具有不连续激活函数的耦合神经网络的新型固定时间同步准则

《European Journal of Control》：Novel Fixed-Time Synchronization Criteria for Coupled Neural Networks With Discontinuous Activations

　　•提出了一种广义的多项固定时间稳定性引理，可容纳任意多项分数幂结构，为收敛时间提供通用上界。
•通过精确积分，推导出一个特定的三项引理，消除了传统不等式缩放方法的保守性，并得出精确的解析上界。
•应用所提出的引理，建立两个新的同步定理，成功实现了非线性耦合不连续神经网络的固定时间同步。

引言

在非线性系统理论和计算智能快速发展的推动下，复杂网络和神经网络（NNs）的动力学因其在理论探究和实际应用中的深远意义而引起了广泛关注（Albert， Barabási, 2002；Arenas, Díaz-Guilera, Kurths, Moreno, Zhou, 2008；Boccaletti, Latora, Moreno, Chavez, Hwang, 2006；Chua， Yang， 1988b；Strogatz， 2001）。特别是耦合神经网络，如Hopfield神经网络、细胞神经网络和忆阻神经网络，在解决复杂优化问题、模式识别和联想记忆任务方面展现出广阔的应用前景（Chua， Yang, 1988a；Lu， Chen, 2005）。对于这些应用，确保所有分布式神经元高效地达成共识或同步到期望轨迹，是信息处理的基本前提。因此，设计有效的控制协议以驱动耦合神经网络的状态轨迹同步到目标状态，仍然是一个高度活跃的研究焦点（Wang， Liu, Qin, 2021；Wu， Zeng, 2012）。值得注意的是，支撑复杂网络研究的先进优化算法和鲁棒控制方法，在广泛的工程应用领域也显示出深远意义，例如工业机器人系统的参数辨识和性能校准（Chen， Yang, Li, Luo, 2025；Chen， Yang, Zhang, Luo, 2024；Li， Li, Bamasag, Alhothali, Luo, 2023；Li， Li, Francis, Luo, 2022；Li， Li, Luo, 2021b）。

传统的同步策略大多是渐近或指数的，这意味着理论上同步误差仅随时间趋于无穷大而收敛至零（Cao， Chen, Li, 2008；Cao， Li, Wang, 2006；Li， Wang, Chen, 2004；Olfati-Saber, Murray, 2004；Ren， Beard, 2005）。然而，在实际控制工程中，严格的时间约束频繁出现，例如在导弹拦截、电网稳定和机器人协调中（Zhao et al.， 2017）。为解决这一局限，有限时间同步被提出并得到广泛研究（Du， Li, Qian, 2011；Wang， Xiao, 2010）。与渐近行为相比，有限时间同步能够提供更快的收敛速度和更强的对界不确定性的鲁棒性（Hong， Wang, Cheng, 2006；Hwang， 2023；Rouhani， Mobayen, Su, 2025）。然而，其主要缺点是有限时间同步中收敛时间（ST）的估计在很大程度上依赖于系统的初始条件（Polyakov, 2012）。随着初始状态变大，所需的收敛时间按比例增加，这在时间紧迫的紧急情况下显然是不希望的。此外，在复杂的工业环境中提前获取精确的全局初始条件往往不切实际，这严重限制了有限时间控制器的实际应用（Chen， Li, Peng, Yang, Mi, Zhao, 2020；Li， Wu, Feng, Xu, Lü, 2021a；Liu， Ren, 2025；Mishra， Li, Jalili, Yu, 2020）。

为了从根本上消除收敛时间对初始条件的依赖，Polyakov引入了固定时间（FXT）稳定性的概念（Polyakov, 2012）。在FXT框架内，仅使用系统和控制器参数即可显式预先估计收敛时间的解析上界（UB），从而确保无论初始条件如何都能全局收敛。受这一吸引人特性的启发，研究人员迅速将FXT稳定性理论应用于网络化系统的同步控制。近年来，这一活跃领域取得了重大进展，各种最先进的FXT控制方案——如自适应机制、滑模技术和事件触发协议——被开发出来，以进一步优化网络同步性能并减轻通信负担（Han， Zhou, 2025；Kong， Zhu, 2023；Li， Wu, Feng, Xu, Lü, 2021a；Mapui， Jamal, Mukhopadhyay, 2025）。此外，支撑这些FXT进展的基于Lyapunov的有限时间收敛理论也已在其他基于神经网络的计算框架中显示出广泛适用性。例如，最近关于零化神经网络（ZNNs）的研究广泛利用了类似的稳定性分析，以保证动态矩阵求解中的全局收敛性和鲁棒性（Yang， Li, Wu, Moshayedi, Feng, 2025a；Yang， Wu, Katsikis, Li, Feng, 2026；Yang， Wu, Pham, Li, Feng, 2025b）。

