z = |1??1| - |-1??-1| (3)

我们可以将自旋m_z本征态映射到transmon本征态，通过：

|1?_spin → |2?_transmon, |0?_spin → |1?_transmon, |-1?_spin → |0?_transmon (4)

测量L_z期望值对应于局域qutrit态布居数的测量。

算子L_x、L_y由以下方程定义：

L_x = (1/√2)(|1??0| + |0??-1| + h.c.), L_y = (1/√2)(i|1??0| - i|0??-1| + h.c.) (5)

为了精确捕获模型，算子和L_x、L_y、L_z需要作用于无限能级：m_z = -∞,...,∞，但在实践中需要某种截断d。在这项工作中我们取d=3，在这种情况下我们可以将L_z与自旋-1的S_z算子等同。

这种自旋-1近似允许开发新的工具来模拟各种规范理论模型，其编码效率比qubit平台更高。正如第四节和附录I中进一步讨论的，在qubit硬件上对此截断阿贝尔-希格斯模型进行数字量子模拟将需要两倍于qutrit的qubit数量，并且由于许多单格点操作实际上会变成双qubit操作，门深度将大大增加。在以下两节中，我们展示两种更直接、更有效地用transmon qutrit实现该模型的方法。为简洁起见，表I中简要总结了两种方法。

三、模拟-数字混合模拟

我们首先讨论两格点（ ）上阿贝尔·希格斯模型的模拟-数字混合模拟。本节实验使用罗切斯特的超导量子比特装置进行，其性质见表II。实现可分为两部分：（1）驱动单超导量子比特动力学以模拟模型中的局域格点项；（2）设计超导量子比特之间的相互作用，以有效匹配模型中格点间的 相互作用项。为减少特罗特化误差并最大化模拟时间，我们旨在同时执行这些操作，这引入了额外的挑战：设计单格点动力学驱动和相互作用工程设计时，需确保两者互不干扰。

表I. 在超导量子比特三能级系统上模拟自旋-1截断阿贝尔·希格斯模型的模拟-数字混合协议和数字协议总结。上块提供协议的装置无关特性，下块列出装置相关特性。下块数值取决于表II和表III中给出的两个不同处理器的相干时间和门持续时间，作为讨论总结而非比较基准。

| 模拟-数字混合（混合） | 数字 |
|----------------------|------|
| 时间演化单元 | 弗洛凯周期，包含两个模拟驱动周期和两个 脉冲 | 一阶特罗特实现，使用原生门进行 操作 |
| 每步纠缠操作 | 基于弗洛凯的单一相互作用项工程设计 | 三个cz门 |
| 控制脉冲 | 同时多音和斯塔克驱动，与多音 门交替 | 单音顺序 脉冲，与双三能级cz门交替 |
| 误差缓解 | 无 | 随机编译和纯化 |
| 模型灵活性 | 对特定类哈密顿量灵活 | 通用（与模型无关的协议） |
| 装置限制 | 需要能够工程化均匀 速率 | 标准三能级算法装置设计要求[67] |

装置特定方面；非基准比较

a 平台 | 罗切斯特三能级处理器 | 伯克利（AQT）三能级处理器
演化/步定时 | 门 | cz, SU(3)
标度频率 | （两格点） | 由 设置（可变）
控制脉冲误差 | 脉冲保真度，非理想 抵消 | cz和单三能级门组合保真度
协议误差b | 二阶马格努斯展开不保真度：每弗洛凯步 | 每特罗特步特罗特不保真度： （）， （）

a 电路深度和实现的模拟时间混合了协议与两个不同芯片的相干时间和门持续时间，因此两列之间不能直接比较。
b 协议误差仅包括由于推导模拟协议时所做的近似对不保真度的贡献，假设理想控制脉冲。

表II. 模拟-数字实验所用罗切斯特装置中两个超导量子比特的相关参数。

| | QA | QB |
|---|---|---|
| （GHz） | 5.4146 | 5.2484 |
| （GHz） | 5.1687 | 5.0075 |
| （GHz） | 4.918 | 4.758 |
| （） | 30(3) | 26(7) |
| （） | 48(8) | 36(14) |
| （） | 15(4) | 17(5) |
| （） | 20(10) | 24(9) |
| （GHz） | 5.08 | 5.08 |
| （MHz） | 7.1 | 7.1 |
| （MHz） | 2 | |

