多千安培束团在等时偏转结构中多方面CSR效应下的发射度保持

《Physical Review Accelerators and Beams》：Emittance preservation under multifaceted CSR effects in isochronous deflection structures for multikiloampere bunches

　　在现代加速器设施中，相干同步辐射（CSR）对维持偏转过程中高亮度电子束质量构成了根本性限制，而对其效应的精确建模仍是一项突出挑战。本研究提出了一种采用积分方法的新型优化方案，用于在两种代表性束团场景下抑制CSR诱导的横向发射度退化：超短束团和高电荷长束团。我们给出了在几种四弯消色散（QBA）布局的偶极子中抑制CSR效应的解析解，并建立了在等时束线后续漂移段中缓解CSR诱导发射度增长的一般条件。我们的分析表明，QBA是能够同时抑制横向发射度退化并保持纵向束流分布的最小配置。束流跟踪结果表明，在16°偏转下，数千安培级束团的发射度增长可忽略不计。此外，多单元模拟证实了该方法的精确可扩展性。尽管以往的设计在级联时会遭受严重的发射度退化，但QBA却能保持极佳的束流质量。

I. 引言

粒子加速器是前沿科学研究不可或缺的基础设施，可产生高能粒子束和强辐射脉冲，包括X射线[1,2]和太赫兹波[3]，用于在飞秒至阿秒时间尺度上探测物质。粒子加速器的应用范围从医学成像和癌症治疗延伸到先进材料工程和半导体光刻，使加速器成为推动创新、经济增长和社会福祉的基石技术[4,5]。

高亮度电子束以高电流和低发射度为特征，在现代粒子加速器应用中发挥着日益关键的作用，特别是在直线对撞机[6,7]、等离子体尾场加速器[8,9]，以及X射线自由电子激光（XFEL）[1,10]和回旋加速器[11–14]中。在许多此类系统中，偏转高亮度束流是适应物理布局约束或实现相空间操纵所必需的，例如XFEL的多束线运行和能量回收直线加速器的回程弧[15,16]。然而，当此类束流——尤其是具有超短束团长度或超高电荷量的束流——沿弯曲轨迹行进时，弯转段及后续漂移段中的相干同步辐射效应会诱发显著的能量扩散和发射度增长，严重降低束流质量。

多弯束线中CSR效应的抑制（无论是否伴随束团压缩）已被广泛研究。在压缩器中，目标是同时实现束团压缩和CSR抑制[17–23]。相反，在非压缩偏转线中，需要在缓解CSR的同时保持纵向分布。对于其他方面相当的束团电荷、最终束团长度和总偏转角，等时弧中的累积CSR效应可能更为显著，因为束团在整个弧中保持较短长度，而在束团压缩器中，最小束团长度通常仅在压缩器出口附近达到[21,24]。等时束线的一种常规策略是在双弯消色散结构中纳入微弯磁铁以维持等时性[25–29]，同时配合π相位提前实现CSR自消除[25]。另一种常用的解决方案是三弯消色散（TBA）结构[24,30–32]。一种已提出的TBA结构提供了对稳态CSR（ss-CSR）诱导的水平位移的理论补偿[33]。然而，由于显著的散焦效应，其在大弯转角下的实用性受到限制[24]。其他限制将在正文中讨论。

CSR对电子束团的影响通常采用一维投影模型进行研究。基于该模型，已发展出R矩阵方法和通过Twiss参数优化进行束流包络匹配的方法来缓解CSR效应[34,35]。R矩阵方法被改进为冲击点方法，用于分析单个偶极磁体中的水平位移[26]。积分方法提供了另一种预测CSR诱导发射度增长的途径，在刚性束团近似下，其优化与具体束团参数无关[33,36]。

