多孔材料吸声预测建模：模型复杂度、参数可辨识性与多尺度表征

《Acoustics》：Predictive Modeling of Sound Absorption in Porous Materials: Model Complexity, Parameter Identifiability and Multiscale Characterization

　　

多孔材料（porous materials）被广泛用于吸声，但因其孔隙形貌（pore morphology）与孔隙率（porosity）、气流电阻率（airflow resistivity）、曲折度（tortuosity）、特征长度（characteristic lengths）、密度及厚度等材料参数之间存在复杂相互作用，其声学响应的预测仍具挑战性。本综述（mini-review）批判性地考察了预测方法的演化，从包括Delany–Bazley（DB）模型与Miki模型在内的经验公式，到诸如Johnson–Champoux–Allard（JCA）与Johnson–Champoux–Allard–Lafarge（JCAL）等基于物理的等效流体模型（equivalent-fluid models），以及逆方法（inverse approaches）、数值方法与新兴的机器学习（ML）方法。研究特别关注上述方法对常规聚合物泡沫（polymeric foams）、天然与生物质基材料（natural and biomass-based materials）、回收材料（recycled materials）及构筑型多孔结构（architected porous structures）的适用性。综述考察了可测宏观参数、孔尺度形貌与预测声学响应之间的关系，重点讨论了与材料非均匀性（material heterogeneity）、模型假设及参数不确定性相关的局限性。逆声学表征（inverse acoustic characterization）方面，讨论了参数非唯一性（parameter non-uniqueness）、对初始条件与边界的敏感性，以及拟合精度（fitting accuracy）与物理可辨识性（physical identifiability）之间的区别。总体而言，模型复杂度的增加并不必然提升预测可靠性。可靠的预测需要具有物理意义的参数、适当的模型假设、独立验证，以及模型复杂度、参数可辨识性与计算成本之间的平衡。

1 引言
吸声材料的发展正日益从经验性试错（trial-and-error）转向预测性材料设计（predictive material design）。这一转变对可持续声学材料（sustainable acoustic materials）尤为重要，因其微观结构可能因天然变异性、回收原料、加工条件及制造缺陷而产生显著变化。与常规合成泡沫或矿物纤维不同，生物基与回收材料很少具有完全均匀的孔隙网络。因此，仅凭有限数量的宏观描述符（macroscopic descriptors）预测其声学响应仍是一项重大挑战。多孔材料中的吸声主要源于声波与孔隙网络内流体之间的相互作用。当声波在连通孔隙中传播时，固体表面附近产生黏性摩擦（viscous friction），同时振荡空气与孔壁之间发生热交换（thermal exchanges），这些机制将部分声能转化为热量。因此，最终的声学响应不仅取决于孔隙空间的数量，更取决于该孔隙空间的几何形貌与连通性（connectivity）。气流电阻率、曲折度、黏性特征长度（viscous characteristic length）、热特征长度（thermal characteristic length）、孔隙率及样品厚度等参数提供了关于该结构的不同层次信息。最早的实用预测模型主要是经验性的。DB模型于1970年提出，建立了归一化频率与气流电阻率之间的关系，用以预测纤维吸声体的特性阻抗（characteristic impedance）与传播常数（propagation constant）。Miki随后对这些经验关系进行了修正与推广，改善了其物理可实现性并扩展了实际适用性。这些方法因所需输入参数相对较少且计算成本低廉而仍具吸引力。然而，经验模型对控制吸声的物理机制提供的洞见有限，且强烈依赖于其推导所依据的材料类别。这一局限性对非均匀材料、天然纤维、生物质复合材料及构筑型结构尤为重要。针对天然纤维的实验研究表明，为相对均匀的纤维材料开发的模型可能无法再现具有不规则纤维尺寸与孔隙分布材料的声学响应。等效流体模型的发展代表了重大进步。JCA公式利用与孔隙几何相关的宏观参数，引入了对频率相关有效密度（effective density）与有效体积模量（effective bulk modulus）的基于物理的描述。