基于熔–晶界面形貌的YAG晶体与熔体辐射吸收系数反演确定

《Crystals》：Inverse Determination of Radiation Absorption Coefficients of YAG Crystal and Melt Based on Melt–Crystal Interface Morphology

　　

钇铝石榴石（YAG）晶体与熔体内部的辐射显著影响晶体生长过程中熔–晶（m-c）界面的形貌。然而，辐射吸收系数在高温条件下难以直接测量，因此适用于YAG晶体生长数值模拟的可靠辐射参数仍然匮乏。本研究将数值模拟与晶体生长及快速提拉实验相结合，反演确定了YAG晶体与熔体的有效辐射吸收系数。研究人员利用ANSYS Fluent 2024 R2建立了YAG晶体Czochralski生长的全局耦合多物理场模型，通过用户自定义函数（UDFs）和用户自定义标量（UDSs）纳入电磁感应加热、基于PID的热源控制以及m-c界面的动态调整。系统研究了YAG晶体与熔体吸收系数对m-c界面形貌的影响。与实验界面形貌对比表明，未掺杂YAG晶体的有效吸收系数为20 m^?1，且熔体可合理视为不透明介质。实验获得的未掺杂YAG、1 at.% Nd:YAG和1.46 at.% Yb:YAG的界面形貌高度一致，表明在所研究的浓度下Nd³⁺和Yb³⁺掺杂的影响有限。因此，对这些轻掺杂晶体可合理采用相同的辐射参数。

稀土离子掺杂钇铝石榴石（YAG）晶体因其高热导率、优异光学性能及适于大尺寸晶体生长，是高功率固态激光器的关键材料，已广泛应用于工业、医疗、通信和国防领域。在YAG晶体生长系统中，熔–晶（m-c）界面的形成与演化是流体流动、传热、热辐射和相变等多物理过程非线性耦合的结果。m-c界面形貌直接影响热应力、组分分布、缺陷形成和生长稳定性，对晶体质量具有重要决定作用。一般而言，氧化物晶体与熔体为半透明介质，内部辐射显著影响相界面形貌。因此，可靠表征YAG晶体与熔体的辐射性质对于提高晶体生长模拟的可靠性及优化生长工艺至关重要。在氧化物晶体生长数值模拟中，内部辐射传热通常采用灰介质近似处理。Qi等^[13]在灰介质假设下研究了内部辐射对蓝宝石热交换法生长中传热、熔体对流和界面形貌的影响，结果表明内部辐射显著增强热输运和熔体对流；增大晶体吸收系数减小界面凹陷，而增大熔体吸收系数则产生相反效果；散射仅在散射系数超过吸收系数时才显著，主要归因于气泡、微孔和颗粒夹杂等内部缺陷。Banerjee和Muralidhar^[14]对YAG和Nd晶体的Czochralski生长报告了类似发现，表明晶体与熔体吸收性质的变化强烈影响传热、熔体流动和界面形貌，而散射对整体温度场和流场的影响相对有限。Bottcher等^[15]在研究NdScO₃晶体生长中的内部辐射时忽略散射，因氧化物晶体中缺陷特征尺寸远小于主导热辐射波长；通过比较模拟与实验观测的界面凹陷，他们估计NdScO₃晶体的吸收系数约为40–200 m^?1。这些研究表明，吸收系数是控制半透明氧化物晶体内部辐射传热和界面形貌的关键参数。对于YAG晶体生长，已有研究进一步阐明了内部辐射在界面形成与演化中的作用。Xiao和Derby^[16]建立了考虑内部辐射的YAG和GGG晶体Czochralski（Cz）生长全局模型，结果表明仅靠熔体对流无法产生明显的向熔体凸出的界面，而YAG对红外辐射的半透明性对形成深度凸出界面至关重要。