A. 单三能级实现

我们首先讨论产生每个格点所需单超导量子比特哈密顿量的模拟驱动。在实验室参考系中，截断到三能级的超导量子比特哈密顿量，含时变驱动 可写为 [47]

(6)

其中 定义为超导量子比特本征态 和 之间的跃迁频率， 为无量纲因子，表征电荷耦合对 跃迁和 跃迁的比值。在本小节其余部分，我们将省略哈密顿量项中的超导量子比特指标 。

我们同时驱动两个跃迁，取 其中 为驱动包络， 为驱动频率， 为各驱动项的相位。我们进一步定义失谐 并假设 ，使得每个驱动项仅与一个跃迁接近共振。对于模拟-数字实验中的两个超导量子比特，非谐性约为 。

从式(2)的模型哈密顿量中提取格点项，我们得到

(7)

其中格点 在两格点模型中均取为链的边界。为找到模拟 所需的驱动，我们首先进行幺正旋转参考系变换，将 变换到驱动频率参考系： ，其中 [68,69]。由于该参考系变换是对角的，我们在实验室参考系中观察到的布居数动力学将与旋转参考系中的布居数动力学相同。在旋转波近似（RWA）下，假设驱动强度远弱于驱动频率和超导量子比特的非谐性， ，我们得到

(8)

关于RWA下丢弃项的更多细节见附录B。

通过假设等驱动相位 、恒定驱动包络 和失谐 ，可将式(8)映射到式(7)，这将受驱超导量子比特哈密顿量简化为

(9)

其中最后一步我们移除了全局能量偏移 。为在式(7)的无量纲参数和式(9)的物理参数之间转换，我们必须选择一个时间尺度 ，它设定标度频率 。则映射通过 和 完成。在单三能级实验中，只要满足RWA条件，我们可以自由选择标度频率。在图2所示实验中，我们选择 。

图2. 单三能级模拟实验。（a）执行阿贝尔·希格斯模型单三能级模拟模拟的协议。三能级两个跃迁上的驱动遵循相同包络 ，并具有相等且相反的失谐 。2(b)中的每个数据点通过设置脉冲持续时间 并在脉冲结束时读取三能级本征态布居数来测量。斜坡是总持续时间的固定比例 ，导致随 增加时脉冲的拉伸。无量纲包络函数 归一化为其面积等于持续时间 ；详见附录B。（b）单三能级在场算符期望值 （上）和 （下）在模拟演化下从初始超导量子比特态 开始， 。标度频率选择为 ，在物理装置时间（上轴）和无量纲模型时间（下轴）之间转换。虚线显示模型哈密顿量下的精确薛定谔方程演化，实线是主方程模拟，假设独立测量的Qutrit B的退相位和弛豫时间见表II。不确定度从散粒噪声估计 ，其中 。

虽然上述推导在最后一步假设恒定驱动包络，但实验必须使用成形包络执行，无论是显式还是隐式。为以受控方式进行，我们给两个驱动相同的包络： ，其中 归一化，使其在持续时间 的脉冲后的积分等于相同持续时间的单位阶跃面积： 。包络函数及其归一化在附录B中明确给出。驱动结束时的幺正演化可用平均哈密顿理论建模 [70]（另见附录A），其中一阶近似下，平均哈密顿量由各矩阵元的独立时间平均提供，产生与式(9)相同的结果。

平均哈密顿量中的二阶及更高阶项在模拟中产生相干误差。由于它们取决于不同时刻哈密顿量与其自身的对易子，我们在斜坡期间对脉冲进行啁啾，以保持瞬时失谐与驱动具有相同包络，即 。维持这种关系所需的相位斜坡和伴随的参考系变换详见附录B。单三能级哈密顿量则可写为

(10)

马格努斯展开在一阶项后终止。

如图2(a)所示，为模拟不同时间的演化，脉冲持续时间 变化，驱动包络以固定幅度和固定比例 的斜坡拉伸。则无论 如何，脉冲结束时的平均哈密顿量为

(11)