尽管在不同神经网络模型中取得了显著进展，但收敛时间的精确估计仍是持续研究的焦点。为了建立固定时间稳定性，大量工作致力于构造各种Lyapunov函数导数（Gan， Li, Yang, Qin, Meng, 2022年10月；Ni， Liu, Liu, Hu, Li, 2017年2月；Xu， Meng, Xie, You, Zhou, 2018年1月）。目前，标准的两项或三项Lyapunov不等式结构最为常用，它们成功实现了众多同步控制方案的设计并保证了固定时间收敛。为了进一步优化收敛性能，近期研究不断探索修正的不等式形式，例如引入额外常数项（Kong， Zhu, 2023；Zhang， Yang, Gan, Wu, Cao, 2024年11月）。尽管这些渐进的结构框架为稳定性分析提供了坚实基础，但推导此类简化代数准则通常需要在数学证明中广泛使用代数缩放技术。虽然这些缩放操作便于理论推导，但它们不可避免地引入了结构刚性和理论保守性。因此，解析估计的收敛时间上界与实际收敛时间之间的差距往往显著增大，这间接限制了控制器的设计自由度。因此，突破现有结构框架的限制，建立普遍适用的多项FXT稳定性理论，同时推导出提供更紧密解析上界的精确准则，仍然是一个持续且极具挑战性的数学问题。

除了精确估计收敛时间上界的挑战外，近期文献还关注具有固有不连续动力学的实际神经网络的同步问题（Kang， Ren, Gan, Li, Meng, 2024；Tian， Zhang, Chen, Hu, Wen, 2026）。在实际应用中，传统的连续激活函数无法准确捕捉突变的阈值切换行为或神经元的不连续响应（Cheng， Tang, Shi, Chen, Qiu, 2023；Xiao， Zeng, Wen, Wu, Wang, 2021）。因此，不连续激活函数——如硬限幅、符号函数和阶跃函数——被广泛用于忠实再现神经元切换动力学（Shi， Li, Jiang, Wang, 2024；Tang， Yang, Wen, Lu, 2025）。虽然采用这些不连续元素显著拓宽了耦合神经网络的应用范围，但它们引入了必须在稳定性分析中仔细处理的非光滑固有行为（Wang， Zhu, Luo, Zhang, 2025a；Wang， Yan, Fan, Wang, Shen, 2025b）。

从数学角度看，不连续激活函数违反了经典Lipschitz连续性假设，使得针对光滑常微分方程的传统稳定性工具不再适用。为严格处理此类非光滑动力学，标准方法是采用Filippov集值映射和微分包含框架（Aubin， Frankowska, 1990；Filippov， 1988）。在该框架下，系统解在Filippov意义下理解，为不连续网络的同步分析提供了坚实的数学基础。

受提高固定时间同步中估计精度和设计灵活性的关键需求驱动，本文着重为不连续神经网络建立更先进的FXT稳定性框架。通过突破传统两项或三项Lyapunov不等式结构的刚性代数限制，我们提出两个具有独特理论优势的新型FXT稳定性准则：第一个准则建立了灵活的多项结构，为控制协议提供更大的设计自由度；第二个准则有效避免了推导过程中过度保守的代数缩放，从而为收敛时间函数提供非保守的解析上界。将这些准则与Filippov非光滑分析相结合，设计合适的控制协议，在统一的理论框架内实现不连续神经网络的固定时间同步。

本文的主要贡献如下：

1. 提出了广义的（N+1）项FXT稳定性引理。突破传统两项或三项准则的结构限制，该引理建立了灵活框架，可容纳任意多项分数幂结构，提供更广泛的结构通用性和收敛时间的通用上界。

2. 基于所提出的广义引理，进一步推导出一个以三项Lyapunov导数结构为特征的特定FXT稳定性引理。通过在域[0，+∞)上执行精确积分，该引理成功规避了传统不等式缩放技术引入的保守性，从而得出精确的解析上界。

3. 利用所提出的稳定性引理，推导出两个新的同步定理，以实现非线性耦合不连续神经网络的FXT同步。

章节片段

预备知识与网络模型

考虑一类如下描述的非线性动力系统：

˙???(??)=???(???(??))，???(0)=??0，

其中系统状态由??∈???表示，??:???→???是非线性函数。只要g(·)连续，经典的微分可解性自然由Peano存在定理保证。相反，在存在非光滑动力学的情况下，即g(·)表现出不连续性，传统微分方程自然放宽为微分包含，系统动力学为

固定时间稳定化

耦合神经网络同步已从渐近和有限时间范式发展到FXT框架。尽管在具有不连续激活的网络方面取得了进展，但传统不等式松弛不可避免地引入理论保守性。因此，推导更紧密、更精确的收敛时间上界仍然是一个关键挑战。

鉴于此，本节将依赖先前推导的引理4和引理5，深入研究耦合神经网络的FXT同步控制。

数值仿真

在本节中，提供两个数值算例以验证理论结果的有效性，并展示所提出的不连续控制器的优越性。

算例1. 为直观验证所提方法的理论优势，我们暂时排除网络耦合的影响，专注于基本标量系统。具体而言，算例1展示了推论1中广义多项框架在增强收敛性方面的优越性。

结论

本文系统研究了具有不连续激活函数的耦合神经网络的FXT同步问题。传统的FXT稳定性引理在结构上局限于两项或三项形式，且由于依赖不等式缩放，常常引入相当大的理论保守性。为克服这些局限，建立了两个新的FXT稳定性引理。广义的（N+1）项引理消除了传统结构限制，提供

CRediT作者贡献声明

Kaibo Zhao：初稿撰写、可视化、验证、数据管理。Qifeng Ren：审阅与编辑、监督、方法学、资金获取、概念化。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在任何已知的竞争经济利益或个人关系，这些关系可能影响本文所报告的工作。

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