在新提出的高维石墨烯片模型中的非线性波传播和热泳波动力学：可积性、孤子、团簇及呼吸波

《Optik》：Nonlinear wave propagation and thermophoretic wave dynamics in newly proposed higher-dimensional graphene sheet models: Integrability, solitons, lumps and breathers

　　摘要

本研究提出了两种新的高维扩展的变量系数石墨烯片（vc-GS）方程，这些方程在二维和三维空间中描述了石墨烯中的热泳现象。Painlevé分析（PA）在兼容性条件下确立了所提出模型的可积性，其中是一个常数。使用多种分析方法构建了一类广泛的精确解。自B?cklund变换（ABT）方法产生了指数型、线性和复指数型解，对应于钟形和周期性波结构，而对变量系数没有任何限制。此外，简化Hirota方法（SHM）用于推导多孤子解，而Hirota双线性方法在施加变量系数限制的情况下产生团块波和呼吸波解，包括以及涉及其他系数的常数值。这些结果展示了所提出模型表现出的丰富非线性行为。这些发现对于基于石墨烯系统的纳米尺度热传递、信号调制和能量传输具有重要意义。所有结果都使用MATHEMATICA中的符号计算进行了验证，确保了其准确性，并可作为未来数值研究的基准解。

引言

非线性演化方程（NLEEs）对于表征在各种科学和工程系统中出现的复杂现象至关重要[1]、[2]、[3]、[4]。当线性框架无法充分描述非线性光学、流体动力学、等离子体物理和量子力学等现象时[5]、[6]、[7]，这些数学模型是必不可少的。最近关于NLEEs的研究采用了先进的分析技术来研究复杂的波结构和非线性演化动态。这些工作突显了非线性波分析在理解局部结构和奇异行为中的重要性[8]、[9]、[10]。通过整合非线性效应与耗散、色散等因素，这些方程解释了稳定结构和模式随时间的形成[11]、[12]。因此，它们作为预测现实世界系统行为和揭示理论和应用研究中新现象的重要框架[13]、[14]。孤子是独特的非线性波结构，其特征是在传播过程中具有空间定位和持续的轮廓。最近采用多种分析和符号技术的研究为孤子动力学和不同物理系统中的非线性波相互作用提供了宝贵的见解[15]、[16]、[17]、[18]。

研究非线性偏微分方程（NLPDEs）的精确解是现代物理学和数学中的一个重要焦点[19]、[20]、[21]。与数值估计不同，解析解提供了对非线性系统内在属性的深入理解，如波相互作用、奇点形成、孤子、共振和稳定性[22]、[23]、[24]。因此，人们投入了大量努力来开发能够提取这些解并揭示非线性模型潜在结构的有效数学技术[25]、[26]。一些分析方法包括：改进的Sardar子方程方法[27]、简化Hirota方法[28]、[29]、改进的Kudryashov方法[30]、同宿测试函数方法[31]、Lie对称性技术[32]、[33]、Sine-Gordon方程展开方法[34]、自B?cklund变换方法[35]、[36]、[37]、高级辅助方程方法[38]、Paul-Painlevé方法[39]、Jacobi椭圆函数方法[40]、Bell多项式方法[41]、改进的Bernoulli子方程函数方法[42]、-展开方法[43]、逆散射变换方法[44]、扩展的双曲函数方法[45]等。

在非线性系统分析中的一个关键方面是它们的可积性。Painlevé分析（PA）[46]、[47]提供了一个严格的框架，用于确定特定方程是否具有可积特性。通过找到解中的奇点模式，这种方法提供了一种直接的方法来判断非线性模型是否可以通过精确技术求解。生成可积方程新解的最有效技术之一是自B?cklund变换（ABT）[35]、[36]、[37]。ABT方法可以构建折点波、反折点波和周期性波解，这些解表征了非线性介质中的重复模式和相变。另一种获得解析解的强大方法是SHM[28]、[29]，它因在生成多孤子解方面的效率而广受认可。孤子被定义为稳定的局部化波结构，即使在相互作用后也能保持其形状和速度。此外，Hirota双线性形式为获得更复杂的非线性波解（如呼吸波和团块波）提供了基础[48]。团块在空间方向上是合理局部化的，形成一个尖锐的峰值，而呼吸波描述了在时间或空间上具有周期性行为的振荡局部化波。

石墨烯是一种来自石墨的单层材料，具有优异的物理和光学特性，如电导率、机械强度、热稳定性和光学性质，包括快速的光响应，使其在光子学和电子技术中非常有用[49]、[50]、[51]、[52]。石墨烯中的热泳运动涉及由于温差而导致的粒子或皱纹的迁移。这些运动可以通过保持其结构的孤子解有效地建模。将Kadomtsev-Petviashvili（KP）算子应用于Korteweg-de Vries（KdV）方程，得到了二维变量系数石墨烯片（vc-GS）方程[49]，该方程捕获了石墨烯中的二维热泳动态。系数和是热导率系数。方程（1.1）之前已被多位作者求解。Javid等人[49]应用了广义统一方法来推导出类似皱纹的多孤子解。Arif等人[50]使用扩展的三孤子方法获得了团块波和混合阶解。Gabbalah和El-Shiekh[51]利用-展开方法和对称群方法推导出了折点孤子、三角波和周期性Jacobi椭圆波。Yan等人[52]分别使用Painlevé方法和自B?cklund变换方法获得了可积性和多个规则和奇异折点解。

