数据驱动方法预测砌体宣礼塔自然频率：机器学习与符号回归的可解释集成框架

《Buildings》：Data-Driven Approaches for Predicting the Natural Frequencies of Masonry Minarets

　　

历史砌体宣礼塔因其细长构型与砌体固有低抗拉能力和有限延性，尤其易受地震损伤。因此，可靠表征其动力特性是抗震评估和制定适宜保护措施的重要前提。本研究开发了一种数据驱动方法，用于估计砌体宣礼塔的第一、第二阶固有频率（f₁、f₂）。研究人员通过Abaqus中的参数化模态分析，建立了包含1146个不同力学属性有限元模型（FEM）的数据库，这些模型代表191个独特几何组。预测变量集合包括总高度H、下部内径D₀、上部内径D_top、壁厚t、基底尺寸B以及刚度–密度相关参数。采用几何分组嵌套五折交叉验证评估随机森林（RF）、XGBoost（eXtreme Gradient Boosting）、LightGBM（Light Gradient Boosting Machine）和CatBoost（Categorical Boosting）模型，同时通过线性回归和符号回归（SR）导出显式方程。CatBoost取得最佳总体机器学习性能，f₁和f₂的外层测试平均R²分别为0.9597和0.9610。SHAP（Shapley Additive exPlanations）分析识别出总高度和刚度–密度相关参数为主导预测变量。符号回归提供的显式方程较线性回归显著更准确，并取得与最佳机器学习模型相当的预测性能。额外经力学缩放的仅几何基线模型对第一、第二阶频率的外层测试平均R²分别为0.8222和0.8217，优于普通加性线性回归，但仍不及更灵活的模型。所提出的框架为在所研究参数域内预测有限元导出的固有频率提供了准确、可解释且计算高效的代理模型。然而，所报告的预测性能反映的是与数值参考模型的一致性，在将所提模型应用于既有砌体宣礼塔之前仍需实验验证。

研究背景方面，历史砌体宣礼塔是文化遗产的重要组成，但细长几何、低抗拉强度、延性不足、壁厚差异、几何不规则以及以自重而非地震作用为主的初始设计，使其在强震下呈悬臂式响应并可能发生脆性破坏、损伤局部化和倒塌。既有研究已借助有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）评估振动频率、应力集中、位移需求和损伤模式，也通过现场运行模态分析（Operational Modal Analysis, OMA）、模型更新和振动台试验认识真实动力特性；土–结构相互作用、基础性质、相邻建筑、基座、过渡区、阳台及加固与震后评估亦受关注。然而，现有工作多集中于少量真实结构的精细数值或试验研究，经验关系和数据驱动模型则常受小数据集、有限参数范围或特定结构类型限制。尤其对于砌体宣礼塔，尚缺乏同时具备准确性、可解释性，并由大规模参数化数据库支撑且可估计前两阶固有频率的预测框架；机器学习方法与显式回归方程在同一数据库上的系统比较及可解释人工智能解释亦不足。为此，研究人员建立1146个有限元模型（191个几何组）的参数化模态数据库，评估RF、XGBoost、LightGBM和CatBoost，并用线性与符号回归导出显式方程，采用SHAP量化参数影响，同时设置力学缩放仅几何基线。研究结论表明，CatBoost对f₁和f₂的外层测试平均R²分别为0.9597和0.9610，符号回归R²分别为0.9681和0.9570，总高度H与刚度–密度相关参数为主导变量；该框架可减少重复有限元模拟，但仅代表对数值参考模型的代理预测，尚需独立实验验证。

关键技术方法概括（不超过250字）：研究人员以总高度H、下部内径D₀、上部内径D_top、壁厚t和方形基底尺寸B定义参数化几何，并以弹性模量E和密度ρ表征材料；参数范围参考土耳其历史砌体宣礼塔代表性尺寸，E为500—6000 MPa、ρ为1200—2700 kg/m³。采用Abaqus、C3D10单元和固定基底进行无阻尼特征值模态分析，生成191个几何组、1146个模型实现。数据驱动部分采用几何分组嵌套五折交叉验证，RF、XGBoost、LightGBM、CatBoost通过随机搜索调参；符号回归采用PySR发现显式表达式；以SHAP解释最终模型，并用几何组bootstrap估计性能不确定性。

