阿基米德螺旋启发的局域共振超结构中低频带隙形成与波操控

《Engineering Structures》：Low-frequency bandgap formation and wave manipulation in Archimedean spiral-inspired locally resonant metastructures

　　

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  开发了阿基米德螺旋线启发的局部共振超结构，用于低频带隙的形成。
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  通过等相位常数面分析揭示了各向异性弹性波操控特性。
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  实验结果验证了振动衰减的数值预测。

引言

通过亚波长微结构的设计，超材料可以表现出传统材料难以实现的物理特性，如定向波传播、负等效参数和带隙调控[1], [2], [3], [4]。根据所操控的波的类型，超材料通常分为电磁超材料、声学超材料和弹性超材料[5]。其中，弹性超结构主要用于控制固体中弹性波的传播，在工程结构的低频振动抑制和波操控方面显示出巨大潜力[6], [7]。在弹性波操控中，带隙是指弹性波传播被禁止的频率范围，是振动衰减的基本机制[8]。传统声子晶体主要依靠结构周期性引起的布拉格散射来产生带隙[9]。然而，这种机制通常要求结构特征尺寸与波长相当，难以实现有效的低频控制，从而限制了其在紧凑结构中的应用。

为克服这些限制，研究人员提出了局部共振超材料[10]。通过引入质量-弹簧型共振单元，这些结构能够在远小于波长的尺度上实现低频带隙的形成。大量研究通过理论建模、数值仿真和实验验证，系统研究了此类系统的带隙特性和振动传递行为[11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18]。例如，He等人[19]基于负等效质量理论，结合扫频和冲击试验，分析了局部共振弹性超材料柱的带隙特性和振动响应，证明了其在振动和冲击衰减方面的有效性。Miao等人[20]基于平面波展开法和哈密顿原理建立了理论模型，并采用遗传算法结合梯度设计分析了多共振复合板的带隙特性。然而，现有局部共振超结构系统大多基于离散谐振器，通常存在带宽可调性有限和结构集成性差的问题，从而限制了其实际工程应用。

近年来，几何和拓扑设计策略已被证明能有效增强弹性波操控能力[21], [22], [23]。通过引入阿基米德螺旋线[24]、曲折通道[25]和迷宫路径[26]等复杂几何特征，可以延长波的传播路径、降低有效刚度并增强局域化效应，从而促进低频带隙的形成。然而，现有研究大多集中在声学超材料[27], [28]，而对板状弹性超结构中弯曲波控制的研究相对有限[29]。此外，几何拓扑与局部共振之间的耦合机制尚未得到系统阐明，特别是在波矢空间视角下[30]。另外，以往研究主要集中于单一结构构型，缺乏对不同拓扑设计及其带隙特性的系统比较。对结构集成性的有限考虑进一步限制了超结构在低频振动减缓方面的工程应用。

为解决上述问题，本研究提出了一种阿基米德螺旋线启发的局部共振超结构。基于声子晶体理论和有限元方法，系统研究了其带隙特性，并从振动传递和波传播的角度阐明了潜在的低频振动控制机制。此外，进行了参数分析以量化关键几何参数对带隙性能的影响，并通过实验验证验证了数值模型的准确性。

章节片段

几何设计

为了在紧凑的板状结构中实现低频带隙，采用了一种结合局部共振和路径卷曲引起的刚度调制的混合设计策略。所提出的板状超结构的示意图如图1(a)所示。该超结构由沿x和y方向周期性排列的晶胞组成，用红色虚线标出。代表性晶胞的几何形状如图1(b)所示。每个晶胞

能带结构

为了阐明所提出结构中带隙形成的色散特性和潜在机制，使用COMSOL Multiphysics中的单晶胞模型计算了能带结构。在晶胞的相应边界上施加Floquet-Bloch周期性边界条件以表示无限周期性结构。然后，按照规定的路径，在不可约布里渊区边界上参数化扫描Bloch波矢$\mathbf{k}$

实验装置

为验证Meta-ARP结构的振动阻尼性能，建立了正弦扫频振动测试平台，如图15所示。测试样品的厚度为0.5 mm，所有其他几何参数与表1中所列参数一致。仿真和实验中使用的输入和输出配置如图16的插图所示。测试前，样品用弹性绳悬挂以近似自由边界

参数对带隙的影响

如前述分析所示，所提出的超结构的带隙主要源于局部共振机制。因此，该结构可以物理建模为典型的弹簧-质量系统，如图17(a, b)所示。在该模型中，铅块的质量可视为局部共振单元的等效质量，而基板上伸出的四个悬臂梁和中心区域的AS结构共同构成等效弹簧，

归一化比较

由于不同结构之间几何尺寸和材料特性的差异，采用归一化起始频率的倒数$1/f_{\mathrm{nd},\mathrm{s}}$和带隙覆盖率${\eta }_{\mathrm{cov}}$作为评估指标，以系统比较带隙性能，如图19所示。带隙覆盖率定义为${\eta }_{\mathrm{cov}}=△f/f_{\mathrm{total}}$，其中$△f$和$f_{\mathrm{total}}$分别表示弯曲波带隙的累积宽度和所研究的频率范围。该

结论

基于将局部共振机制与几何拓扑相结合的设计框架，开发了新型阿基米德螺旋线启发的局部共振超结构用于低频振动抑制。在声子晶体理论和有限元方法的指导下，从能带结构、振动传递特性和波传播行为的角度系统研究了低频振动控制的潜在机制。数值

CRediT作者贡献声明

Qin Zeng：写作 – 初稿，方法学，调查，概念化。Yun Xiao：可视化，正式分析。Fang Yang：验证，数据管理。Liang Wang：写作 – 审阅与编辑，资源。Mangong Zhang：方法学。Xin Xue：写作 – 审阅与编辑，监督，项目管理。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在已知的可能影响本文报告工作的相互竞争的经济利益或个人关系。

致谢

本研究由国家自然科学基金（项目号：12672176，12272094）和福建省自然科学基金（项目号：2024J01244）资助。

利益冲突声明

作者声明，对于本文的研究、作者署名和/或发表，不存在潜在的利益冲突。

Qin Zeng|Yun Xiao|Fang Yang|Liang Wang|Mangong Zhang|Xin Xue