基于Das–Debata迭代的广义有理函数Julia集与Mandelbrot集生成框架：逃逸准则、参数调控与非逃逸面积指数分析

《Symmetry》：Music-Cultural Nighttime Vitality–Heat Relationships in Urban Systems: Temporal Asymmetry and Spatial Scale Dependence

　　

Julia集与Mandelbrot集是分形几何与复动力系统中的基本对象，其生成通常依赖于逃逸时间算法与迭代格式的结合。以往研究主要考虑广义有理函数，本研究引入一种基于Das–Debata迭代的新型分形生成框架。通过将复广义有理函数及其不同阶次在迭代方法中的施用方式相结合，研究人员针对所提格式建立了逃逸准则（escape criterion）。文中给出若干Julia集与Mandelbrot集的数值实例，以展示所产生的分形结构以及不同迭代参数对其尺寸与形态的影响。此外，研究人员采用平均逃逸时间（average escape time，AET）与非逃逸面积指数（non-escaping area index，NAI）定量分析所生成分形对迭代参数的依赖性。数值结果表明，对于两种函数阶次，上述度量对所选参数均呈现非线性依赖。所提框架为生成与分析多样化的分形结构提供了一种灵活的途径。研究人员相信，本研究所获得的洞见将启发并激励对分形几何具有浓厚兴趣的研究者与爱好者。

研究背景方面，分形是具有非整数维数的复杂自相似数学结构，通常通过迭代过程生成，其刻画了简单性与复杂性之间的相互作用，广泛出现于数学、科学、自然与艺术之中。Mandelbrot集与Julia集是由复动力系统产生的典型实例，尽管由简单的迭代函数生成，却产生高度精细且视觉多样的结构。Julia集的研究始于G. Julia的开创性工作，经典Julia集通过迭代二次复多项式生成，不同c的选取产生不同的集合；密切相关的Mandelbrot集由Mandelbrot引入。此后，分形生成通过多种推广得到拓展，包括高阶多项式、有理函数以及三角函数与指数函数。分形生成的迭代本质与不动点理论建立了紧密联系，尽管Picard迭代常用于经典分形生成，其他迭代方法如广义Mann迭代与两步Ishikawa迭代也已被研究，此外多种高级格式被应用于构造Mandelbrot集与Julia集，包括Picard–Mann、S-迭代、Jungck–CR、SP-迭代、基于粘性的方法以及改进的Thakur迭代。进一步的发展集中于修改底层函数与迭代格式本身，例如Tanveer等将多项式中的参数c替换以生成Mandelbrot集，隐式迭代也已被研究用于分形生成。然而，既有研究在生成Mandelbrot集与Julia集时主要集中于将已建立的迭代格式应用于多项式、有理函数或其他单一类别的函数，存在的主要问题在于缺乏将广义迭代过程与多项式、有理函数统一框架相结合的系统研究，难以考察函数组分、其阶次及迭代参数如何影响所产生的分形结构。为此，本研究引入将Das–Debata迭代用于Mandelbrot集与Julia集生成的新途径。Das–Debata迭代是Ishikawa迭代的重要推广，最初在发展拟非扩张映射公共不动点的研究中提出，将其纳入分形生成，为研究广义迭代过程如何影响复动力系统的结构与行为提供了新框架。所提方法的主要新颖性在于将多项式与有理函数结合于统一的迭代框架之中，从而能够生成多样化的Mandelbrot集与Julia集，并便于系统考察函数组分、其阶次及迭代参数对所得分形结构的影响。