引言
在航空航天和桥梁建设等高风险工程领域，裂纹通常在被察觉之前就已萌生并扩展，直至快速生长导致结构失效，这可能引发灾难性事故 [1], [2], [3]。由于扩展路径决定了损伤累积和失效发展，准确的裂纹扩展预测能够实现对高风险区域的针对性监测，对于可靠的结构完整性评估至关重要 [4], [5]。
物理嵌入式机器学习已成为裂纹扩展预测的重要计算范式 [6], [7], [8], [9], [10]。这些模型直接从数据中学习裂纹扩展的复杂非线性关系 [5], [11], [12]，从而减少了对理想弹性等手工假设的依赖。同时，断裂力学原理被嵌入学习过程以提高物理一致性 [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]、预测可靠性和可解释性。现有方法通常根据物理规则引入模型的方式分为三类，包括网络拓扑嵌入、损失函数嵌入和激活函数嵌入。
网络拓扑嵌入将物理定律直接集成到架构中。通过设计连接模式、特征流或计算图来反映潜在物理过程，网络的拓扑本身表达了控制机制 [15], [20], [21], [22]。例如，As'ad等人 [20] 构建了一个力学信息神经网络，其层连接和节点交互模拟了裂纹周围的应力传递路径，在结构上嵌入了力学行为。虽然这种方法强制了强物理一致性，但它依赖于高度定制的架构，限制了灵活性和在多种断裂场景下的广泛适用性。
损失函数嵌入将物理定律作为损失函数中的惩罚项，从而在优化过程中强制断裂力学约束 [10], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29]。这是物理信息神经网络（PINNs）的核心机制。这种策略具有广泛的适用性，因为物理约束可以通过修改残差项引入，而无需改变网络架构。Liao等人 [26] 通过最小化数据预测误差和Paris律残差训练物理信息神经网络，用于疲劳裂纹扩展建模。然而，物理信息通过反向传播进入模型参数，并分散在许多标量权重中，使得学习到的内部表示不够紧凑且更难直接检查 [30], [31]。
激活函数嵌入将物理先验嵌入手工或参数化的非线性函数中 [32], [33], [34]，允许选定的神经元代表特定的物理变换。例如，Wang等人 [34] 将裂纹尖端富集函数引入反向传播神经网络的激活函数中，以表示裂纹扩展问题中的近尖端场。然而，这类激活函数是固定的或手动指定的，这限制了在不同断裂机制下的适应性。相关的物理意义可能局限于局部神经元响应，可能无法提供连贯的网络级结构解释。
尽管取得了这些进展，但许多近期的PINN研究集中在改进训练策略和求解效率上，如自适应配置点、双阶段优化和边界积分富集 [10], [17], [18], [35]。然而，这些努力主要在采样、优化或解增强的层面上运作，而较少关注物理信息在网络中是如何内部表示的。在大多数情况下，物理约束通过损失函数引入，然后分散在大量标量权重中，使得难以直接检查单个网络组件如何反映潜在的力学机制。
总体而言，断裂力学约束要么通过定制结构显式规定，要么隐含地吸收到网络权重中。然而，这种权重空间嵌入可能将学习到的响应分散到大量标量参数中，使内部表示不够紧凑且更难直接检查。为了克服现有物理嵌入策略的局限性，本文提出了一种物理驱动的科尔莫戈洛夫-阿诺德网络（KAN）框架 [36]。核心动机是用可直接检查的显式函数表示取代传统的权重中心内部表示。该框架将物理信息训练与KAN的可学习一维样条映射以及显式裂纹尖端渐近富集相结合。在优化过程中，断裂力学约束通过控制方程和边界条件指导学习到的样条映射，而解析富集提供了规定的近尖端渐近结构。由于单个KAN映射是显式函数，它们的演化可以直接可视化、解析表征，并通过网络追踪。这为分析学习到的内部表示提供了紧凑且函数级别的基础。
关键创新如下。
- 1.
开发了一种物理信息KAN表示用于裂纹扩展建模，其中显式可学习的一维样条映射提供了内部网络响应的紧凑函数表示。
- 2.
开发了一种结合断裂力学约束与KAN表示的物理信息KAN公式，用于迭代裂纹扩展，在不同随机初始化下产生更一致的预测，同时保持裂纹路径准确性。
- 3.
通过直接可视化学习到的样条映射，用紧凑解析表达式逼近它们，并追踪它们通过隐藏节点对预测位移场的影响，建立了一个函数级别的可解释性框架。