其中近似仅来自RWA。

单超导量子比特模拟模拟实验结果如图2(b)所示，我们绘制对角场算符 和 的期望值，这些值直接从测量的超导量子比特本征态布居数计算，并经过统计读出校正 [71,72]。如第二节所述，这些可观测量类似于该格点的局域电场和电场能量。对于该测量，式(7)的参数设置为 。模型预测的精确单三能级动力学与数据一起绘制，以及附录E中描述的林德布拉德主方程模型，该模型考虑了该超导量子比特独立测量的退相干和弛豫时间，见表II（Qutrit B）。我们与林德布拉德模型的预测吻合良好，表明单超导量子比特模拟中的误差主要由退相干主导。

B. 双三能级实现

1. 相互作用哈密顿量的工程设计

接下来讨论模拟目标相互作用的模拟-数字混合方法。式(2)中哈密顿量的相互作用部分呈伊辛型相互作用形式，

(12)

由于我们仅在两个格点上进行模拟，我们将通过算符相对于 符号的位置而不是上标指标来指示其作用的格点。此外，当上下文明确时，我们将省略作用于超导量子比特 和 上算符之间的 符号。

我们的器件由一对具有直接电容耦合的超导量子比特组成，性质见表II。由于我们的超导量子比特三能级系统相对于其电容耦合强度彼此远失谐，其本征相互作用有效地由色散交叉克尔哈密顿量描述 [73,74]，详见附录C。我们将这对角相互作用参数化为两个三能级 算符幂的组合，

(13)

其中 为单位矩阵。仅在一个三能级上包含非零幂 的项对应于局域频移，可通过单独对每个超导量子比特施加适当的参考系旋转来消除。在实验中，这对应于在另一个处于 态时校准每个三能级的频率，而非更常见的选择是在另一个处于 态时调谐。这产生简化的相互作用哈密顿量，

(14)

然后我们期望一种能实现有效相互作用率 的方法。

本实验中超导量子比特对测得的 值如图3(a)所示。它们对两个超导量子比特的谱和电荷矩阵元敏感（从二阶微扰理论计算速率见附录C），因此通常不能期望实现本征 相互作用。我们在实验中使用双回波序列测量速率 [75]，在超导量子比特文献中称为JAZZ [76]，我们改编以适用于三能级系统（见附录D）。

图3. 工程化 相互作用。（a）未驱动（裸）双超导量子比特系统式(13)的相互作用哈密顿量项的实验测量。（b）相互作用速率测量的抽象电路示意图。JAZZ块由持续时间 的两段自由演化组成，其间两个超导量子比特均有 脉冲 [75,76]。 和 脉冲的子空间由目标相互作用哈密顿量矩阵元决定，如附录C和D详细说明。（c），（d）与 交换平均时的相互作用速率和测量电路示意图。我们观察到奇宇称项 和 的速率被该动力学去耦序列有效消除，而偶宇称项保持不变。电路现在涉及持续时间 的四段自由演化。（e），（f）同时施加平均和斯塔克驱动时的相互作用速率和电路示意图。在适当频率和幅度施加斯塔克驱动几乎消除了受驱 项，使修改后的 成为哈密顿量中唯一显著的相互作用速率。斯塔克驱动校准的详细信息见附录D。

