广义圆条纹轮廓术：基于对极马尔可夫消歧与方向简并性分析

《Optics & Laser Technology》：Generalized circular-fringe profilometry with epipolar Markov disambiguation and directional degeneracy analysis

　　•广义圆形条纹建模支持任意中心–对极点几何。
•EpiLM通过对极序列优化解决多重对应关系。
•方向退化由解析空间轨迹刻画。
•推导出具有方向灵敏度界限的稳定四分之一圆域。

引言

光学三维测量是一种利用光学和电子设备获取物体表面三维形貌的非接触式技术[1]、[2]、[3]。随着智能制造、精密检测以及复杂环境感知需求的不断增长，在保持测量精度的同时提高信息获取效率已成为该领域的重要发展趋势。近年来，通过分束、多视角成像、光学复用和光谱编码等技术，光学测量系统已从单一模态的表面形貌采集逐步发展为多维信息的协同获取[4]、[5]、[6]。这些系统已广泛应用于食品检测[7]、矿产勘探[3]、艺术品鉴定[5]、[8]、生物医学以及文化遗产保护[3]、[9]、[10]、[11]。

在高密度三维表面采集的光学测量技术中，条纹投影轮廓术（FPP）因其测量速度快、精度高且系统配置灵活而得到广泛研究[12]、[13]。随着FPP的发展，已建立了多种技术，包括傅里叶变换轮廓术（FTP）[14]、相移轮廓术（PSP）[2]、莫尔轮廓术[15]、计算机生成莫尔轮廓术[16]、调制测量轮廓术[17]、相位差分轮廓术[18]、基于经验模态分解的方法[19]、视频光栅投影方法[20]以及基于深度学习的条纹分析方法[21]。其中，PSP被广泛用于高精度相位采集，其相移策略从标准固定步长算法到任意步长或未知步长方法不等[22]、[23]。

在相位采集之后，还必须解决由相位估计的周期性引起的相位包裹问题。由于通过反正切运算获得的相位通常被限制在(?π,π]范围内，相位展开是从包裹相位恢复连续绝对相位的关键步骤[22]。现有方法通常可分为空间相位展开（SPU）[24]和时间相位展开（TPU）[25]、[26]。代表性的SPU方法包括质量引导法[27]、分支切割法[28]和最小二乘法[29]，而TPU方法则包括多频外差法、双频分层法、格雷码辅助法以及各种编码辅助策略[30]。这些发展在相位采集和绝对相位恢复两方面逐步完善了FPP测量框架。

除了相位解调和绝对相位恢复之外，投影图案的编码策略和空间结构在决定FPP测量性能方面也起着重要作用。为提高每次投影的信息利用效率，已开发出各种复合条纹编码策略[31]。代表性示例包括复合傅里叶变换轮廓术[32]，该方法在单个投影图案中复用多个空间载波以实现多通道信息提取；以及复合光栅相位测量方法[33]，该方法将不同方向或空间频率的光栅组合以提高相位采集效率和鲁棒性。从条纹几何角度来看，传统FPP系统通常采用沿水平或垂直方向周期性变化的线性正弦条纹。尽管此类条纹易于生成和解调，但其相位梯度表现出明显的方向性，这可能导致在具有复杂表面、高曲率或遮挡的区域中局部相位响应降低和重建误差增大。与线性条纹的单向编码不同，同心圆条纹表现出径向变化的空间相位结构，其局部编码方向随空间位置连续变化，从而为FPP提供了一种替代的结构光编码几何[34]、[35]、[36]、[37]、[38]。在文献[39]中，Zhang等人分析了一阶小扰动，以推导相移与深度变化之间的定量关系，给出了相位灵敏度的解析表达式。Zhao等人提出了一种基于同心正弦条纹的重建模型，称为圆形条纹投影轮廓术（CFPP）[40]。然而，该方法依赖远心镜头来采集调制条纹，并且要求投影仪和相机的光轴平行。Mandapalli等人提出了CFFTP[41]、[42]，该方法将采集到的同心圆条纹图案从笛卡尔坐标变换到对极坐标。在对极坐标下，应用傅里叶变换轮廓术提取包裹相位。Chen等人提出了改进的圆形条纹傅里叶变换轮廓术（ICFFTP）[35]方法，该方法基于非抛物面模型以解决CFFTP的问题，通过引入额外的圆形条纹投影，将位移计算从求解二次方程转化为求解线性方程。OCFPP[43]通过将相机视场从零相位点移开来增强测量稳定性，并通过开发两种坐标确定方案进一步解决零相位点定位问题。随着深度学习在三维重建中的应用，同心圆条纹也被纳入端到端神经网络框架。2023年，Ravi等人[44]将参考和变形同心圆条纹图案视为一对伪立体图像，并采用代价体网络直接回归绝对相位。

