关于G-簇的 motive 的混合 Tate 性问题

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：On the Problem of Mixed Tateness of the Motives of G-Varieties

　　摘要
基于关于 G-丛动机的早期工作，我们研究与某些类 G-簇相关的动机结构。特别地，我们证明在稳定化子的某些条件下，相应的动机属于混合 Tate 动机范畴。我们进一步讨论一些应用，并给出一些例子来说明其局限性。

引言
混合 Tate 性是一种很强的动机性质，具有重要的算术和几何后果。例如，在有限域上，具有混合 Tate 动机的簇的计数函数由域大小的多项式给出，从而将它们与 F1-几何以及诸如环面簇这样的组合模型联系起来[15]，[27]。在动机方面，混合 Tate 对象构成一个 Tannakian 子范畴，其 Galois 群相对简单，使其结构更易于处理，并允许显式计算[8]。因此，它们成为动机和周期理论中猜想的自然检验场所，例如参见[7]和[11]。混合 Tate 动机从量子场论的角度也起着重要作用。最初有人猜想，标量场论中费曼积分的留数总是混合 Tate 动机的周期。这个猜想由 Kontsevich 的另一个猜想推出，后者提出图超曲面是混合 Tate 的；参见[24]。然而，后来观察到某些费曼图可以产生 K3 曲面[9]。尽管如此，对相应超曲面具有混合 Tate 性质的图进行分类仍然是一个重要问题。它们也出现在基于谱作用泛函的引力模型中，参见[19]。

如上所述，代数簇何时具有混合 Tate 动机的问题出现在各种不同的背景中，包括构型空间、环面簇、丛的模空间，以及代数群表示理论中自然出现的许多簇。在后一种情形中，良好的对称性和相应的组合结构，连同稳定化子的性质，决定了结果。

利用 De Concini-Procesi 美妙紧化[13]和动机 Leray-Hirsch，作者在 X 上的 G-丛 G 的动机 M(G) 上构造了一个嵌套滤过，参见[2]或[3]以及[18]。然后，在[20]中，利用 Huber 和 Kahn 的切片滤过[21]，证明了双向蕴含关系，表明在若干假设下，G 的动机是混合 Tate 的当且仅当 X 是混合 Tate 的。作为这些结果的应用，在本文中我们讨论某些 G-簇的动机的混合 Tate 性。

更明确地说，在第 3 节中，我们引入有理特殊 G-簇的概念，参见定义 3.5，并利用[20]中的结果证明有理特殊 G-簇的动机是混合 Tate 的。然后在命题 3.10 和注记 3.11 中，我们观察到有理特殊性是必要的。在命题 3.13 中，我们证明 n 维向量空间上非退化对称双线性形式空间的动机在过渡到有理系数后是混合 Tate 的。

在第 4 节中，我们给出几个应用。具体地，在第 4.1 小节中，我们证明对应于 SLn 的不可约表示 ρλ 的齐次空间 X(n,λ) 是混合 Tate 的。这类空间出现在 Toda 场论的手征对称性中，并作为相关的 Drinfeld-Sokolov 系统中的可积层次出现，例如参见[32]。在第 4.2 小节中，我们证明对称空间 XSp(p,n) 是混合 Tate 的。后者作为超对称规范理论中真空的 Higgs 分支出现。在推论 4.4 中，我们证明辛向量空间的 Lagrangian 分解的齐次空间的动机是混合 Tate 的。最后，在命题 4.9 中，我们证明 Pfaffian 超曲面是混合 Tate 的，并且在 GL(V)-作用下的轨道也是混合 Tate 的。

致谢：
我衷心感谢 B. Kahn 的鼓励和有益评论，以及 E. Arasteh Rad 的有益评论和启发性的讨论。我感谢 L. Barbieri Viale 一直以来的鼓励。
本研究部分由 IPM 的资助（编号 1402140032）支持。

章节片段
记号
我们用[30]中引入的记号来表示 k 上的 motivic 范畴，如 DMgm(k)、DMgmeff(k)、DM?eff(k) 等，以及函子 M:Schk→DMgmeff(k) 和 Mc:Schk→DMgmeff(k)。当 k 具有正特征时，我们假设系数在 Q 中。
关于正特征中具有紧支集的几何动机的定义，我们也参见[21，附录 B]。

有理特殊 G-簇的动机
首先回顾混合 Tate 动机范畴的定义：
定义 3.1
我们用 TDMgmeff(k) 表示 DMgmeff(k) 的厚张量子范畴，由 Z(0) 和 Tate 对象 Z(1) 生成。TDMgmeff(k) 的对象称为混合 Tate 动机。TDM?eff(k) 是由 TDMgmeff(k) 生成的 DM?eff(k) 的局部化子范畴。
设 G 是代数闭域 k 上的连通分裂约化代数群。首先回顾以下结果：
定理 3.2
设 X 是 Y 上的主 G-丛。

SLn 的一个不可约表示的齐次空间
SLn 的不可约代数表示由支配整最高权 λ=a1ω1+a2ω2+?+an?1ωn?1 分类，其中 ωi 是基本权，ai∈Z≥0。每个最高权 λ 决定一个有限维不可约表示，它通过 λ 的 Young 图对应的 Schur 函子函子性地实现。这给出嵌入
ρλ:SLn?GLNλ,Nλ=dimVλ，
其像在 CNλ 上不可约作用，因此不包含在 GLNλ 的任何真抛物子群中。我们

未引用参考文献
[1] [4] [5] [6] [10] [14] [16] [28] [29]
Somayeh Habibi