随后的JCAL公式纳入了静态热渗透率（static thermal permeability），改进了对低频热响应的处理。然而，模型复杂度的增加并不自动保证预测的改进。JCA或JCAL模型的可靠性只能与其所输入参数相当。实践中，孔隙率与气流电阻率通常较易测量，而曲折度与特征长度则难以直接确定。这推动了逆方法的发展，即将声学测量与优化算法相结合以识别未知材料参数。Allard与Atalla提供了多孔材料中声传播的全面理论处理，其工作讨论了等效流体模型与多孔弹性模型（poroelastic models）的物理基础，包括支配多孔结构中声波传播表征的假设。这些公式在固体骨架（solid frame）的处理上有所不同：等效流体模型描述孔隙流体的有效声学行为，而多孔弹性模型则考虑固体骨架与饱和流体（saturating fluid）的耦合运动。在针对具有不同结构特征的材料选择适当模型以及评估预测性声学方法的局限性时，理解这些区别十分重要。预测性声学建模领域日益增长的研究活动也反映在近期科学文献中，Google Scholar检索表明，尽管存在逐年波动，2020年至2026年间与多孔材料声学相关的出版物及索引记录数量总体呈增长趋势（图1）。图1由作者利用Google Scholar检索制备，关键词涉及多孔材料、吸声、声学建模及预测方法，检索于2026年9月进行，作者收集并汇编了Google Scholar报告的2020—2026年期间出版物计数。图1中的符号（*）表明2026年统计数据仅涵盖1月至9月。该计数代表Google Scholar针对所选查询返回的近似检索结果数，而非经逐一筛选并验证与主题直接相关的出版物数量。因此，图1旨在说明研究活动的总体趋势，不应被解释为系统性文献计量分析（bibliometric analysis）。由于Google Scholar计数可能随时间变化，且可能包含重复记录或仅间接相关的出版物，结果应谨慎解读。这一近期扩展反映了将多孔材料形貌与可测宏观参数同预测性声学模型、逆表征、数值模拟及数据驱动方法相联系的兴趣日益增长。近期综述已对多孔材料的声学建模与表征提供了有价值的概述。Nikodym等批判性地评述了经验、等效流体、多孔弹性、共振及数值方法，而Jaouen等主要关注声学多孔介质的表征方法、测量实践与标准化挑战。在这些贡献的基础上，本综述特别强调模型复杂度、参数可辨识性与多尺度材料表征之间的相互关系，以及这些因素如何影响声学预测的可靠性。本综述并非仅对现有模型或表征技术进行分类，而是考察不同建模方法的假设、输入参数的可用性与不确定性以及结构非均匀性如何影响模型选择、校准（calibration）与验证（validation）。研究特别关注天然与回收材料所带来的挑战，以及将基于物理的建模与逆识别及数据驱动方法相结合的潜力与局限。这一综合视角旨在将材料表征与模型构建同实际预测可靠性相联系，从而补充现有综述并为声学模型的选择与验证提供指导。因此，本综述的目标并非简单地编目现有模型，而是批判性地考察从经验预测向基于物理的与逆声学建模的演化。

2 多孔材料及其声学特性
多孔吸声材料涵盖广泛的结构，包括聚合物泡沫、纤维材料、生物基与生物质增强材料、回收材料及构筑型多孔结构。尽管其组成与制造路线不同，其声学行为均由孔隙网络与周围流体之间的相互作用所支配。特别是孔隙内的黏性摩擦与热交换耗散声能并决定最终的吸声。从建模角度看，孔隙结构比材料组成本身更为重要。关键结构描述符包括孔隙率、孔径与连通性、气流电阻率、曲折度以及黏性与热特征长度。样品厚度与密度也影响测得的声学响应。这些参数提供了关于多孔介质形貌与传输行为的不同层次信息。
2.1 常规聚合物泡沫
聚合物泡沫通常提供相对可控的多孔架构，因此常被用作声学建模的参考材料。其相对明确的结构便于宏观传输参数的表征及等效流体模型的应用。然而，孔隙形貌、密度及加工条件的变化可改变相关声学参数，进而改变预测响应。
2.2 天然、生物基与回收材料
天然与回收材料比常规合成泡沫表现出更大的结构变异性。纤维直径、取向、堆积密度（packing density）、粘结、孔隙率及加工条件的变化可导致孔隙形貌与声学行为的显著差异，如图2所示。这种变异性对预测建模构成了重要挑战。为相对均匀纤维材料校准的经验模型可能无法直接迁移至具有不规则纤维尺寸或孔隙分布的材料。因此，基于有限数量宏观参数的模型可能无法完全捕捉非均匀天然与回收材料的复杂结构特征。这一局限性已在天然纤维研究中得到证实，包括红麻（kenaf）、大麻（hemp）、椰木（coconut wood）与羊毛（sheep wool），DB等常规经验模型的预测并不总与实验测量一致。为解决该问题，研究人员通过将模型系数拟合至实测声学特性来调整经验关系，从而改善对特定天然材料的预测。类似的策略已在回收纺织材料中得到验证：针对回收尼龙纤维开发了将材料特性与体积密度相联系的半经验模型（semi-empirical model），并依据阻抗管（impedance-tube）测量进行了验证。这些研究表明，通过材料特定校准与实验验证可改善模型性能，但由此得到的关系不应自动假定可推广至其他非均匀材料。
