求解带Bessel算子的Caputo–Fabrizio分数阶扩散方程反初值问题的一种迭代广义拟边值正则化方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：An iterative generalized quasi-boundary value regularization method for inverse initial value problem of Caputo–Fabrizio fractional diffusion equation with Bessel operator

　　摘要

本文研究了一类含Caputo–Fabrizio分数阶导数（CFFD）的Bessel算子分数扩散方程。我们首先建立了正问题解的存在性、唯一性和正则性。随后，针对逆初值问题，我们分析了其不适定性，并证明了解的存在性和唯一性。基于上述分析，我们提出了一种迭代广义拟边界值正则化方法（IGQBVRM）。此外，在先验和后验参数选取规则下，我们推导了正则化解与精确解之差的收敛估计。最后，我们通过多个数值实验验证了所提方法的有效性。

引言

分数阶微积分有着悠久的历史，而传统的分数阶导数如Caputo导数和Riemann–Liouville导数，作为将记忆效应纳入过程模型的有效工具已被广泛研究[1], [2], [3]。大量研究进一步探讨了这些经典分数阶算子在各类方程中的理论性质及相关逆问题[4], [5], [6], [7], [8], [9]。然而，这些经典算子存在核奇异性。为克服这一问题，Caputo和Fabrizio[10]引入了CFFD，它采用非奇异指数核，并将该指数核与一阶导数的卷积形式表示。

近年来，CFFD在物理学、电气工程、材料科学、流体力学及生物数学的数学建模中被广泛使用[11], [12]。其基本性质在文献[13], [14], [15]中研究，而其物理解释在文献[16]中讨论。

在CFFD的应用中，分数阶扩散方程因能描述具有记忆效应的反常扩散而特别受到关注。因此，许多学者研究了Caputo–Fabrizio分数阶扩散方程（CFFDE）的正问题。Tuan等[17]建立了Caputo–Fabrizio型线性和非线性时间-空间分数阶扩散方程解的存在性和唯一性；Rubbab等[18]导出了Caputo–Fabrizio时间分数阶对流扩散方程的解析解，并考察了记忆效应对扩散过程的影响。此外，Yadav等[19]通过Shehu变换分解法和不动点定理，获得了Caputo–Fabrizio多维扩散问题的解析表示，并讨论了解的存在性和唯一性。除这些解析研究外，Fardi等[20]开发了基于有限差分和谱方法的混合数值格式，用于求解多项Caputo–Fabrizio扩散方程。Boutiba等[21]提出了求解Caputo–Fabrizio时间分数阶扩散方程的有限元方法，并分析了其数值稳定性和收敛性。

虽然CFFDE的正问题已被广泛研究，但相应的逆问题却鲜有探索。Yang等[22]通过修正拟边界法和Landweber迭代正则化方法研究了CFFDE的未知源识别问题。Huynh等[23]证明了一类与CFFDE相关的逆源问题的存在性和收敛估计。Seminara等[24]利用有限个测量点的浓度数据确定了CFFDE的逆源问题。尽管有上述贡献，涉及一阶Bessel算子的CFFDE逆问题在很大程度上仍未被探索。

众所周知，一阶Bessel算子已被广泛用于描述柱对称物理系统[25]，这类系统在工程应用中经常出现，如图1所示。一个典型例子是危险气体储存设施，这类设施常被建模为圆柱形结构。在外部环境影响下，这些设施可能发生气体泄漏和扩散，如图2所示。由于危险气体的扩散性，此类泄漏可能带来严重的安全隐患。因此，研究危险气体在储存设施中的泄漏与扩散机理具有重要意义。在许多情况下，泄漏发生时的初始气体分布是未知或不可测量的，而只有后期观测数据可用。因此，恢复未知的初始分布对于分析后续扩散过程、确定危险扩散区域以及评估风险等级至关重要。这类扩散过程可用Fick扩散模型[26]简单描述为

?u(x,t)/?t = σ (?2u(x,t)/?x2 + (n?1)/x · ?u(x,t)/?x)，

其中u(x,t)表示在径向坐标x和时间t处的危险气体浓度，σ>0是扩散系数，n为空间维数。特别地，当n=1,2,3时，(1.1)分别化为

n=1: ?u/?t = σ ?2u/?x2,
n=2: ?u/?t = σ (?2u/?x2 + (1/x) ?u/?x),
n=3: ?u/?t = σ (?2u/?x2 + (2/x) ?u/?x)，