本文组织结构如下。第II节将文献[33]的积分方法扩展，推导出抑制CSR效应的条件。第II.A节处理偶极子中的CSR，并推导出ss-CSR和瞬态CSR（tr-CSR）情形的相应条件。第II.B节在小δ近似下建立了后续漂移段中CSR的近似模型，并基于该模型建立了抑制相关CSR效应的一般条件。第III节将这些条件应用于对称等时四弯消色散结构，并推导出一种类弧形的四弯消色散（QBA）解，该解满足相关的弯转CSR条件以及后续漂移段的条件。第IV节通过单单元和多单元跟踪（包括完整CSR尾场和高阶光学修正）验证了解析结果。第V节总结结论。附录A讨论等时TBA单元的局限性，附录B给出其他QBA布局的解，附录C收集了仿真中使用的CSR诱导发射度增长的解析表达式。

II. CSR效应的缓解

基于一维投影模型[37,38]，CSR效应仅取决于自然坐标s和电子的纵向位置z。在线性单粒子动力学范围内，电子在观测点s处的横向相空间坐标可分解为三个贡献：标称betatron运动、与其能量偏差相关的色散贡献，以及沿束线累积的CSR诱导能量变化产生的偏移。在束线上任意位置s处，CSR尾场对单个粒子诱发局部能量变化δ(s)。在色散段中，该局部能量变化通过下游传输矩阵耦合，在最终位置sf处产生无穷小横向偏移。在下文中，这些CSR诱导的横向偏移被称为CSR冲击，由下式给出：

(1)

其中R?16(s, sf)和R?26(s, sf)是从当前位置s到出口sf的传输矩阵的色散元。假设偏转仅发生在水平面内，则sf处的总CSR诱导横向偏移可通过沿整个束线积分这些无穷小冲击得到。设R?表示从sf到s的反向束线传输矩阵。辛条件则给出R?16(s, sf) = R?16(s, sf)和R?26(s, sf) = R?26(s, sf)。因此，基于积分方法，sf处的总CSR冲击xCSR(sf)和x′CSR(sf)可表示为：

(2)

下标0和f分别指束线的入口和出口。量R?ij(s)（i, j = 1, 2）是反向束线传输矩阵的元，下文简称为R?ij。δ(s)是CSR引起的能量扩散，σδ(s)是任意s处CSR诱导能量的方差。上述表达式是通过简单变换从文献[33]的式(3)和式(4)推导得到的，利用了传输矩阵的辛条件。该表述避免了计算从每个发射点到最终位置（R?ij）的传输矩阵的计算开销，使得总CSR冲击可以直接使用反向束线来评估。因此，式(2)中的积分从观测点sf反向进行到束线入口s0。

A. 弯转段中的CSR冲击

偶极子中的CSR可发生在两种情形：ss-CSR和tr-CSR。引入瞬态角θtr来区分这两种情形[39]，其中θtr = (Lb/ρ)^(1/3) / γ，Lb是束团长度，ρ是偶极子弯曲半径。以单个偶极子的弯转角θb表示，临界束团长度Lb,cr由θtr = θb条件定义。

对于θtr ? θb的区域，辐射滑移距离远小于束团长度。从单粒子动力学角度看，瞬时CSR尾场力w(ξ)由一维Liénard–Wiechert势支配，包括入口边界项（减去上游直线空间电荷场）和截断的辐射积分：

(3)

其中s是弯转段中的路径长度，s0是从入口边缘的滑移极限。在该早期瞬态阶段（s ? Lb），我们可以对延迟纵向密度λ(s - ct)应用一阶泰勒展开。在此展开下，边界贡献为w_boundary = -(2Nre)/(3^(1/3)γρ^(2/3)Lb^(4/3))，与文献[39]的式(9)一致。为获得完整的瞬态尾场，还必须包括内部偶极辐射。在积分中采用零阶近似λ(s - ct) ≈ λ(s)，得到：

(4)

将该积分贡献与文献[39]的边界结果相加，总瞬时瞬态尾场近似为：

(5)

其中ξ是从每个偶极子入口测量的局部路径长度坐标。将尾场转换为相对能量偏差的变化率，得到：

(6)

当束团长度变化可忽略时，dδ/ds与ξ无关。此外，下文考虑的QBA单元由相同弯曲半径的相同偶极子组成。因此，式(6)中除λ(s)外的所有因子都可以提到式(2)的输运积分之外。对于满足Lb ? Lb,cr的束团，CSR在每个偶极子中始终保持瞬态。相应的CSR诱导横向偏移因此正比于以λ(s)加权的积分。其抑制需要：