2.3 构筑型与微结构受控材料
构筑型多孔材料引入了额外的结构控制层次，因其孔隙几何与连通性可被刻意设计。对于这些材料，常规宏观描述符可能无法完全表征孔隙网络的空间变化与复杂性。因此，微结构分辨方法（microstructure-resolved approaches）可通过显式表征孔隙几何、连通性、各向异性（anisotropy）及非均匀固–流界面来提供额外信息。

3 从声学测量到预测模型
吸声系数通常记为α，表示未被材料反射的入射声能份额。在法向入射（normal incidence）下，α=1?|R|²，其中R为复反射系数（complex reflection coefficient）。对于刚性背衬（rigidly backed）的多孔层，反射系数可由表面阻抗（surface impedance）获得：R=(Z_s?Z₀)/(Z_s+Z₀)，其中Z_s为材料表面声阻抗，Z₀为空气特性阻抗。因此，声学建模的挑战本质上是对Z_s的预测挑战。对于均匀层，Z_s=?jZ_ccot(k_cd)，其中Z_c为特性阻抗，k_c为复波数（complex wavenumber），d为材料厚度。该式凸显了一个有用的概念层级：声学测量定义可观测响应；表面阻抗决定材料表面的反射行为；而特性阻抗与复波数描述多孔层内的声传播。预测性声学模型可依据多孔结构的表征方式进行分类。经验模型将有限数量的可测参数与声学响应相联系，而等效流体模型通过频率相关有效特性描述传播。更先进的方法纳入空间非均匀性、显式孔尺度几何或逆参数识别。在此背景下，本综述讨论的不同建模方法可依据多孔结构被表征的层次来理解。经验模型将有限数量的可测参数（最常见为气流电阻率与频率）直接与材料声学特性相联系。等效流体模型通过考虑孔隙流体与固体骨架之间黏性与热相互作用的频率相关有效密度与有效体积模量，引入更详细的物理表征。更先进的方法通过纳入空间变化特性、显式孔尺度几何或逆识别程序，进一步放宽均匀与各向同性介质假设。由此形成的从简化经验描述到更物理详细的多孔结构表征的建模方法层级，示意于图3。

4 经验声学模型
已开发出广泛的半经验与经验模型来预测多孔与纤维材料的声学特性。这些公式在参数要求、经验数据库、适用频率范围及物理表征程度方面存在显著差异。最常用的方法包括DB、Miki、Mechel、Komatsu与Garai–Pompoli模型，而JCA与JCAL等更具物理基础的公式则引入与多孔介质微结构相关的参数。鉴于可用公式数量众多，全面处理每个经验模型超出本综述范围。相反，此处考虑的模型代表了多孔材料声学预测发展的两个主要阶段：（i）主要基于气流电阻率的公式；（ii）为提高适用性与预测性能而开发的扩展经验方法。该分类为比较模型复杂度、参数要求、物理可解释性（physical interpretability）及向天然与回收纤维材料的可迁移性（transferability）提供了基础。
4.1 Delany–Bazley模型
DB模型是估计纤维与多孔吸声体声学特性最广泛使用的经验方法之一。该模型最初基于对一系列纤维材料的实验测量开发，将特性阻抗与复传播常数表示为无量纲频率参数X=ρ₀f/σ的经验函数，其中f为频率，σ为材料气流电阻率。采用本工作所采用的时间谐波约定（time-harmonic convention），特性阻抗Z_c与复波数k_c由下式给出：Z_c=ρ₀c₀[1+0.057X^?0.754?j0.087X^?0.732]，k_c=(ω/c₀)[1+0.0978X^?0.700?j0.189X^?0.595]，其中ρ₀为空气密度（kg·m^?3），c₀为空气中声速（m·s^?1），ω=2πf为角频率（rad·s^?1），σ为气流电阻率（Pa·s·m^?2）。根据DB，无量纲频率比的推荐适用范围为0.014.2 Miki模型
