奇异性感知的求积修正，用于弱奇异弗雷德霍姆-哈默斯坦积分方程中的物理信息残差

《Mathematics and Computers in Simulation》：Singularity-aware quadrature correction for physics-informed residuals in weakly singular Fredholm–Hammerstein integral equations

　　摘要物理信息神经网络（PINNs）近似积分方程的未知解，而物理残差的评估仍依赖于数值求积。本文研究一维弱奇异Fredholm–Hammerstein方程中的求积一致性。通过分离连续残差、求积定义残差以及由此产生的求积缺陷，我们分析了均匀网格上的零对角线梯形法则。当正则非线性因子在奇异节点处非零时，接触奇异点的单元包含一个阶数为O(h^(1?α))的主局部一致性项。在该条件下，MP-raw具有相同的局部阶数。解析乘积积分权重去除了该项，在Lipschitz正则性下留下了O(h^(2?α))的局部正则因子逼近误差。数值实验针对两种非线性响应、三个奇异指数和五组配对种子，比较了端点乘积、中点乘积和原始中点残差，同时独立地对连续残差进行高精度评估，并采样三网格求积缺陷诊断。在α=0.25时，解误差差异较小。在α=0.5和0.75时，两种解析权重变体产生的平均解误差和采样的求积缺陷均明显小于原始中点采样，而端点和中点正则因子采样的相对性能仍依赖于具体配置。这些结果表明，准确表示有限奇异单元贡献是求积一致物理信息残差的重要要求。引言第二类Fredholm积分方程出现在散射、积分算子建模、与断裂相关的问题以及层析重建中[1], [2], [3], [4]。当被积函数包含非线性复合g(φ(s))时，方程为Hammerstein型[5], [6], [7]。这类方程通常使用不动点、单调性或相关非线性算子技术进行分析；线性Neumann级数处理方法并不直接适用。物理信息神经网络（PINNs）[8], [9], [10]减少了对求解网格的需求，但积分残差仍需进行求积离散化。网络Φ_θ最小化一个基于残差的损失函数，将积分方程作为约束编码，结合了表示灵活性和基于残差的物理约束。我们先前的工作[11], [12]研究了线性Fredholm方程中PINN残差的离散化选择。本文考察了弱奇异非线性积分算子下物理信息残差的求积一致性。经典乘积积分提供了数值基础；我们的贡献在于表征其在弱奇异非线性Fredholm–Hammerstein算子求积定义物理信息残差一致性中的作用。对于弱奇异核K(x,s)=|x?s|^(?α)，0<α<1，映射s?|x?s|^(?α)对每个固定的x是可积的，因此单元积分w_ij=∫_(a_j)^(b_j)|x_i?s|^(?α)ds对每个单元[a_j,b_j]都是有限且正的。在零对角线梯形实现中，仅将对角线上的核项设为零，会使得接触奇异点的有限单元贡献未被表示。在正则因子非零条件下，由此产生的局部一致性项为h^(1?α)阶；系数取决于实际使用的梯形法则。图1显示了两个接触奇异点的单元和解析权重。相应的原始中点展开式将该方案的接触单元误差与零对角线梯形误差区分开来。近期的一般综述总结了用于科学计算和pde问题的pinns的发展[10], [13]；用于积分微分和fredholm积分方程的pinn型方法在文献[14], [15]中有所研究。deepxde[16]提供了一个通用的pinn软件框架，而pinnies[17]开发了一个具有高效算子评估的积分算子框架。这些贡献与本分析互补，本分析研究弱对角奇异点如何由求积定义的残差表示。表1总结了互补的范围：通用pinn软件、积分算子评估，以及本文开发的对奇异点感知的残差一致性分析。hammerstein和fredholm–hammerstein方程的经典方法包括配置法和外推法[18]，nystr?m方法[19], [20]，超收敛galerkin方法[21]，奇异点感知的nystr?m和退化核方案[22]，以及谱投影方法[23], [24]。对于弱奇异核，乘积积分和奇异点感知的求积提供了保留有限奇异单元贡献的成熟方法[25], [26], [27], [28]，而近期关于非线性泛函积分方程的数值和分析结果进一步激发了这一研究方向[29]。