变截面旋转欧拉-伯努利梁的面内耦合振动特性研究

《Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control》：Coupled vibration of rotating Euler-Bernoulli beams with variable cross-sections in the plane

　　

：本文研究了具有非均匀截面（non-uniform cross-section）的旋转欧拉-伯努利梁（rotating Euler–Bernoulli beam）的面内耦合振动特性。假设梁的截面半径沿其纵向方向呈指数规律变化。基于哈密顿原理（Hamilton’s principle），建立了旋转变截面梁的面内耦合振动控制方程。采用伽辽金法（Galerkin method）对运动偏微分方程进行数值离散，并确定了系统的复频率（complex frequencies）。进一步研究了轮毂半径（hub radius）、锥度比（taper ratio）、长细比（slenderness ratio）和转速（rotational speed）等关键参数对梁频率特性的影响。此外，研究人员还研究了旋转梁的复模态运动（complex modal motions），并详细分析了这些关键参数如何影响复模态行为。结果表明，旋转变截面梁的面内耦合振动特性既取决于结构参数，也取决于转速。随着锥度比和长细比的增大，梁的固有频率和振动幅值减小。转速和轮毂半径对轴向和横向振动的影响不同，这在不同模态阶次下表现出不同的动力学行为。

论文解读

一、研究背景与问题提出

旋转梁结构作为经典动力学模型，广泛应用于航空航天、机械工程和风力发电等现代工业领域。直升机旋翼桨叶、涡轮发动机叶片、风力机叶片以及柔性机械臂等关键部件均可抽象为旋转梁结构。这些部件常在高速旋转和变载荷等恶劣工况下运行，其动力学特性尤其是振动性能直接影响整个系统的运行稳定性、疲劳寿命、控制精度和可靠性。传统旋转梁理论研究大多基于等截面假设，但工程实际中旋转部件往往呈现更复杂的几何构型，截面沿纵向连续变化，这种非均匀性使动力学建模与分析更加复杂。尽管已有研究在旋转梁动力学方面取得大量成果，但截面变化作为关键设计变量所引发的独特动力学行为受到的关注相对不足。现有文献主要集中在等截面或线性锥度截面的旋转梁，而对非均匀截面特别是指数锥度截面的旋转梁面内耦合振动系统研究仍较为匮乏。指数锥度截面能更真实地描述航空发动机叶片、风力机叶片和螺旋桨等工程结构中常见的截面沿轴向非线性递减的连续变化规律。这种几何非均匀性不仅影响结构刚度和质量分布，还会诱发轴向与横向振动之间的强耦合效应，从而改变系统频率特性和模态形状。因此，开展指数锥度旋转梁面内耦合振动研究具有重要理论意义和工程应用价值。

二、研究内容与结论

本文以变截面旋转欧拉-伯努利梁为研究对象，系统探索其面内耦合振动特性。研究人员首先利用哈密顿原理推导了非均匀截面旋转欧拉-伯努利梁面内耦合振动的无量纲控制方程，随后采用伽辽金截断法求解系统特征频率，深入研究旋转变截面梁的频率特性和复模态运动，并讨论轮毂半径、锥度比、长细比和转速等关键参数对梁动力学行为的影响。研究结果表明，旋转变截面梁的面内耦合振动特性同时依赖于结构参数和转速。随着锥度比和长细比的增大，梁的固有频率和振动幅值均减小；转速和轮毂半径对轴向振动与横向振动的影响存在差异，不同模态阶次下呈现出不同的动力学行为。该研究为旋转机械结构的振动预测与优化设计提供了理论基础。

三、关键技术方法

本文主要采用以下关键技术方法：基于哈密顿原理（Hamilton’s principle）从能量角度建立旋转变截面梁面内耦合振动的动力学方程，通过变分法自动推导系统运动方程与边界条件；采用伽辽金截断法（Galerkin method）对偏微分运动方程进行数值离散，将连续系统转化为有限维离散系统以求解复频率；通过复模态分析研究旋转梁的模态运动特征，揭示结构参数和转速对复模态行为的影响规律。

四、研究结果分析

4.1 控制方程建立

研究人员以附在半径为R的轮毂上、以角速度Ω*绕中心轴旋转的变截面欧拉-伯努利梁为研究对象，建立随动坐标系xyz。假设圆形截面半径沿梁轴向呈指数分布R(x)=r₀e^[?βx/L]，其中β为锥度比，正值表示截面半径沿轴向指数递减，负值表示指数递增，零值对应等截面梁。基于von Karman应变理论和哈密顿原理，推导出面内耦合振动偏微分控制方程，包括轴向运动方程和横向运动方程，两方程通过科里奥利力项和离心力项相互耦合。

4.2 频率特性分析

通过伽辽金法离散控制方程并求解系统复频率，系统考察轮毂半径、锥度比、长细比和转速等关键参数对频率特性的影响。研究发现锥度比和长细比的增大导致梁的固有频率降低，转速和轮毂半径对轴向和横向振动频率的影响不同，不同模态阶次下表现出差异化的频率响应特征。

4.3 复模态运动分析

研究人员对旋转梁的复模态运动进行深入分析，详细探讨关键参数对复模态行为的影响。结果表明结构参数与转速共同决定旋转变截面梁的面内耦合振动特性，复模态运动在不同参数组合下呈现丰富的动力学行为。

五、结论与讨论

本文系统研究了变截面旋转欧拉-伯努利梁的面内耦合振动特性，建立了考虑指数锥度截面的动力学模型，揭示了锥度比、长细比、轮毂半径和转速等关键参数对频率特性和复模态行为的影响规律。研究证实旋转变截面梁的振动特性同时取决于结构参数与转速，锥度比和长细比的增大会降低固有频率和振动幅值，而转速和轮毂半径对轴向与横向振动的影响存在差异。该工作填补了指数锥度旋转梁面内耦合振动系统研究的空白，为旋转机械结构的振动预测与优化设计提供了理论支撑，对航空发动机叶片、风力机叶片等工程部件的动力学设计具有重要参考价值。