Miki模型作为DB公式的修正而开发，旨在保留经验公式的同时改善多孔材料声学特性的预测。与DB模型类似，它将特性阻抗与复波数同频率及气流电阻率相联系，但采用修正的经验系数与指数。这些修正旨在改善与实验数据的一致性，并解决与原始DB公式相关的一些数值局限性。采用本工作所采用的时间谐波约定，特性阻抗Z_c与复波数k_c的修正表达式为：Z_c=ρ₀c₀[1+0.070X^?0.632?j0.107X^?0.632]，k_c=(ω/c₀)[1+0.109X^?0.618?j0.160X^?0.618]，其中所有参数定义同4.1节。Miki模型的适用性通常采用与DB公式相同的无量纲频率参数表示，但适当范围应依据具体Miki公式与文献来源（式（6））进行验证。Miki模型的主要优点是在无需广泛微结构表征的情况下改善经验预测。与DB一样，Miki模型仍主要依赖气流电阻率，因此未显式表征物理基础模型中使用的孔尺度参数。因此，其适用性仍受所研究材料被建立经验公式所用实验数据代表程度的影响。这些局限性对模型选择也具有重要实际意义。多孔材料声学模型的应用强烈受其输入参数的可用性、测量可靠性及可辨识性的影响。DB与Miki模型所需表征相对有限，气流电阻率为主要材料参数，这使其在详细微结构表征不易获得时颇具吸引力。然而，其经验公式未显式考虑孔尺度特征，具有不同微结构的材料可能表现出相似的气流电阻率却产生不同的声学响应。该问题对天然、非均匀及回收材料尤为相关，其纤维形貌、堆积密度、孔隙率、取向及加工条件可能显著变化。相比之下，JCA与JCAL等基于物理的等效流体模型需要更大参数集，包括孔隙率、气流电阻率、曲折度及黏性与热特征长度。尽管孔隙率与气流电阻率通常可采用成熟方法测量，但曲折度与特征长度则难以直接、可靠地确定。因此，当附加参数不确定或可辨识性差时，增加模型复杂度并不必然改善预测性能。在此类情况下，基于声学测量的逆表征可为估计JCA/JCAL模型所需参数提供替代途径。据此，声学模型的选择不仅应考虑其理论复杂度与物理基础，还应考虑参数可用性、测量不确定性与参数可辨识性。当这些模型应用于非均匀或非常规多孔材料时，这一考量尤为重要。
4.3 扩展经验模型
DB与Miki提供了主要基于气流电阻率的简单关系，但其对材料结构的有限表征促使了扩展经验公式的发展。这些模型保留了经验方法的实用优势，同时引入附加参数或修正频率依赖性以改善其对特定多孔材料类别的适用性。Mechel模型：Mechel提出了旨在改善多孔吸声体预测（尤其在低频区域）的DB方法扩展。该模型保留了所需材料表征有限的实用优势，但其经验公式仍依赖于关系推导所依据的材料与条件范围。Garai–Pompoli：Garai与Pompoli针对纤维吸声材料开发了经验公式。与DB的通用扩展不同，其方法源于纤维吸声体的实验数据，将声学响应与气流电阻率相联系。这种材料特定基础可在所依据实验数据代表的范围内为纤维结构提供良好一致性，但可能限制向形貌显著不同材料的可迁移性。Komatsu模型：Komatsu引入了旨在改善相对于常规DB型公式的声学特性预测的修正经验关系。该方法仍属经验性，因此在详细微结构参数不可用时提供了实用替代方案，同时对曲折度或特征长度等参数提供有限的直接表征。Kino模型：Kino及其合作者随后研究了多孔材料声学模型的经验修正，以提高纤维吸声体的预测精度。这些发展说明了经验方法在保持相对较低实验表征要求的同时持续得到改进。总体而言，这些模型说明了经验公式如何在保持相对较低表征要求的同时适应不同材料类别与频率范围。然而，其可迁移性仍依赖于其开发所用的实验数据库与材料类别。其对支配黏性与热损失的微结构机制的有限表征，促使向JCA与JCAL等基于物理的等效流体模型过渡。

5 等效流体模型
纯经验公式的局限性促使了将宏观声学性能更显式地与多孔介质底层结构相联系的模型的发展。这些方法并非仅通过频率与气流电阻率之间的经验关系描述声学响应，而是引入表征孔隙空间几何及流–固相相互作用的参数。最广泛使用的半现象学公式（semi-phenomenological formulations）包括JCA与JCAL模型，它们通过频率相关有效特性描述多孔材料中的声传播。
5.1 JCA模型
JCA模型通过一组宏观参数描述饱和流体的动态行为，包括孔隙率?、气流电阻率σ、曲折度α_∞、黏性特征长度Λ与热特征长度Λ′。这些参数提供了声学响应与多孔结构形貌之间更显式的联系。特别是，曲折度考虑了孔隙网络内声学运动所经历的路径长度增加，而黏性与热特征长度分别描述支配黏性与热边界层效应的特征尺寸。在等效流体框架内，多孔介质的有效密度与有效体积模量是频率相关的。特性阻抗与复波数随后可由这些有效特性获得：Z_c=(ρ_effK_eff)^1/2，k_c=ω(ρ_eff/K_eff)^1/2，其中ρ_eff与K_eff分别表示复有效密度与体积模量：ρ_eff=(α_∞ρ₀/?)[1+(σ?/(jωρ₀α_∞))(1+(4jα_∞²ηρ₀ω/(σ²Λ²?²))^1/2]，K_eff=γP₀/[?(γ?(γ?1)/(1+(σ′?/(jωρ₀α_∞))(1+(4jα_∞²ηρ₀ω/(σ′²Λ′²?²))^1/2))]，其中γ为比热比，P₀为环境静压，C_p为空气定压比热容，κ为空气热导率。
