具有附加项的接触哈密顿系统的共形不变性与守恒量

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Conformal invariance and conserved quantities of contact Hamiltonian systems with additional terms

　　摘要接触几何是耗散能量机械系统的自然设定，其对称性通过诺特型定理产生耗散量。第二条通向守恒律的路径——不变量由对称性生成元的散度而非其与结构形式的缩并构造——似乎尚未在接触系统中得到发展。本文发展了这一第二条路径，并对两者进行了比较。引入带有附加项的接触系统，并证明其构成严格更大的类。一个散度恒等式确定了此类系统收缩相空间的速度，其结果是，对于每个哈密顿量为自治且不含附加项的接触系统，在哈密顿量不为零的集合上，进入守恒量的辅助函数都能以闭式形式给出，而在其他情况下则由单一求积确定，这与辛和泊松情形形成对比，后者必须逐个系统构造。详细计算了三个系统。对于阻尼振子，四个对称性中有一个对诺特型定理不可见，却产生了一个不是哈密顿量函数的守恒量，而第二个对称性则情况相反，因此两种构造在逐生成元上不同。对于各向同性二维阻尼振子，该方法返回三个函数无关的守恒量。对于在磁场中受线性阻力的带电粒子，洛伦兹力作为附加项进入，诺特型定理不适用，但该方法返回两个首次积分，确定粒子停止的位置。引言失去能量的机械系统在辛意义下不允许哈密顿描述；接触几何提供了一种描述。接触流形是一个奇数维流形M^(2n+1)，带有一个一形式η，满足η∧(dη)^n是体积形式，且M上的函数?确定一个向量场，其积分曲线再现了广类耗散系统的运动方程。这一思想源于Herglotz的变分原理[1]，现代几何发展归功于Bravetti、Cruz和Tapias[2]，de León和Lainz Valcázar[3]，以及Gaset、Gràcia、Mu?oz-Lecanda、Rivas和Román-Roy[4]；另见[5]关于热力学应用，[6]关于与余辛结构的关系，[7]关于不变量、流的完整性和周期行为，以及[8]关于近期综述。区分接触情形的特征是?不守恒。对于自治哈密顿量，沿流满足d?/dt=?(R?)?，其中R?是其沿里布场的导数，且流以正比于R?的速率收缩相体积[9]，[10]。对称性与耗散量之间的关系已得到充分理解。de León和Lainz Valcázar[11]将诺特定理推广到接触拉格朗日系统，并观察到无穷小对称性产生的不是守恒量，而是以与能量相同速率衰减的函数，即耗散量。此类函数的商是真正的守恒量。Gaset等人[4]在哈密顿侧证明了相应的耗散定理，表明动力学对称性Y产生耗散量?ι_Yη，并建立了该类的闭包性质。该分类随后被细化到含时系统[12]，并由Zadra和Seri[13]以张量密度形式重新表述，他们还处理了标度对称性和动力学相似性，并给出了所得不变量独立性的判据。相关发展包括Hamilton–Jacobi理论[14]、最优控制[15]和接触变分积分器[16]。在平行的工作路线中，从Herglotz原理的第一个诺特型定理[17]出发，Herglotz型哈密顿系统的守恒量从Hamilton–Herglotz作用的诺特对称性导出，包括含时滞系统和时间尺度上的系统[18]，[19]，[20]。分析力学提供了第二条相当不同的通往守恒律的路径，似乎尚未在接触设定中应用。在那里，守恒量不是通过将对称性生成元与结构形式缩并获得的，而是由生成元的散度得到，并辅以一个说明流未能保持相体积的辅助函数。这一构造可追溯到Hojman[21]，其守恒律后来以不变体积和Jacobi乘子给出几何表述[22]，[23]。它与Mei的形式不变性[24]，[25]以及Cai引入的共形不变性[26]，[27]相结合，并已推广到完整和非完整拉格朗日系统[27]，[28]、哈密顿系统[29]、Birkhoff系统[30]，以及带附加项的广义哈密顿系统[31]，[32]，[33]，[34]。