分别对应一维、柱坐标和球坐标扩散方程。

本文受一阶Bessel算子的柱对称模型[27]的广泛应用以及CFFDE描述扩散现象的能力的启发，我们考虑含一阶Bessel算子分数次幂的CFFDE。问题的自然表述为

^CFD_{0,t}^α u(x,t) + (?B)^s u(x,t) = g(x,t), (x,t) ∈ Ω×(0,T),
u(L,t) = 0, t ∈ [0,T],
lim_{x→0} u(x,t) 有界, t ∈ [0,T],
u(x,0) = r(x), x ∈ Ω?，

其中 B = d2/dx2 + (1/x) d/dx，0< />0。这里g(x,t)和r(x)分别表示源项和初值。

然而，若要求解充分正则，则源项和初值并非完全独立。Al-Salti等[28]讨论过类似问题。他们考虑了初值问题

^CFD_{0,t}^α v(t) ? λ v(t) = f(t), 0≤t≤T，

满足v(0)=v?。由于Caputo–Fabrizio导数在t=0处为零，他们得到了相容性条件f(0)=?λv?。

对于本文问题，令t→0?并利用u(x,0)=r(x)可得

g(x,0) = (?B)^s r(x)。

因此，初始时刻的源项受到初值的约束，当g和r被独立指定时这可能是限制性的。

为避免直接对g施加相容性条件，我们引入一个连续权重函数χ，并定义修正源项如下：

g?(x,t) = χ(t) (?B)^s r(x) + [1?χ(t)] g(x,t)，

其中χ∈C([0,T])满足χ(0)=1，χ(T)=0，0≤χ(t)≤1。

因此，相容性条件在t=0处自动满足，而原始源项在t=T处恢复。

据此，本文研究的问题表述为

^CFD_{0,t}^α u(x,t) + (?B)^s u(x,t) = χ(t) (?B)^s r(x) + [1?χ(t)] g(x,t), (x,t) ∈ Ω×(0,T),
u(L,t) = 0, t ∈ [0,T],
lim_{x→0} u(x,t) 有界, t ∈ [0,T],
u(x,0) = r(x), x ∈ Ω?。

这里，算子^CFD_{0,t}^α表示α阶Caputo–Fabrizio分数阶导数。对于b>0，ρ∈H1(0,b)，0<α<1，其在[29]中定义为 ^cfd_{0,t}^α ρ(t)=M(α)/(1?α) ∫?? e^{?α (1?α)(t?τ)} ρ′(τ) dτ, t≥0。 函数m(α)是归一化函数，可连续延拓到[0,1]，并满足m(0)=M(1)=1。><α<1，但caputo–fabrizio导数可延拓到α=0，使得 ^cfd_{0,t}^α ρ(t)=ρ(t) ? ρ(0)。 此外，经典一阶导数在极限意义下恢复： lim_{α→1?} ^cfd_{0,t}^α ρ(t)=ρ′(t)。 为简便起见，后续分析中我们取m(α)=1。 关于问题(1.2)，我们同时研究正问题和逆问题。对于正问题，我们给出解的存在性、唯一性和正则性结果。对于逆问题，我们从终值条件 u(x,t)=h(x),>< />0的加权空间L2(Ω)定义为