5.2 JCAL模型
JCAL公式通过引入静态热渗透率k₀′作为附加参数扩展了JCA模型。该修正改善了原始JCA公式未完全捕捉的低频热响应描述，从而改善了原始JCA公式可能无法充分再现热响应的多孔介质中低频热相互作用的描述。因此，从JCA到JCAL的发展代表了在更宽频率范围内提高等效流体模型准确性的重要一步。JCAL框架中有效体积模量由K_eff=γP₀/[?(γ?(γ?1)/(1+(σ′?/(jωρ₀α_∞))(1+(4jα_∞²ηρ₀ω/(σ′²Λ′²?²))^1/2))]修正，其中k₀′为多孔介质的静态热渗透率，其他参数定义同5.1节JCA模型。然而，JCAL增加的物理细节以更高的表征要求为代价。特别是，静态热渗透率（k₀′）并非常规声学测量所能获得，可能需要专门的实验表征、微结构分析或逆识别。因此，当附加参数值不确定时，附加参数并不必然保证预测的改进。对于天然与回收纤维材料，该问题尤为相关，因为纤维直径、取向、堆积、孔隙率及粘结的变化可改变孔隙结构，进而改变支配声传播的黏性与热机制。因此，JCA与JCAL之间的选择应考虑感兴趣的频率范围、各模型的假设以及所需材料参数的可用性、可靠性与可辨识性。
5.3 模型假设与参数要求
第3节与第4节讨论的模型在参数要求、基本假设、物理表征及对不同类别多孔材料的适用性方面存在显著差异。这些差异汇总于表1，为评估模型简单性、物理可解释性、表征要求与预测适用性之间的权衡提供了基础。该比较凸显了从经验公式到等效流体公式的进展，伴随着参数要求与物理表征的增加。DB、Miki及相关经验模型所需表征相对有限，但强烈依赖其校准数据与材料类别。JCA与JCAL通过传输参数提供更具物理可解释性的表征，但其性能取决于等效介质与刚性骨架假设的有效性以及所需参数的可用性与可辨识性。因此，模型复杂度的增加应与参数可靠性与可辨识性一并考虑，而非视为改善预测的自动途径。

6 逆声学表征
6.1 概念与方法
逆声学表征为上述正演建模策略（forward modeling strategies）提供了补充方法。逆声学表征通过从实验测量的声学响应估计模型参数，而非从独立表征的材料参数计算响应，从而补充正演建模策略。该方法对多孔与非均匀材料尤为相关，因其曲折度、特征长度及气流电阻率等参数可能难以通过独立测量可靠确定。基于阻抗管测量到参数估计与验证的示意工作流程如图4所示。阻抗管测量为多孔材料的逆表征提供所需声学响应数据。取决于实验配置，表面阻抗、吸声系数（α）以及在信息充足时的传播特性等量可用于在JCA或JCAL框架内估计有效多孔参数。所估计参数随后用于正演计算以重建声学响应并评估模型与实验数据之间的一致性。对于参数向量θ，逆问题可表述为使实验与模型预测响应之间差异最小化的优化问题。优化可表示为θ?=arg min J(θ)，其中J表示用于量化实验与计算数据之间差异的目标函数。一般最小二乘公式为J(θ)=Σ_iw_i[α_exp(f_i)?α_mod(f_i;θ)]²，其中w_i表示可选的频率相关权重因子。模型响应用JCA或JCAL方程计算，而优化修改未知参数直至计算响应相对于实验测量达到所选目标函数的最小值。优化中包含的参数应根据可用实验信息选择。可可靠测量的参数（如样品厚度或在适当情况下的孔隙率）宜在优化过程中约束或固定，而无法通过独立测量可靠确定的参数可作为拟合变量处理。这一区分十分重要，因为允许过多参数变化会增加逆问题的维数，并可能导致参数相关性（parameter correlation）、弱可辨识性及非唯一解。
6.2 JCA参数的逆识别
逆表征在JCA模型中的应用可用聚氨酯（polyurethane）吸声泡沫加以说明。在Tayari等报告的实验–数值研究中，孔隙率、样品厚度及空气特性被视为固定，而高频曲折度α_∞、黏性特征长度Λ及气流电阻率σ针对实测吸声系数（α）进行优化。Tayari等还将类似方法应用于纤维材料，采用JCA与简化JCAL模型。图5比较了实测与预测吸声系数，表明两种公式与实验结果均具有可比的一致性。这些发现证明了逆表征从吸声测量估计有效声学参数的潜力。所得参数及不同泡沫结构的模型拟合性能汇总于表2。结果表明，逆JCA表征的准确性强烈依赖于泡沫结构。A2、A3与B1获得良好一致性，而A1、B3与B4仅显示中等一致性。相比之下，A4与B2表现出可忽略的相关性，凸显了将缩减参数逆方法统一应用于结构不同多孔材料的局限性。声学响应可能对不同多孔参数表现出相似敏感性，允许多种参数组合产生与实验数据相当良好的拟合。因此，实测与预测响应之间的良好一致性并不必然意味着各估计参数是唯一的或具有物理代表性。逆声学表征并非单一方法；其可靠性取决于拟合多少参数、如何约束、使用何种声学数据以及拟合参数是否得到独立验证。
