忆阻神经元的斯梅尔悖论：理论分析与硬件验证

《Neurocomputing》：Smale paradox in memristive neurons: Theoretical analysis and hardware validation

　　•斯梅尔悖论在由物理上的局部活性忆阻器构建的硬件神经元电路中得到了实验验证。•推导出了临界耦合电阻的封闭形式分析标准，定量确定了从静止状态到自维持振荡的转变。•在对称耦合下，观察到稳健的反相同步，通过保持连续的耦合电流来维持振荡；异质参数破坏了对称性，并诱导出周期加倍的分岔和混沌。•数值模拟和硬件实验一致地验证了理论预测，为神经形态网络中由耦合引起的振荡提供了分析设计基础。

引言
传统的模拟电路存在高功耗和架构复杂性的问题，这推动了脑启发计算向更加节能的神经形态硬件发展[1]、[2]。冯·诺依曼瓶颈源于存储单元和处理单元的物理分离，已成为实现下一代智能系统所需能效的基本障碍。神经形态计算受到人脑结构和功能的启发，提供了一种可以实现并行和节能数据处理的可行范式。关键的是，网络生成复杂时空模式的能力取决于其组成元素的能量放大能力[3]。局部活性理论严格指出，局部被动系统无法维持耗散结构的动态演化；只有那些核心元素能够在外部电源驱动下放大微小扰动的系统才能打破均匀的静止状态，并在混沌边缘运行[4]。
构建神经形态网络需要具有固有非线性脉冲特性的物理神经元设备。鉴于传统基于硅的模拟电路的架构复杂性和高功耗，非线性电路理论与材料科学形成了长期的跨学科合作。这一需求促进了非线性电路理论与材料科学之间的深度交叉融合。Leon Chua从理论上证明了只有局部活性非线性元件才能放大微小扰动，从而提出了混沌边缘理论[5]、[6]。作为局部活性领域的一个子集，混沌边缘将系统置于一个临界状态，在这种状态下适当的刺激可以触发复杂的动态[7]。忆阻器具有纳米级尺寸和可调电导率，是实现局部活性的理想平台。在适当的偏置下，它们表现出负微分电阻，无需外部增益即可放大微弱信号。其状态依赖性提供了记忆和适应性，与神经元兴奋性和可塑性相匹配。因此，局部活性忆阻器可以用简化的电路架构来模拟混沌边缘的神经元动态，为大规模低功耗神经形态计算提供了有希望的物理基础[8]、[9]、[10]。Kumar、Williams及其同事通过准静态I-V扫描发现，某些过渡金属氧化物忆阻器在特定偏置下表现出明显的负微分电阻（NDR）区域[11]、[12]、[13]、[14]，为在纳米尺度上模拟生物电生理学提供了物理基础。Jin等人随后在Chua Corsage忆阻器（CCM）中识别出了混沌边缘，并通过Hopf分岔揭示了丰富的神经元动态[15]。2024年，《自然》杂志报道了可以在混沌边缘直接实现无放大器的负电阻和信号放大[16]。2025年，Yu等人基于局部活性忆阻器构建了二阶和三阶神经元电路，在混沌边缘产生了18种仿生动作电位[17]。在此基础上，Ascoli、Tetzlaff及其同事通过小信号分析阐明了能量放大机制，并开发了能够再现全或无脉冲和爆发振荡的高阶局部活性忆阻器神经元电路[18]、[19]。
从单个神经元到多端口耦合网络的过渡对于研究涌现的时空行为至关重要。图灵的扩散驱动不稳定性为对称性破缺和自组织奠定了理论基础[20]、[21]。Smale将这一概念应用于离散拓扑结构，揭示了一个反直觉的现象，即两个相同的、渐近稳定的静止细胞仅通过被动耦合就可以被激发到持续振荡状态。在这里考虑的局部活性框架中，当每个细胞都处于混沌边缘时，斯梅尔悖论就会出现，此时局部活性与渐近稳定性共存。在电路层面，将局部活性理论纳入忆阻器细胞神经网络中，使得在阵列中成功表征时空动态成为可能[22]、[23]、[24]、[25]。随后，Ascoli、Chua及其同事通过小信号分析阐明了斯梅尔悖论的数学本质，澄清了如何通过被动电阻器打破均匀的静止状态并放大能量[26]、[27]。Liang Yan的研究小组首次使用CCM模型验证了这一悖论在忆阻器神经元系统中的普适性，并通过宏观尺度仿真器展示了电路操作[28]。
与基于CCM模型的分析、宏观尺度仿真器以及[28]、[29]、[30]中的运算放大器基忆阻器仿真器不同，本研究直接使用了制造的薄膜Nb2O5忆阻器，并将一个通用的封闭形式标准应用于物理耦合系统。实际设备固有地捕获了仿真器无法访问的纳米级多物理效应。尽管存在设备变化、动态退化和随机噪声，我们仍然能在现实条件下可靠地观察到反直觉的振荡。因此，与这些基于仿真器的方法相比，本研究为集成神经形态硬件提供了一条更令人信服且可行的路径。

