非线性热方程中多样的孤立波和周期波结构：解析处理与物理解释

《Optik》：Diverse solitary and periodic wave structures in a nonlinear heat equation: Analytical treatment and physical interpretation

　　摘要

本文通过应用四种有效的解析技术，研究了具有温度依赖热学性质的非线性热方程。采用这些方法，推导出了若干新的闭式精确解，包括双曲函数、三角函数、有理函数和指数函数解。所得到的解揭示了丰富的波行为，并丰富了所考虑模型的解析结构。为了说明所得解的特性，在适当的参数值下给出了二维和三维图形表示。所有符号计算和图形可视化均使用Mathematica完成。本研究考虑的非线性热方程在热传导、热扩散、等离子体物理、材料科学和能量输运过程中具有重要应用。所得结果证实了所提出方法的有效性，并为非线性热传递动力学提供了有价值的见解，为非线性科学和数学物理的未来研究提供了有益贡献。

引言

非线性发展方程在模拟科学和工程中各种复杂现象方面发挥着基础性作用。它们被广泛用于描述流体动力学、非线性光学、生物学和金融数学中的非线性过程。这些方程为波传播、种群动力学、疾病传播和市场行为提供了有价值的见解。由于其广泛的适用性和丰富的数学结构，非线性发展方程已成为数学和物理领域的重要研究方向[1], [2], [3]。非线性发展方程最重要的特征之一是孤子解的存在性。孤子是由非线性和色散之间的平衡产生的局域非线性波。与普通色散波不同，它们能够在传播和相互作用过程中保持其形状、振幅和速度，表现出显著的稳定性。由于其独特的性质以及在流体动力学、等离子体物理和非线性光学中的广泛应用，精确孤子解的研究仍然是一个活跃的研究领域[4], [5]。

为了获得非线性发展方程的解析解，研究人员开发了多种强有力的数学技术。其中最广泛使用的方法包括李对称方法[6], [7]、统一方法[8], [9]、Hirota双线性方法[10], [11]、修正的Sardar子方程方法[12]和广义Riccati方程映射方法[13], [14]。此外，还提出了其他几种解析和半解析技术，并成功应用于研究非线性发展方程的丰富解结构[15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26]。

非线性热方程构成了一类重要的偏微分方程，它们出现在各种物理、工程和生物应用中。与经典热方程不同，它们包含依赖于因变量的扩散系数，从而允许对非线性扩散现象进行建模。这些方程广泛应用于热传递、多孔介质、等离子体物理和种群动力学。由于其非线性性质，它们表现出丰富的解行为，如行波、自相似解和图案形成，使其成为持续研究兴趣的课题[27], [28], [29]。

非线性热模型由以下方程定义[30]：

其中，取，则方程(1)可写成以下形式：

已经开发了多种解析方法来获得非线性热方程的精确解，如李对称分析[31], [32]、相似变换[33]、扩展tanh方法[34]和Exp函数方法[35]。此外，扩展tanh方法和Exp函数方法的结合最近已被证明为推导非线性热方程精确解提供了一种有效的框架[30]。

在本研究中，我们通过采用四种有效的解析技术推导方程(2)的新孤波解，即修正的扩展辅助方程映射方法[35]、-展开方法[36]、修正的F-展开方法[36]和扩展简单方程方法[37]。

为了说明所得解的物理特性，通过使用Mathematica生成的二维和三维图展示所选结果。这些可视化突出了解的行为及其在数学物理中的潜在应用。

本文的其余部分组织如下。第2节描述了研究中采用的方法。第3节给出了所获得的孤子解及其解析特性。第4节提供了结果和讨论，突出了关键发现及其意义。最后，第5节总结了本研究的主要结论，并概述了未来研究的潜在方向。

节选

提出方法

考虑以下形式的非线性偏微分方程：

为了构造行波解，我们采用变换

其中和分别表示波数和波速参数。将(4)代入(3)将控制偏微分方程简化为以下常微分方程：

所得常微分方程通过四种不同的解析技术进行分析。对于每种方法，解表示为

应用

在本节中，采用四种不同的解析方法来推导方程(2)给出的非线性热方程的精确行波解。这些方法为构造各种孤子解和阐明潜在的非线性波动力学提供了系统而有效的框架（图1，图2，图3，图4，图5，图6，图7，图8）。

将方程(4)代入方程(2)得到

结果与讨论

在本节中，我们检验了所提出方法对所考虑的非线性热方程的适用性和局限性。通过与文献中现有结果的比较，也突出了所得解的新颖性。所提出的方法使我们能够推导出以双曲函数、三角函数、指数函数和有理函数表示的多种精确解。这些解对应于不同的温度分布，并说明了空间和

结论

本文通过四种有效的解析技术研究了具有温度依赖热学性质的非线性热方程。通过应用这些方法，获得了若干新的闭式精确解，包括双曲、三角、有理和指数波解。这些解揭示了多样的非线性波结构，并进一步丰富了对所考虑模型的解析理解。为了说明其物理特性，二维

同意参与

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同意发表

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CRediT作者贡献声明

Asghar Ali：软件，资源，项目管理，方法学。Karim K. Ahmed：写作-审阅与编辑，写作-初稿，软件，资源。Aly R. Seadawy：监督，方法学，调查，数据管理。

伦理批准

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资金

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利益冲突声明

作者声明，他们没有任何已知的竞争经济利益或个人关系，可能影响本文所报告的工作。

致谢

不适用。

Asghar Ali|Karim K. Ahmed|Aly R. Seadawy

数学系，教育大学，木尔坦校区，拉合尔，巴基斯坦