不需要的相互作用通常可以使用动力学去耦技术消除 [54,59,77]。然而，先前报道的能产生所需相互作用的三能级脉冲序列涉及不与我们的单三能级驱动对易的脉冲 [27]。相反，我们设计了一个协议，将单三能级驱动与基于两个超导量子比特上同时斯塔克驱动的哈密顿量工程方法集成，以及最小集的动力学去耦脉冲，改编自参考文献[78]。我们向两个超导量子比特施加斯塔克驱动， 和 ，其中包络 和频率 为相互作用哈密顿量提供可调性。这是门控模拟中使用的受控Z门背后的原理（见第四节）。实际上，一对斯塔克驱动仅提供足够的可调性来将相互作用哈密顿量中的一项设为零。考虑到这一自由度，我们寻找仅由使单qutrit哈密顿量不变的脉冲组成的序列，这些脉冲能够抵消至少两个不需要的项。方便地，操作，其中是局部酉变换，在transmon上转置状态和，与方程（11）中的单transmon平均哈密顿量对易，并且具有翻转奇宇称相互作用项符号的效果，同时使偶宇称项保持不变：（15）通过与动力学解耦脉冲交替进行演化周期，系统可以平均地演化受动力学解耦的相互作用哈密顿量：（16）从平均哈密顿量理论（附录A）可以看出，只要执行操作的脉冲被认为是瞬时的，在哈密顿量中没有其他项的情况下，这种平均是精确的，因为和对易。平均相互作用速率和测量协议分别如图3（c）和3（d）所示。在此序列之后，唯一剩余的不需要的相互作用项是，我们发现通过适当选择斯塔克驱动频率和幅度，系数可以被驱动到接近于零。这修改了驱动相互作用哈密顿量中的所有系数，我们将新的有效交叉克尔相互作用哈密顿量称为，并将有效的驱动和动力学解耦相互作用称为。的测量系数如图3（e）所示。我们观察到应用协议后，只有项具有显著权重。用于找到实现所需的斯塔克驱动频率和幅度的校准程序分别在附录C和D中描述。虽然单qutrit实验在标度频率选择上具有很大的灵活性，但在双qutrit实验中，在施加斯塔克驱动后是固定的，因此它为哈密顿量中的其他项设定了标度。也就是说，我们有。负号出现是因为与模型哈密顿量中的项之间存在符号不匹配。我们通过仅反转一个transmon的方程（4）中transmon状态和映射来解决这个问题，有效地将其整个演化与共轭，因为。这完全在后处理中完成。2. 结合在位项和相互作用项我们通过同时开启所有驱动，将第III A节中定义的单qutrit驱动哈密顿量与斯塔克驱动的相互作用哈密顿量结合起来，如图4（a）中每个脉冲的示意图所示，得到：（17）对于，其中是单个脉冲的固定演化周期。为了减少由脉冲过程中哈密顿量在不同时间不能与自身对易而引起的误差，我们必须确保的时间依赖性（由乘积确定）与单qutrit驱动和失谐采用相同的包络。因此，我们设置斯塔克驱动包络为。这并不能完全消除误差，因为仍然存在相互作用哈密顿量的无驱动分量，它不与单qutrit项对易。然而，正如我们在附录F中所示，这种误差仅在平均哈密顿量的三阶项中出现，并且大致按比例缩放，与斜坡持续时间的二次方成正比。图4. 双qutrit模拟-数字实验。（a）双qutrit协议。模拟的演化是通过将固定持续时间的演化周期与两个transmon上的脉冲交错排列来实现的。（b）中的数据点在经过个演化周期后测量。脉冲通过同时共振驱动两个跃迁来执行[79,80]。在每个演化周期内，除了第III A节中描述的失谐驱动外，每个transmon还施加斯塔克音调，这会修改纠缠哈密顿量，使得两步后的平均相互作用近似为。（b）模拟-数字协议期间两个qutrit的期望值（上）和（下）。虚线显示精确的理论演化，实线是考虑独立测量的退相位和弛豫时间的主方程模拟。标度频率被固定为。初始transmon状态为。我们无法无限期地减小斜坡持续时间，因为实际上我们发现斜坡还必须足够长以维持相互作用哈密顿量的绝热变化。在本实验中，我们选择的斜坡持续时间为。当误差足够小时，一个脉冲过程中的有效平均哈密顿量可以很好地近似为马格努斯展开的一阶项：（18）然后在驱动演化周期和脉冲之间交替——在本实验中，通过同时以远大于在位模拟驱动幅度的零失谐驱动两个跃迁来执行[79,80]——我们得到所需的有效弗洛凯演化：（19）其中和由方程（11）给出，且。因此，这近似为。近似中的误差可以从马格努斯展开中的高阶项和特罗特化误差两方面来考虑。我们在附录F中使用AHT分析误差项，发现它们随演化周期线性缩放，这表明门之间更短的演化周期将产生更好的近似。然而，这与要求门相对于是有效瞬时的需求存在权衡。实际上，我们发现演化脉冲持续时间和门时间之间存在可接受的平衡。3. 器件结果在图4（b）中，我们绘制了模拟-数字协议实验实现的动力学，以及方程（2）中哈密顿量的数值积分演化[81]，以及考虑了实验中使用的transmon的弛豫和退相位时间（表II）的林德布洛德耗散模型。我们发现带有退相干的模型很好地捕捉了驱动系统的动力学。为了解释周期性布居翻转在具有时不变主方程的退相干模型中的影响，我们假设一个有效的平均林德布拉德方程，其中跳跃算符被周期施加的脉冲以与哈密顿量相同的方式变换。这个有效林德布拉德模型在附录E中有详细描述。