一维横场伊辛模型和XX模型中纠缠熵的有限尺寸标度

《Physical Review B》：Finite-size scaling of entanglement entropy in the one-dimensional transverse field Ising model and the XX model

　　我们研究了在不同边界条件（BCs）下的一维横场量子伊辛链（QIC）和XX（各向同性XY）链的纠缠熵（EE）。在临界点处，我们对尺寸为??的系统及其大小为??的子系统的EE进行了数值计算。我们考虑了五种边界条件：周期性、自由-自由、固定-固定（+,+）和（+,?），以及固定-自由。我们还采用了精确解和共形场论（CFT）的预言，结果与我们的数值数据高度一致。在我们的数值方法中，我们应用约当-维格纳变换将自旋链映射为无自旋费米子系统，并计算其关联函数，进而推导出EE。对于每种情况，我们固定??/??的值为1/20, 2/20, ?, 19/20，共计算了19种不同的子系统比例的EE。所有数值计算均采用四倍精度以确保准确性。我们观察到XX链在自由-自由、固定-固定（+,+）、固定-固定（+,?）和固定-自由边界条件下的EE存在奇偶振荡。随后，我们针对每种情况，使用?????和????? ln???的有限尺寸标度展开来拟合计算得到的EE。对于领头ln???项和常数项的拟合参数，我们发现其与CFT预言在极高精度下一致。对于周期性边界条件，???2修正项的参数作为??/??的函数与Calabrese等人的猜想相符。此外，我们猜想???4修正的形式，并利用随机矩阵理论解析计算了其领头项。对于具有自由-自由边界条件的XX链，我们验证了从M. Fagotti等人 [J. Stat. Mech. (2011) P01017] 所猜想公式中提取的???1项系数与??/??之间的关系，并获得了???2、???3和???4项系数的猜想闭式表达式，这些表达式得到了高精度数值拟合和部分解析论证的支持。利用自由-自由与（+,+）边界条件之间的关系，我们确定了具有（+,+）边界条件的XX链中???2和???4项系数的形式。因此，我们获得了自由-自由和（+,+）边界条件下XX链EE中交替项的前四部分。对于具有自由-自由边界条件的QIC的第一激发态的EE，我们猜想???1修正项的精确形式，这与我们的数值结果完美吻合。对于具有固定-自由边界条件的QIC，我们计算了围绕??/??=0和1的由伊辛CFT导致的修正项的微扰展开。最后，受N. Laflorencie等人 [Phys. Rev. Lett. 96, 100603 (2006)] 引入的共振价键（RVB）图像的启发，我们定性地讨论了上述四种边界条件下XX链中的EE振荡。