Schwabe等^[17,18]结合低温NaNO₃模型实验与数值模拟研究了YAG生长中的界面形成，表明红外半透明性诱导类光管辐射输运效应，辐射热流超过纯导热热流；该效应促进界面向熔体凸出，并改变浮力驱动、热毛细驱动和旋转驱动对流之间的竞争，从而移动界面反转的临界条件。Faiez和Rezaei^[19]通过参数分析进一步研究了晶体和熔体吸收系数对界面形貌的影响，报告了与Qi等^[13]一致的趋势；他们还提出Cr离子分凝可能改变两相的光学厚度，从而促进界面平坦化并影响熔体流动和界面反转。这些研究表明，YAG晶体的半透明辐射性质不仅影响传热，还通过与熔体对流的耦合影响m-c界面的形貌和稳定性。除灰介质近似外，一些研究考虑了晶体吸收波长依赖性引起的非灰效应。Galazka等^[20]采用谱带方法模拟YAG晶体Cz生长中的内部辐射，基于室温透射光谱将0.8–4.2 μm范围划分为谱带，计算相应的Planck和Rosseland平均吸收系数以表征Nd、Pr和Er掺杂引起的光谱吸收差异；发现内部辐射增强传热并增大界面向熔体的凸出度，而更强的光谱吸收限制辐射输运、增大温度不均匀性并移动平坦界面所需的临界晶转速率。Matsushima和Viskanta^[21]建立了考虑晶体和熔体内辐射传递的垂直Bridgman晶体生长二维数值模型，比较了灰模型与谱带模型；两种模型预测的流线和等温线分布相似，最大流函数差异约8%；与谱带模型相比，灰模型低估晶体–熔体界面最大传导热流不足10%，低估总热流约12–16%。这些结果表明，在缺乏高温光谱数据时，选用适当几何平均吸收系数的灰模型提供了实用近似，但其精度取决于吸收系数的选择。为获得高温光谱数据，一些研究人员开展了高温光谱测量。Schwabe和Polity^[22]开发了高温透射光谱系统，表征0.9% Nd:YAG晶体从室温至约1290 °C的可见–近红外透射率；结果揭示Nd³⁺吸收带随温度升高显著展宽，伴随某些吸收峰位置移动和强度变化，表明YAG晶体光谱吸收性质具有强温度依赖性；然而，测量的透射率还受Ir/Pt挥发及随后在晶体表面沉积的影响，难以分离本征吸收性质的变化；此外，高温热发射、加热元件挥发与凝结、光路不稳定性和温度测量限制阻碍了接近YAG熔点的测量。Bufetova等^[23]在激光加热基座法生长30 at.% Er:YAG晶体过程中原位测量了固–液界面附近的高温热辐射光谱，还估计了熔体温度、发射率和选定谱带的吸收系数；然而测量仅覆盖350–850 nm，与高温辐射传热相关的较长波长未被表征。尽管已有研究阐明了YAG晶体光谱吸收性质的温度依赖性并开发了高温光谱测量系统，但接近实际晶体生长条件的晶体与熔体的可靠辐射性质数据仍然稀缺。以往数值研究主要通过参数分析研究吸收系数对晶体生长的影响，接近熔点的YAG晶体与熔体的可靠吸收系数数据仍然有限。据此，本研究将数值模拟与YAG晶体生长及快速提拉实验相结合，确定YAG晶体与熔体的有效辐射吸收系数。研究人员在Fluent中利用用户自定义标量（UDSs）和用户自定义函数（UDFs）开发了全耦合多物理场模型，纳入电磁感应加热、基于PID的功率控制和基于动态网格的m-c界面演化。开展参数研究，系统考察晶体和熔体吸收系数对温度场、流场和m-c界面形貌的影响。最后，通过模拟与实验获得的m-c界面形貌的定量比较，反演确定晶体和熔体的有效辐射吸收系数。研究人员基于以下假设建立数值模型：炉体结构轴对称；所有辐射表面视为漫灰表面；熔体和晶体假定为灰介质，忽略散射效应；N₂假定为理想且完全透明气体；熔体流动不可压缩并满足Boussinesq近似。采用离散坐标模型处理热辐射，采用k-ω SST模型处理流动。