Das–Debata迭代下广义有理复函数的Julia集与Mandelbrot集生成及逸出判据研究

《Minerals》：Automated Nondestructive Quality and Purity Assessment of Natural Flake Graphite: A Perspective Review on Microstructural Integrity, Multimodal Microscopy, and AI-Driven Fusion

　　

Julia集与Mandelbrot集是分形几何与复动力系统中的基本对象，其生成通常依赖于逸出时间算法并结合迭代格式。以往研究主要考虑广义有理函数，本工作引入一种基于Das–Debata迭代的新型分形生成框架。通过将复广义有理函数及其在迭代方法中不同应用阶数相结合，为所提格式建立了逸出判据。文中给出若干Julia集与Mandelbrot集的数值示例，以说明所产生的分形结构以及不同迭代参数对其尺寸和形状的影响。此外，采用平均逸出时间（average escape time，AET）与非逸出面积指数（non-escaping area index，NAI）定量分析所生成分形对迭代参数的依赖性。数值结果表明，对于两种函数阶数，上述度量对所选参数均呈现非线性依赖关系。所提框架为生成与分析多样化分形结构提供了一种灵活途径。研究人员相信，本研究获得的见解将启发并激励对分形几何有浓厚兴趣的研究人员与爱好者。

研究背景方面，分形是具有非整数维数的复杂自相似数学结构，通常通过迭代过程生成，体现简单性与复杂性之间的相互作用，广泛出现于数学、科学、自然与艺术领域。Julia集与Mandelbrot集是复动力系统中产生的典型例子，尽管由简单迭代函数生成，却产生高度精细且视觉多样的结构。自G. Julia与Mandelbrot的开创性工作以来，分形生成已通过多种推广得到扩展，包括高阶多项式、有理函数以及三角与指数函数等。分形生成的迭代本质与不动点理论存在紧密联系，经典分形生成常用Picard迭代，但也有广义Mann迭代、两步Ishikawa迭代以及Picard–Mann、S-iteration、Jungck–CR、SP-iteration、黏性方法、修正Thakur迭代等先进格式被用于构造Mandelbrot集与Julia集。已有研究还通过修改底层函数与迭代格式本身推进该领域，例如Tanveer等替换多项式中的参数c，以及隐式迭代用于分形生成。然而，Mandelbrot集与Julia集的生成主要集中于将既有迭代格式应用于多项式、有理函数或其他单一函数类。本工作通过将Das–Debata迭代引入Mandelbrot集与Julia集的生成，提供研究广义迭代过程如何影响复动力系统结构与行为的新框架，其主要新颖性在于将多项式与有理函数结合于统一迭代框架之中，从而能够生成多样化集合并系统考察函数分量、其阶数及迭代参数对分形结构的影响。该研究扩展了Adhikari等、Iqbal等与Roy等关于广义有理映射的工作，采用Das–Debata迭代生成Julia集与Mandelbrot集；受其将常数项替换为特定形式的启发，研究人员针对特定形式的有理函数建立逸出判据，并通过在迭代过程中变化这些函数分量、应用逸出时间算法生成相应分形。数值与图形结果说明分量的选择与排序如何影响分形结构；进一步采用平均逸出时间（average escape time，AET）与非逸出面积指数（non-escaping area index，NAI）量化所生成集合的动力学行为并考察迭代参数的影响。研究意义在于所提框架为生成与分析多样化分形结构提供灵活途径，并显示Das–Debata迭代在生成复杂分形结构的同时具有计算效率方面的潜力。