本研究拓展了Adhikari等、Iqbal等与Roy等关于广义有理映射的工作，采用Das–Debata迭代生成Julia集与Mandelbrot集；受其将常数项替换的启发，研究人员针对特定形式的有理函数建立逃逸准则，通过在迭代过程中改变这些函数组分并应用逃逸时间算法，生成相应的分形；数值与图形结果展示了组分的选择与排序如何影响所得分形结构；此外，采用平均逃逸时间（AET）与非逃逸面积指数（NAI）量化所生成集合的动力学行为并考察迭代参数的影响。研究得出，函数阶次与迭代参数（包括?、?等）显著影响所得分形的形态、颜色与复杂性；基于AET、平均非逃逸迭代（average non-escaping iteration，ANI）与执行时间（IET）的定量分析揭示出非线性且非单调的参数依赖性，在所考察的情形中某一参数通常比另一参数影响更强；与Picard迭代和Ishikawa迭代的计算比较进一步表明，在固定参数设置下所提格式具有执行效率方面的优势。这些发现证明了Das–Debata迭代在生成与分析多样化分形结构方面的潜力，其重要意义在于为分形生成提供了灵活且计算高效的框架，并为分形复杂性与计算性能的定量刻画提供了新途径，同时其视觉丰富性与多样对称性提示了在纺织图案设计与印花、计算机图形学与数字艺术等领域的潜在跨学科应用。

研究人员开展研究用到的主要关键技术方法包括：基于Das–Debata迭代格式，结合形如特定形式的广义复有理函数与三角–有理函数，建立逃逸准则并据此刻画逃逸半径；设计Julia集生成算法（Algorithm 1）与Mandelbrot集生成算法（Algorithm 2），在给定区域A内以最大迭代次数K为限，按逃逸行为着色；全部数值可视化在MATLAB R2024a（64位）环境下完成，运行于配备Intel Core i7-14700HX处理器、32 GB内存与NVIDIA GeForce RTX 4060 Laptop GPU的系统；在数值分析部分，于100个等距取值的参数网格上独立变化迭代参数，共生成36.00幅分形图像，每幅在指定像素网格上生成，并计算平均逃逸时间（AET）、非逃逸面积指数（NAI）与计算时间；数值实验在MATLAB R2024a（版本24.1.0.2537033，64位）上于配备Intel(R) Core(TM) i7-14700HX处理器（2.10 GHz）、32 GB内存与Microsoft Windows 11的标准笔记本电脑上进行；样本队列来源方面，本文为数学与数值计算研究，不涉及生物或临床样本队列。

研究结果方面，在Julia集生成部分，研究人员取整数与非整数?两种情形，指出各表格最后一列显示图像执行时间（IET，单位秒），针对相应函数与参数按式（1）生成Julia集。关于?的影响，所选值包括整数与非整数情形即3、8、42、2.4、11.8与38.5，目的是考察指数由相对较小变为显著较大以及由整数变为非整数时Julia集几何是否保持稳定；指数?控制基于正弦组分的强度，当?较小时Julia集呈相对简单的星状形态、边界光滑且中心结构清晰，随着?增大分形变得更加精细，主体周围出现附加瓣、螺旋与细节，非整数情形下同样的定性行为依然出现，分形保持良好定义但对称性与着色区域分布不同；总体而言增大?使分形更复杂并在主体周围引入更多岛屿与丝状结构，逃逸半径按相同方式利用全部给定参数计算。关于幂次与b的影响，所选情形包括相等的低阶值、不等的中等值以及更高阶组合，这四个指数控制有理部分与三角部分中z的幂次；当所有指数等于2时，分形呈高度对称的花状外观，当部分指数为3而另一些为2时对称性开始破坏并形成更复杂的不对称结构，当指数更大且不相等时分形变得更加尖刺与锯齿状并出现附加分支与更细细节，较大指数倾向于产生更精细的边界而不相等指数造成畸变与附加瓣。