我们还在附录J中绘制了多个初始乘积态的transmon本征态布居以及模型的预测。IV. 基于门模拟在本节中，我们描述了模拟AHM的数字门基方法，并展示了实验中获得的动力学。我们在一个基于伯克利的qutrit处理器上进行数字模拟，其属性列于表III中。本节的讨论重点是将AHM产生的演化映射到我们处理器的原生门集。我们还强调了误差缓解方案在qudit模拟中对使用当前硬件获得可靠结果的重要性，并讨论了相关的计算成本。表III. 用于数字量子模拟的基于伯克利的qutrit处理器的器件参数。列出了退相干时间（）和各种原生及复合门时间（），以及数字实验中使用的量子比特频率和非谐性。QA QB 量子比特频率（GHz） 5.374 5.443 非谐性（MHz） ?274 ?271 60(13) 47(14) 36(4) 34(5) 69(7) 61(14) 32(5) 32(6) （ns） 30 30 （ns） 180 180 （ns） 612 1. 将酉操作映射到基础门对于一个qutrit系统，方程（2）中模型哈密顿量下的时间演化算符可以使用一阶特罗特近似来近似：（20）其中演化时间被离散化为均匀步长，使得。这里和表示作用于单个qutrit上的在位操作，而表示一对qutrit和之间的纠缠操作。角度和由哈密顿量参数和以及特罗特步长决定。这些操作的矩阵表示在附录G中给出。近似的误差受限于。通过使用更高阶的特罗特近似可以实现改进的误差缩放，但会以增加纠缠门数量为代价。为了在我们的超导qutrit处理器上执行操作和，需要将酉进一步分解为我们的原生门集。与模拟-数字模拟中使用的多音调驱动相比，我们这里使用与每个transmon qutrit上的单个跃迁共振的单音调驱动。这种驱动可以在由状态或张成的子空间内实现类似量子比特的旋转[62]。固定子空间旋转和任意相位门，以及，通过调整后续微波驱动的相位来执行[82]，然后构成每个qutrit的原生门集，其中我们定义：（21）是在qutrit希尔伯特空间的子空间内围绕轴进行类似量子比特旋转的生成元，可以用盖尔曼矩阵表示（见附录G）。然后，与受控和纠缠门结合，我们有了足以进行通用qutrit计算的门集[83,84]。为了使用基本门表示任意单qutrit操作，我们首先在盖尔曼基中展开，其中系数用计算。然后我们通过对和中每一项分别取指数进行一阶特罗特近似。对于项，这产生了一个精确分解（直到全局相位）：（22）其中除了边界qutrit外所有qutrit都有，边界qutrit则。对于这里研究的情况，两个qutrit都被视为边界qutrit。对于项，我们得到一个近似结果：（23）其中。我们注意到，在生成操作时的特罗特近似可以通过对数字门集添加一个校准的自旋-1旋转来消除，通过施加多音调驱动[59,80]实现，但这留待未来工作。按照类似的分析，通过将双qutrit厄米算符表示为盖尔曼矩阵的张量积，可以找到纠缠操作的分解。这产生了四个非零系数。然而，通过观察可以发现一个更简单的分解：我们将纠缠操作分解为三个受控和门，中间穿插局部相位门：（24）其中。和是由基本相位门构成的对角矩阵：（25）（26）除了上述电路分解分析之外，我们还测试了使用TrueQ软件提供的数值合成方法[85]是否可以实现更有效的编译。我们发现数值合成的纠缠操作成本与我们的解析分解相当。为了完整性和与未来实验的公平比较，AQT测试台的原生门集和关键器件参数（如qutrit频率、非谐性、弛豫时间和退相位时间）列于表III和附录G中。数字模拟提供了一种更直接的方法来与假设的数字量子比特基模拟相同模型进行比较。除了需要两个量子比特来编码每个三能级位点的状态外，我们发现在全连接拓扑的量子比特基实现中需要大约14个纠缠操作（如附录I所示），这几乎是数字qutrit协议中所需的三个原生纠缠操作的五倍。对于连接性受限的处理器，门深度需要进一步增加。我们发现基于IBM重六边形拓扑的编译中，额外需要的交换操作将使门深度再增加大约十倍。因此，如果transmon qutrit处理器的原生纠缠门时间、弛豫时间和退相位时间与最先进的量子比特处理器相当，那么基于qutrit的实现对于实现某些继承群结构的规范理论模型可能是有利的。这对于模拟各种晶格规范理论尤为重要，因为群结构出现在QCD的不同极限中[86]。因此，QCD的相结构以及具有不同近似程度的QCD变体，很可能可以通过基于数字qutrit的量子处理器更有效地进行研究[23,31,32]。2. 器件结果我们现在展示基于门的单点和两点晶格阿贝尔-希格斯模型模拟的硬件结果。在单点实验中，快速高保真度单qutrit门使我们能够观察到比两点实验更长时间的动力学。图5展示了误差缓解后的硬件结果，包括场值、局部场能期望值，这些值由测量的transmon本征态布居数计算得出，并与精确对角化及随机编译的硬件结果进行了比较。我们发现，随着我们应用qudit随机编译[63,87–89]来缓解相干误差，并根据循环基准测试[90,91]测得的噪声重新标定期望值，电路操作的保真度得到了提高。