关键技术方法方面，研究人员以Das–Debata迭代（Ishikawa迭代的推广，当特定参数取值时可退化为Ishikawa迭代或Mann迭代）为核心迭代格式，结合两类广义有理复函数构造迭代序列；通过理论推导建立逸出判据（给出使轨道发散至无穷的充分条件及相应逸出半径），据此设计基于逸出时间算法的Julia集生成算法（Algorithm 1）与Mandelbrot集生成算法（Algorithm 2），并设置最大迭代次数K以避免无限循环；在MATLAB R2024a（64位）环境下进行数值可视化与统计分析，采用平均逸出时间（AET）、非逸出面积指数（NAI）与执行时间（IET）等指标定量刻画参数依赖性与计算性能，并与Picard、Ishikawa迭代在固定参数下的生成时间进行比较。研究所用数据为算法生成的数值分形图像与统计量，未涉及外部样本队列来源。

研究结果方面，在Julia集生成部分，研究人员通过Algorithm 1在不同参数下生成Julia集并分析其结构变化。关于指数?的影响，选取整数与非整数情形（3、8、42、2.4、11.8、38.5），结果表明?控制基于正弦分量的强度：?较小时集合呈相对简单的星状形态且边界光滑，随?增大分形更复杂并出现附加瓣、螺旋与精细细节；非整数?下仍保持良好定义但对称性与着色区域分布不同，总体上增大?使分形更复杂并在主体周围引入更多岛屿与细丝。关于幂次与b的影响，考察相等低阶、不等中阶与更高阶组合，结果显示当各指数均为2时集合呈高度对称的花状外观，指数不等时对称性被破坏并形成更复杂的不对称结构，指数更大且不等时集合更尖刺、锯齿化并出现更多分支与更精细边界。关于复系数的影响，考察正实系数、纯虚系数与一般复系数三类情形，结果显示实系数下集合具有关于实轴的反射对称与蝶状外观，纯虚系数引入相位旋转导致朝向与螺旋特征明显不同，一般复系数则产生更不对称的卷曲结构与不规则边界；类似地，乘以有理项的复系数亦表现出对相位与模值的敏感性，模值变化可改变逸出与非逸出点的分布，使结构更集中或更开放。关于系数与参数的影响，作为项主导系数时实系数导致沿实轴拉伸、纯虚系数使拉伸旋转90度、混合复系数使分形倾斜且不对称，且模值越大集合越小越集中、越接近1则越大越分散；作为项系数时实系数呈精细多孔结构、纯虚系数呈更强旋转与旋涡外观、较大混合复系数使集合更致密且逸出路径更少；位于正弦项内的参数则使分形发生平移并改变对称中心，其方向在复平面中决定平移方向，较小模值的复参数产生更精致的花边状分布。关于迭代参数与的影响，考察由中等值到极小值的多种组合，结果显示二者作为Das–Debata迭代中的混合权重控制旧值与函数值的组合比例：二者均小时迭代变化缓慢、颜色过渡平滑且外观更流动，一小一大时边界更锐利且结构更突出，二者均中等时平滑与锐利之间取得平衡，二者均极小时分形极其平滑、颜色几乎无缝融合并显现细部细节；与的比值影响两个函数在迭代中的平衡。上述结果说明分形几何不仅受映射解析形式影响，也受生成相继迭代的机制影响，并确认这些参数是真正的动力学控制参数而非仅仅是数值参数。在Mandelbrot集生成部分，研究人员通过Algorithm 2生成Mandelbrot集并分析参数影响。关于指数?的影响，选取4、17与36.4以代表较小整数、较大整数与非整数指数，结果显示?=4时集合呈相对简单的连通形态并带有少量大球状结构，?=17时边界更精细并出现附加“卫星”球与细丝，?=36.4时边界高度精细且更具分形外观，表明非整数?下仍出现相同的定性行为。关于复系数的影响，考察实、纯虚与一般复值三类情形，结果显示实系数下集合具有平衡的星状对称，纯虚系数使集合旋转并呈不同朝向的十字或星形，混合复系数破坏对称并使集合更不规则、呈团块状；较大模值使集合更紧凑、更坚实。