(7)

对于满足Lb ? Lb,cr的束团，入口瞬态贡献变得可忽略，CSR尾场接近稳态[33]。相应的相对能量偏差变化率为：

(8)

当束团长度变化可忽略时，dδ/ds与局部路径长度坐标无关。代入式(2)则给出稳态抑制条件：

(9)

下标b和d分别表示在偶极子和后续漂移段中评估的量。

B. 后续漂移段中的CSR冲击

尽管以往研究大多关注偶极子中的ss-CSR，但CSR在后续漂移段中仍继续影响束团。以往的分析考虑了压缩器色散段，其中这些段仅包含漂移[20,40]。因此，包含四极磁体的更一般的束线需要单独处理。由于难以获得闭式解析解，我们从文献[41]的式(15)出发，后续漂移段中CSR诱导的能量变化可写为：

(10)

其中sb是弯转段的后续段坐标。通过分部积分、通过雅可比从s到sb的变量变换，并仅保留δ展开中的零阶项，dδ/dsb可近似为：

(11)

其中θmax是两粒子模型中的最大位移角，其最大值不超过弯转角θb。此外，对于束团长度远小于sb的情形，dδ/dsb满足以下条件：

(12)

基于式(12)，任意sb处的dδ/dsb可表示为：

(13)

对于高斯分布，后续漂移段中CSR诱导的均方根相对能量扩散为：

(14)

该结果类似于文献[39]的式(27)。这里，数值前因子是通过对高斯纵向分布计算均方根能量扩散解析得到的，而非通过拟合跟踪结果。为了对包含聚焦元件的后续漂移段验证式(14)，我们使用Bmad中的一维CSR模型，该模型包含通过含四极磁体段的CSR输运[42,43]。图1所示的Bmad跟踪结果与式(14)在束团长度和束团电荷扫描中均吻合良好。特别是，对于此处考虑的较长束团，一致性得以保持，证实了小δ近似在所展示的参数范围内仍然有效。

图1. 后续漂移段中CSR诱导的均方根相对能量扩散随均方根束团长度（上图）和束团电荷（下图）的变化。实线由式(14)计算，标记由Bmad跟踪获得。弯转参数列于表II，束团长度σz = 40 μm。

根据式(2)，在考虑后续漂移段中的CSR后，束线出口处的CSR冲击xCSR(sf)可表示如下：

基于非弯转区域中dδ/ds的不变性以及式(13)，后续漂移段中的CSR冲击为：

(15)

其中

Δsb_i = s_{b,i+1} - s_{b,i}是反向束线第i个弯转段与第i+1个弯转段之间的总长度。R?_dr,i是第i个弯转段后续漂移的传输矩阵。可以发现，对于任意δ，后续漂移段中的CSR冲击可通过要求式(15)中的求和为零而完全消除。对于束团长度变化可忽略的任何结构，反向束线必须满足以下关系：

(16)

