稳态微聚束激光调制器中，由相干辐射驱动的纵向光束不稳定性

《Physical Review Accelerators and Beams》：Longitudinal beam instability driven by coherent radiation in a steady-state microbunching laser modulator

　　基于存储环的稳态微束聚集（SSMB）是一种生成高平均功率相干辐射的有前景的方法，而激光调制器（LM）中的相干波浪器辐射所导致的不稳定性对环的性能至关重要。在本文中，我们使用腔模式分解技术研究了纵向单束多圈LM不稳定性。推导了纵向光束动力学方程中尾场的演变，并分析了不稳定性的增长率。数值模拟与理论模型非常吻合，验证了模式分解方法的正确性。这些发现为SSMB存储环的设计和操作提供了重要的见解，提出了有效的缓解策略以抑制不稳定性并提高整体性能。

I. 引言

基于先进加速器的光源通过提供宽光谱范围内的高强度相干辐射，彻底改变了科学和技术的各个领域。目前，这些光源主要分为两种类型：自由电子激光器（FELs）和同步辐射源。FELs利用高能电子束通过波浪器产生高峰值功率的相干辐射，而同步辐射源则依靠存储环中电子束的弯曲来产生高重复率的X射线。这些设施的持续发展是由于对更高亮度、更短脉冲和更好相干性的持续需求所驱动的。2010年，Ratner和Chao提出了稳态微束聚集（SSMB）的概念，旨在结合FELs和同步辐射的优势[1]。在SSMB存储环中，传统的射频（rf）腔被激光调制器（LM）系统所取代，使得在光学波长上进行微束聚集成为可能。由此产生的亚微米电子束利用存储环的高重复率，在短波长下产生强烈的、高平均功率的辐射。由于这一潜力，SSMB在过去十年中取得了显著的进展[2–14]。

SSMB存储环中的LM系统通常包括一个波浪器和一个激光腔，如图1所示。当电子束穿过具有周期性磁场的波浪器时，它会振荡并发射辐射，这些辐射会在腔内反射和演变。电子束与反射辐射场之间的相互作用可能触发纵向光束不稳定性，从而可能降低光束质量和存储环的整体性能。

图1. SSMB存储环中的激光调制器示意图。箭头指示电子束的方向和光脉冲的循环方向。随着发射的辐射在光学腔内反射和演变，横向模式积累了Gouy相位移动（详细内容见第II-B节和第III-B节），这在多圈干扰和产生的纵向光束不稳定性中起着关键作用。

2021年，Tsai等人对SSMB激光调制器中可能由相干辐射驱动的集体光束不稳定性进行了开创性和深入的研究[15–19]，他们采用了波浪器辐射尾场函数和宏观粒子模型。为了考虑辐射在光学腔内的循环性质，假设辐射剖面在腔内往返传播时保持不变，从而能够描述多圈光束动力学。我们认为，当考虑腔的光学特性（如衍射和镜子诱导的聚焦）时，这一假设可能并不完全成立，因为这表明场剖面的演变是复杂的，需要详细处理。为了准确捕捉这些现象，我们采用了模式分解方法。通过将辐射展开为一整套腔本征模式，我们能够将辐射的全局演变表示为各个模式分量的总和。在之前的几项研究中已经尝试将模式分解应用于辐射[20–26]。这种方法通过结合调制的详细光学演变，补充了现有模型，提供了关于SSMB存储环不稳定特性的进一步见解。

为了提供本研究的清晰路线图，我们引入了一种新的多模式分解框架，它超越了之前的刚性尾场模型，明确跟踪了Hermite-Gaussian腔模式的衍射和Gouy相位移动。在腔场的抛物线近似假设下，并使用单宏观粒子模型描述光束动力学，我们计算了模式分解的波浪器辐射谱，评估了纵向尾场的逐圈演变，并分析了纵向不稳定性的增长率。这些理论推导，特别是增长率的复杂共振结构，随后通过数值多圈跟踪模拟得到了严格验证。最终，这一分析为SSMB设施提供了具体的设计指导：它表明，通过仔细调整存储环的工作点和腔镜曲率可以缓解这些多模式不稳定性，并建议通过选择性衰减高阶模式（例如，通过使用D形限孔镜）来有效地抑制它们。