关于幂次与a的影响，考察三种配置，结果显示各指数均为4时集合高度对称，指数不等（4与8）时对称性破坏且集合更复杂，指数更大且不等（10、8）时集合更尖刺精细并出现附加精细结构，表明较大指数趋向更复杂边界而不等指数产生畸变。关于迭代参数与的影响，考察三组差异明显的取值，结果显示二者均很小时集合呈平滑的眼状外观并带同心环，一大一中时集合更锯齿化且环断裂为离散珠状，二者均大且接近1时集合呈锐利的菱形并具有显著不同的内部结构；文中指出某图似为同参数值的重复或替代渲染，但理论解释相同，即迭代参数与强烈影响分形几何，可产生从平滑同心环到不规则菱形结构的多样图案。在数值结果部分，研究人员定义平均逸出时间（AET）为逸出点平均所需迭代次数、非逸出面积指数（NAI）为非逸出点占区域比例，并指出平均非逸出迭代（ANI）度量非逸出点在最大迭代上限内的平均迭代次数，其取值范围分别为特定区间，AET越大表示逸出越慢、NAI越大表示非逸出区域越大。为系统考察这些效应，研究人员在与独立变化的100个等距取值上共生成36.00幅分形图像，每幅在特定像素网格上由Algorithm 1与Algorithm 2生成。在Julia集数值实验中，研究人员针对两种多项式与有理阶数组合生成二次Julia集，其余参数固定，通过比较两种配置考察阶数变化对函数非线性结构及所生成点分布与几何特征的影响。结果显示AET与NAI随迭代参数变化呈非单调变化，反映Das–Debata格式的敏感性与复杂动力学；两种配置总体趋势可能相似，但阶数差异会导致细节图案与数值度量的变化；计算时间因不同点满足逸出判据所需迭代次数不同而呈更不规则波动，不同函数阶数也可能影响每次迭代的计算量。具体而言，AET在参数空间上分布高度不均匀，表明平均逸出行为对与的依赖非平凡；第一种情形下较高AET主要出现在较大值处，而较大值时逸出点往往在迭代早期离开指定区域，AET从最小值（在特定参数处取得）到最大值（在特定参数处取得）；第二种情形下仅参数空间左下角较小区域呈较高AET值，色图还显示约特定参数处出现中间AET值（黄色区域），说明参数对逸出动力学的影响在两种情形间存在差异，尽管相当大部分参数空间表现相近。NAI分布方面，第一种情形下较暗区域表示较高NAI值，非零值主要集中于参数空间下部，最大NAI约在特定参数处取得，表明该参数组合下计算域中相当比例对应非逸出点，说明所选迭代参数强烈影响有界轨道的分布与Julia集结构；第二种情形下最显著的非零NAI值集中于约特定值附近的窄垂直条带，NAI约达某值，远离该区域时多数参数空间的NAI相对较小，表明相应参数组合下非逸出点比例较低；两种配置的差异凸显多项式与有理阶数对非逸出点空间分布的影响。总体上，AET与NAI分布表明与对生成Julia集的影响复杂且非单调，两种配置虽呈 broadly 相似的空间趋势，但较高值区域的位置与大小差异显著；NAI量化非逸出点比例从而提供有界分量分布的信息，AET刻画逸出点满足逸出判据的平均迭代次数，二者结合可更全面理解迭代参数对动力学行为与结构特征的影响。计算时间图较AET与NAI的平滑剖面明显更不规则或更嘈杂，这是预期的，因为计算时间不仅取决于所选参数值，还取决于在迭代过程中停留更多迭代次数的点数，生成时间因此在参数空间上变化，最小值与最大值出现在不同的与组合处；这些观察进一步表明与不仅影响生成Julia集的几何特征，也影响其计算行为，且计算结果表明Das–Debata迭代可获得比标准Picard与Ishikawa迭代更短的生成时间，因而除产生多样精细分形结构外，该迭代还为在广泛迭代参数范围内生成与分析Julia集提供计算高效的框架。在Mandelbrot集数值实验中，研究人员针对特定函数与在指定参数与复系数下生成Mandelbrot集，并用AET、NAI与计算时间分析数值结果。