应注意，在每个求和的第i项中，参数Δsb_i和R?_dr_i来自反向束线的第i个弯转段。

利用反向束线，我们检查了整个偏转束线中的CSR冲击。偶极子中的CSR按比值Lb/Lb,cr分类。对于Lb ? Lb,cr，尾场达到稳态，相应的抑制条件由式(9)给出。对于Lb ? Lb,cr，CSR在每个偶极子中保持瞬态；使用式(6)中的改进瞬态尾场（包括边界和内部辐射贡献），相应的抑制条件由式(7)给出。对于后续漂移段中的CSR效应，推导了一个适用于一般束流线结构的近似解析解，从而得到式(16)中的一般条件。在这些条件确定之后，任务是找到能够同时满足这些条件的最简单等时束流线。III. 具有完全CSR抑制的QBA段如第二节所述，完全抵消CSR踢需要：(i)等时性和消色差性；(ii)满足式(9)[或式(7)]以及式(16)。在实际应用中，还需要满足若干附加条件，例如横向聚焦性能。对称TBA是最简单的等时多弯铁结构，其局限性在附录A中分析。如式(2)直接所示，和分别支配CSR引起的角度和位置偏移；因此，令为零可消除束流线出口处CSR在和中引起的偏移。已有研究提出令以施加[24]，或令以施加实现精确CSR抵消[33]。是TBA单元中匹配段的传输矩阵。对于，反向束流线满足和。这意味着式(16)中的第二个条件无法满足。同时，非零的在方向留下残余的稳态CSR踢。当时，在方向和方向上的稳态CSR踢都被完全抵消。对于，反向束流线满足和。这意味着式(16)中的两个条件都无法满足。和的较大值导致后续漂移段中显著的CSR引起的位移。此外，横向聚焦不足使得在实际应用中难以级联多个结构。对称TBA结构的一个根本限制是缺乏足够的自由度来同时满足横向聚焦约束和精确CSR抵消条件。为了解决这个问题，我们利用对称等时QBA。第四个弯铁的加入提供了恰好足够的自由变量，从而将CSR抑制与线性光学完全解耦。通过系统地改变这些弯铁的偏转方向，出现了四种不同的对称QBA构型，每种构型适用于特定的应用。本研究集中于类弧QBA构型（如图2所示），而包括chicane、zigzag和dogleg几何形状在内的替代弯铁拓扑结构在附录B中分析。在小角度近似下，根据式(9)完全抑制稳态CSR踢的QBA匹配段矩阵元由下式给出：(17)图2. 用于精确CSR抵消的对称QBA单元示意图。束流沿轴传播穿过四个偶极子，每个匹配段包含三个四极磁体用于横向聚焦和光学匹配。上游光学矩阵（,）和漂移长度与其反向对应物（,）完全镜像对称，且位于下游。是反向束流线第一个和第二个弯铁之间的匹配段，是反向束流线第二个弯铁和中点之间的匹配段。注意，存在一组解同时满足式(9)或(7)中的两个条件，类似于附录A中的情况A。这产生了三个自由变量而不是两个，在设计上提供了更多的自由度。图3中的比较表明，对于低于15°的弯铁角度，小角度解析解与数值解吻合良好。在较大角度下，局部的不能再被忽略，导致稳态CSR踢的抑制效果降低。对于束团，为了完全抑制瞬态CSR踢，满足(18)图3. 从式(17)得到的矩阵元（实线）与未采用小角度近似的数值解（点）之间的比较，取,,和。其他元素与式(17)中给出的QBA解相同。解析解与数值解（未显示）显示出极好的一致性。此外，在图4中的特定和范围内，式(9)和(7)的解表现出小于5%的偏差。这意味着对于该范围内的运行点，束流线可以同时减轻两种近似下弯铁中的CSR踢。图4. 由式(17)和(18)计算的匹配段矩阵元比值。左图：使用式(17)计算的与使用式(18)计算的比例。右图：相应的比值。在每种情况下，公因子精确抵消；因此，两个比值均与无关。接近1的比值标识了两种CSR抑制解相似的参数区域。还剩余三个自由度用于满足附加约束。例如，可以表示如下：整个束流线的传输矩阵。一种有效的设计方法是通过修改和来调整。随后，调节以控制的值，防止结构中局部过度聚焦或散焦。式(16)中的条件可以通过调整匹配段的长度来实现。在对称QBA结构中，有。对于满足式(17)条件的QBA，满足(19)对于其他QBA构型的类似解可以通过代入附录B中给出的相应参数和来获得。此外，对于式(17)和(18)中的QBA，有。偶极子中CSR引起的发射度增长（如附录C中式(C1)所述）因此仅取决于。因此，调整决定了最终发射度的演化。为了证明偶极子中稳态CSR近似的合理性，在模拟中使用了表I中的超短束情形，其中，同时QBA出口处的Twiss参数保持恒定。图5给出了式(C1)的解析预测与数值跟踪结果。对于这里考虑的情况，一旦，发射度稀释变得可忽略，与理论预测一致。此外，当后续漂移段中的CSR效应被独立评估时，式(C8)中给出的解析模型也与模拟结果表现出极好的一致性，如图5所示。由于漂移长度在整个研究过程中保持不变，这些后续漂移段中CSR引起的发射度稀释也主要由决定。图5. 类弧QBA出口处归一化水平发射度随的变化。束流参数对应表I中列出的超短束情形。实线显示了分别考虑稳态CSR和后续漂移段中CSR的解析预测，彩色标记显示了相应的Bmad模拟结果。表I. 