晶体辐射传递方程由式（4）给出。线圈和坩埚区域的能量方程包含电磁感应加热相关的体积热源项q。外部热边界固定为300 K，内部材料边界施加温度连续性和总热流守恒条件，固体壁面满足无穿透和无滑移条件。熔体自由表面考虑Marangoni效应，以切向应力平衡描述。m-c界面处施加温度连续性条件和能量平衡方程，熔点T₀为2243 K，潜热ΔH为4.55 × 10⁵ J/kg。所有固体表面视为不透明漫边界，晶体表面、自由表面和m-c界面视为半透明漫边界，界面反射率采用Fresnel关系计算。在实际晶体生长过程中，PID控制系统以晶体重量误差信号为反馈调节加热功率以维持晶体直径为目标值；在模拟中，固定三相交点位置等效于保持晶体直径恒定。因此，m-c界面调整如下：以三相交点处生长速率与设定生长速率的误差作为反馈信号，采用增量式PID控制算法调节加热功率，比例、积分和微分增益分别设为K_p = 0.2、K_i = 0.01和K_d = 0.02；同时采用动态网格技术动态调整m-c界面位置，确保m-c界面上各点生长速率达到设定值。根据m-c界面能量平衡方程，生长速率误差V_err可表示为式（12），其中V_gr为提拉速率，V_cry为结晶速率，n为界面法向，θ为n与竖直轴的夹角。m-c界面调整流程为：S₁和S₂为三相交点生长速率误差阈值，分别设为0.5V_gr和0.1V_gr；当最近10个时间步的生长速率误差绝对值之和小于S₁，且连续两个时间步生长速率误差的绝对差小于S₂时，计算m-c界面上各点生长速率误差并更新界面位置；S₃为m-c界面最大生长速率误差阈值，设为0.01V_gr；当最大误差小于S₃时，终止m-c界面调整，认为计算完成。感应加热、PID控制和m-c界面调整算法通过UDFs和UDSs实现，并与全局仿真模型完全耦合。几何模型对应实际YAG Cz生长系统，晶体构型对应放肩生长阶段，晶体长度23 mm，最大直径26 mm；提拉速率设为0.8 mm/h，晶转速率6 rpm。熔体热物性通过气悬浮技术实验获得，保温材料物性由制造商提供，其余物性取自文献^[25]。尽管热物性随温度变化，但可靠高温数据缺乏，因此除熔体密度和粘度视为温度相关外，假定物性为常数。为评估常物性假设的影响，对热导率、比热容和发射率等代表性热物性进行了敏感性分析；基线界面凸出度为21.13 mm，相对变化定义为（l ? l₀）/l₀ × 100%，其中l₀为基线值。m-c界面凸出度在研究所涉参数范围内最大相对变化为6.39%，界面形貌对熔体热导率最为敏感，其他物性变化引起的改变小于3%；表明热物性的合理变化对m-c界面形貌影响有限，不太可能显著影响由界面形貌推断的吸收系数。为验证网格和角度离散独立性，在两种代表性光学条件下采用三种不同单元数的计算网格。第一种情况代表高吸收条件，晶体吸收系数设为α_c = 1000 m^?1，熔体视为光学不透明介质；该条件下辐射在相对短距离内被吸收，辐射传热更局部化，对空间分辨率要求更高。比较不同网格下的最大熔体速度、最大熔体温度和m-c界面凸出度，Mesh 3与Mesh 2之间所有计算量的相对偏差均小于1%，表明进一步网格细化对计算结果影响可忽略。为进一步评估光学薄条件下角度离散的可靠性，考虑了低吸收系数附加情况，其中α_c = 5 m^?1、α_m = 100 m^?1；该条件下辐射平均自由程较长，辐射传递解对角度离散更敏感。