6.3 拟合参数与物理解释
逆估计参数的物理解释需要审慎考量。尽管孔隙率?、曲折度α_∞、黏性特征长度Λ及气流电阻率σ等参数在JCA框架内具有明确的物理意义，但其从声学拟合获得的值不应必然被解释为材料的唯一本征特性。相反，它们代表在所选模型假设与实验配置下为实测声学响应提供最佳描述的有效参数。这一区分对非均匀与纤维材料尤为重要，因为其结构变异性可能无法被等效流体模型的假设完全表征。因此，拟合参数可能与独立测量的微结构特性不同，同时仍提供令人满意的声学预测。例如，Tayari等证明，物理约束的参数关系可在减少独立估计变量数量的同时提供合理的JCA/JCAL描述。然而，独立测量对于确定拟合参数是否具有物理代表性而非仅仅是有效拟合参数仍然重要。因此，当声学拟合与独立测量的材料描述符、具有物理意义的参数边界及敏感性或不确定性分析相结合时，逆表征最为可靠。这种组合方法可改善参数可辨识性，并为将拟合声学参数与独立表征的孔隙结构和材料形貌相联系提供更坚实的基础。
6.4 参数可辨识性、敏感性与不确定性
参数可辨识性可通过考察声学响应对每个拟合参数的敏感性以及参数效应之间的相关程度来评估。因此，低拟合误差并不必然表明所估计参数是唯一的或具有物理代表性。当从吸声数据同时优化多个参数时，该问题尤为相关。曲折度、黏性特征长度与气流电阻率可能表现出相关效应，而热特征长度与静态热渗透率同样可影响热响应。因此，拟合参数的数量应与实验数据所包含的信息相一致。敏感性分析可用于评估参数影响并识别在所选频率范围内可可靠估计的参数：S_θ(f)=?α(f)/?θ，其中α为声学响应，θ为感兴趣的参数。具有弱敏感性或强相关敏感性模式的参数可辨识性较差，宜利用独立测量固定或在物理现实边界内约束。残差分析（residual analysis）为逆重建质量提供了补充评估。例如，Rong等报告了在所研究频率范围内实测与逆预测吸声系数之间的小残差，样品M的最大偏差约为0.025，样品N约为0.05（如图6所示）。这些结果表明实测与重建声学响应之间高度一致。小残差证明模型与测量之间良好一致，但其本身并不确立参数可辨识性。在当前背景下，当比较JCA与JCAL公式时，这一考量尤为重要。JCAL引入的附加参数可能改善拟合，但其纳入也增加了逆问题的维数，并且如果实验频率范围未提供足够信息，可能导致参数相关性。因此，拟合精度应与物理可辨识性相区分。当拟合参数数量最小化、施加具有物理意义的边界并将所得参数与独立已知材料特性进行评价时，逆表征最为可靠。该方法对非均匀与纤维材料尤为重要，其拟合JCA/JCAL参数应被解释为有效声学参数，而非必然是唯一的本征微结构特性。

7 数值与数据驱动方法
数值与数据驱动方法通过将声学预测扩展至具有复杂孔隙结构与非均匀特性的材料，补充了等效流体模型。数值方法可显式考虑微结构几何，而数据驱动方法可识别多个材料描述符与声学响应之间的关系。这些方法对天然、回收及构筑型多孔材料尤为相关，因为有限的有效参数集可能无法完全表征结构复杂性。
7.1 数值与微结构分辨建模
数值建模能够显式表征等效流体模型中仅被间接描述的几何与结构特征。有限元、有限差分及孔分辨方法可考虑复杂孔隙几何、孔隙率局部变化、各向异性及非均匀固–流界面。取决于建模尺度，这些方法可直接预测声学响应或确定有效传输特性以供后续等效流体模型使用。微结构分辨模拟对考察孔隙形貌如何影响气流电阻率、曲折度及黏性与热特征长度尤为有用。在数值方法中，有限元法（FEM）对建模具有复杂几何与非均匀材料特性的多孔材料中的声传播尤为有用。取决于物理公式，FEM可采用刚性骨架多孔介质的等效流体模型或考虑固体骨架与饱和流体耦合运动的多孔弹性模型。当骨架变形与流–固相互作用对声学响应有显著贡献时，后一方法尤为相关。Allard与Atalla，特别是其关于多孔弹性材料有限元建模的章节，为这些公式及其数值实现提供了理论基础。然而，FEM预测取决于所选模型的假设、输入材料参数的准确性、适当的边界条件及足够的网格分辨率。因此，尽管FEM可适应复杂几何与非均匀结构，但当材料参数不确定或表征不足时，数值复杂度的增加并不必然保证预测准确性的提高。由微计算机断层扫描（micro-CT）或其他成像技术获得的三维结构提供了关于孔径、连通性与取向的直接信息，这些信息可能无法被常规宏观测量捕捉。这对纤维状、回收及构筑型材料尤为重要，其结构不规则性与各向异性可强烈影响声学行为。三维微结构重建可提供常规宏观表征难以获得的关于孔隙形貌与连通性的直接信息。