粗糙壁面湍流通道换热的一种体积力模型

《Journal of Fluid Mechanics》：A body-forcing model for heat transfer in rough-wall turbulent channel flow

　　

专业摘要翻译 提出了一种体积力策略，用于模拟湍流流动中表面粗糙度对换热的影响。该模型在温度输运方程中引入了一个源项，该源项取决于特征速度尺度、局部相对壁面温度以及粗糙度密度。研究人员在普朗特数（Prandtl number, Pr）恒为0.71的湍流开放通道直接数值模拟（direct numerical simulation, DNS）中对其进行了测试，并通过与完全分辨粗糙度的DNS数据进行广泛对比，证明了瞬时局部摩擦速度是合适的速度尺度。尽管该模型公式简单，却能准确捕捉粗糙壁面换热的显著物理特性，例如雷诺类比（Reynolds analogy）的失效、温度粗糙度函数的特征平台期，以及动量与换热粗糙度长度之比的完全粗糙行为。对总热通量的适当分解表明，传导和体积力斯坦顿数（Stanton number）的标度分别与完全分辨粗糙度模拟中的暴露和遮蔽斯坦顿数相似。这表明，只要在统计意义上正确模拟了表面热通量，即使未能精确分辨单个粗糙元的具体贡献，也能有效捕捉粗糙度对换热的主要影响。最后，该体积力模型可用于常规无滑移光滑壁面，从而无需分辨粗糙度几何的精确细节。

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一、研究背景与问题

准确表征表面粗糙度对湍流边界层流动的广义影响，同时兼顾动量与热输运，始终是计算流体力学领域的一项重大挑战。这一挑战源于表面粗糙度对流动的影响高度依赖于其拓扑结构，涉及粗糙元高度、密实度等多个因素，因此需要进行大量参数扫描才能理解粗糙度对边界层流动的普遍影响。然而，在许多工程和地球物理应用中，单个粗糙元的精确细节往往不如其对上方流动的宏观集体影响重要。主要关注点通常在于理解动量和换热有效修正以及湍流特性的改变，而非显式分辨每个粗糙元内部或周围的复杂流动现象。

在光滑壁面上，当分子普朗特数接近1时，控制动量传递（表面摩擦）和换热（以斯坦顿数量化）的机制通常成正比，这被称为雷诺类比。然而，在粗糙壁面上，总阻力包含粘性阻力和压力（形状）阻力两部分，这与光滑壁面不存在形状阻力的情况不同。表面换热则仅通过传导发生，缺乏压力阻力的类比机制。由于这一根本差异，雷诺类比不再成立，粗糙壁面换热与动量传递显著不同。

尽管对粗糙壁面换热的研究已超过半个世纪，其渐近行为仍不确定，不同理论提出了不同的公式。例如，有研究者假设动量粗糙度函数随粗糙度雷诺数对数增长，而其热学对应量——温度粗糙度函数——对粗糙度呈非单调依赖，先随粗糙元高度增加，然后进入平台期，最后在更大值处下降。近期直接数值模拟研究支持了这一观点，但另一些基于完全分辨粗糙度数据的研究则认为其在较大粗糙度雷诺数下渐近于常数。此外，温度粗糙度函数对特定表面几何高度敏感，这种几何依赖性源于粗糙元上不同的局部流动环境，例如迎风面因高剪切和直接流体冲击而增强换热，背风面因浸没在回流区中而表现出受遮蔽抑制的换热特性。

虽然完全分辨的DNS研究提供了基础物理见解，但其高昂的计算成本限制了其在大多数工程应用中模拟广义粗糙壁面换热的实用性。一种实用的替代方案是对粗糙度对换热的影响进行参数化，这一策略已成功用于动量传递。然而，由于雷诺类比在粗糙度存在时失效，从动量传递研究中获得的见解不能可靠地推广到粗糙壁面换热。因此，将Busse & Sandham提出的体积力方法直接扩展到粗糙壁面换热并非显而易见。大气科学界已有一些模拟冠层标量输运的尝试，但这些模型主要依赖从野外观测中得出的经验数值系数，其可推广性受限于不同粗糙度几何和流动条件，且尚不清楚这些经验模型能否捕捉粗糙表面换热的复杂非单调行为。

理想情况下，需要一种基本物理原理不依赖经验系数的强迫模型，这些系数仅用于按需微调或校准。这对于进行理想化大涡模拟（large-eddy simulation, LES）尤为有用，因为在这种模拟中表面粗糙度的精确细节通常可以被忽略，只要它能捕捉粗糙壁面换热的特征即可。

二、研究内容与结论

基于Brutsaert关于粗糙壁面换热的理论基础，研究人员开发并验证了一种新颖的体积力模型，用于表示粗糙表面湍流开放通道流动中的换热。所提出的强迫项取决于相对于壁面的局部温度、特征速度尺度以及类似于粗糙度密度的参数。这项工作的主要贡献是一个计算高效、基于物理的强迫项，能够再现两个关键现象：温度粗糙度函数随粗糙元高度的变化以及雷诺类比的失效。除了其实用价值外，该研究还提供了一种探究粗糙壁面换热现象学的手段。如果所提出的基于物理的强迫项能够忠实再现表面粗糙度对换热的影响，那么这种一致性将表明体积力公式背后的现象学与潜在物理机制之间存在有意义的统计对应关系。