关于复系数的影响，由于其乘以余弦项，其取值影响该非线性组分对迭代过程的贡献，所考虑的三种代表性情形为正实系数、纯虚系数与一般复系数；当为正实系数时分形呈现相对均衡的结构，关于实轴具有反射对称性并呈蝶状外观，这与实值系数的性质一致，不通过乘以复相位引入附加旋转；当系数为纯虚时，分形呈现明显不同的取向，与实系数情形相比具有旋转或螺旋状特征，这一变化源于系数的相位改变了迭代过程中余弦项所产生的复值；当为一般复系数时同时引入实部与虚部贡献，所得分形呈现更不对称的结构，带有旋涡特征与不规则边界；这些比较表明分形的几何不仅取决于系数的模，还取决于其在复平面中的辐角，后者影响其精细结构的取向、对称性与分布。类似地，关于复系数的影响，其乘以有理项，当为实系数时产生相对均衡且对称的图案并具有良好定义的中心结构，当改为纯虚值时分形几何发生明显变化，呈现不同取向与更显著的螺旋状特征，当为混合复系数时产生更不对称且扭曲的结构，带有不规则边界与精细互连图案；系数的模也可能影响有理组分与迭代函数其他组分之间的平衡，从而改变逃逸点与非逃逸点的分布；总体而言这些实例表明系数的模与复相位在决定所得分形几何与对称性方面均起重要作用，二者结果共同凸显了Das–Debata迭代对复系数的敏感性并表明其变化可生成多样的分形图案。关于系数的作用，其为项的领系数，当为实数时分形沿实轴具有一定拉伸并呈均衡对称形态，当为纯虚数时拉伸旋转90度，产生不同取向与更偏竖直的外观，当为混合复数时分形倾斜且不对称，兼具水平与竖直拉伸效应；其模控制点逃逸的快慢，较大的模使分形更小且更集中，而接近1的取值使分形更大且更展开；同样，?为项的系数，当为实数时分形呈精致细腻的外观并带有许多小孔与岛屿，显露精细细节，当为纯虚数时图案变得更具旋转性并具有不同类型的对称性与更旋涡状外观，当为更大的混合复数时分形变得更粗壮充实，逃逸路径更少且外观更坚实；总体而言增大?倾向于使分形更紧凑且更少蛛网状。参数出现在正弦项内部，其模与相位影响迭代中的偏移或偏置；当为实数时分形向一个方向偏移并呈明显坚实的形态，当为纯虚数时分形向垂直方向偏移并改变其对称中心，当为一般复数且模较小时分形变得更精致且呈蕾丝状，具有精细细节与更分布的图案；参数在复平面中的方向平移分形并改变其对称中心。关于迭代参数的影响，通过从相对中等值到非常小值的若干组合进行考察，二者为Das–Debata迭代中的混合权重，控制每一步旧值与函数值的组合比例；当二者均较小时迭代变化缓慢，产生色彩过渡平滑且外观更流动的分形，当一个较小一个较大时分形具有更锐利的边界与更明显的结构，当二者均为中等值时表现出平滑与锐利之间的平衡，当二者均非常小时分形变得极其平滑、色彩几乎无缝融合并显露原本隐藏的精细细节；二者之比影响迭代中两个函数之间的平衡；Julia集的变化表明几何不仅受映射解析形式的影响，还受生成相继迭代的机制影响；从理论角度看，该图之所以重要，在于它确认这些参数是真正的动力学控制参数而非仅仅是数值参数。在Mandelbrot集生成部分，研究人员同样考虑?取整数与非整数两种情形，并指出各表格最后一列报告以秒计的图像执行时间（IET），针对相应函数按式（1）在给定输入参数下生成Mandelbrot集。关于?的影响，所取值4、17与36.4分别代表相对较小的整数指数、显著较大的整数指数与非整数指数，从而提供不同阶次正弦贡献之间的直接比较；当?为4时Mandelbrot集呈相对简单的连通形态并带有少量大球状结构，当?为17时集合形成更精细的边界并出现附加“卫星”球状结构与细丝，当?为非整数时集合变得更加复杂，具有高度精细的边界与更强的分形外观；非整数值表明即使?不是整数，同样的定性行为依然出现。关于参数的影响，第一个取值为实数并作为参照情形，第二个为纯虚数并代表相应非线性贡献取向的重大变化，第三个为同时含实部与虚部的一般复值；当为实数时Mandelbrot集具有一定对称性并呈均衡的星状外观，当为纯虚数时集合发生旋转，形成取向不同的十字或星形，当为混合复数时对称性被破坏，集合变得更不规则且呈团块状；较大的模使集合更紧凑坚实。