例如，重建结构已被用于区分随造孔剂（porogen）含量增加而变化的孤立孔隙与连通孔隙网络，证明了加工条件如何改变孔隙连通性进而改变传输行为（图7）。然而，这些模拟的可靠性取决于重建微观结构的质量与代表性。图像分辨率、未分辨的孔隙特征、边界条件及代表性体积（representative volume）的选择均可影响预测响应。完全分辨的模拟还需要大量计算资源，特别是在考虑宽频率范围内的黏性与热效应时。因此，数值建模涉及微结构细节、物理准确性与计算成本之间的平衡。数值方法并非取代等效流体模型，而是可提供孔尺度形貌与宏观声学预测之间的联系。从重建孔隙结构导出的传输参数可纳入JCA或JCAL公式，从而在计算高效的等效流体模型中使用微结构信息。
7.2 数据驱动与机器学习方法
数据驱动方法为预测多孔材料的声学行为提供了替代途径。ML模型可捕捉材料描述符与声学特性之间的非线性关系，而无需每个输入变量与预测响应之间的显式解析关系。取决于可用数据与建模目标，这些方法可直接预测吸声、估计JCA/JCAL参数或将加工条件与微结构描述符同声学性能相联系。潜在输入变量包括厚度、密度、孔隙率与气流电阻率，以及孔径、纤维直径与取向等形貌描述符。这种纳入多个相互作用变量的能力对可持续多孔材料尤为有吸引力，其声学行为可能取决于耦合的结构、形貌与加工相关因素。一个说明性例子是针对多孔混凝土（porous concrete）报告的机器学习方法。如图8所示，尽管人工神经网络（ANN）仅使用两个输入变量（试样密度与膨胀黏土尺寸等级）进行训练，其在预测宏观声学参数与参考数据之间仍实现了高度一致。一致性进一步采用决定系数（R²）与平均绝对百分比误差（MAPE）进行评估，证明了相对简单的材料描述符为声学特性提供有用预测的潜力。然而，ML模型的预测能力强烈依赖于训练数据集的质量、规模与代表性。在有限材料类别上训练的模型可在训练数据代表的范围内提供令人满意的预测，但当应用于不同孔隙结构、组成或材料类别时则表现出可靠性降低。这一局限性对天然与回收材料尤为相关，因其组成、密度、形貌与孔隙结构可因原料特性与加工条件而表现出显著变异性。此外，准确预测并不必然意味着物理可解释性。数据驱动模型可再现声学响应而不显式表征造成声耗散的黏性与热机制。当ML模型与JCA或JCAL等基于物理的方法（其中声学响应与描述多孔结构内黏性与热相互作用的具有物理意义的参数相联系）一起使用时，这一区分尤为重要。因此，模型评估应超越预测误差，纳入鲁棒性（robustness）、针对独立数据集的验证、对输入变量的敏感性以及在训练数据所代表条件之外的性能。因此，将数据驱动方法与具有物理意义的描述符及成熟声学模型相结合，可为非均匀与可持续多孔材料的预测建模提供更可靠的途径。
7.3 混合与物理信息方法
混合方法将数值或等效流体模型的物理基础与数据驱动方法的灵活性相结合。物理模型可提供约束或中间参数，而机器学习算法可加速参数估计或近似计算昂贵的模拟。数值模拟还可生成将微结构描述符与声学或传输特性相联系的数据集，以供后续基于ML的预测使用。物理信息方法进一步将成熟的物理关系纳入学习过程。例如，Bo Wang等近期将基于JCA的传递矩阵模型（transfer-matrix model）与机器学习相结合，以预测复合声学材料的吸声。该策略允许ML模型在保留声学模型物理约束的同时利用实验或模拟数据（图9）。图9说明了两种方法的互补作用：JCA–TMM模型捕捉总体吸声行为但未能再现非均匀材料的某些频率相关特征，而物理约束ML方法提供了对实验响应更接近的表示。这证明了混合建模将物理一致性与数据驱动预测灵活性相结合的潜力。然而，混合模型仍依赖于物理模型与训练数据的质量。数值误差、不完整的微结构表征及有限数据集可影响其泛化能力。因此，未来开发应侧重于将具有物理意义的约束与代表性数据集及严格的实验验证相结合。

8 利用独立实验数据验证声学模型
计算与实测声学响应之间的比较对于评估多孔材料模型的实用价值至关重要。当孔隙率与分析模型中假设显著不同时，这对天然、回收及复合材料尤为相关。实验有助于确定先进模型是否真正反映材料特性，或其复杂性是否导致不确定性增加。模型用于预测复杂声学系统行为的说明性例子之一可见于Rubino等的工作，其研究了由回收纺织废料制成并以生物聚合物基粘结剂粘结的吸声板。将实测法向入射吸声系数与采用DB和JCA模型获得的预测进行比较。如图10a所示，JCA模型更接近地再现了实测响应，特别是吸声最大值的位置及随后的吸声下降，而DB模型表现出较大偏差。该比较之所以有用还因为JCA计算基于实验确定的材料特性，包括密度、孔隙率、曲折度与气流电阻率。这表明等效流体模型的性能与输入参数表征实际材料结构的程度密切相关。