三、主要技术方法

研究人员采用直接数值模拟方法，求解开放通道流动的质量、动量守恒和温度输运方程，普朗特数设为0.71。动量粗糙度采用Busse & Sandham的体积力模型，形式为D = -βFu|u|i，其中β为动量粗糙度因子，F为顶帽分布函数，u为瞬时局部流向速度。温度粗糙度采用新提出的体积力模型，形式为H = β_ΘF u_?(θ_w-θ)，其中β_Θ为温度粗糙度因子，u_?为特征速度尺度。研究人员测试了两种速度尺度方案：一是使用瞬时局部流向速度（u-强迫），二是使用瞬时局部摩擦速度（u_τ-强迫）。流动由保持恒定质量流量的流向强迫项驱动，温度场由保持恒定体积温度的空间不变源项驱动。通过将模拟结果与完全分辨粗糙度的DNS数据进行对比来验证模型。

四、研究结果

4.1 速度尺度选择

研究人员对比了u-强迫和u_τ-强迫两种模型与完全分辨粗糙度DNS的结果。研究发现，u-强迫模型虽然能捕捉平均速度亏损，但在温度粗糙度函数方面与参考数据存在显著偏差。相比之下，u_τ-强迫模型能够准确再现温度粗糙度函数的变化趋势，表明瞬时局部摩擦速度是合适的特征速度尺度。这一差异源于两种速度尺度在壁面法向结构上的根本区别：局部速度u(x,y,z,t)在强迫层内随z变化，而瞬时摩擦速度u_τ(x,y,t)在z方向上恒定。

4.2 平均温度剖面与温度粗糙度函数

u_τ-强迫模型能够准确捕捉粗糙壁面换热的显著物理特性。在粗糙度子层以上区域，模拟得到的平均温度剖面与完全分辨粗糙度DNS数据吻合良好。温度粗糙度函数表现出特征性的平台期行为，即随粗糙度雷诺数增加先增大后趋于平稳，这与完全分辨粗糙度模拟的观察结果一致。该模型还成功再现了完全粗糙状态下动量与换热粗糙度长度之比的行为。

4.3 雷诺类比的失效

模型准确捕捉了雷诺类比的失效现象。在粗糙壁面上，由于总阻力包含粘性和压力（形状）分量，而换热仅通过传导发生，导致动量传递与换热不再成正比。体积力模型通过分别设置动量粗糙度因子β和温度粗糙度因子β_Θ，能够独立调节动量和热量的粗糙度效应，从而再现雷诺类比的失效。

4.4 热通量分解与斯坦顿数标度

研究人员对总热通量进行了适当分解，将壁面热通量分为传导分量和体积力分量。分析表明，传导和体积力斯坦顿数的标度分别与完全分辨粗糙度模拟中的暴露和遮蔽斯坦顿数相似。这一发现表明，只要在统计意义上正确模拟了表面热通量，即使未能精确分辨单个粗糙元的具体贡献，也能有效捕捉粗糙度对换热的主要影响。

4.5 温度粗糙度因子的确定

研究人员探讨了温度粗糙度因子β_Θ与动量粗糙度因子β的关系。结果表明β_Θ/β并不等于1，因为粗糙度对动量和换热的影响机制不同。β_Θ被解释为与标量粗糙度密度相关的参数，仅取决于表面的几何特征，而所有雷诺数效应通过解析的速度和温度场动态捕获。

4.6 热驱动方式的影响

研究人员通过补充最小跨度模拟，在摩擦雷诺数Re_τ=590下检验了热驱动方式的影响。结果表明，温度粗糙度函数不依赖于温度场是使用源项驱动还是指定温度/热通量驱动，验证了当前模型对不同热驱动方式的鲁棒性。

五、讨论与结论

研究人员提出的体积力模型能够有效捕捉粗糙壁面换热的显著物理特性，包括雷诺类比的失效、温度粗糙度函数的平台期行为以及完全粗糙状态下动量与换热粗糙度长度之比的行为。该模型的关键优势在于其简单性：仅需一个取决于粗糙度几何的单一参数β_Θ，所有雷诺数效应通过解析的流场动态捕获，无需先验知识。热通量分解分析表明，传导和体积力斯坦顿数的标度分别与完全分辨粗糙度模拟中的暴露和遮蔽斯坦顿数相似，这揭示了体积力公式背后的现象学与潜在物理机制之间存在有意义的统计对应关系。该模型可用于常规无滑移光滑壁面，无需分辨粗糙度几何的精确细节，为工程和地球物理应用中高效模拟粗糙壁面换热提供了实用工具。