研究结果如下。3.1 砌体宣礼塔模态特征：通过代表性模型前四阶模态及质量参与比分析，前两阶为近似正交水平方向的整体侧弯，频率接近；全数据库f₂与f₁平均相对差约0.64%，最大3.00%，86.9%的实现相对差不超过1%，这解释了f₁与f₂线性方程系数接近。3.2 机器学习模型性能：通过几何分组交叉验证，CatBoost总体最优，f₁的R²=0.9597±0.0327、MAE=0.0503±0.0100 Hz，f₂的R²=0.9610±0.0304、MAE=0.0506±0.0101 Hz；XGBoost和LightGBM次之，RF误差较大。SHAP表明H主导，其次为刚度–密度相关参数；H增大主要产生负贡献，刚度–密度参数增大产生正贡献；bootstrap给出性能置信区间，残差分析显示随几何比存在一定系统性偏差。3.3 基于回归的频率方程：通过线性回归得到R²约0.7679和0.7674、SMAPE约31.5%，说明加性线性形式不足；符号回归将R²提高至0.9681和0.9570，SMAPE低于8%，与最佳机器学习模型相当，但独立拟合的两个方程不保证f₁2，有42.41%的实现出现顺序倒置。3.4 力学缩放仅几何基线：通过按√(E/ρ)归一化验证材料缩放，组内变异很小；仅几何线性模型R²为0.8222和0.8217，SMAPE约24.3%，优于普通加性线性但低于CatBoost和符号回归，且出现少量负频率预测。3.5 局限性与适用性：模型采用简化几何、均质各向同性线弹性砌体、固定基底、无土–结构相互作用和重力初始应力，且未用实验模态独立验证，故适用范围限于所采用数值假设和联合参数域。

讨论部分总结：该研究整合参数化有限元、机器学习与显式回归，形成准确、可解释且计算高效的数值代理框架；但预测误差衡量的是代理模型与有限元参考频率之差，而非与实测结构响应的一致性，因此当前应视为数值代理工具，而非已实验验证的结构评估或保护决策方法。研究结论翻译：本研究提出一个统一框架，整合参数化有限元分析、机器学习技术和显式回归公式，以估计砌体宣礼塔的第一、第二阶固有频率。使用包含191个独特几何组、1146个有限元模型实现的数据库开发和评估预测模型，并采用几何分组验证防止相关结构构型同时出现在训练和测试子集。模态研究确认f₁和f₂对应与宣礼塔近似对称水平特征相关的密集侧弯模态，为二者预测关系高度相似提供物理解释。机器学习结果显示f₁和f₂均具较高预测精度，CatBoost总体最佳，平均外层测试R²分别为0.9597和0.9610；XGBoost和LightGBM性能亦强，RF误差较大。这表明提升式树集成可有效捕捉几何、材料与模态频率间的非线性关系，并对未见几何组保持泛化。SHAP解释一致识别总高度H为主导预测变量，其次为刚度–密度相关参数；H增大主要降低预测频率，该参数增大通常提高预测频率，其他几何参数贡献较小但不应解释为物理上不重要。线性回归方程紧凑易解释但难以表达非线性，R²约0.77、SMAPE约32%；符号回归显著改善显式公式，f₁和f₂的R²分别为0.9681和0.9570、SMAPE低于8%，在机器学习预测能力与闭式方程可解释性之间形成有吸引力的折中。力学缩放基线确认固有频率与弹性模量–密度比的平方根相关；仅用几何参数的归一化线性回归R²为0.8222和0.8217，优于普通加性线性但低于CatBoost和符号回归，说明已知力学缩放可解释材料依赖，而非线性几何效应需更灵活模型。总体而言，该框架为估计砌体宣礼塔前两阶固有频率提供高效可解释数值代理，无需重复有限元模拟；但所报告误差量化的是代理预测与数值参考频率之差，而非数值预测与实验实测响应的一致性，故目前应视为数值代理工具。其应用受建模假设和缺乏独立实验验证限制：模型未显式考虑内部楼梯、个别开孔、详细阳台连接或非线性损伤机制；f₂是密集近似正交侧弯模态对中的第二频率而非独立高阶弯曲模态。未来需研究更详细结构构型和实验校准模型，并发展带排序约束的符号回归公式。