自适应加权平均Gauss–Radau求积规则的预言机参数渐近分析与构造

《Axioms》：Optimal Averaged Gauss–Radau Quadrature for Functions with Endpoint Singularities

　　平均Gauss–Radau求积规则无论被积函数的行为如何，都对左、右Gauss–Radau公式赋予相等的权重。对于具有代数端点奇异性特征的被积函数，这种选择通常不是最优的。本文引入了一种预言机加权平均策略，其中平均参数的选择旨在最小化求积误差。对于一类由代数端点奇异性乘以光滑正则因子组成的被积函数，我们建立了预言机平均参数的渐近不变性。其主导渐近行为由端点奇异性指数决定，而正则因子仅贡献于高阶项。利用已建立的Gauss–Radau余项估计，以及主奇异分量所对应的预言机参数的有界性，我们证明了当求积阶数增加时，一般被积函数与其主奇异分量所对应的预言机参数之差为 \(O(n^{-2})\)。受这些结果的启发，我们构造了一个仅依赖于端点指数的预言机平均参数的简单有理近似。数值实验支持理论分析，并表明对于所考虑的测试问题，所得模型加权平均Gauss–Radau规则优于等权重规则，且无需已知精确积分值。