分数阶流体饱和多孔黏弹性BISQ半空间瑞利波表面刚度矩阵法分析

《Fractal and Fractional》：Rayleigh Wave Analysis in Fractional-Order Fluid-Saturated Porous Viscoelastic BISQ Half-Space Using the Surface Stiffness Matrix Method

　　

摘要：采用表面刚度矩阵法，研究了考虑分数阶黏弹性和喷射流（BISQ）效应的流体饱和多孔黏弹性半空间上瑞利波的传播特性。首先，从考虑分数阶黏弹性和喷射流效应的控制方程与本构关系出发，推导了分数阶流体饱和多孔黏弹性材料中瑞利波的状态传递方程。随后，通过求解瑞利波的状态传递方程，获得了含分数阶与喷射流因子的传递矩阵及状态向量刚度矩阵，进而推导了分数阶BISQ多孔黏弹性半空间瑞利波的表面刚度矩阵。最后，施加机械无牵引条件以及渗透和不渗透边界条件，得到了瑞利波的频散关系。数值上讨论了瑞利波速度对特征喷射流长度以及固相和液相分数阶黏弹性的依赖关系。结果表明，瑞利波速度不仅受黏弹性影响，还受喷射流长度影响。该工作为分数阶BISQ瑞利波问题提供了稳定的数值实现方案，而此类问题在采用传统传递矩阵方法求解时存在高频不稳定性。

分数阶流体饱和多孔黏弹性BISQ半空间瑞利波表面刚度矩阵法研究解读

一、研究背景与问题提出

自然地质材料如土壤和岩石通常为多相多孔介质，由固体骨架和孔隙流体组成，其波动传播特性远比单相介质复杂。自Biot于1956年建立流体饱和多孔介质中弹性波传播的动力学理论以来，瑞利波在多孔半空间中的传播问题得到了系统研究。然而，Biot理论在描述地震波衰减与频散方面存在不足，尤其在低频段。为弥补这一缺陷，Dvorkin和Nur提出了BISQ（Biot-squirt）模型，将宏观Biot流与微观喷射流效应统一起来，更符合强衰减和显著频散的实验观测。与此同时，真实地质材料如含黏土砂岩常表现出显著的黏弹性行为，整数阶黏弹性模型无法复现岩石实验中广泛观测到的幂律衰减行为。分数阶导数模型凭借其卷积结构天然编码了记忆效应，能够以较少参数准确描述材料的历史依赖黏弹性响应，近年来在多孔介质波动理论中得到广泛应用。基于分数阶Zener模型和分数阶阻尼器模型，Kang等建立了同时考虑固体骨架和孔隙流体黏弹性的分数阶黏弹性BISQ模型。在求解方法方面，传递矩阵法简洁但高频段因指数增长易产生数值不稳定，而刚度矩阵法通过建立广义应力与广义位移之间的关系，具有更好的数值稳定性。然而，将表面刚度矩阵法应用于分数阶黏弹性BISQ多孔半空间瑞利波问题，目前仍缺乏数值稳定的实现方案。因此，开展此项研究具有明确的物理必要性和工程应用价值。

二、研究内容与结论

研究人员基于分数阶黏弹性BISQ模型，采用表面刚度矩阵法系统研究了流体饱和多孔黏弹性半空间中瑞利波的传播特性。研究首先从考虑分数阶黏弹性和喷射流效应的控制方程与本构关系出发，推导了瑞利波的状态传递方程；通过求解该方程获得了含分数阶与喷射流因子的传递矩阵及状态向量刚度矩阵，进而推导了半空间的表面刚度矩阵；施加机械无牵引、渗透和不渗透边界条件，获得了瑞利波的频散方程。数值结果表明，瑞利波速度显著依赖于特征喷射流长度以及固相和液相的分数阶黏弹性参数。该工作为分数阶BISQ瑞利波问题提供了稳定的数值实现框架，克服了传统传递矩阵方法在高频段的数值不稳定问题，为地震勘探和岩土工程中的波动传播研究提供了理论参考。

