具有全状态约束和未知控制方向的非线性系统的低复杂性事件触发控制

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Low-Complexity Event-Triggered Control for Nonlinear Systems with Full-State Constraints and Unknown Control Directions

　　摘要
本文主要研究了具有未知控制方向的不确定非线性系统的全状态约束规定性能跟踪控制问题。传统的全状态约束控制对虚拟控制器的可行性条件施加了严格限制，这使得控制方案中的参数难以设计。与现有技术不同，本文提出了一种基于弱保守性的全状态约束控制方法，该方法消除了对虚拟控制器可行性的限制。此外，本文还开发了一种基于方向函数的新方法来处理未知控制方向的问题，避免了Nussbaum增益技术中的控制峰值问题。同时，通过引入非线性变换函数，将原始的约束系统转换为新的无约束跟踪误差系统，从而消除了初始条件的限制。最后，基于事件触发方法，本文提出了一种固定时间低复杂度控制策略，使得跟踪误差能够在固定时间内进入预定集合，减少了控制器的更新频率，并避免了由反步控制引起的微分计算爆炸问题。最后，通过仿真示例证明了所提算法的优越性。

引言
随着工业自动化和智能运动系统的快速发展，实际工程应用对控制系统的瞬态和稳态性能提出了严格的要求，例如精密制造、自主车辆跟踪和远程遥操作[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。为了解决这些问题，提出了规定性能控制（PPC）方法，该方法受到了学者的广泛关注。对于整数阶非线性不确定系统，[9]设计了一种自适应分数阶反步控制器，能够将跟踪误差严格限制在规定的性能范围内。基于主动干扰抑制控制，[10]提出了一种新的控制策略，适用于纯反馈非线性系统，使系统跟踪误差能够收敛到原点附近的任意小区域。尽管PPC已经发展了很长时间，但仍存在一些算法上的缺陷。例如，上述参考文献中的控制器设计都基于反步控制方法，这不可避免地会导致计算爆炸问题，并对初始条件施加了严格的限制。
在实际工业系统中，结构简单化的控制器可以减少计算负担并提高系统运行的稳定性。低复杂度控制是一种基于PPC的通用控制器设计方法，有效地避免了反步控制中的微分计算爆炸问题[11]、[12]、[13]、[14]、[15]。通过将预定义的性能函数应用于各个虚拟误差变量，[11]为未知的纯反馈系统开发了一种直接的状态反馈控制器，实现了具有保证的瞬态性能的输出跟踪。对于多输入多输出（MIMO）非线性系统，[13]提出了一种低复杂度控制器，能够以规定的收敛率将输出误差驱动到预定邻域内。[15]提出了一种分布式控制方案，通过漏斗控制解决了非线性多智能体系统中的协调问题。然而，几乎所有这些低复杂度方案都要求初始跟踪误差的绝对值小于一个规定的常数，这严重限制了它们在具有任意初始条件情况下的适用性。受到这一限制的启发，本文提出了一种改进的低复杂度控制策略，通过非线性变换函数消除了对初始条件的依赖，同时保证跟踪误差在固定时间内收敛到预定集合。
在某些应用中，系统状态受到物理条件的限制，如物理组件特性限制、运动空间限制等[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]。为了解决这些问题，[16]提出了一种基于tan型Lyapunov函数（BLF）的方法，用于处理具有参数和功能不确定性的高阶非线性动态系统中的全状态约束问题。基于不对称BLF和自适应神经网络，[17]提出了一种用于满足输出约束的全状态反馈控制方案。[18]采用了积分BLF来直接约束系统状态。对于MIMO非线性系统，[19]开发了一种自适应神经控制方法以确保全状态约束的遵守。通过结合BLF和动态表面控制，[20]为时延纯反馈系统设计了一种神经自适应方案。尽管取得了这些进展，大多数现有的基于BLF的方法要求对虚拟控制器施加严格的可行性条件，这增加了参数调整的复杂性，并且无法直接对物理状态施加约束。基于上述讨论，本文提出了一种基于弱保守性的全状态约束控制策略，该方法直接限制了每个物理状态变量，消除了虚拟控制器的可行性约束，从而降低了设计保守性，便于实际应用。
非线性系统在实际应用中广泛存在，例如死区、未知控制方向、饱和、执行器故障等问题。未知控制方向是最常见的问题之一，会影响期望的输出性能[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]。为了解决这个问题，[22]提出了一种针对自切换非线性系统的新型系统方法，该方法可以将系统跟踪误差调节为零，并具有可分配的收敛率。对于多个参数严格的反馈不确定系统，[25]设计了一种分布式控制器，使得所有智能体的邻域误差都在规定的范围内演变。[27]为严格反馈系统提供了连续状态控制解决方案，以实现预定的瞬态和稳态性能，从而规避了Nussbaum增益技术中的复杂计算问题。然而，这些结果都要求初始跟踪误差的绝对值小于一个正的常数，这在某些实际应用中无法满足。然而，几乎所有这些结果要么依赖于导致严重控制峰值的Nussbaum增益技术，要么对初始跟踪误差施加了严格的限制，这在许多实际应用中也无法满足。为了克服这些缺点，本文提出了一种结合 direction 函数和非线性变换函数的新方法，该方法能够在不产生高增益峰值的情况下处理未知控制方向，并同时消除了对初始误差值的限制。
时间响应性能是工业控制系统的关键评估指标，吸引了大量的研究关注[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]。固定时间控制继承了有限时间控制的所有优点，其收敛时间上限与初始系统条件无关[35]。在[36]中，开发了一种固定时间模糊控制器，以确保跟踪误差在预定的固定时间内收敛。基于固定时间分布式观测器和动态增益控制，[32]提出了一种具有两个在线可调增益的新型动态控制器，以实现固定时间的领导者-跟随者协调。此外，网络化和物联网系统面临固有的能量约束，事件触发控制是解决这一挑战的有效方法[37]、[38]、[39]、[40]、[41]、[42]、[43]、[44]、[45]、[46]。[38]设计了一种事件触发策略，在无影响操作条件下降低能耗。[41]开发了一种双事件触发机制来降低控制器更新频率。[44]提出了一种基于开关阈值的事件触发方案，以平衡通信负担和控制性能。然而，大多数现有的固定时间控制策略采用连续控制器更新，这给资源受限的系统带来了沉重的通信和计算负担；同时，大多数事件触发控制方案无法提供明确的固定时间收敛界。考虑到时域性能和能量限制，本文提出了一种事件触发固定时间低复杂度控制策略，以确保跟踪误差在明确可计算的固定时间内收敛到预定集合，同时显著减少了控制器更新频率。
受到上述讨论的启发，本文提出了一种事件触发低复杂度状态约束控制策略，用于解决具有全状态约束和未知控制方向的不确定非线性系统的固定时间跟踪问题。本文的主要贡献如下：
1. 与传统的基于反步的PPC [1]、[2]、[9]、[10]不同，后者存在计算爆炸和严格的初始条件限制，本文通过整合低复杂度控制理论和事件触发机制，提出了一种固定时间规定性能控制器。所提出的控制器保证跟踪误差在固定时间内进入预定集合，与初始条件无关，避免了反步中固有的微分计算爆炸问题，并减少了控制器更新频率，从而节省了通信和能耗。
2. 与大多数依赖于Nussbaum增益技术的未知控制方向方法不同，这些方法存在显著的控制输入峰值[22]、[25]、[27]，本文提出了一种基于新型方向函数的控制策略。这种方法避免了Nussbaum函数引起的高增益峰值现象，并简化了控制器设计过程，无需进行自适应增益调整。
3. 与传统基于BLF的控制算法[16]、[17]、[18]、[19]、[20]不同，这些算法仅间接确保状态约束，并对虚拟控制器施加严格的可行性条件，本文提出了一种实用导向的弱保守性全状态约束控制方法。所设计的控制器直接对实际物理系统的每个状态变量施加约束，消除了虚拟控制器的可行性条件，并扩大了控制参数的可行选择范围。