本文的其余部分组织如下：第II节详细介绍了腔模式及其激发的表达式。第III节分解了波浪器辐射谱并推导了多圈尾场的演变。第IV节制定了光束动力学并分析了不稳定性的增长率。第V节展示了我们的数值验证，第VI节总结了我们的结论。

II. 腔模式
A. Hermite-Gaussian模式
在光学腔中，沿着轴传播的激光场的包络满足抛物线波动方程[27]：
(1)
其中是横向拉普拉斯算子，是波数。使用和约定。在笛卡尔坐标系中，方程(1)的解是Hermite-Gaussian模式，也称为横向电磁（TEM）模式：
(2)
其中是幅度归一化常数；和分别是order和的Hermite多项式；是处的光束腰径。光束腰径、曲率半径和瑞利长度定义为：
(3)
(4)
(5)
抛物线近似的有效性要求发散角，即
(6)
这意味着包络沿方向的变化相对于波长来说是缓慢的。

强度剖面由高斯包络和平方Hermite多项式的乘积给出，如图2所示，其在和方向上分别有和峰值。

图2. 不同模式的Hermite-Gaussian模式的强度剖面。强度归一化为模式的总功率。

B. 相位轮廓和共振条件
对于由两个反射镜形成的激光腔中的模式限制，镜面轮廓需要与相应镜面上模式的波前相符。模式的相位为
(7)
位置处的曲率半径为
(8)
抛物线近似[方程(6)]意味着最后一项可以忽略不计，因此。通常，腔体是为基本模式在目标激光波长设计，具有特定的瑞利长度。腔体的几何边界条件决定了其他模式和波长的瑞利长度和光束腰径。在围绕的宽光谱范围内，瑞利长度可以近似为常数，这在抛物线近似下仍然非常准确。

在激光调制器中，激光束被聚焦以调制波浪器中的电子束。优化表明，有效调制电压在[28]处达到峰值：
(9)
并且对于超过这个最大值的值，对相对不敏感。因此，在实际设计中，瑞利长度通常选择为波浪器长度的数量级，这意味着对于激光调制器来说，抛物线近似是得到良好满足的。

此外，为了支持腔内的稳定模式，必须满足共振条件。这要求模式的往返相位移动是的整数倍，从而形成驻波模式。对于半径相同的双镜腔，共振频率由[29]给出：
(10)
其中是腔体长度。由于，模式的自由光谱范围
(11)
显著小于激光频率，这意味着纵向模式指数通常非常大。同时，横向模式指数相对较小，因为高阶模式具有较大的光束尺寸并且受到更高的衍射损失。尽管如此，Gouy相位引入的横向相位移动在腔内模式的演变中起着至关重要的作用，这使其与自由空间传播不同。这将在下一节中详细讨论。

C. 模式展开和激发
然而，TEM模式只有横向电场分量，这并不满足电场的无散度条件：
(12)
由于，可以从横向分量中推导出纵向电场分量：
(13)
然后可以从法拉第定律推导出磁场：
(14)
为了完整地表示Hermite多项式，我们可以用Hermite-Gaussian模式来表示任何抛物线场：
(15a)
(15b)
然后可以通过模式振幅的演变来描述场的演变。注意，场是时域中在频率的傅里叶变换；因此，具有时间的维度。

电流密度对腔模式的激发可以使用模式振幅方程[24]来描述：
(16)
其中是模式的功率归一化常数：
(17)
对于Hermite-Gaussian模式，可以证明：
(18)
其中是方程(2)中模式的幅度归一化常数。这个表达式有一个直观的物理解释：它是能量密度、激光束横截面积和光速的乘积。双阶因子来自于Hermite多项式的内积。

辐射的能量谱可以用模式振幅表示，根据Parseval定理：
(19)
总辐射能量谱通过对所有模式求和得到：
(20)
如果电流密度由在位置的速度为的电子系列给出：
(21)
将其代入方程(16)并对进行傅里叶变换得到：
(22a)
(22b)
其中是第电子在其轨迹上对模式场所做的功。

