曲率效应对开放波导导波的影响：基于周向SAFE-PML方法的研究

《Ultrasonics》：Curvature effects on open-waveguide guided waves via circumferential SAFE-PML approach

　　摘要
曲率与非规则截面的耦合以解析方法无法捕捉的方式根本性地改变了导波传播。为系统研究这些效应，我们采用既有的周向半解析有限元与完美匹配层（SAFE-PML）框架，该框架在柱坐标系下建立并在商用有限元（FE）软件中实现。将其应用于开口环向焊接接头，该框架将四种周向特征导波（CFGW）模态族进行分类，并通过归一化相速度差、相似因子和比功率流比，量化曲率引起的频散、模态振型、模态存在性和能量约束的变化。分析表明，随着半径减小，曲率逐渐提高相速度、改变模态结构并削弱全局能量约束。亚波导解释进一步阐明了CFGW模态消失和能量重分布是曲率引起的波结构兼容性变化及向邻近板泄漏的结果。该商用有限元实现提供了一种鲁棒、可扩展的工具，适用于复杂几何、先进材料本构和实际载荷条件，为弯曲工程结构中超声无损检测（NDE）和结构健康监测（SHM）的模态选择提供了实用基础。

引言
导波传播特性的精确预测是相关无损检测（NDE）和结构健康监测（SHM）有效性的基础。在实际工程系统中，如弯管、环向焊缝和加筋曲板，导波很少沿完全笔直的路径传播。在此，沿传播方向的曲率与波导的截面几何直接耦合，决定了导波的频散、模态振型和能量输运。如果这些曲率效应未被正确理解和建模，将显著降低基于导波的检测可靠性。

早期的理论研究处理了简化曲率结构中的波传播。初步研究集中于声波在流体介质中沿无限延伸弯曲路径的传播[1]、[2]、[3]，其中仅支持纵向运动。这项工作随后被扩展到细长、弱弯曲结构（如杆和螺旋弹簧）中的弹性波[4]、[5]、[6]，采用考虑固体中耦合纵向和剪切运动的Timoshenko型理论，从而获得频率相关的特征解。这些分析表明，仅当感兴趣的最短波长远大于结构的横向尺寸时，曲率效应才变得可忽略[7]。虽然这些解析模型提供了基础性的物理洞察，但它们仅限于杆状几何并依赖简化的运动学假设。因此，它们不能应用于强曲率、板状尺寸或非规则截面的波导。

对于曲面板和壳体，周向传播的导波通常采用平板理论近似。然而，这种简化无法捕捉曲率引入的本质几何效应，导致频散和模态振型的显著误差，特别是在高频或厚壁结构中。Viktorov[8]建立了严格的解析处理，引入了圆柱表面上瑞利波传播的角波数概念。该框架明确考虑了波运动在曲率上的空间变化，为空心圆柱中周向Lamb型（CLT）和水平剪切（CSH）导波模态的后续精确频散解奠定了基础[9]、[10]。这些解清晰地界定了弯曲结构中波行为收敛于平板预测的条件。虽然这些解析方法功能强大，但本质上局限于均匀、闭合环形几何。它们无法处理实际工程构件中普遍存在的非规则截面、开放边界或材料复杂性。

工程实践中的实际结构波导远比理想化圆柱模型复杂。从简单情况（如管道中的周向导波或弯曲段中的轴向导波）到具有非规则截面、开放边界和局部特征（如环向焊接接头或环向加强筋）的复杂构型，涵盖范围广泛。对这些构型的建模面临两个挑战：首先，捕捉任意截面几何与任意传播方向曲率（恒定或变化）之间的复杂耦合；其次，精确模拟由此产生的波物理过程，通常涉及向无界域的能量泄漏。几何复杂性和开放域行为使解析方法难以处理，需要一种鲁棒、通用的数值方法。

半解析有限元（SAFE）方法已成为模拟任意截面波导中导波传播的强大解决方案[11]、[12]、[13]、[14]、[15]。通过仅离散化截面并假设波沿波导轴谐波传播，SAFE在不牺牲三维全波精度的前提下实现了计算效率[16]、[17]。其能力已扩展到柱坐标系，用于计算多层粘弹性管中周向导波的频散曲线[18]，并且通过与完美匹配层（PMLs）集成而关键性地扩展到无界域[19]、[20]、[21]。SAFE-PML方法已成功应用于嵌入无限介质中圆柱芯中的导波传播[22]和缺陷检测[23]等问题。最新进展甚至将曲率或截面变化的波导分段为分段均匀段，利用频散关系的局部频率-厚度积特性[24]。