符号说明
在本文中，R表示实数集；Ri对应于i维欧几里得空间；??+表示非负实数；??+表示正整数集。为了简洁起见，如果不会引起歧义，则省略函数的参数变量。

问题陈述
本研究研究了一个具有未知控制方向的不确定非线性系统，其数学模型如下：
?{ {?{ {?
˙????=?????(?????????,??)?????+1+?????(?????????,??)+?????(??)
˙????=?????(?????????,??)???+?????(?????????,??)+?????(??)
???(??)=??
1??=1,...,???1，
其中向量 ?????????=[??1,…,????]??∈???? 表示测量状态向量。控制输入和系统输出分别用 u?∈?R 和 y?∈?R 表示。函数 ?????(?????????,??) 和 ?????(?????????,??):????×??+→?? 表示未知的非线性映射，具有局部Lipschitz连续性。

主要结果
基于前述分析，可以重新表述控制目标为：证明存在正常数 ???????1 和 ?????????（??=2,…,??），满足不等式 |??1?|≤????????1<1 和 |?????|≤?????????。后续部分详细介绍了为实现这些重新表述的控制目标而开发的控制器设计过程。首先，引入了一种非线性坐标变换：
??1=??1,????=??????????1,??=2,?,??，
其中 ?????1 在 (16) 中定义。接下来，我们介绍了一组变换...

仿真结果
为了验证所提出控制策略的有效性和实际工程适用性，本节提供了两个数值仿真示例。示例1：第一个数值仿真是在一个二阶机电伺服系统上进行的，该系统是精密运动控制研究中的经典基准。这类伺服系统广泛用于高精度定位应用，并且本质上存在未知的非线性、参数不确定性和未知的控制方向问题。

结论
本文研究了具有全状态约束和未知控制方向的不确定非线性系统的固定时间跟踪控制问题。具体来说，采用了一种非线性屏障函数来直接约束系统状态，消除了对虚拟控制器的可行性限制。开发了一种基于新型方向函数的方法来处理未知控制方向。引入了非线性变换，将约束系统转换为...

CRediT 作者贡献声明
李志杰：撰写 – 原始草稿，资源获取，方法论，资金获取，概念化。
李丁：撰写 – 原始草稿，验证，方法论，数据管理。
张长达：撰写 – 审稿与编辑，监督，资金获取。
刘国平：撰写 – 审稿与编辑，监督，资源管理。
杨亚峰：撰写 – 审稿与编辑，监督，资源管理。
杨雅芳：撰写 – 审稿与编辑，监督，资源管理。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或可能影响本文报告工作的个人关系。
李志杰 | 李丁 | 张长达 | 刘国平 | 杨亚芳
河北科技大学，中国石家庄市裕华区玉祥街26号，050018