接下来，我们将使用这个方程来计算激光调制器中电子束激发的辐射模式。

III. 波浪器辐射的模式分解
相对论性电子在平面波浪器中的规定运动由[30]给出：
(23a)
(23b)
(23c)
(23d)
(23e)
(23f)
其中是无量纲波浪器参数，是波浪器波数，是平均纵向速度，
(24)

A. 波浪器辐射谱
移动电子的双重微分谱可以从Liénard-Wiechert势得到[31]：
(25)
将方程(23)中的电子运动代入上述方程，我们可以得到众所周知的波浪器辐射谱[30]：
(26)
辐射在基本共振波长的离散谐波处是相干的，
(27)
因子描述了谐波周围的频率依赖性，
(28)
其中是相对于第谐波的相对频率失谐，是波浪器周期数。而因子描述了辐射的角分布，-和-模式极化分别对应于-和-分量，
(29a)
(29b)
其中和是观测方向的极角和方位角，由贝塞尔函数系列给出，
(30a)
(30b)
其中定义为：
(31a)
(31b)
通过在整个立体角上积分双重微分谱，可以得到辐射的频率谱：
(32)
通过将因子分解为因子和，我们也可以分别得到每种偏振模式的辐射谱，和；波浪器的辐射谱显示在图3中，参数在表I中给出。总辐射谱通过对所有谐波求和得到：
(33)

图3. 波浪器辐射谱。蓝色、橙色、黄色和黑色线条分别对应于基本（）、第二（）、第三（）和总（对所有谐波求和）谐波，实线代表-模式，虚线代表-模式。

表I. SSMB示例的参数。参数 值 描述
250 MeV 光束能量 1064 nm 辐射波长 1064 nm 调制激光波长 1.76
波动器参数 能量啁啾强度 20 cm 波动器周期 10
波动器周期数 2 m 波动器长度 4 m
腔体长度 2.26 m 腔体镜曲率半径 0.999985
腔体镜反射率 0.72 m 瑞利长度 48 m 存储环周长 存储环色散

利用模式激发[方程（22）]和Parsval定理，我们可以根据腔体模式计算波动器的辐射。（34）其中，与的选择无关。积分区间限制在波动器长度内，因为电子在波动器外部不会发射显著的辐射。由于电子沿轴的运动缺失，只有具有-p极化的偶数模式（模式）和具有-p极化的奇数模式（模式）被激发，而且模式辐射比模式辐射弱得多。波动器辐射的Hermite–Gaussian模式分量如图4所示，参数见表I。可以看到，模式谱的峰值围绕基本共振频率的谐波，偶数模式在奇数谐波处形成峰值，奇数模式在偶数谐波处形成峰值。虽然基本模式是最强的，但高阶模式也对总辐射谱有显著贡献，特别是在高谐波处。当时，模式谱表现出非零的贡献。这种低频伪像是由于准轴近似在时本质上失效。然而，这种伪像位于最低相关谐波之下，因此在后续的尾场和阻抗计算中明确排除，确保它不影响增长率结果。

图4. 波动器辐射的Hermite–Gaussian模式分量。不同的线色代表不同的，不同的线型代表不同的。

总辐射谱是通过叠加所有模式得到的（35）。在本文中，使用表I中的参数，计算的总模式多达和，频率网格间隔为，谐波截止为。如图5所示，通过Hermite–Gaussian模式分解得到的谱与Liénard–Wiechert势的结果非常吻合，从而验证了使用模式分解方法分析波动器辐射的可行性。

图5. 从Liénard–Wiechert势和Hermite–Gaussian模式分解得到的波动器辐射谱的比较。蓝线是从Liénard–Wiechert势得到的谱，橙线是从Hermite–Gaussian模式分解得到的谱。实线代表模式，虚线代表模式。

尽管模式分解的收敛速度通常不快，因此我们需要包括足够的高阶模式以获得准确的结果。确定要包含的模式数量的标准是通过叠加模式得到的波动器辐射的总能量应该收敛到理论值，该理论值是通过积分Liénard–Wiechert势的谱得到的（36）：（36）