L_x2(Ω) = {w ∈ L2(Ω) : (∫?? x |w(x)|2 dx)^{1/2} < ∞}。

定义2 [32], [33] 设{λ?, φ?(x)}_{n=1}^∞是一阶Bessel算子B在齐次边界条件下的特征系统，即

?Bφ?(x) = λ? φ?(x), |φ?(0)| < ∞, φ?(L) = 0，

其中{λ?}_{n=1}^∞是满足0<λ?≤λ?≤?≤λ?≤?的特征值。对应的特征函数{φ?(x)}_{n=1}^∞构成l_x2(ω)的一组标准正交基。 一阶bessel算子的分数次幂按谱意义定义如下 正问题 根据(1.2)，我们将解按特征函数展开为fourier级数，从而得到u?(t)的分数阶常微分方程： ^cfd_{0,t}^α u?(t) + λ?^s u?(t)=χ(t) λ?^s r? + [1?χ(t)] g?(t)。 然后由引理1，解可表示为 u(x,t)=∑_{n=1}^∞ { r? (1+(1?α)λ?^s) e^{?αλ?^s (1+(1?α)λ?^s) t} + (1?α) (1+(1?α)λ?^s) [λ?^s χ(t) r? + (1?χ(t)) g?(t)] + α [1+(1?α)λ?^s]2 ∫?? e^{?αλ?^s (1+(1?α)λ?^s)(t?τ)} [λ?^s χ(τ) r? + (1?χ(τ)) g?(τ)] dτ } φ?(x)， 其中g?(t)=?g(x,t),φ?(x)?，r?=?r(x),φ?(x)?。 定理1>< />0满足θ≤s+p。

逆初值问题

在第3节中，我们建立了解的正则性。本节致力于分析逆初值问题的存在性、唯一性和不适定性，然后推导条件稳定性估计。

将t=T代入(3.1)，并结合条件(1.4)，可得

u(x,T) = ∑_{n=1}^∞ { r?/(1+(1?α)λ?^s) e^{?αλ?^s/(1+(1?α)λ?^s) T}
+ (1?α)/(1+(1?α)λ?^s) g?(T)
+ α/[1+(1?α)λ?^s]2 ∫?? e^{?αλ?^s/(1+(1?α)λ?^s)(T?τ)} [λ?^s χ(τ) r? + (1?χ(τ)) g?(τ)] dτ } φ?(x)
= h(x)。

记

w(x) = h(x) ? ∑_{n=1}^∞ { (1?α)/(1+(1?α)λ?^s) g?(T)
+ α/[1+(1?α)λ?^s]2 ∫?? e^{?αλ?^s/(1+(1?α)λ?^s)(T?τ)} [λ?^s χ(τ) r? + (1?χ(τ)) g?(τ)] dτ } φ?(x)。

一种迭代广义拟边界值正则化方法及收敛性分析

如第4节所示，逆初值问题是不适定的。受文献[22], [31]启发，本节引入IGQBVRM，并在两种参数选取规则（先验规则和后验规则）下给出正则化解的收敛估计。设{u_ν^{δ,k}(x,t), r_ν^{δ,k}(x)}为如下正则化问题的解：

^CFD_{0,t}^α u_ν^{δ,k}(x,t) + (?B)^s u_ν^{δ,k}(x,t)
= χ(t)(?B)^s r_ν^{δ,k}(x) + [1?χ(t)] g(x,t), (x,t) ∈ Ω×[0,T]，

u_ν^{δ,k}(L,t) = 0, t ∈ [0,T]，

lim_{x→0} u_ν^{δ,k}(x,t) 有界, t ∈ [0,T]，

u_ν^{δ,k}(x,0) = r_ν^{δ,k}(x)。

数值实验

本节提供数值算例以验证该正则化方法的有效性和稳定性。我们考虑如下方程：

^CFD_{0,t}^α u(x,t) + (?B)^s u(x,t) = χ(t)(?B)^s r(x) + [1?χ(t)] g(x,t), (x,t) ∈ Ω×(0,T)，
u(L,t) = 0, t ∈ [0,T]，
lim_{x→0} u(x,t) 有界, t ∈ [0,T]，
u(x,0) = r(x), x ∈ Ω?。

一般来说，(6.1)的显式解析解不可得，尤其是当分数阶空间算子(?B)^s涉及其中时。因此，我们采用有限差分方法求解正问题。

结论

本文研究了一类含一阶Bessel算子分数次幂的CFFDE。对于正问题，我们建立了解的存在性、唯一性和正则性结果。对于从终值数据恢复初值的逆问题，我们分析了其不适定性，并证明了在适当条件下解的存在性、唯一性和条件稳定性。为克服不适定性，我们提出了IGQBVRM，并推导了收敛阶估计。

CRediT作者贡献声明

Aoran Bei：验证，写作——初稿。Hao Cheng：写作——审阅与编辑，指导，概念化。

致谢

作者感谢审稿人和编辑提出的非常专业和建设性的意见和建议，这些意见使原稿得到了改进。

Aoran Bei | Hao Cheng