单单元研究中使用的束流参数。超短束情形固定电流扫描单位束团电荷50–3002500–12500pC均方根束长20 100–500fs峰值电流1.0–6.010.0kA束流能量2.01.0GeV能量散度0.060.06%归一化发射度1.001.00mmmrad总的来说，对的局部参数扫描没有产生进一步的优化。虽然式(C1)和(C8)中的理论模型预测了发射度在附近略有波动，但这种微小的变化完全被由沿束流线恒定束长假设失效引起的显著发射度退化所淹没。同时，当不同的CSR情形被独立评估时，随着偏离零，观察到发射度显著增加。因此，所有后续模拟都使用由式(17)和(19)指定的标称QBA设计。IV. 包括所有CSR效应的模拟 A. 单个QBA单元中的CSR使用表I中的束流参数进行了两次单单元扫描。在超短束扫描中，固定，而束团电荷从50变化到，对应高斯峰值电流约为。由于，尾场在每个偶极子内达到稳态CSR情形，QBA根据稳态CSR抑制条件配置。为了比较，在相同条件下跟踪了两种先前提出的对称TBA束流线。TBA#1施加但保留非零的[24]，而TBA#2最小化式(C1)中的Twiss加权发射度稀释，而不要求两个积分同时为零[44]。两种TBA都不能同时满足和式(16)中后续漂移段的两个条件。在第二次扫描中，高斯峰值电流固定为，而从100变化到，束团电荷相应地从2.51变化到。该范围同时覆盖和纯瞬态CSR情形。表II中的值来自式(19)。运行点从图4中的区域选取，其中从式(18)和(17)得到的和值相差小于5%。图6中的所有结果均通过Bmad跟踪获得。图6. 在单单元出口处去除色散贡献后的Bmad跟踪归一化水平发射度。上图：在时QBA、TBA#1和TBA#2的全CSR束团电荷扫描。下图：在固定高斯峰值电流下的QBA束长扫描，其中bend-CSR、dr-CSR和all-CSR分别表示CSR仅包含在偶极子中、仅包含在后续漂移段中以及包含在两者中。上轴显示相应的峰值电流（上图）和束团电荷（下图）；垂直虚线标记。表II. QBA的优化束流线参数。参数设计值单位 4 4 m 0.724 3.3 m （超短束情形） m （固定电流情形） 2.3 m 图6的上半部分表明，随着束团电荷的增加，QBA的发射度保持能力显著优于两种TBA束流线。在时，对应峰值电流约为，QBA、TBA#1和TBA#2的归一化水平发射度分别为1.070、3.20和。这种差异与上述抑制条件一致：两种TBA束流线中残留CSR踢，而QBA满足和式(16)。对于表II中的偶极子参数，。在时，bend-CSR和dr-CSR情形分别产生和的发射度增长，而all-CSR发射度增长达到。因此，all-CSR发射度增长大于单独模拟中获得的bend-CSR和dr-CSR踢的线性叠加预期值，表明当同时包含两种CSR贡献时，刚性束团近似不再有效。发射度增长随后随着从下方接近而减小。对于采样的纯瞬态CSR情形，bend-CSR发射度保持在其初始值的范围内，而all-CSR发射度保持在范围内。这些结果证实了瞬态CSR和后续漂移段抑制条件的有效性，并表明阻止尾场达到稳态可改善固定峰值电流下的单单元发射度保持。另一方面，上述跟踪结果依赖于一维CSR近似，其适用性使用Derbenev判据进行评估[45]，其中是包含色散贡献的局部均方根水平束流尺寸。对于情形，偶极子内的估计值满足QBA、TBA#1和TBA#2的、、。相关的二维和三维CSR研究即使在更大的值下也报告了与一维模型的良好一致性[38,46,47]，这支持了在所考虑的范围内使用一维模型。 B. 级联QBA单元中的CSR如第三节所述，稳定的周期性QBA光学允许相同的单元级联以实现大的总偏转角度。在一阶刚性束团近似内，经过个单元后累积的CSR引起的相空间位移为(20)其中是一个单元出口处的残余CSR踢，是单单元传输矩阵，是单位矩阵。此表达式要求。在整个推导过程中，采用刚性束团近似，因此假设每个单元产生相同的。一个单元后的微小发射度变化并不一定意味着，因为出口Twiss参数可以减小残余踢的投影贡献。当时，式(20)表明残余踢通过下游单元传输并通常累积。相反，当且式(16)中的两个条件都满足时，一阶残余踢消失，式(20)给出对任何均成立。然而，式(20)仅描述了一阶传输，这也用于前面的单单元研究以隔离CSR抵消机制。尽管高阶效应对一个单元来说很小，但它们在级联束流线中可以累积。特别是，和产生能量相关的横向偏移，贡献于投影发射度增长，而和扭曲纵向相空间和局部电流分布[48,49]。为了控制累积的高阶像差，在QBA中镜像对称位置引入了两组六极子族。六极磁铁强度首先进行了调整，以抑制横向二阶色散，通过施加条件 (21)，其中下标 表示QBA单元的中点。对于具有对称布置的六极磁铁且在入口处二阶色散为零的镜像对称束线结构，公式(21)中的条件使二阶色散轨迹关于单元中点对称。因此， 和 在QBA出口处理想地回到零，与对称校正的二阶消色差[50]一致。三阶横向项 和 在所考虑的能量范围内保持足够小，因此不进行独立优化。