Gómez Escobar等报告了类似结果，其通过阻抗管测量分析了DB模型及若干修正经验公式对泡沫、矿棉及回收烟头在不同厚度下的性能。从其研究中观察到，预测误差高度依赖于材料与样品厚度，且没有一种经验公式在所研究整个频率范围内优于其他公式。此处的主要含义是经验公式只能在特定材料与特定条件下表现良好。Jung等提供了进一步证据，其研究了高孔隙率氧化石墨烯–聚乙烯亚胺（GO–PEI）泡沫，并将实验吸声响应与采用JCA、DB及Miki模型获得的预测进行比较。在此情况下，模型之间的差异更为明显，特别是在较高频率处。如图10b所示，JCA模型在所研究频率范围内更接近地跟随实测吸声系数，而DB与Miki模型倾向于低估泡沫的吸声。改善的一致性至少部分可归因于JCA公式能够纳入描述多孔结构及相关声学损失的参数，这对具有复杂微结构的高孔隙率材料尤为相关。综观这些实验研究，声学模型的性能强烈依赖于材料特性、厚度、所考虑频率范围及所需输入参数的可用性与可靠性。结果并不表明JCA模型普遍优于经验方法；相反，它们表明当参数得到充分表征时，纳入更详细多孔结构描述的模型可提供改善的预测。反之，当其基本假设与材料及应用条件一致时，较简单的经验模型仍可能有用。因此，独立实验验证应被视为评估多孔材料声学模型可靠性与适用性的必要步骤。这对天然、回收及新开发材料尤为相关，其孔隙率、气流电阻率、曲折度、厚度及微结构的变化可导致声学行为的显著改变。实验比较并非确立普遍优越的模型，而是允许针对特定材料、频率范围与材料表征水平确定最适当的建模方法。

9 批判性比较与研究空白
从经验模型到JCA/JCAL、逆、数值及数据驱动方法的演化反映了物理细节的增加，但模型复杂度的增加并不必然改善预测性能。主要局限性往往不是模型本身，而是用于描述多孔结构的参数的质量、不确定性与可辨识性。DB与Miki等经验模型因需要气流电阻率且计算成本低，对快速工程预测仍然有用。然而，当孔隙形貌与模型开发所用材料不同时，其可迁移性受限。JCA与JCAL通过孔隙率、气流电阻率、曲折度及特征长度提供更具物理性的描述，但需要难以独立测量的附加参数。特别是，JCAL中增加参数可在提高灵活性的同时增加逆识别中的参数相关性。主要建模方法的批判性比较，包括其所需参数、优点、局限性及当前研究空白，汇总于表3。因此，逆表征既代表机遇也代表局限。声学测量可用于估计难以测量的材料参数，但不同模型参数组合可产生相似的声学响应。因此，低拟合误差不应被视为参数有效性的充分证据。需要物理边界、敏感性分析与独立测量来区分拟合精度与参数可辨识性。近期逆研究进一步证明了归一化（normalization）、多实验配置及不确定性分析对改善参数估计的价值。对于非均匀、天然与回收材料，主要研究空白在于孔隙形貌与有效声学参数之间联系有限。Micro-CT与孔分辨数值模拟可提供这一联系，但其准确性取决于图像分辨率、分割（segmentation）及重建体积的代表性。ML方法可捕捉形貌、加工条件与声学响应之间的复杂关系，但需要足够大且有代表性的数据集及独立验证。因此，未来研究应侧重于整合测量、逆识别与微结构分辨建模，而非独立对待这些方法。此类框架可将等效流体模型的效率与成像及数值方法提供的结构信息相结合。物理信息机器学习可进一步加速参数估计同时保持物理约束。因此，关键挑战不是开发日益复杂的模型，而是开发可辨识、具有物理意义且可跨非均匀多孔材料迁移的模型。

10 结论
多孔材料的预测性声学建模已逐步从主要基于气流电阻率的经验关系演化为基于物理的等效流体模型、逆表征、数值模拟及数据驱动方法。DB与Miki等经验公式因其简单性与低表征要求而仍然有用，但当材料形貌与经验数据库显著不同时，其可迁移性可能受限。JCA与JCAL通过将声学行为与同孔隙结构相关的传输参数相联系，提供了更具物理可解释性的框架，但其可靠性仍取决于这些参数的可用性与准确性。逆表征为从声学测量估计难以测量的参数提供了有效途径，但低拟合误差并不必然证明参数唯一性或物理有效性。因此，在解释逆解时必须考虑参数相关性、频率范围依赖性及模型假设。数值与数据驱动方法为考虑微结构复杂性与非线性结构–特性关系提供了互补机会，近期研究证明了ML在估计有效声学参数方面的潜力。总体而言，核心挑战并非简单地增加模型复杂度，而是在微结构、可测传输参数与声学响应之间建立可靠联系。因此，未来发展应优先考虑将实验表征、物理约束逆方法、微结构分辨建模与数据驱动技术相结合的综合框架。此类方法对非均匀性与参数表征有限仍是主要障碍的天然、回收及构筑型多孔材料尤为有前景。因此，可靠的预测建模应在物理可解释性、参数可辨识性、计算效率与实验验证之间取得平衡，而非仅依赖模型复杂度或拟合精度。