每个空间位置的4π角度域离散为M = N_θ × N_φ个不重叠立体角，θ和φ分别表示极角和方位角；角度离散为8 × 8和9 × 9时预测的m-c界面凸出度分别为7.03 mm和6.98 mm，两者差异小于1%，表明进一步角度细化对辐射传递计算影响可忽略。在研究结果部分，研究人员首先考察了熔体吸收系数的影响。在晶体吸收系数固定为α_c = 20 m^?1条件下，对一系列熔体吸收系数α_m进行数值模拟，并将熔体视为光学不透明介质的情况称为"without IR"。当α_m = 100 m^?1时，熔体温度分布相对均匀，m-c界面附近温度梯度较弱；这归因于低α_m下辐射穿透深度大，辐射能深入熔体并在较大区域快速传热，抑制局部热积聚；同时熔体内较小温差对应较弱浮力和表面张力梯度，导致自然对流和Marangoni流较弱，整体熔体流动较弱，最大速度为0.0175 m/s。随着α_m增大，辐射穿透深度减小，辐射能在较短距离内被吸收，大区域热输运效率降低，热能更易局部积聚；当α_m从100增至10,000 m^?1时，熔体内最大温差从142 K增至307 K，m-c界面附近温度梯度更陡，温差增大强化自然对流和Marangoni流，最大熔体速度从0.0175增至0.0391 m/s。在不透明熔体情况下，传热仅通过对流和导热进行，m-c界面附近温度梯度更陡；加热功率降低导致熔体内温差小于α_m = 10,000 m^?1时，最大熔体速度降至0.032 m/s。随着α_m增大，m-c界面辐射传热速率Q_rad,mc减小而传导传热速率Q_con,mc增大，但传导传热的增加不能补偿辐射传热的减少，导致总传热速率Q_mc,total减小；同时自由表面总传热速率Q_free,total、坩埚到熔体总传热速率Q_cru,melt和系统总加热功率P增大。随着α_m增大，晶体内温差和温度梯度逐渐减小，主要因为α_m增大会提高熔体温度，从而增大Q_free,total并提高气体温度，减小晶体表面对流热损失；同时P随α_m增大而增大，提高内保温结构温度，减小晶体向保温结构的辐射热损失。在不透明熔体情况下，自由表面视为不透明而非半透明，减少向环境的辐射热损失，从而降低所需加热功率；结果周围气体和内保温结构温度降低，晶体与周围环境温差增大，增强晶体向气体的对流热损失和晶体向保温结构的辐射热损失，导致晶体内温差更大、温度梯度更陡。m-c界面向熔体的凸出度随α_m增大而增大，在不透明熔体情况下凸出度最大。根据界面能量平衡，晶体侧和熔体侧热流变化直接影响m-c界面平衡位置；随着α_m增大，熔体内辐射传热减小，熔体侧整体传热能力降低，界面热流平衡改变导致m-c界面向熔体移动直至建立新平衡，从而增大凸出度；在不透明熔体情况下，内部辐射传热缺失进一步降低熔体侧传热能力，导致最大界面凸出度。其次，研究人员考察了晶体吸收系数的影响。在熔体视为不透明条件下，对不同α_c及不透明晶体情况进行数值模拟。当晶体视为不透明介质时，晶体内传热以导热为主，温差高达448 K，温度梯度陡峭；随着α_c减小，辐射传热逐渐增强，温度场更均匀；当α_c降至10 m^?1时，晶体内温差降至246 K。随着α_c增大，熔体内最高温度逐渐升高，对流增强；相反，将晶体视为不透明会减少通过m-c界面的传热，从而降低所需加热功率，熔体最高温度和对流强度随之降低。m-c界面向熔体的凸出度随α_c减小而逐渐增大，这是因为减小α_c增强晶体内辐射传热，显著增大m-c界面晶体侧散热；为满足m-c界面能量平衡，界面向熔体移动，导致向熔体凸出度增大。第三，研究人员进行了辐射吸收系数的反演确定。