通过在不同频率上积分谱得到每个模式的辐射能量（37），其中谐波截止在数值积分中选择以确保收敛。如图6(a)所示，模式能量的分布与的奇偶性有关，这是因为波动器运动的特点和模式强度分布。将所有模式的能量相加，得到波动器辐射的总能量；模式能量的收敛性如图6(b)所示，当和时，总模式能量收敛到理论值（36）。

图6. 波动器辐射谱的模式能量收敛性。(a) 每个模式的能量分布与模式阶数。(b) 蓝线是累积叠加和的能量；橙线是累积叠加和的能量。虚线是方程（36）中波动器辐射的总理论能量。

B. 尾场及其在腔体内的演变

束流与其环境之间的电磁相互作用通过在频域中的辐射阻抗和在空间域中的尾场来描述。阻抗的实部代表了电阻能量耗散，与单个电子的辐射谱成正比，由以下关系给出（30,32）：（38）我们也可以相应地定义每个谐波和每个模式的阻抗。虽然阻抗提供了相互作用强度的频域表示，但纵向尾场函数描述了由于纵向速度而在距离处跟随前导粒子的归一化积分辐射相互作用。自由空间中的纵向尾函数可以通过阻抗的实部通过逆余弦变换重构（30,32）：（39a）（39b）这里还定义了逆正弦变换，以供后续使用。

图7使用表I中列出的参数计算了尾场。虽然各个谐波的尾场表现出阻尼的正弦波形，但它们的叠加结果是一个高度局部的、短范围的总体尾场，从其峰值迅速衰减。

图7. 第一、第二和第三谐波的波动器辐射的纵向尾场以及它们的总和。蓝色、橙色和黄色线条分别代表基本（）、第二（）和第三（）谐波。粗黑线表示总尾场。

然而，由于腔体共振条件（10），模式的频率谱是离散的；因此，尾函数中的傅里叶变换积分应该被傅里叶级数替换：（40）其中是模式的阻抗，是模式的波数，是Gouy相位引入的横向相移，是模式的自由光谱范围。通常，辐射的波长（）远小于腔体长度（），因此模式在频域中非常密集。在这种条件下，腔体内的尾场有两个不同的区域：短范围区域，其中；以及长范围区域，其中趋近于腔体尺度（）。

在短范围区域，欧拉-麦克劳林公式确保离散的傅里叶级数（）渐近地接近连续的傅里叶变换（39a）；渐近行为可以表示为：（41）

从物理上讲，这意味着短范围尾场主要由局部辐射特性主导，腔体边界的影响可以忽略不计。在长范围区域，相反，当趋近于腔体尺度时，谱的离散性变得明显，导致与短范围区域有显著偏差。为了阐明这一点，我们可以通过明确分离Gouy相位项和傅里叶级数项来重写尾函数的表达式（40）：（42），这表明腔体内的尾场表现出由傅里叶级数项（）驱动的准周期结构，而Gouy相位引入了一个累积的相位滑动，从而调制了横向模式之间的干涉，因此尾场通常没有严格的周期性（）。

图8. 不同模式在几圈往返中的尾场演变。将所有模式加在一起得到总尾场演变，如图9所示。我们在这里评论，将尾场分解为不同的模式，并分析它们在几圈往返中的演变，这是我们工作与以往研究的关键区别。

图8. （a）模式、（b）模式、（c）模式和（d）模式在循环中的尾场演变。蓝色、橙色和黄色实线分别代表在腔体内零次（）、一次（）和两次（）往返反射后的尾场。作为参考，阻抗的逆余弦变换（对应于初始尾场）和逆正弦变换以蓝色实线和虚线显示。这里，相位移动为，腔体参数见表I。

图9. 纵向尾场的演变。蓝色、橙色、黄色和紫色实线分别代表在腔体内零次（）、一次（）、两次（）和三次（）往返反射后的尾场。这里相位移动设置为0.01以显示较小的演变。

此外，与短范围尾场不同，短范围尾场受到因果关系原则的严格限制，长范围尾场在次往返后表现出非零分布。这种现象并不违反基本因果关系；相反，它源于腔体的聚焦和衍射效应。当辐射被镜子反射时，离轴场分量与轴上场分量的几何光程不同，导致尾场的非零分布。