结果显示AET与NAI提供互补信息：AET度量逸出行为，NAI指示非逸出区域相对大小，二者均随迭代参数变化，而计算时间因迭代次数差异呈更大波动，表明分形结构及其计算时间具有强参数依赖性。AET在参数空间上非均匀变化，从约某值到某值，说明迭代参数变化影响生成Mandelbrot集的逸出动力学；AET结果反映迭代点的逸出动力学，较低值表示较快逸出，较高值表示点需要更多迭代才能满足逸出判据，平滑的颜色变化表明参数空间大部分区域逸出行为逐渐变化并伴有一些局部变化。第二种配置下AET分布与第一种不同，较高值集中于参数空间左下角小区域，较低值在其他区域占主导。NAI分布方面，第一种配置下最大NAI约为某值，出现在特定参数处，显示迭代参数如何影响保持非逸出的域比例；第二种配置下类似地观察到非零NAI值的集中，约特定值附近的窄垂直条带达到约某值，表明该参数范围内非逸出区域更显著；最大NAI值的差异确认底层函数的系数与阶数变化可显著影响Mandelbrot集的相对面积。AET与NAI提供互补信息，因此相似的AET值可能对应不同的NAI值，反之亦然，分析二者可更全面理解参数依赖动力学。尽管两种配置在低AET值分布上大体相似，但其高AET区域不同，表明多项式、有理与三角分量及其复系数通过与的非线性相互作用影响Mandelbrot集，因而所得分形结构取决于迭代参数与Das–Debata格式中所用函数的共同效应而非任何单一参数。计算时间图显示相似的参数依赖性但更不规则，因为执行时间受满足逸出判据所需迭代次数以及逸出与非逸出点分布影响，因此即使与的微小变化也可导致计算时间明显变化。在该数值实验中，生成时间在参数空间上变化显著，最小计算时间约在某参数处取得，最大计算时间约为某值，确认迭代参数不仅影响生成Mandelbrot集的几何与动力学特征，也影响其生成所需计算量；特别地，与逸出点需要更多迭代相关的参数配置可能需更大计算量从而导致生成时间增加。总体上，AET、NAI与计算时间图表明生成Mandelbrot集对与的依赖非平凡且非单调；AET与NAI分布总体呈相对平滑的空间剖面，而计算时间分布相对嘈杂，这种差异反映三种度量的不同性质：AET刻画平均逸出行为，NAI描述非逸出区域相对大小，计算时间度量迭代过程的数值成本，因此结合使用可更完整定量刻画生成的Mandelbrot集。数值结果进一步表明Das–Debata迭代能够产生多样Mandelbrot结构并保持良好计算性能，特别是其最短生成时间低于相应标准Picard与Ishikawa迭代所报告的时间；在固定参数下，Das–Debata迭代比标准Picard与Ishikawa迭代获得更短生成时间，文中以表格给出Picard、Ishikawa与Das–Debata迭代的计算时间（IET）比较。在结论部分，研究人员总结本研究针对一类广义复有理函数在Das–Debata迭代下建立了逸出判据，并基于该判据分别使用Algorithm 1与Algorithm 2生成Julia集与Mandelbrot集，并用MATLAB对其动力学性质进行数值研究。图形结果表明函数阶数与迭代参数（包括?、与等）显著影响所得分形的形状、颜色与复杂性；采用平均逸出时间（AET）、平均非逸出迭代（ANI）与执行时间（IET）进行定量分析，揭示非线性与非单调的参数依赖性，在所考察情形中通常比施加更强影响；此外，与Picard和Ishikawa迭代的计算比较为所提格式在固定参数设置下的执行效率提供了额外见解。这些发现表明Das–Debata迭代在生成与分析多样化分形结构方面具有潜力。未来研究可将所提框架扩展到其他类型的有理、指数与三角函数，并研究分形复杂性与计算性能的其他定量度量；对生成集合的进一步理论分析也可能为其动力学性质提供更深入见解。此外，这些分形的视觉丰富性与多样对称性提示其在纺织图案设计与印花、计算机图形学与数字艺术中的潜在跨学科应用。