为表征实际晶体生长条件下的m-c界面形貌并为确定辐射参数提供实验依据，生长了直径35 mm的YAG晶体，随后进行快速提拉实验；晶体生长至预定长度后，以最大可用手动提拉速度2.234 mm/s快速从熔体中分离以保持原始m-c界面形貌。每种生长条件进行一次晶体生长实验；未掺杂YAG、1 at.% Nd:YAG和1.46 at.% Yb:YAG晶体采用相同保温结构生长，提拉速率分别为0.80、0.34和0.56 mm/h，获得完整m-c界面形貌；获得总长度23 mm和60 mm的未掺杂YAG晶体，以及总长度均为60 mm的1 at.% Nd:YAG和1.46 at.% Yb:YAG晶体。图7a中晶体长度与第4.1节和第4.2节模拟所用长度一致，实验测得m-c界面凸出度为21 mm。在反演过程中，以m-c界面凸出度作为比较模拟与实验界面形貌的主要定量标准，相对偏差定义为e_l = |l_sim ? l_exp|/l_exp × 100%。在α_c固定为20 m^?1条件下，随着α_m从100增至10,000 m^?1，凸出度从5.99增至13.39 mm，相对偏差从71.48%降至36.24%；光学厚度定义为τ_m = α_m × L，L为特征辐射路径长度，取坩埚半径30 mm；α_m从100至10,000 m^?1对应光学厚度从3增至300；即使α_m = 10,000 m^?1、τ_m达300时，计算界面凸出度仅为13.39 mm，仍远低于实验值21 mm。随着α_m增大，界面凸出度逐渐增大，但增幅逐渐减小，尤其在5000 m^?1以上；表明仅通过增大α_m难以再现实验凸出度。尽管减小α_c可增大m-c界面向熔体的凸出度，但效果有限；在熔体视为不透明介质时，将α_c从20降至5 m^?1，凸出度仅从21.13增至24.17 mm，增加3.04 mm；因此即使采用较低α_c，仍需极大α_m才能达到与实验一致的凸出度。这些发现表明熔体具有高有效辐射吸收系数，熔体呈现大光学厚度，可合理视为不透明介质。在熔体视为不透明介质条件下，随着α_c从5增至1000 m^?1，界面凸出度从24.17降至7.67 mm，相应相对偏差先减小后增大，在α_c = 20 m^?1时达到最小值0.62%，在研究所涉参数范围内与实验界面凸出度最接近。在实际晶体生长过程中，晶体长度达到23 mm时，中频电源输出功率为7127 W；在α_c = 20 m^?1和不透明熔体条件下，计算加热功率为7074 W，比实际电源输出低约0.7%；这一微小差异是合理的，因为中频电源输出功率包括有功和无功功率，而模型计算的加热功率代表生长炉内导体有效消耗的功率；计算值与实验值的接近进一步表明计算加热条件与实际实验操作条件一致。基于上述分析，确定α_c为20 m^?1，熔体可合理视为不透明介质。提取的m-c界面保持完整、光滑和透明，表明快速提拉过程中形成的任何残留熔膜足够薄，对宏观界面几何确定的影响可忽略。实验测量界面凸出度的不确定度主要源于界面轮廓识别和图像测量分辨率，估计误差约±1 mm；因此放肩生长阶段实验测得界面凸出度确定为21 ± 1 mm。敏感性分析表明，界面凸出度测量不确定度对应推断吸收系数约15–30 m^?1的不确定度范围，而20 m^?1与实验测量界面形貌最为吻合。采用上述确定的辐射参数对总长度60 mm的晶体生长状态进行数值模拟，得到m-c界面凸出度为17.38 mm，实验凸出度为17 mm，数值结果与实验值吻合良好，进一步支持在未掺杂YAG晶体生长数值模拟中取α_c = 20 m^?1并将熔体视为不透明介质的有效性。