三、关键技术与方法

研究人员采用的主要技术方法包括：分数阶Zener模型描述固体骨架的黏弹性，引入因果Riemann-Liouville分数阶导数算子；采用Scott-Blair分数阶黏弹性流体模型描述孔隙流体的非牛顿行为；建立分数阶BISQ模型的控制方程与本构关系；通过状态向量构造一阶矩阵微分方程，利用矩阵指数获得传递矩阵；通过特征值分解区分衰减波模式，构造半空间表面刚度矩阵；施加渗透和不渗透两类边界条件获得频散方程；采用Muller方法求解复值超越频散方程，收敛容差设为10^-10，初始猜测在相速度100–5000 m/s和衰减系数0–500 m^-1范围内网格化搜索以避免漏根；Bessel函数数值积分采用自适应求积，相对容差为10^-8。材料参数取自Kang等和Stoll的文献数据。

四、研究结果

4.1 频率对瑞利波速度的影响

通过数值计算瑞利波相速度随频率的变化，发现瑞利波速度随频率单调增加，呈现从低频平台向高频平台过渡的典型频散特征，该行为与经典Biot理论和BISQ模型的预测一致。渗透边界条件下的瑞利波速度在整个频率范围内略低于不渗透边界条件，差异在中频段最为明显，随频率趋于无穷大而逐渐消失。

4.2 特征喷射流长度对瑞利波速度的影响

通过比较不同特征喷射流长度R下的瑞利波速度，发现较小的R产生更强的局部孔隙流体喷射流效应。随R增大，喷射流效应逐渐减弱，BISQ模型趋于经典Biot模型。低频段瑞利波速度随R增大而降低，高频段各曲线收敛至共同极限，即完全松弛喷射流的Biot高频渐近值。物理机制上，R增大使喷射效应增强，降低复体积模量的实部（储能模量），从而降低P波速度，由于瑞利波可视为P波和S波在半空间自由表面的叠加，瑞利波速度随之降低。

4.3 固体骨架黏弹性对瑞利波速度的影响

通过变化固体骨架分数阶参数γ₁和γ₂，发现瑞利波速度随分数阶参数增大而显著降低。当分数阶参数较小时，固体骨架的力学响应更接近弹性，黏性效应较弱；γ₁,γ₂→0时复模量趋于弹性值，介质有效刚度更高，波速相应增大。高频条件下分数阶参数对瑞利波速度的调节作用更为明显。

4.4 孔隙流体黏度对瑞利波速度的影响

通过变化流体分数阶参数γ₃，发现瑞利波速度随γ₃增大而单调降低。γ₃→0对应类弹性固体流体，储能能力强、等效刚度高，产生较高波速；γ₃→1对应牛顿黏性流体，能量耗散占主导、等效刚度降低，产生较低波速。γ₃对波速的影响相对弱于固体骨架分数阶参数，因为介质整体刚度主要由固体骨架控制。

五、讨论与结论

参数效应总结表明：瑞利波速度在流体饱和多孔黏弹性半空间中呈现显著频散，随频率单调上升；固体骨架分数阶黏弹性参数对波速影响显著，分数阶值越大黏弹性耗散越强、波速越低；孔隙流体分数阶参数γ₃同样影响波速但作用相对较小；特征喷射流长度R在低频段显著影响波速，较小R对应较强喷射流效应和较高波速；渗透边界条件产生略低的瑞利波速度。研究结论指出：通过表面刚度矩阵法，考虑分数阶黏弹性和喷射流效应，推导了瑞利波状态传递方程，构建了传递矩阵和表面刚度矩阵，在无牵引、渗透和不渗透边界条件下获得了频散关系；数值模拟表明瑞利波速度强烈依赖特征喷射流长度以及固相和液相的分数阶黏弹性性质，喷射流效应和黏弹性共同控制瑞利波的频散行为；所提出的表面刚度矩阵方法克服了传统传递矩阵方法在分数阶BISQ瑞利波问题中的高频数值不稳定，为饱和多孔黏弹性介质的波动分析提供了稳定数值框架。未来工作可向多层分数阶BISQ多孔介质扩展，实施其他分数阶导数定义进行比较，引入部分饱和效应，并利用实验或野外地震数据标定分数阶黏弹性参数。