图5. 精确对角化（Exact）、随机编译设备数据（Device RC）和误差缓解设备结果（Purified）在(a)、(b)单qutrit实验及(c)、(d)双qutrit实验中场算符和的比较。关于不同类型误差缓解方案影响的讨论，参见附录H。动力学从初始状态开始。我们使用了30个不同的Trotter化电路twirled版本，每个twirled电路使用次采样。Twirling是指在每个纠缠操作周期之前和之后，对每个qutrit施加局部随机单qutrit Pauli操作。随机操作从广义Pauli集合中选择，这些集合构成单qutrit的正交基。我们还采用循环基准测试来学习电路中与原生门相关的不同Pauli和SPAM通道的误差率，从而通过后处理估计值并乘以数值校正因子来校正观测量。此外，通过混淆矩阵求逆进行读出误差缓解。Twirling的目的是将相干噪声转换为随机噪声通道，从而改善误差累积的标度，从电路深度的二次方降低为线性阶。这也使后续的缓解步骤更加有效，因为状态纯化被用于缓解从循环基准测试实验中学到的器件噪声的非相干部分。关于缓解方案有效性的定量分析，请参阅附录H中的讨论。

V. 讨论与展望

这里提出的模拟阿贝尔Higgs模型的模数混合和全数字方法各有其潜在优势和剩余挑战。在数字qudit处理器上执行模拟的主要优势在于其通用性，允许在模型参数变化方面有极大的自由度，并且能够探索相关模型，只要能找到电路分解即可。同时，处理器的原生门集可能并不总是允许目标操作的高效分解，正如我们在此处看到的，需要对的Trotter化近似以及每个Trotter步骤需要三次受控和操作。相比之下，模拟和模数混合方法虽然在它们能模拟的模型种类上更具限制性，但证明了可以更直接地实现这里考虑的目标哈密顿量，该哈密顿量足够接近器件哈密顿量。在本节的剩余部分，我们指出两种协议的一些值得注意的方面，并讨论未来工作的潜在方向。

这些协议的一个区别在于误差缓解方法的即时可用性。我们已经证明，在数字实验中应用Weyl twirling和纯化显著提高了数据与精确对角化结果之间的一致性。然而，在模数混合实验中，依赖Clifford门性质的相同技术目前尚不可用。虽然有一些新兴的方法用于基准测试[93–95]和缓解模拟中的误差[96–98]，但它们通常针对特定模型或方法，尚不适用于此处执行的模拟。

当考虑将模拟扩展到更长的transmon链时，用于扩展基于量子比特计算的技术可以轻松应用于数字和模拟qutrit模拟器。图6展示了将数字模拟扩展到大规模链的数值模拟，表明未来在近期qutrit处理器上使用该协议的实验可以用于研究晶格上电荷的动力学，并研究诸如弦断裂和禁闭等现象。扩展到更高空间维度将引入额外的工程挑战和门开销，因为存在涉及四体相互作用的磁场项。

图6. 使用无噪声模拟器[92]演示数字模拟协议的可扩展性。这里我们展示了对于具有的15个格点晶格模型的Trotter化酉算子（式(20)）的Cirq模拟结果。制备了两个畴壁的初始状态，局部电荷的时间依赖计算为相邻qutrit之间的差值：。对于开放边界条件，计算时额外边缘格点假设固定为。