关于另一组参数取值，同样第一值为实数、第二值为纯虚数、第三值为一般复值；当为实数时Mandelbrot集呈均衡形态，当为纯虚数时集合发生旋转并具有不同类型的对称性，当为混合复数时集合变得不对称且更不规则；非常大的模使集合非常紧凑致密，逃逸区域更少。关于复系数的影响，第一个为正实系数、第二个为纯虚数、第三个为一般复系数；当为实数时Mandelbrot集较大且展开，具有良好定义的边界，当为纯虚数时集合更小且发生旋转，取向不同，当为混合复数时集合既旋转又不对称，呈更有机的外观；系数的模控制集合的大小，较大的模使其更小且更集中。关于幂次与a的影响，通过三种配置考察；当所有指数等于4时Mandelbrot集具有高度对称性，当指数不相等（4与8）时对称性破坏且集合变得更复杂，当指数更大且不相等（10、8）时集合变得更尖刺精细并带有附加的精细结构；较大指数倾向于产生更复杂的边界而不相等指数造成畸变。关于迭代参数的影响，考察三对参数值以代表迭代过程三种明显不同的情形；当二者均非常小时Mandelbrot集呈平滑的眼状外观并带有同心环，当一个较大一个中等时集合变得更锯齿状且环破裂为离散珠状，当二者均较大且接近1时集合变成锐利的菱形并具有非常不同的内部结构；这表明迭代格式本身而非仅仅是函数，是控制分形几何的有力工具；文中指出该图似乎是同一图的重复或替代渲染，参数值相同，重复可能源于不同的渲染设置、色图或缩放级别，但理论解释保持不变，即迭代参数强烈影响分形的几何；总体而言这些结果表明参数显著影响所生成Mandelbrot集的几何，产生从平滑同心环到不规则及菱形结构的多样图案，凸显了迭代格式控制分形几何的潜力以及参数选择在塑造分形图案中的重要性。在数值结果部分，研究人员指出第4节中的Mandelbrot集与Julia集呈现复杂的分形结构，其形态与尺寸取决于多项式与有理函数的阶次以及Das–Debata格式中的迭代参数，因此分析这些参数与所得分形特征之间的关系尤为有意义；Julia集与Mandelbrot集是分形几何与复动力学中的基本对象，本研究针对不同阶次的广义有理函数引入基于Das–Debata迭代的新型分形生成框架，建立了逃逸准则，数值实例展示了迭代参数对所得分形结构的影响；研究人员定义了平均逃逸时间（AET）、非逃逸面积指数（NAI）与平均非逃逸迭代（ANI），其中AET度量逃逸点逃逸至无穷所需的平均迭代次数，NAI表示非逃逸点所占区域的比例，ANI度量非逃逸点在最大上限K内的平均迭代次数，其取值范围分别为相应区间；较高的AET值表明逃逸较慢，而较高的NAI值表明非逃逸区域较大；数值结果揭示了对所选参数与函数阶次的非线性依赖，证明了所提框架在生成与分析多样化分形结构方面的有效性；为系统考察这些效应，研究人员通过在100个等距取值上独立变化迭代参数，共生成36.00幅分形图像，每幅分形在指定像素网格上使用第4节的算法1与算法2生成，所得数据用于考察迭代参数变化如何影响所生成分形的几何特征与计算行为。在Julia集数值结果中，研究人员采用Das–Debata迭代格式针对两种不同的多项式与有理阶次组合生成二次Julia集，以考察其对所得分形结构与相关数值特征的影响；第一种配置取相应阶次，第二种配置取另一组阶次，两种配置下其余参数保持固定并给定迭代参数，计算域亦给定；通过比较这些配置，研究人员考察多项式与有理阶次的变化如何影响函数的非线性结构以及由此产生的Das–Debata迭代所生成点的分布与几何特征；AET、NAI与计算时间的图提供了关于所生成Julia集动力学行为与计算效率的互补定量信息；AET与NAI随迭代参数变化呈现非单调变化，反映了Das–Debata格式的敏感性与复杂动力学；尽管两种配置可能表现出相似的总体趋势，但其多项式与有理阶次的差异可导致细节图案与数值度量的变化；计算时间通常表现出更不规则的波动，因为不同点满足逃逸准则所需的迭代次数在计算域内各不相同，不同函数阶次也可能影响每次迭代所需的计算量；总体而言这些数值度量通过刻画所得Julia集的动力学行为、几何复杂性与计算性能，便于对两种配置进行系统比较。