尽管取得了这些进展，曲率对周向导波传播的影响仍未被充分理解。先前的研究采用周向SAFE-PML方法来表征具有规定曲率的结构中的导波频散，主要目的是促进缺陷检测[23]。本工作采用了在商用FE软件中实现的密切相关的周向SAFE-PML公式。然而，在先前的研究中，曲率被视为固定的几何参数，其对导波传播的影响未被系统考察。因此，缺乏对曲率如何与截面几何耦合以控制导波行为的系统、定量研究——不仅影响频散，还影响模态存在性、波结构和能量约束。使问题更为复杂的是，大多数现有实现依赖于直接在柱坐标系中开发的定制编码求解器，这限制了更广泛研究和工程界的可访问性和可重复性。

在本研究中，我们在商用有限元（FE）软件中实现了既有的周向SAFE-PML方法，并将其作为研究曲率效应的计算工具。该实现便于分析涉及不同曲率半径、非规则截面和开放波导域的复杂构型中的波传播，并为高级材料本构（如多孔弹性介质[25]）和实际工作载荷条件（如预应力或热效应[26]、[27]）提供可扩展性。

本工作的关键贡献有两点。第一，我们进行了系统的参数研究，对环向焊接接头中的四种CFGW模态族（CSH型、CL型、CF型和CT型）进行分类，并使用包括归一化相速度差、模态相似因子和比功率流比在内的专用指标，量化了多个半径下曲率引起的频散、模态振型、模态存在性和能量约束的变化。第二，我们通过亚波导组合分析，为这些曲率驱动效应（特别是模态消失和能量重分布）提供了物理解释。商用FE实现作为使能计算工具呈现；新颖性在于从本研究中获得的新的物理见解和全面理解，展示范围限于恒定曲率。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍周向SAFE-PML方法的公式、实现和验证。第3节应用该方法建立不同曲率的代表性环向焊接接头中周向特征导波（CFGW）模态的定性分类。第4节量化曲率对频散、模态振型和能量捕获的影响。第5节总结主要发现并概述未来研究方向。

章节片段
周向SAFE-PML方法的数学框架
本节介绍用于分析具有任意截面的弯曲开放波导中周向导波的SAFE-PML框架。第2.1节详述柱坐标系下控制方程的理论公式。第2.2节通过两个互补检验交叉验证所提出的方法：与直波导情况的渐近极限比较和有限曲率情况的三维显式时域有限元模拟。

模态分类与定性曲率效应
本节分类沿环向焊接接头稳定传播的CFGW模态。如第2.2节所确立，识别出四个模态族：CSH型、CL型、CF型和CT型模态。给出了平均半径为30 mm、35 mm、100 mm、200 mm和1×10? mm的环向焊缝的频散关系和波结构，所有这些焊缝共享第2节所述的相同截面几何和材料属性。

曲率对CFGW传播的基本效应从根本上

曲率效应的定量评估
本节定量研究曲率对CFGW模态的相速度、模态振型和能量捕获的影响。基于第3节的定性观察，我们首先评估相速度的相对偏差，并引入相似因子以量化不同曲率下的模态形状变化。随后的分析通过比功率流比检查能量捕获行为，揭示曲率如何调节能量约束和

结论
本研究对弯曲开放波导中的导波传播进行了系统的曲率参数分析，由在柱坐标系中建立并在商用FE软件中实现的周向SAFE-PML框架所支持。以环向焊接接头为代表性案例，我们系统地对四个CFGW族（CSH型、CL型、CF型和CT型模态）的曲率效应进行分类和量化。商用FE实现提供了鲁棒且

CRediT作者贡献声明
Hai Shen：写作-初稿，可视化，验证，软件，方法学，调查，正式分析，数据管理。Hao Zhou：写作-审稿与编辑，可视化，验证，调查。Xudong Yu：写作-审稿与编辑，写作-初稿，可视化，验证，监督，资源，项目管理，方法学，调查，资金获取，正式分析，概念化。Rong Qin：可视化，验证，软件，调查。

利益冲突声明
作者声明，他们没有已知的竞争经济利益或个人关系，可能影响本论文报告的工作。

致谢
本工作得到国家自然科学基金[项目编号12134002、12374429、12004026]和中国科协青年人才托举工程[项目编号2020QNRC002]的资助。

Hai Shen|Hao Zhou|Xudong Yu|Rong Qin|Bingbing Yuan|Peng Zuo|Mingxi Deng
北京航空航天大学宇航学院，北京，102206，中国