另一方面，扩展模数混合协议可能需要定制设计的器件，因为要求所有耦合的transmon对具有相同的有效相互作用率。我们在图7中通过数值模拟证明，实现()维AHM可以在一个理想化的三transmon链上进行，每个耦合对配备一个Stark驱动，要求三个transmon的非谐性大致相同，并且对之间的失谐也大致相等。虽然这证明了可以通过适当设计的器件来扩展该协议，但对于固定频率transmon的长链，考虑制造缺陷时，频率间距要求可能过于严格。为解决这一问题，一种可能的途径是使用额外的Stark驱动来进一步修改相互作用，我们将其留待未来工作。

图7. 通过数值模拟展示模数混合协议的可扩展性。(a)三个模拟transmon的跃迁频率，以及用于设计所需相互作用的Stark驱动频率。注意这里的transmon-transmon失谐比实验中的要大。电容耦合设置为。(b)transmon链的相互作用率。在Bare情况下（空白阴影），系数通过三transmon哈密顿量的数值对角化计算得出，其中上标表示算符的幂次。在驱动情况下（栗色），通过对施加Stark驱动时数值积分薛定谔方程后累积的相位进行拟合来计算。在共轭下具有奇宇称的项以灰色显示，表明它们将被动力学去耦协议抵消，仅留下和。(c)三个无噪声transmon上AHM模数混合模拟的数值模拟演化，模型参数为和标度频率，与AHM下精确演化的比较。局部电荷计算为相邻qutrit之间的差值，如图6所示。初始transmon状态为。

虽然模数混合方法确实对器件工程施加了显著约束，但这种Stark修正相互作用项、失谐驱动和动力学去耦序列的同时组合可以看作是qudit基模拟工具箱中的新工具，可能使得构建更多样化qudit哈密顿量的混合模数数字模拟成为可能。特别是，结合用于鲁棒工程设计qubit[58]和qudit哈密顿量[54,59]的线性规划方法，我们可以扩展到具有非对角相互作用项的模型模拟，并且可能能够通过提议的模数数字方法设计更高空间维度AHM所需的磁场项，以模拟多体相互作用[99]。扩展到更多空间维度将是朝着产生最终能在快速增长纠缠熵区域中超越经典MPS基张量网络方法的模拟迈出的宝贵一步[100–102]。

最后，与其在空间上扩展模拟，不如考虑增加每个格点的状态数。类似于本研究中使用的transmon已经演示了更高阶的量子操作[103,104]，这为使用更高阶截断的场算符通过数字和模数数字两种方法执行AHM模拟提供了可能性。我们预计这将进一步增加执行qudit基模拟相对于qubit基模拟的收益。在基本层面上，如果使用qudits而不是qubits来执行-阶截断，所需的transmon数量将减少因子，并且伴随的纠缠门减少将提供进一步优势[105]。

VI. 结论

总之，我们已经在transmon器件上实现了基于qutrit的阿贝尔Higgs模型的数字和模数混合量子模拟，并证明了它们为模拟晶格规范理论和自旋-1量子系统提供了可扩展的轨迹。我们的结果表明，两种协议都能在当前transmon处理器相干极限内提取与禁闭相关的物理观测量。与理论上最佳情况的qubit基实现相比，两种方法都显著减少了所需的transmon数量和纠缠操作，并且通过证明其在控制更多能级和更复杂相互作用哈密顿量的额外挑战下仍具有可行性，本研究支持使用qudits进行自然为-能级系统的量子模拟的想法。

虽然本研究的性质不允许对两种方法进行定量比较，但本工作中开发的工具可用于未来对两种协议在不同格点场论模型中的定量资源分析。基于我们的数值模拟，模数混合和数字协议似乎都是可扩展的。扩展数字qutrit模拟的挑战与扩展数字qubit处理器所涉及的挑战类似，许多相同的技术可以应用[67]。我们发现扩展模数混合协议实际上引入了更多约束，但有潜力减少模拟所需的总脉冲数。一个令人兴奋的下一步将是研究更多空间维度中的弦断裂和禁闭现象，以及用更高维qudits逼近基础理论的更高阶近似。