对于相应情形下由Das–Debata迭代生成的Julia集，其AET与NAI分布表明AET值在参数空间上的分布高度不均匀，说明平均逃逸行为对参数具有非平凡依赖；在第一种情形中较高的AET值主要出现在较大的参数取值处，而对于相对较大的另一参数取值，逃逸点在迭代过程早期便离开给定区域，AET从最小值到最大值变化；在第二种情形中仅参数空间左下角附近相对较小的区域呈现较高的AET值，色图还揭示出中间AET值（以黄色区域表示）；这些观察表明参数对逃逸动力学的影响在两种情形之间存在差异，尽管相当一部分参数空间表现出可比的行为。相应的NAI分布表明非逃逸面积随迭代参数的变化；在第一种情形中较暗区域代表相对较高的NAI值，非零值主要集中在参数空间的下部，最大NAI值出现在特定参数组合处，表明在此参数组合下计算域的相当大比例对应于非逃逸点，这种集中表明所选迭代参数强烈影响有界轨道的分布与所得Julia集结构；第二种情形中观察到相似但不同的模式，最显著的非零NAI值集中在某参数附近的狭窄竖直条带内并达到相应最大值，远离该区域时NAI值在大部分参数空间上相对较小，表明相应参数组合下非逃逸点的相对比例较低；两种配置之间的差异凸显了多项式与有理阶次对非逃逸点空间分布的影响。总体而言AET与NAI分布表明参数对所生成Julia集的影响是复杂且非单调的，尽管两种配置表现出大体相似的空间趋势，但其较高值区域的位置与量级差异显著；NAI量化计算域内非逃逸点的相对比例，从而提供对有界组分分布的洞见，而AET刻画逃逸点满足逃逸准则所需的平均迭代次数，因此同时考察这两种度量可更全面地理解迭代参数如何影响所生成Julia集的动力学行为与结构特征。计算时间图表现出明显比AET与NAI相对平滑的剖面更不规则或更嘈杂的行为，这种变异性在预期之内，因为计算时间不仅取决于所选参数值，还取决于在迭代过程中保留较多次数的点的数目；生成时间因此在参数空间上变化，最小值与最大值出现在不同的参数组合处；这些观察进一步表明参数不仅影响所生成Julia集的几何特征，还影响其计算行为；重要的是计算结果表明Das–Debata迭代可实现比标准Picard与Ishikawa迭代更短的生成时间，因此除产生多样且精细的分形结构外，Das–Debata迭代还为在广泛迭代参数范围内生成与分析Julia集提供了计算高效的框架。在Mandelbrot集数值结果中，研究人员在给定域上使用Das–Debata迭代与指定复系数、给定参数生成Mandelbrot集，有理函数与三角–有理函数结合多项式、有理与三角项，产生精细的分形结构；数值结果采用AET、NAI与计算时间分析，AET度量逃逸点所需的平均迭代次数，NAI表示非逃逸点的相对比例，其非均匀分布表明迭代参数的变化可显著影响所生成Mandelbrot集的尺寸、形态与动力学；AET与NAI提供互补洞见，AET度量逃逸行为而NAI表示非逃逸区域的相对大小，二者随迭代参数变化，而计算时间由于迭代次数差异呈现更大波动；这些结果证明了分形结构及其计算时间的强参数依赖性。