作为条纹投影轮廓术的一种变体，圆形条纹图案在三维测量中具有若干优势，包括高相位灵敏度、强噪声鲁棒性和良好的适应性。然而，现有的圆形条纹方法通常是在特定的成像模型或几何约束下建立的。因此，在系统搭建和标定过程中，光机部件的轻微失调或系统配置的变化可能导致重建精度的显著下降。

为解决这些局限性，本文针对一般的相机–投影仪配置建立了一个广义圆形条纹三维测量框架。针对任意中心–对极点配置建立了相位到对应关系的几何模型，并引入了一种对极线性马尔可夫（EpiLM）方法，通过对极方向上的一维序列优化来解析多个候选对应关系。此外，分析了广义模型的方向退化特性，并基于归一化方向灵敏度构建了稳定解域。

本文的主要贡献总结如下：

1. 建立了任意中心–对极点配置下圆形条纹投影的广义相位到对应关系几何模型。
2. 提出了一种基于EpiLM的分支消歧方法，以获得沿对极方向全局一致的投影仪对应关系。
3. 推导了方向退化条件及其在投影仪图像平面上的解析轨迹，揭示了方向响应的相关符号反转。
4. 构建了具有明确方向灵敏度界限的稳定四分之一圆解域，以避免低灵敏度区域并提高重建稳定性。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍理论背景，第3节提出标准同心圆模型和对极约束映射构建，第4节介绍基于对极线候选点的一维马尔可夫链序列能量最小化，第5节分析方向退化并构建稳定解域。随后给出仿真和真实实验，最后是结论和未来工作。

章节片段

线性条纹模型

在如图1所示的结构光相移轮廓术测量中，传统水平移动正弦条纹可表示为

Inp(up,vp)=I0(up,vp)+I1(up,vp)cos(?(up,vp)+δn),

其中Inp是相移轮廓术中使用的第n个正弦条纹图案，(up,vp)表示投影仪坐标系中的坐标索引。I0(up,vp)、I1(up,vp)、?(up,vp)分别表示平均强度、强度调制和相位信息。

标准同心圆模型和对极约束映射构建

本节首先提出一个更一般的同心圆标准模型。基于该模型，推导相机像素与投影仪图像平面之间的映射关系。此外，通过将对极几何与同心圆模型相结合，获得候选点。

基于对极线候选点的一维马尔可夫链序列能量最小化

对于每个候选点序列，本节详细介绍一种一维马尔可夫链序列能量最小化方法，以实现鲁棒的像素到投影仪对应。

如图3所示，绘制了三个不同物体各行对应的候选对极线点的投影坐标。当仅使用单个像素进行决策时，选择正确对应关系变得困难，因为两个候选近似对称且不存在

广义圆形条纹模型的方向退化分析与稳定域构建

在第3节建立的广义圆形条纹模型中，圆形条纹中心不要求与投影仪对极点重合。本节进一步分析沿投影仪对极方向的局部相位响应，并研究圆形条纹中心与投影仪对极点之间的相对几何关系如何影响相位到几何映射的稳定性。理论分析表明，在一般配置C≠E下，方向

实验

为验证所提算法的有效性，我们进行了仿真实验和真实世界实验。为确保客观且可重复的比较，所有实验组均在相同的成像和投影参数、采集过程和重建设置下进行。

讨论

本节讨论真实测量中观察到的全局方向偏差及其可能来源。基于多次实验、不同重建方法以及两套独立搭建的相机–投影仪系统的结果，观察到的偏差不太可能由单一因素引起。相反，它更可能与残余系统误差、特定条纹几何以及被测物体相对位置的综合效应有关。

结论

本工作通过为一般相机–投影仪配置建立广义相位到对应关系几何模型，解决了现有圆形条纹三维测量方法对特定成像模型和几何配置的依赖性。该模型利用圆形等相位约束和相机–投影仪对极几何生成候选对应关系。随后引入对极线性马尔可夫方法，其中沿对极方向的候选分支选择

CRediT作者贡献声明

Yufan Jiang：写作——初稿、可视化、方法学、调查、数据管理。Yuchong Chen：写作——审稿与编辑、验证、正式分析。Feipeng Da：写作——审稿与编辑、监督、项目管理、资金获取。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在已知的竞争经济利益或个人关系，可能影响本文所报告的工作。

致谢

本工作得到国家自然科学基金（62513119）、江苏省重大科技项目（BG2024003）以及江苏省前沿引领技术基础研究专项（BK20192004C）资助。

Yufan Jiang | Yuchong Chen | Feipeng Da