有人可能会问，如果在腔体长度的奇数倍处观察尾场，即，其中是整数，局部坐标为，会发生什么。在这种情况下，我们也可以使用短范围区域中的渐近行为（41）来得到：（45）

由于腔体模式在频域中非常密集，欧拉-麦克劳林公式确保奇数项和偶数项将强烈抵消，导致与相比结果可以忽略不计，这意味着假设它不影响电子束的预定运动时，反向尾场不影响束流动力学。

回到长范围区域内尾场周期性的讨论。方程（44）的周期性由的决定。由于，我们只能关注基本。如果是一个有理数，尾场将是严格周期性的，并在给定次数的往返后重复自身；如果是一个无理数，尾场将是准周期性的，表现出复杂的干涉模式，尽管永远不会完全重复，但在长距离上可能显示出近似重现，这取决于能被有理数多好近似。可以通过给定的容忍度截断的连分数展开来估计近似周期。较低的容忍度将给出更大的周期。图10显示了不同腔体镜曲率下的尾场周期性。

图10. 不同腔体镜曲率下的尾场周期性。周期是带有容忍度截断的连分数展开的分母。

在某些特殊情况下，是有理数：（i）平行平面腔体，那么和尾场是严格周期性的，周期为；（ii）同心腔体，那么和尾场是严格周期性的，周期为；（iii）共焦腔体，那么和尾场是严格周期性的，周期为。一般情况下，具有稳定的腔体的通常是无理数，因此尾场是准周期性的。希望尾场的周期性较长，不会太频繁地重复；那么需要接近具有大分母的有理数。在我们的参数情况下，非常接近；因此，尾场将是大约周期为378次往返的。