二维vc-GS方程是近年来在模拟石墨烯中热泳现象方面的一个发展，建立在Abdel-Gawad等人[53]开发的经典KdV方程基础上，其表达式为，其中对应于热泳演化变量，定义了横向色散行为。在的情况下，模型简化为二维方程（1.1）。如果和都被视为常数，则方程（1.2）简化为具有常系数的一维GS方程。在之前对方程（1.1）的研究中，许多作者应用了不同的方法来获得解析解。Abdel-Gawad等人[53]在其工作中使用扩展的统一方法发现了包括团块、皱纹孤子、混合形状波和格子波在内的多种解析解。Qasim等人[54]考虑了方程（1.1）的常系数版本，并使用双线性神经网络方法获得了-lump、团块相互作用、呼吸波和rogue波解。Khater等人[55]应用了三种分析方法，即Khater II、Khater III和广义有理方法，对具有常系数的方程（1.1）进行了高精度孤立波和周期性波解的求解。Gabbalah和El-Shiekh[56]使用相似性简化和B?cklund变换生成了新的波解。El-Shiekh和Gabballah[57]通过简化的Hirota双线性方法推导出了-soliton解。Kumar等人的工作[58]使用广义指数微分有理函数方法开发了新的多孤子和团块孤子。Younas等人[59]使用Hirota双线性方法（HBM）获得了两种波、不同类型的呼吸波和团块解。

然而，本研究引入了二维和三维空间中的两个新的vc-GS方程扩展，通过在方程（1.2）中加入两个额外的项和，在方程（1.3）中再加入一个项，以获得三维方程（1.4）。这里，和是的非零实函数。（1.3）、（1.4）分别称为三维扩展vc-GS方程和四维扩展vc-GS方程。通过引入这三个线性项，这些模型旨在捕捉空间变量与其他独立变量相关的扩展效应。包含、和增强了vc-GS模型，纳入了额外的物理效应。项代表了沿着纵向-方向的额外色散或扩散效应，影响了热泳扰动在石墨烯片上的传播。混合导数项捕捉了和变量之间的方向耦合，表明一个方向的变化会影响另一个方向。项引入了和方向之间的耦合，使模型能够考虑涉及额外维度的相互作用。总的来说，这些术语增强了模型捕捉复杂波动态、耦合方向效应和石墨烯片中多维热泳效应的能力。

为了尺寸一致性，系数、和被视为与相应二阶空间导数相关的有效系数。在（1.3）、（1.4）的无量纲形式中，空间变量、时间、因变量和模型系数都是标量量，因此是无量纲的。参数和同样被视为无量纲的变量系数。因此，所提出的方程表示无量纲的扩展vc-GS模型，和作为控制额外纵向和方向耦合效应的有效系数。

所提出的三维和四维扩展vc-GS方程是新引入的，在我们所知的现有文献中尚未进行过研究。在我们的工作中，我们首先借助PA方法证明了这两个方程的可积性。随后，实施了ABT方法来为这两个方程产生新的解析解，其特征是钟形和周期性波。此外，还利用SHM推导出一孤子、二孤子和三孤子解。通过HBM构建了团块波和呼吸波解。获得的解的广泛范围突显了这些方程所描述的复杂性和丰富的非线性波结构。

本文的组织结构如下：第2节分析了方程（1.3）的可积性，并通过ABT方法获得了其解析解，以及使用简化的Hirota和Hirota双线性技术的多孤子、团块和呼吸波解。第3节对方程（1.4）进行了相同的分析。第4节以简要总结结束。

### （2 + 1）维扩展vc-GS方程

本节探讨了（2 + 1）维扩展vc-GS方程（1.3）的可积性和解行为。通过Painlevé方法研究了可积性条件，并通过ABT方法构建了精确的解析解。此外，使用简化的Hirota方案推导出了多孤子解，而通过Hirota双线性化获得了团块波和呼吸波结构。

### 四维扩展vc-GS方程

遵循与三维情况相同的程序，我们分析了四维扩展vc-GS方程（1.4）的可积性和孤子结构。使用Painlevé分析来测试可积性，同时应用ABT方法、SHM和HBM来获得解析的、多孤子、团块和呼吸波解。

### 结论

在这项研究中，成功提出了并分析了二维和三维空间中的两种新的vc-GS方程扩展。加入额外的线性项、和显著增强了模型描述多方向耦合、色散效应和石墨烯片中高维热泳行为的能力。通过PA建立了两个模型的可积性。因此，（1.3）、（1.4）中表示的模型被证明是

### 作者贡献声明

Shailendra Singh：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、验证、方法论、调查、形式分析、概念化。
Abdul-Majid Wazwaz：撰写——审阅与编辑、验证、监督、形式分析。
S. Saha Ray：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、形式分析。

### 利益冲突声明

作者声明他们没有已知的利益冲突或个人关系可能会影响本文所述的工作。