偏序向量空间中的D-不交性与D-离散元：M-锥及其在pre-Riesz空间和C*-代数中的应用

《Indagationes Mathematicae》：A note on disjointness and discrete elements in partially ordered vector spaces

　　

不交性和离散元概念在向量格（vector lattices）经典理论中具有突出作用。对于更大类别的偏序向量空间（partially ordered vector spaces），不交性概念至少有三种不同推广。近年来，其中一种推广已在pre-Riesz空间（pre-Riesz spaces）背景下得到广泛研究。D-不交性（D-disjointness）是三种不交性概念中最一般的一种。本文研究D-不交性及相关的D-离散元（D-discrete element）概念。研究人员在Archimedean偏序空间（Archimedean partially ordered spaces）中建立D-离散元的一些基本性质，并考察其与pre-Riesz空间理论中离散元（discrete elements）的关系。在此背景下，研究人员还引入M-锥（M-cone）概念。作为应用，研究人员利用涉及离散元的方法证明有限维Archimedean pre-Riesz空间中渗透性（pervasiveness）与弱渗透性（weak pervasiveness）的等价性。最后，研究人员给出一个应用，展示M-锥在C^*-代数（C^*-algebras）理论中的效用。

研究背景与问题：不交性和离散元是向量格（vector lattice，任意二元上确界与下确界存在的偏序向量空间）结构理论的核心概念。对于更一般的偏序向量空间（partially ordered vector spaces，带有与向量空间结构相容偏序的实向量空间），已有至少三种不交性推广；D-不交性（D-disjointness，正元素x,y满足[0,x]∩[0,y]={0}）是最一般的一种，并已在pre-Riesz空间（pre-Riesz space，满足特定正锥条件的偏序向量空间）中广泛研究。与之相关的D-离散元（D-discrete element，不含两个非零D-不交正元素同时位于其下方）尚未在既有文献中系统研究。已有结果知道有限维Archimedean pervasive pre-Riesz空间是向量格，但弱渗透性（weak pervasiveness，任意两个D-不交正元素均不交）情形是否足够，需要新的内在证明。为此，作者Jani Jokela在不使用向量格覆盖的前提下，研究D-不交性、D-离散元和M-锥（M-cone，任意{x,y}^L含极大元的正锥），并应用于有限维pre-Riesz空间和C^*-代数（C^*-algebra）。其意义在于把向量格中原子（atom，0≤a≤x推出a=αx）与离散元结果推广到更一般偏序空间，并给出有限维渗透性与弱渗透性等价的新证明及C^*-代数应用。

关键技术方法（不超过250字）：研究人员主要采用正锥内在性质方法，不借助向量格覆盖；以M-锥保证下界集极大元或上界集极小元存在，利用D-不交性、D-离散元、原子与弱渗透性之间的关系进行证明；在有限维情形利用Archimedean性、正锥闭性、严格正线性泛函与紧序区间取极小元；在C^*-代数中利用连续函数演算、C^*-恒等式、正半定锥及Gelfand表示。本文为纯数学研究，未涉及样本队列。

研究结果：（1）2. 偏序空间中的不交性（Disjointness in partially ordered spaces）：通过定义两种不交性并刻画D-不交性，得出x,y∈X⁺为D-不交当且仅当0∈Max{x,y}^L；引入M-锥并给出其等价刻画；证明若X⁺为M-锥且dim X≥2，则存在非平凡D-不交元素，但反向不成立，并给出非M-锥例子；证明D-不交性具正齐次性；证明在任意偏序向量空间中不交性蕴含D-不交性，反向一般在具有Riesz分解性质时成立。（2）3. 离散元（Discrete elements）：通过定义原子、离散元和D-离散元，得出原子必为D-离散元；在Archimedean偏序空间且X⁺为M-锥时，原子与D-离散元等价；D-离散元之间或D-不交或成非负比例；D-不交原子等价于线性无关；例子表明离散元不必为D-离散元；并证明有限维有向Archimedean偏序空间的正锥必为M-锥，而有限维性在此结论中本质。（3）4. 弱渗透pre-Riesz空间中的原子（Atoms in a weakly pervasive pre-Riesz space）：通过M-锥与弱渗透性结合，得出若X⁺为M-锥且X为弱渗透pre-Riesz空间，则X为向量格；在有限维Archimedean弱渗透pre-Riesz空间中，原子与离散元一致，D-不交原子等价于线性无关，两两线性无关的原子集线性无关；证明任一face中非零元下方存在原子；进一步证明n维Archimedean弱渗透pre-Riesz空间恰含n个本质上不同的原子并构成基，X⁺=pos{x₁,…,x_n}，且每个y∈X⁺的系数由α_j=sup{c∈R:c x_j≤y?Σ_i=1^j?1α_ix_i}给出；由此得到n维Archimedean有向偏序向量空间中正锥为正生成、向量格、Riesz分解性质、渗透pre-Riesz空间、弱渗透pre-Riesz空间等条件等价。（4）5. M-锥在C^*-代数中的应用（Application of M-cones to C^*-algebras）：通过自伴元与正半定元引理，得出C^*-代数自伴部分按正半定锥排序时该锥为M-锥；若该自伴部分为弱渗透pre-Riesz空间，则由M-锥推出其为向量格，再由Sherman经典结果推出C^*-代数为交换；相关结果不要求代数含单位元。

讨论部分：作者将本文结果与已有关于pre-Riesz空间、弱渗透性和原子基的文献结果进行比较，指出弱渗透pre-Riesz空间推出向量格的结论已有拓扑方法及后续不同证明，本文证明依赖原子概念且避免向量格覆盖；M-锥概念在此前工作中虽未被明确命名，但其基本思想已出现在相关定理证明中；C^*-代数部分的应用思路由匿名审稿人建议，且相关结果不需要代数含单位元。研究结论（据原文各节结论浓缩翻译）：在任意偏序向量空间中，不交性蕴含D-不交性；在Archimedean且正锥为M-锥的空间中，原子与D-离散元一致，D-离散元之间或D-不交或成比例；有限维有向Archimedean偏序空间的正锥为M-锥；M-锥与弱渗透pre-Riesz空间结合推出向量格；有限维Archimedean弱渗透pre-Riesz空间由n个本质上不同的原子构成基，正锥为其正生成，并且渗透性与弱渗透性等价；C^*-代数自伴部分的正半定锥为M-锥，若该自伴部分为弱渗透pre-Riesz空间，则该C^*-代数为交换。