在结束这一小节之前，我们还可以进一步考虑由于腔体的有限精细度导致的尾场衰减。由于高阶模式比基本模式衰减得更快，更精确的方法是分别考虑每个模式的衰减。我们引入了作为每往返次循环中对数分数功率损耗系数的参数；为简单起见，这里我们仅考虑该参数与频率无关的情况；然后可以更新尾场演化如下：（46）总腔体损耗因子包括腔体镜面的反射率以及模式在腔体内的衍射损耗。（47）其中衍射损耗可以通过积分镜孔外的模式场来计算[33,34]。IV. 纵向束流动力学在获得了尾场及其在腔体内的演化之后，我们现在可以推导由电子组成的微束的纵向束流动力学方程。第i次循环中第j个电子的纵向坐标表示为x_j，其中x_j是相对于参考粒子的纵向位置，δ_j是相对能量偏差。A. 纵向动力学方程在一阶近似下，能量偏差与纵向位置之间的这种线性耦合由纵向色散强度（也称为圆形机器中的动量压缩因子）来表征。第i次迭代或部分之后的纵向位置映射可以表示为：（48）然后我们通过考虑辐射电场对电子所做的功来驱动第i次循环之后的能量偏差。辐射场的能量由下式给出：（49）能量守恒给出了电子能量变化与电场所做的功之间的关系：（50）微束通过第i次循环中的波荡器后，模式幅度从A更新为B，所有电子的能量偏差变化为：（51）其中E_b是束流的参考能量。模式激发由[方程（22）]给出：（52）电子的位置和速度可以近似为束流的参考轨迹：（53a）（53b）由于电子紧密聚集且能量偏差很小，它们紧密跟随参考轨迹，采用慢变化包络近似；我们有：（54）然后模式激发方程变为：（55）其中E_m是位置x_j处单个参考电子的模式激发，β是波数k处的聚集因子。方程（55）意味着单个电子的模式激发是一个复数，其幅度E_m是常数，相位因子φ取决于电子的纵向位置，而微束的总模式激发由所有电子的激发之和给出，这与聚集因子β成正比。图11展示了激光调制器中微束激发模式的示意图。图11. 由电子组成的微束在激光调制器中激发模式。每个电子根据其纵向位置x_j以相位因子φ激发模式，总模式激发由所有电子的激发之和给出。值得注意的是，激光调制没有包含在模式激发[方程（55）]中，因为激光场通常比波荡器辐射场强得多。激光调制的效果分别作为外部调制项包含在束流动力学方程中，可以加到能量偏差更新[方程（51）]中：（56）其中V_l和k分别是激光在调制器中的有效电压和波数，δ是由于与波荡器辐射场的相互作用而在方程（51）中产生的能量偏差变化。此外，当束流逐圈旋转时，由于相位变化和腔体损耗，腔体模式也会演化。经过一个周期T的圆周后，模式的相位变化为Δφ，腔体内的往返次数为N，每次往返的衰减因子为α；因此，模式幅度更新为：（57）结合模式激发[方程（55）]，得到了腔体内模式幅度的迭代关系。我们可以进一步分析腔体内模式幅度的演化；模式能量由于与束流的相互作用而在第i次通过时发生的变化为：（58）第一项表示束流本身发出的自发辐射，第二项表示由于腔体内现有场而产生的受激辐射。对于简化的一阶处理，我们仅考虑单个相对论性宏粒子作为整个束流的代表，这意味着对于所有电子，x_j和δ_j是相同的。虽然宏粒子模型忽略了有限束流长度的影响，并可能高估了不稳定性阈值，但它为理解系统的基本动力学提供了一个有价值的一阶近似。然后模式幅度的迭代关系由下式给出：（59）在初始阶段，我们假设所有模式都不被激发，即δ_j=0。然后可以推导出第i次通过后模式幅度的一般项公式：（60）然后可以推导出第i次通过后的模式能量变化：（61）将方程（51）中的积分考虑在内，第i次通过后电子的能量偏差变化可以写成尾函数：（62）第一项表示由于束流本身发出的自发辐射而导致的能量损失；第二项表示由于前几次循环中的受激辐射而导致的能量调制。为了确保相位锁定条件，电子束在存储环中的旋转时间被设计为激光在腔体内往返时间的整数倍，这正是我们在前面章节讨论的情况。因此，在后续循环中，模式场在束流位置得到再现。为了清晰起见，我们正式定义了缩放相位φ_s和缩放衰减α的简写符号；然后第i次循环中的尾函数及其导数可以写为：（63a）（63b）B. 不稳定性的增长率我们可以通过考虑围绕平衡点的线性化束流动力学来进一步分析不稳定性的增长率，该平衡点由方程（48）和（56）定义的映射的不动点给出。在SSMB的情况下，激光调制可以线性化为Δφ_s。