对于相应函数，图示说明了参数对AET、NAI与计算时间的影响；AET在参数空间上非均匀变化，其变化表明迭代参数的变化影响所生成Mandelbrot集的逃逸动力学；AET结果反映了迭代点的逃逸动力学，较低值表明逃逸较快而较高值表明点需要更多迭代才能满足逃逸准则，平滑的色彩变化表明参数空间大部分区域逃逸行为逐渐变化并伴有局部变化；对于第二种配置，AET分布与第一种配置不同，较高值集中在参数空间左下角附近的小区域而较低值在其他区域占主导。相应的NAI分布表明非逃逸区域的相对大小；对于第一种配置最大NAI出现在特定参数组合处，这种变化表明迭代参数如何影响域中保持非逃逸的比例；在第二种参数配置中观察到相似的非零NAI值集中，某参数附近的狭窄竖直条带达到相应值，表明该范围内参数值具有更显著的非逃逸区域；最大NAI值的差异证实底层函数的系数与阶次变化可显著影响Mandelbrot集的相对面积；AET与NAI提供互补信息，AET度量逃逸点的平均逃逸行为而NAI表示非逃逸点的相对比例，因此相似的AET值可能对应不同的NAI值，反之亦然，分析两种度量可更全面理解参数依赖的动力学；尽管两种配置表现出大体相似的低AET值分布，其高AET区域不同，这表明多项式、有理与三角组分及其复系数通过与非线性参数交互影响Mandelbrot集，因此所得分形结构取决于迭代参数与Das–Debata格式中所用函数的共同效应而非任何单一参数；计算时间图表现出相似的参数依赖性但呈现更大不规则性，因为执行时间受满足逃逸准则所需迭代次数以及逃逸点与非逃逸点分布的影响，因此即使参数的小变化也可导致计算时间的明显变化。对于所考虑的数值实验，生成时间在参数空间上变化显著，最小计算时间与最大计算时间出现在特定参数组合处；这种变化证实迭代参数不仅影响所生成Mandelbrot集的几何与动力学特征，还影响其生成所需的计算量，特别是与逃逸点较多次迭代相关的参数配置可能需要更大的计算量从而导致生成时间增加；总体而言AET、NAI与计算时间图表明所生成Mandelbrot集对参数的依赖是非平凡且非单调的，AET与NAI分布总体呈现相对平滑的空间剖面而计算时间分布相对嘈杂，这一差异反映了三种度量的不同性质，AET刻画平均逃逸行为，NAI描述非逃逸区域的相对大小，计算时间度量迭代过程的数值代价，因此其联合使用可对所得Mandelbrot集提供更完整的定量刻画；数值结果进一步表明Das–Debata迭代能够产生多样的Mandelbrot结构同时保持较好的计算性能，特别是使用Das–Debata迭代获得的最短生成时间低于相应标准Picard与Ishikawa迭代所报告的时间，这一观察表明除通过参数变化在生成复杂分形结构方面提供灵活性外，Das–Debata迭代还可较这些已建立的迭代格式提供计算优势；在固定参数下Das–Debata迭代实现了比标准Picard与Ishikawa迭代更短的生成时间。

讨论与结论部分，本研究针对一类广义复有理函数在Das–Debata迭代下建立了逃逸准则，基于该准则分别使用算法1与算法2生成Julia集与Mandelbrot集，并利用MATLAB对其动力学性质进行了数值研究。图形结果表明函数阶次与迭代参数（包括?、?等）显著影响所得分形的形态、颜色与复杂性。基于平均逃逸时间（AET）、平均非逃逸迭代（ANI）与执行时间（IET）的定量分析揭示出非线性且非单调的参数依赖性，在所考察的情形中某一参数通常比另一参数影响更强。此外，与Picard迭代和Ishikawa迭代的计算比较为所提格式在固定参数设置下的执行效率提供了额外洞见。这些发现证明了Das–Debata迭代在生成与分析多样化分形结构方面的潜力。未来研究可将所提框架推广至其他类别的有理、指数与三角函数，并研究分形复杂性与计算性能的其他定量度量；对所生成集合的进一步理论分析也可为其动力学性质提供更深入的洞见；此外，这些分形的视觉丰富性与多样对称性提示了在纺织图案设计与印花、计算机图形学与数字艺术等领域的潜在跨学科应用。