为了克服这些限制，本研究采用了定制制造的局部活性Ti//Cu忆阻器，从理论上量化并从实验上验证了耦合神经元系统中的斯梅尔悖论。主要贡献如下：
1. 使用物理忆阻器实验验证斯梅尔悖论：一个由制造的薄膜Nb2O5忆阻器构建的双神经元硬件平台在纳米级物理设备层面实验性地展示了被动耦合引起的从静止到振荡的转变。
2. 不对称扰动分析：将基于雅可比的稳定性框架应用于真实的忆阻器耦合系统；两个具有异质参数的电阻耦合二阶神经元被证明表现出脉冲行为和混沌。

本文的其余部分组织如下。第二节描述了忆阻器的制造、电学特性和多项式电压控制建模。第三节通过小信号雅可比分析研究了未耦合的二阶神经元电路的混沌边缘状态。第四节研究了耦合系统：它推导出了对称情况下斯梅尔悖论的临界耦合电阻的封闭形式，并揭示了异质情况下导致混沌的周期加倍路径。第五节在硬件平台上实验性地再现了斯梅尔悖论。最后，第六节总结了本文并概述了未来的工作。

设备制造和表征
局部活性忆阻器采用Ti//Cu三层结构制造如下。首先使用DC磁控溅射在Si基底上沉积一层Ti薄膜作为底电极，然后在Ti层上使用RF磁控溅射沉积一层功能层，最后使用DC磁控溅射形成Cu顶层电极，形成三明治结构。由于其强烈的氧亲和力，Ti底电极能够诱导亚化学计量转变。

单神经元动态和稳定性分析
基于忆阻器的多项式模型，我们构建了一个二阶神经元电路（如图3所示），以研究其混沌边缘动态。其中，Vdc是直流偏置电压，Vout是输出电压，Vmem是忆阻器两端的电压。忆阻器的局部活性使其具有内在的放大能力，使其适合实现紧凑的神经元功能。

耦合忆阻器神经元电路
基于对单神经元混沌边缘动态的理解，本节探讨了两个相同的二阶忆阻器通过被动线性电阻（图5）互连的集体行为，它们共同形成了一个四阶忆阻器神经网络，这是斯梅尔悖论的核心。耦合电阻器连接两个神经元输出。这种拓扑结构保持了未耦合的平衡状态（斯梅尔悖论的前提），并控制了相位关系。

电路实现
为了为后续的斯梅尔悖论分析建立基线，最初的硬件验证集中在一个孤立的单神经元电路上。该拓扑结构将自制的忆阻器集成到一个包含电感器和负载电阻器的二阶局部活性网络中。基于第三节中的电压控制多项式模型进行的雅可比稳定性分析确定了由局部活性和负微分电阻（NDR）驱动的混沌边缘（EOC）区域。在Vdc和Vmem下，分析结果...

结论
我们使用物理局部活性忆阻器实验验证了斯梅尔悖论。通过多项式电压控制模型和小信号雅可比分析，推导出了临界耦合电阻的封闭形式标准，定量捕捉了耦合诱导振荡的起始。对称耦合产生稳健的反相同步，维持大振幅极限环；异质参数破坏了对称性，并诱导出周期加倍的级联...

作者贡献声明
Yuxia Li：监督、方法论、资金获取。
ZiHao Ren：撰写——原始草稿、验证、形式分析、数据整理。
Fang Yuan：撰写——审稿与编辑、验证、方法论、资金获取、形式分析、数据整理、概念化。
Yue Deng：监督、资金获取、数据整理。
Wei Zhou：监督、方法论、资金获取。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能会影响本论文所述工作的财务利益或个人关系。
Yuxia Li于1990年获得中国沈阳建筑大学的学士学位，2005年获得中国广东工业大学的博士学位。自2008年以来，她一直在中国青岛的山东科技大学电气工程与自动化学院担任教授。她的当前研究兴趣包括基于忆阻器的电路和系统、混沌加密、非线性电路和系统。