此外，我们可以将尾函数在φ_s附近泰勒展开为：（64）第一项是静态寄生损耗项，第二项表征驱动源并参与集体动力学，第三项指的是势阱畸变效应[32,35]。然后我们结合方程（48）和（56）得到束流纵向位置的二阶差分方程：（65）其中Δφ_l是激光调制的能量啁啾强度。线性化的前两项将被忽略，因为它们不依赖于电子的当前位置，因此不会导致不稳定性的增长。然后我们可以假设一个形式为α_e的解式，其中α_e是不稳定性的复频率，并将其代入差分方程以得到β的色散关系：（66）这里我们取φ→0的极限以获得不稳定性的渐近增长率，当尾场随时间衰减时求和趋于无穷大。在没有尾场的情况下，即α_l=0时，色散关系简化为β_s，这是激光调制存在下束流的同步振荡频率。由于尾场而产生的频率移动可以通过将尾场项视为扰动来计算，即β_l→0时，得到：（67）不稳定性的增长率由β的虚部给出，可以计算为：（68）其中T是束流在存储环中的往返时间。通过与方程（63b）的代换，可以进一步简化与尾场导数相关的级数，得到：（69）当α_l→0时，单个模式括号中的项在共振位置x_r处达到最大的正值α_m，并在x_r'处达到最小的值α_m'，其峰宽为Δφ，如图12所示。所有模式的叠加给出了总增长率，其作为调谐T的函数显示出具有多个峰和谷的复共振结构。图12. 单模式增长率贡献的共振结构作为调谐T的函数。增长率在T为整数时在点(x_0, y_0)处显示出峰值，接近共振时幅度按比例缩放。图13显示了增长率[方程（68）]对基本相位移动T和调谐T的依赖性，对于低腔体损耗和高腔体损耗情况都是如此。图13中的白色区域表示由方程（68）计算出的渐近增长率为负的参数空间，表示长期稳定性。以下特征表征了系统的稳定性：（i）较小的Δφ导致更尖锐的共振和更高的峰值增长率，因为尾场可以在更多循环中持续存在，但它也将最不稳定的区域限制在更窄的带内。（ii）映射显示出沿着关系Δφ_s=λT的分明的不稳定性线，对应于达到最小值的参数集。这些特征表明每个横模式作为一个独立的共振驱动器，但其受到其独特的Gouy相位移动的调制。（iii）因此，总增长率不是一个简单的叠加，而是一个复杂的共振模式。这种复杂性来源于数百个腔体模式的相干干涉，导致分布对腔体几何形状或存储环工作点的微小扰动非常敏感。图13. 不稳定性的增长率对于（a）低腔体损耗和（b）高腔体损耗的所有模式。网格分辨率分别为Δφ_s和T。没有应用人工平滑处理。白色区域代表具有负增长率的稳定区域，而彩色区域代表具有正增长率的不稳定区域，颜色强度代表增长率的大小。两者（a）、（b）共享相同的颜色条。图（a）子图中的红点表示从表I中的参数导出的标称操作点。这里研究的纵向不稳定性的物理机制与传统射频腔中观察到的经典Robinson不稳定性类似。在这两种情况下，不稳定性都是由于电子束与高Q值谐振器内捕获的长程电磁场之间的累积相互作用而产生的。然而，SSMB激光调制器的几个不同特征将其区分开来：首先，虽然Robinson不稳定性通常由射频腔的单一主导纵向模式驱动，但SSMB激光调制器的不稳定性是多模式集体效应。它涉及一组完整的横向Hermite-Gaussian本征模式的相干叠加。其次，这些模式的相位演化不仅受频率失谐的影响，还受到Gouy相位移动的显著调制。这导致了一个更复杂的共振结构，其中每个横向模式都对总尾场贡献了自己的相位滑移。因此，束流的稳定性由束流位置处累积的多模式尾场的导数控制，从而在我们的增长率图中观察到复杂的共振模式。此时，将我们的模式分解框架与早期的开创性研究[15–19]进行比较是有启发性的，在那些研究中，假设辐射的空间轮廓在多次往返过程中保持严格不变。在我们的理论框架内，这个假设等同于平面镜的情况（Δφ_s=0），此时Gouy相位移动消失。腔体模式分解方法的核心优势在于它能够捕捉由曲面镜引入的现实光学动力学。因此，明确跟踪这种光学相位演化对于准确评估真实SSMB存储环中的集体束流稳定性至关重要。最后，应该强调的是，高阶腔模式的收敛相对较慢，基本模式仅占总贡献的一小部分。因此，高阶模式对不稳定性有显著影响。在SSMB激光腔的实际设计中，通常采用各种技术，如D形镜的实现，来加速这些高阶模式的衰减[10]。这些措施是抑制由高阶横向模式引起的不稳定性的有效手段。关于这一点的更多细节预计将在我们后续的工作中讨论。V. 数值结果作为一个例子，我们模拟了表I [28]中列出的参数下SSMB储存环中的纵向束动力学。