对于多单元分析，单元数的选择使三条束线具有可比较的总偏转角和长度。TBA#1和TBA#2分别包含15和12个单元，每条束线提供180°的总偏转角，而12单元的QBA提供192°。它们对应的束线长度约为149.5、143.7和 。

在对 施加中点约束后，剩余的六极磁铁自由度用于调整纵向二阶色散。为保持公式(17)中的一阶条件，一阶光学保持不变，同时在约束 下扫描单单元 。非线性光学优化使用Bmad进行，同时保留跟踪中的所有CSR效应。表III中的束流参数处于压缩ERL束团的典型范围内[16,19]。首先在更宽的单单元 范围内进行了初步粗略扫描（未显示），以确定图7中展示的细化范围。在此范围内，出口均方根束长从38.86变化到 ，对应名义值 的最大偏差约为3.6%，而峰值电流从0.973变化到 ，跨度约等于其名义值的55%。由于非线性纵向输运对局部电流分布的影响远大于对整体均方根束长的影响，因此将峰值电流的保持作为选择工作点 的主要标准。

图7. 12单元级联QBA的单单元 与出口均方根束长（左轴）和峰值电流（右轴）的关系。保持约束 ，峰值电流通过平均每个纵向直方图中的三个最大值来估算。垂直虚线标记了所选工作点 。

表III. 能量回收直线加速器（ERL）中压缩束团的代表性参数。参数 值 单位
束团电荷 100 pC
均方根束长 40 fs
峰值电流 1.0 kA
束流能量 1000 MeV
均方根相对能量散度 0.06 %
归一化发射度 1.00 mm·mrad

选择工作点后，使用表III中的参数进行多单元跟踪。两条级联TBA束线未进行专门的高阶优化。保留其未补偿的高阶横向和纵向色散会引入额外的非线性像差和纵向密度调制，从而模糊对其一阶CSR抵消性能的比较。为提供受控比较，使用Elegant [51]对TBA#1、TBA#2和QBA进行一阶跟踪，同时包含偶极子和后续漂移段中的CSR。然后使用校正后的三阶光学在Bmad中跟踪QBA。

图8总结了束线光学和由此产生的束流演化。左图展示了级联QBA的理想线性光学演化。 函数和水平色散的周期性行为说明了多单元跟踪中使用的匹配横向光学。

图8. 表III中束团的光学和束流演化。（左）级联QBA沿线的水平和垂直 函数以及缩放的水平色散 。（中）TBA#1、TBA#2和QBA去除色散贡献后的归一化水平发射度。一阶结果使用Elegant获得，而校正后的三阶QBA结果使用Bmad获得。插图放大了QBA出口区域。（右）QBA出口处的归一化水平切片发射度（左轴）和电流分布（右轴），比较了一阶Elegant结果和三阶Bmad结果。整个过程中包含了偶极子和后续漂移段中的CSR。