其优势在于守恒量仅依赖于对称性生成元和系统本身，因此无需解通常难以处理的结构方程。本文的目的是为接触哈密顿系统发展该构造，并与已有的诺特型定理进行比较。比较是主要关注点。第6节展示了阻尼振子上的一个对称性，其上ι_Yη恒为零，因此耗散定理不返回任何东西，而散度构造返回一个不是哈密顿量函数的守恒量；另一个对称性则情况相反。不声称一旦使用整个对称代数，两种构造就生成不同的不变量族：命题4表明，对于具有非零常数里布导数且无附加项的自治哈密顿量，散度构造为每个里布导数为常数的耗散量K重现K/?，而命题5表明，在没有附加项的情况下，诺特型构造提供每个守恒量。当存在附加项时需要散度构造，如第8节。还应记录三个进一步要点。首先，该构造的辅助函数在接触设定中是正则的。在广义哈密顿情形[31]，[33]中，它必须为每个系统单独构造，且不保证闭式。在这里，对于每个哈密顿量为自治且不含附加项的接触系统，在?≠0的集合上，它等于ln|?|的固定倍数。当任一假设不成立时，辅助函数不会丢失，但会获得由命题1的单一求积确定的修正项，闭式的确切范围在定理1中陈述。相关的密度是|?|的幂；它与[9]，[10]中通过其他方法找到的不变测度一致，这提供了独立检验而非新结果。其次，这里可以精确解决广义哈密顿文献中激励附加项的地位问题。引理1表明，一般的附加项不能吸收到哈密顿量的重新定义中，并给出了吸收可能性的精确条件。第三，定理2中导出的将共形不变性与对称性关联的因子，含有一个在广义哈密顿系统相应公式[32]，[33]中不存在的项；该项恰在时间生成元与相变量无关时消失，这是那里处理的所有例子中的情况，因此没有已发表的结果受影响。两个社群使用“共形”一词表示不相关的事物。在接触几何中，共形变换满足Φ*η=λη；在源自[26]的对称性文献中，该术语指运动方程在矩阵因子意义下的不变性。下文仅使用第二种含义，并在可能混淆时完整写出“对称性的共形不变性”。本文组织如下。第2节介绍带附加项的接触哈密顿系统，并表明此类项不可吸收。第3节证明散度恒等式，以闭式获得辅助函数，并识别不变密度。第4节推导决定方程，获得共形因子，并构造守恒量。第5节回顾[4]，[11]的耗散量并比较两种构造。第6节详细计算阻尼振子，包括有无外部驱动，在多项式拟设内确定其对称代数，并获得不含接触变量的首次积分。第7节处理各向同性二维阻尼振子。第8节将构造应用于磁场中带线性阻力的带电粒子。第9节总结。章节片段带附加项的接触哈密顿系统设M为维数2n+1的流形，带接触形式η，使得η∧(dη)^n是体积形式，并设R为里布向量场，由ι_Rη=1，ι_R dη=0定义。对于?∈C^∞(M)，接触哈密顿向量场X_?由ι_{X_?}η=??，ι_{X_?}dη=d??(R?)η确定。由于V?ι_V dη+(ι_Vη)η是从向量场到一形式的同构，(1)和(2)在M上唯一确定R和X_?；当?依赖于t时，它们在每个固定t处应用。关于下文所用几何力学的一般框架见[35]。散度恒等式与辅助函数以下一切都建立在如下恒等式之上：流收缩相空间的速度由哈密顿量的里布导数确定。引理2对于系统(5)，∑_{r=1}^{2n+1} ?σ^r/?ω^r=?(n+1)R?+∑_{r=1}^{2n+1} ?Ω^r/?ω^r，R?=??/?z，且d?/dt=??/?t?(R?)?+∑_{r=1}^{2n+1} Ω^r ??/?ω^r。证明微分分量(4)并求和。q^i导数给出∑_{i=1}^n ?/?q^i (??/?p^i)=∑_{i=1}^n ?^2?/(?q^i?p^i)。p^i导数给出，对第二项使用乘积法则，∑_{i=1}^n ?/?p^i (???/?q^i?p^i ??/?z)=?∑_{i=1}^n ?^2?/(?p^i?q^i)?∑_{i=1}^n (?p^i/?p^i) ??/?z?∑_{i=1}^n p^i ?^2?/(?p^i?z)=?∑_{i=1}^n ?^2?/(?p^i?q^i)?(2n+1)??/?z?∑_{i=1}^n p^i ?^2?