这里为了简化问题，我们考虑所有模式都具有恒定的腔体损耗，对应于图13(a)。在束动力学模拟之前，先进行了尾波场及其在腔体内演化的计算，结果被存储在一个查找表中，以便在束动力学模拟过程中进行高效插值。图14显示了宏观粒子在储存环中多圈内的纵向相空间坐标随电子数的演变。宏观粒子的初始条件设定为[此处应插入具体数值]。图14. 电子束在储存环中多圈内的纵向相空间坐标演变。(a) 纵向坐标与圈数；(b) 横向坐标与圈数。起初，宏观粒子以[此处应插入频率]的频率进行同步辐射振荡，主要受到振幅为[此处应插入振幅]的激光调制。随着辐射场在多个圈内积累，电子束的能量调制由于与相干摆动器辐射场的相互作用而增长，这导致纵向相空间中能量中心振荡幅度的增加。在这个阶段，振荡幅度随着圈数的增加而呈现出明显的指数增长趋势。最终，如果能量扩散超过桶高的一半[此处应插入具体数值]，能量调制可能会变得足够大，从而导致束分布的显著畸变甚至束损失。在电子数较少的情况下，尾波场远小于激光[此处应插入相对大小]。宏观粒子的纵向坐标可以用圈数的正弦函数很好地拟合：\[公式(70)\]，其中[此处应插入具体表达式]是不稳定性的增长率。图15显示了前500圈不同电子数下拟合的增长率，我们发现从模拟结果得出的增长率与方程(68)计算出的理论增长率之间有很好的一致性。图15. 增长率作为电子数的函数。蓝线表示根据方程(68)计算出的理论增长率，橙色点表示从模拟结果拟合出的增长率，误差条表示95%的置信区间。随着电子数的增加，不稳定性的增长率最终会变得足够大，导致在几千圈内发生束损失；因此，在SSMB储存环的设计中考虑这种不稳定性的影响是至关重要的。尽管如此，通过优化腔体几何形状来增加高阶模式的衰减，或者调整储存环的工作点以避开图13中显示的增长率图中的共振峰，可以有效地降低增长率。VI. 总结与展望在本文中，我们建立了一个全面的理论和数值框架，用于研究SSMB储存环激光调制器内由相干摆动器辐射驱动的纵向束不稳定性。虽然以前的研究依赖于刚性的尾波场模型，但我们的方法采用了严格的腔模式分解技术。通过将辐射场展开为一组完整的Hermite-Gaussian模式，我们成功地捕捉了尾波场在光学腔内传播时的演变。我们工作的核心是基于第一性原理推导模式激发方程，将电子束视为电流源。这使我们能够计算摆动器辐射谱的特定模式分解，并追踪其逐圈演变。我们的分析揭示了几个关键见解：不稳定性机制：我们证明了电子束与累积辐射场之间的相互作用导致累积能量调制。这个过程类似于Robinson不稳定性，但其独特之处在于激光腔的离散共振条件和各种腔模式的横向相位移动（Gouy相位）。通过分析推导和数值模拟，我们表征了不稳定性的增长率。高阶模式的作用：本研究的一个重要发现是高阶横向模式的贡献不可忽视。与自由空间传播不同，腔环境会捕捉这些模式，它们较慢的收敛速度要求在准确预测不稳定阈值时必须包括这些模式。我们的结果表明，增长率的共振结构对这些高阶模式的相位移动非常敏感。参数敏感性：模拟结果表明，发生束损失的圈数与束电荷成反比，并随着摆动器周期数的增加而增加。此外，腔体损耗系数起着双重作用：较小的损耗允许更高的平均功率，但它们也通过允许尾波场在更多圈内持续存在而扩大了不稳定区域。从设计角度来看，我们的工作为优化SSMB储存环的性能提供了一个定量工具。为了减轻这些不稳定性的不利影响，我们提出了以下策略：模式控制：可以采用特殊的腔体几何形状，如使用D形镜或孔径限制元件，来选择性地增加高阶模式的衰减，而不会显著降低基模。操作调节：通过仔细选择腔镜曲率和储存环的调谐，操作员可以将系统引导远离我们在增长率图中识别的尖锐共振峰，从而延长束寿命。本研究开发的框架将为未来的几个有希望的研究方向奠定基础。首先，当前模型假设了简化的腔体几何形状；将模式分解方法扩展到包括复杂的非对称四镜腔配置将提高其在先进光源设计中的适用性。其次，虽然本文关注纵向动力学，但结合横向-纵向耦合的统一6D相空间分析对于捕捉束-辐射相互作用的完整图景是必不可少的。最后，从单束到多束多圈场景的转变是重要的下一步。在高重复率的SSMB环中，前一个束的长距离尾波场将不可避免地影响后续束，可能导致耦合束不稳定性。扩展我们的模式演化方程以考虑这些集体效应对于实现下一代高平均功率相干光源将是至关重要的。