随着晶体长度增加，熔体深度逐渐减小，削弱熔体内自然对流和对流热输运，从而减小沿m-c界面热流的径向不均匀性，使界面热流分布更均匀，导致界面凸出度从约21 mm降至17 mm；60 mm晶体长度下模拟与实验界面形貌的良好吻合进一步证明了所确定辐射参数的可靠性。根据Wien位移定律，2243 K下黑体辐射峰值波长约为1.29 μm；对Planck辐射定律积分进一步表明约80%的总辐射能分布在0.98–4.18 μm波长范围内，代表当前生长条件下的主导热辐射区域。由于高温光谱吸收性质直接测量困难，采用室温吸收光谱识别未掺杂YAG基质和稀土掺杂离子的特征吸收带；尽管高温可能因晶格振动增强和Stark子能级布居热重分布而改变吸收强度和线宽，室温光谱提供了掺杂诱导吸收特征光谱位置和相对贡献的合理指示。对于未掺杂YAG，在主导热辐射范围内未观察到明显离散吸收带，吸收系数相对较低且随波长平滑变化；因此YAG吸收系数近似为波长无关，辐射输运模型采用灰体近似。对于Yb:YAG，吸收主要源于Yb³⁺离子的²F_7/2 → ²F_5/2跃迁，集中在900–1100 nm窄波长范围内；根据2243 K积分黑体辐射谱，0.9–1.1 μm范围内辐射能仅占总辐射能约8.5%；因此在本研究相对低掺杂浓度下，Yb³⁺诱导吸收对整体宽带辐射性质的贡献有限。类似地，Nd:YAG吸收特性主要源于Nd³⁺离子Stark分裂的4f–4f跃迁，特征吸收带分布在可见和近红外区域；2243 K下0.5–0.9 μm波长范围内总辐射能仅占总黑体辐射能约6.97%；因此Nd³⁺掺杂对YAG波长平均辐射吸收性质的影响也有限。总体而言，尽管Nd³⁺和Yb³⁺掺杂引入附加窄带吸收特征，但这些吸收带仅与2243 K宽带热辐射谱的有限部分重叠；因此在本研究所涉掺杂浓度下，稀土离子诱导吸收对有效辐射性质的影响有限。实验获得的未掺杂YAG、1 at.% Nd:YAG和1.46 at.% Yb:YAG晶体m-c界面形貌显示三种晶体呈现相似的m-c界面形状和凸出度，表明低浓度Nd³⁺和Yb³⁺掺杂对界面形貌和整体凝固行为影响有限；结合上述光学吸收分析，实验观察进一步支持将未掺杂YAG确定的有效吸收系数应用于轻掺杂Nd:YAG和Yb:YAG晶体。在讨论部分，研究人员总结了研究结论：将数值模拟与晶体生长实验相结合，通过模拟与实验获得的m-c界面形貌的反演分析确定了YAG晶体和熔体的吸收系数；利用Fluent开发UDFs和UDSs，在多物理场模型中耦合电磁感应加热、基于PID的热源控制和动态m-c界面调整；系统分析了晶体和熔体吸收系数对温度场、流场和m-c界面形貌的影响。结果表明，增大熔体吸收系数降低熔体内辐射传热，增强熔体温度梯度和对流，增大m-c界面向熔体的凸出度；减小晶体吸收系数增强晶体内辐射传热，从而减小晶体内温差和温度梯度，增大m-c界面向熔体的凸出度。基于晶体生长和快速提拉实验获得的m-c界面形貌，反演确定YAG晶体吸收系数为20 m^?1，熔体可合理视为不透明介质。此外，未掺杂YAG、1 at.% Nd:YAG和1.46 at.% Yb:YAG晶体实验m-c界面形貌比较表明，低浓度Nd³⁺和Yb³⁺掺杂对界面形貌影响有限；因此这些轻掺杂Nd:YAG和Yb:YAG晶体可合理采用相同的有效吸收系数。本研究确定的有效吸收系数可支持更准确的YAG生长建模和工艺优化，有助于控制m-c界面形貌、降低热应力和提高掺杂均匀性及晶体质量；这些系数应视为研究所涉温度范围内的有效平均值；未来工作将纳入高温光谱测量以建立温度和波长相关的辐射性质模型，从而进一步提高预测精度。