/(?p^i?z)。对称性、共形不变性与守恒量考虑单参数群的无穷小变换，t?=t+ε α(t,ω)，ω?^r=ω^r+ε β^r(t,ω)，生成元及第一延拓为X^{[0]}=α ?/?t+∑_r β^r ?/?ω^r，X^{[1]}=X^{[0]}+∑_r (β?^r?ω?^r α?) ?/?ω?^r，并设Δ^r=ω?^r?σ^r；关于延拓的一般理论见[38]。判据1系统(5)在(31)下不变，即X^{[1]}(Δ^r)|_{Δ=0}=0，当且仅当对每个r=1,?,2n+1有K^r:=dβ^r/dt?σ^r dα/dt?X^{[0]}(σ^r)=0。通过(4)展开，这些是dβ^{q^i}/dt?(??/?p^i+Ω^{q^i}) dα/dt=X^{[0]}(??/?p^i+Ω^{q^i})，dβ^{p^i}/dt?(???/?q^i?p^i ??/?z+Ω^{p^i}) dα/dt=X^{[0]}(???/?q^i?p^i ??/?z+Ω^{p^i})，与耗散定理的比较本节将第4节的构造与耗散定理进行比较，其陈述归功于de León和Lainz Valcázar[11]以及Gaset等人[4]，在此回忆。定义3 [4]，[11]如果函数K满足接触系统(4)的dK/dt=?(R?)K，则K是耗散量。由(16)且Ω=0，自治哈密顿量本身是耗散量，因此该类永不为空。以下两个陈述是[4]的定理4.6和命题4.11；另见[11]。命题2 [4]，[11]如果Y是无穷小动力学对称性，例子：阻尼振子该构造首先应用于阻尼振子，即该类中最简单的系统，在其上可以逐生成元比较第5节的两种路径。取n=1，坐标为(q, p, z)，?=p^2/2+ω_0^2 q^2/2+γz，R?=??/?z=γ，其中γ>0和ω_0>0为常数。将(71)代入(4)，q?=p，?=?ω_0^2 q?γp，?=p^2/2?ω_0^2 q^2/2?γz，其前两个方程组合为q?+γq?+ω_0^2 q=0，即阻尼振子。由引理2，收缩率是常数，∑_{r=1}^3 ?σ^r/?ω^r=?/?q(p)+?/?p(?ω_0^2 q?γp)+?/?z(p^2/2?ω_0^2 q^2/2?γz)。例子：各向同性二维阻尼振子下一个例子有两个自由度，其中散度构造返回几个函数无关的守恒量，且对于诺特型路径不返回任何东西的生成元。取n=2，坐标为(q^1, q^2, p^1, p^2, z)，?=(p^1)^2+(p^2)^2/2+ω_0^2((q^1)^2+(q^2)^2)/2+γz，R?=γ，其中γ>0和ω_0>0为常数。由(4)，q?^i=p^i，?^i=?ω_0^2 q^i?γp^i，?=(p^1)^2+(p^2)^2/2?ω_0^2((q^1)^2+(q^2)^2)/2?γz，对i=1,2，因此每个q^i满足q?^i+γq?^i+ω_0^2 q^i=0。引理2给出div σ=?3γ，定理1给出Θ=3 ln|?|且N=应用：磁场中带线性阻力的带电粒子最后一个例子在接触哈密顿类之外，因此命题2不可用，而定理3只需(24)的解，仍然适用。在Drude电子输运模型[39]中，在垂直于均匀磁场的平面内运动的带电粒子受洛伦兹力和线性阻力作用。单位质量、回旋频率ω_c和碰撞率γ下，其运动方程为q?^1=ω_c q?^2?γq?^1，q?^2=?ω_c q?^1?γq?^2。阻力是瑞利项，结论接触几何为耗散机械系统提供了哈密顿描述，而诺特型定理已经将耗散量与接触哈密顿系统的对称性相关联。本文发展了第二种构造，其中不变量是生成元相对于不变体积的散度，而非其与接触形式的缩并，并比较了两种构造。主要结果如下。联系CRediT作者贡献声明Haseeb Ur Rehman：写作——审阅与编辑，写作——原稿，验证，调查，概念化。利益冲突声明作者声明不存在已知的竞争经济利益或个人关系，这些关系可能影响本文所报告的工作。Haseeb Ur Rehman巴基斯坦拉瓦尔品第拉尔库尔蒂，哈迪姆·侯赛因路，国立现代语言大学软件工程系，邮编46000