中图比较了去除色散贡献后的归一化水平发射度。在束线出口处，TBA#1、TBA#2和一阶QBA的绝对发射度增长分别约为4.596、2.072和 。两条TBA束线中大得多的增长与公式(20)一致：前一节中识别的残余单单元CSR踢被输运通过下游单元并累积。漂移段中的CSR在两条TBA束线中均未被完全抑制，提供了额外的累积贡献。相反， 的QBA结果证实其一级CSR抵消条件在级联后仍然有效。包含校正后的三阶光学后，QBA发射度增长增加到约 ，比一阶结果高 。剩余的增加出现是因为六极磁铁优化仅约束选定的高阶色散项，并未明确最小化束线沿线高阶色散与CSR诱导能量偏差之间的局部耦合。因此，CSR踢的高阶分量未被完全抵消。

右图比较了一阶和三阶QBA模型获得的出口电流分布和归一化水平切片发射度。在所选工作点处，两个电流分布保持相似，高阶纵向输运未产生明显的电流尖峰。出口均方根束长为39.970和 ，分别对应名义值 约0.07%和0.09%的偏差。从电流分布中提取的对应峰值电流为1.021和 ，分别表示名义值 约2.1%和6.3%的变化。这些结果表明，在所选工作点处高阶纵向效应得到有效控制。归一化水平切片发射度在整个高电流核心区保持接近其初始值 。其保持表明，包含三阶光学后投影发射度的适度增加主要来自切片之间的残余相关性，而非单个切片内的显著退化。总体而言，所选工作点限制了非线性纵向分布畸变，同时保持了横向切片质量；此外，与具有可比总偏转角和最终束团参数的压缩机束线[17–19]相比，尽管CSR效应在多个级联单元上累积[52]，QBA仍表现出低发射度增长。

V. 结论

总之，我们将一阶积分方法扩展至推导等时偏转束线中抑制CSR诱导横向踢的条件。针对ss-CSR主导情况 和纯tr-CSR情况 ，推导了弯转中CSR的独立抑制条件，以及抑制后续漂移段中CSR的一般条件。在所采用的对称等时模型中，QBA被确定为提供足够自由度以满足这些条件同时保持稳定周期光学的最小多弯转构型。针对ss-CSR和tr-CSR情况获得的QBA解在宽范围光学参数内保持接近。因此，相同的QBA结构可以应用于任一极限情况，相应的弯转中CSR抑制条件分别施加。

包含所有CSR效应的单单元跟踪证实了这些条件的有效性。在超短束团电荷扫描中，QBA表现出比两条参考TBA束线显著更小的发射度增长。在固定 扫描中，随着 接近 ，发射度降低，对于采样的纯tr-CSR情况（ ），发射度增长可忽略。这些结果表明，阻止尾场达到稳态可显著改善固定峰值电流下的单单元发射度保持。

多单元跟踪进一步证明了QBA抑制条件在较大总偏转角范围内的可扩展性。在一阶输运下，TBA#1、TBA#2和QBA的归一化水平发射度分别增加约4.596、2.072和 。包含校正后的三阶光学后，QBA发射度增长保持在约 的有限值内。在所选六极磁铁工作点处，均方根束长保持在名义值的0.1%以内，峰值电流变化低于6.4%，归一化水平切片发射度在整个高电流核心区得以保持。

尽管目前的结果证明了有效的CSR抑制，但其适用性仅限于一维CSR模型的有效范围。对于更短或强啁啾的束团，局部压缩、色散诱导的横向膨胀和束团倾斜会削弱该近似，使得多维CSR校正变得重要[38,53]。因此，当前CSR抑制条件在这些更极端束流条件下的鲁棒性需要利用二维或三维CSR模型进行进一步评估。此外，未来的工作将考虑tr-CSR和ss-CSR共存时分布相关的耦合、实际磁铁约束以及纵向空间电荷等额外集体效应。