本工作展示了这一经典奇异求积问题如何在pinns的残差层面出现。这一区别很重要：残差离散化误差和神经优化误差是独立的误差来源。即使神经逼近和优化器足够有效，不正确组装的积分残差也可能将网络训练朝向错误的离散方程。本文做出三点贡献。1. 我们分离了连续残差、求积定义残差和求积缺陷，并推导了所实现的零对角线梯形法则和原始中点基线的方案特异性局部一致性展开式。2. 我们使用经典解析乘积权重来区分奇异核积分与正则非线性因子的端点或中点采样。权重组装一次性花费o(n^2)，每步残差矩阵-向量运算为o(n^2)。3. 我们使用最终轮次检查点，对两种非线性响应和三个奇异指数进行配对五种子比较，并附上独立的连续残差诊断。我们还报告了光滑核和正则化abel示例，并分析了残差驱动的网格迁移及其冻结网格比较。提供了支持适定性和残差稳定性的结果，以将数值修正置于一致泛函分析框架中。章节片段问题设定我们研究非线性fredholm–hammerstein方程 φ(x)=f(x)+λ∫?1K(x,s)g(φ(s))ds，x∈[0,1]， 在空间x=C[0,1] [30]中，范数‖φ‖_∞=sup_{x∈[0,1]}|φ(x)|。Hammerstein算子为Hφ?f+λTg(φ)，其中Tψ(x)?∫?1K(x,s)ψ(s)ds。引理1 c[0,1]中的有界性和连续性 对于k(x,s)=><α<1，算子t:c[0,1]→c[0,1]有界且‖t‖=κ?sup_{x∈[0,1]}∫?1|x?s|^(?α)ds=sup_x [x^(1?α)+(1?x)^(1?α)] (1?α)=2^α/(1?α)≤2/(1?α)。此外，对每个ψ∈C[0,1]，Tψ∈C[0,1]。证明><ε}|x?s|^(?α)ds=o(ε^(1?α))→0得出；远场连续性为标准的。□假设1（局部不变球条件）对于r>0，令B_R?指标与评估网格对于固定的评估网格{x_m^eval}_{m=1}^M，报告的求解指标为 MaxErr?max_{1≤m≤M}|Φ_θ(x_m^eval)?φ*(x_m^eval)|， RelL2?(∑_{m=1}^M|Φ_θ(x_m^eval)?φ*(x_m^eval)|2 / ∑_{m=1}^M|φ*(x_m^eval)|2)^(1/2)， MSE?(1/M)∑_{m=1}^M|Φ_θ(x_m^eval)?φ*(x_m^eval)|2。主要的弱奇异求解指标使用[0,1]上M=401个等距点，包括两个端点；训练残差在自身的配置网格上评估。五个种子为{42,123,777,2024,9999}。主要检查点是预定最终五种子奇异求积比较图1显示了接触配置节点的两个单元。命题2给出了零对角线梯形采样实际留下的局部项。乘积权重对奇异因子在每个单元上积分，而端点和中点因子采样仍是独立选择。表5报告了所有90个最终轮次运行，分为五种子匹配组。在α=0.25时，方法间约10??的差异相对于种子间的变异性较小。在α=0.5和0.75时，两种解析权重残差构建的实际意义对于弱奇异核，残差应表示每个接触奇异点的单元的有限质量。局部分析给出在所述非零条件下零对角线梯形法则的O(h^(1?α))项，而解析单元权重在Lipschitz条件下留下O(h^(2?α))的局部正则因子逼近项。这一区别也解释了为什么小的求积定义残差和小的连续残差是不同的量。在主要结论中，本文分析了求积如何进入具有弱奇异核的非线性Fredholm–Hammerstein方程的物理信息残差。连续残差、求积定义残差及其缺陷是不同的；解析奇异单元权重保留了零对角线梯形法则表示不完整的有限单元贡献。对于所述非零条件，零对角线法则具有局部O(h^(1?α))一致性项，而解析加权留下O(作者贡献声明严马：写作——初稿，方法学，形式分析。李伟：写作——审阅与编辑，监督，软件，数据管理。耿佳欣：写作——审阅与编辑，方法学，形式分析。生成式AI和AI辅助技术声明在稿件准备过程中，作者使用了OpenAI Codex协助语言编辑、一致性检查、LaTeX格式化和稿件修订。使用该工具后，作者根据需要审阅并编辑了内容，并对已发表文章的内容负全部责任。资助本研究未获得来自公共、商业或非营利部门资助机构的任何特定资助。利益冲突声明作者声明，他们不存在已知的可能影响本研究报告工作的竞争经济利益或个人关系。严马|李伟|耿佳欣