分布阶分数阶时滞非线性动力系统的稳定性分析与同步

《Fractal and Fractional》：Stability Analysis and Synchronization of Distributed-Order Fractional Nonlinear Dynamical Systems with Time Delay

　　

本文研究具有常数时滞的分布阶分数阶非线性动力系统（DONDSs）的稳定性与完全同步问题。针对连续Caputo分布阶模型，通过Laplace变换预解式方法，在给定的适定性与预解式假设下，给出充分增量小增益条件 ??_??=(??+??)‖??_??‖_??1<1。研究验证了标量阻尼 ??=???? 情形下的预解式要求，此时判据简化为 ??+??min(??) 为充分条件；适定性仍作为独立假设保留。针对有限多项模型，相应条件为 ??=(??+??)‖??_??‖_??1<1。研究还建立了条件性的历史空间广义Wright Lyapunov判据，其衰减通过标量多项松弛函数及其广义Wright级数表示描述，并受附加反演条件约束。研究人员开发了Adams乘积积分预测-校正方法，考察其端点校正器的压缩性，并与后向Euler卷积求积及全隐式Adams端点方法进行比较。有限多项Liu系统与金融系统用于说明该框架，并辅以关于阶数分布、时滞、控制增益、扰动及参数交互的数值研究。最后，主动控制构造在理想全状态与精确模型假设下抵消非线性与时滞失配项，留下稳定的线性分布阶同步误差系统。

研究背景方面，分布阶分数阶微积分通过将微分阶数视为分布而非单一常数，能够更精细地刻画具有记忆与遗传特性的复杂动力行为，在粘弹性材料、反常扩散与金融动力学等领域具有广泛应用前景。然而，现有研究多集中于无时滞或线性系统情形，针对含时滞的分布阶分数阶非线性动力系统，其稳定性判据与同步控制设计仍缺乏系统性的理论工具。时滞的引入使系统相空间无限维化，分布阶算子又带来核函数的非局部性与多尺度记忆效应，二者耦合使得经典Lyapunov方法与频域判据难以直接推广，因此亟需建立适用于此类系统的稳定性分析与同步框架。

针对上述问题，研究人员围绕含常数时滞的分布阶分数阶非线性动力系统开展稳定性与完全同步研究。对于连续Caputo分布阶模型，借助Laplace变换预解式方法，在适定性与预解式假设下建立了充分增量小增益条件 ??_??=(??+??)‖??_??‖_??1<1；并分别就标量阻尼 ??=???? 与对称正定矩阵 A 两种情形验证预解式要求，得到 ??+??min(??) 的简化判据。对于有限多项模型，给出对应条件 ??=(??+??)‖??_??‖_??1<1。研究还建立了条件性的历史空间广义Wright Lyapunov判据，并构造主动控制实现完全同步。所得结论为分布阶分数阶时滞非线性系统的稳定性判定与同步设计提供了可验证的充分条件，对复杂记忆系统的控制理论具有推进意义。

在技术方法上，研究人员主要采用Laplace变换与预解式分析处理连续分布阶Caputo模型的小增益条件；利用广义Wright函数与多项松弛函数构造历史空间Lyapunov判据；设计Adams乘积积分预测-校正格式并分析其端点校正器压缩性，同时与后向Euler卷积求积和全隐式Adams端点方法进行比较；并以有限多项Liu系统与金融系统作为数值算例，考察阶数分布、时滞、控制增益、扰动与参数交互的影响；最后通过主动控制构造抵消非线性与时滞失配项。

研究结果方面，第一，连续分布阶模型的小增益条件：通过Laplace变换预解式方法，在适定性与预解式假设下证得充分增量小增益条件 ??_??=(??+??)‖??_??‖_??1<1，并在标量阻尼与对称正定矩阵情形下分别给出 ??+??min(??) 的充分判据。第二，有限多项模型的对应条件：针对有限多项模型导出 ??=(??+??)‖??_??‖_??1<1，拓展了小增益框架的适用范围。第三，广义Wright Lyapunov判据：建立条件性的历史空间判据，衰减由标量多项松弛函数及其广义Wright级数表示刻画，并受附加反演条件约束。第四，数值方法设计与比较：开发Adams乘积积分预测-校正方法，分析端点校正器压缩性，并与后向Euler卷积求积及全隐式Adams端点方法进行比较。第五，算例与数值研究：以有限多项Liu系统与金融系统说明框架，数值考察阶数分布、时滞、控制增益、扰动与参数交互的影响。第六，主动同步控制：在理想全状态与精确模型假设下，主动控制构造抵消非线性与时滞失配项，得到稳定的线性分布阶同步误差系统。

讨论部分对上述结果进行了综合评述，指出小增益条件的充分性依赖适定性与预解式假设，标量阻尼与对称正定矩阵情形下的简化判据便于工程验证；广义Wright Lyapunov判据为衰减估计提供了条件性工具；数值方法比较揭示了预测-校正格式在端点校正压缩性方面的特点；主动控制在全状态与精确模型假设下可实现非线性与时滞失配项的抵消。研究结论可概括为：在给定适定性与预解式假设下，连续Caputo分布阶时滞非线性动力系统满足增量小增益条件 ??_??=(??+??)‖??_??‖_??1<1 时可保证稳定性，有限多项模型对应条件为 ??=(??+??)‖??_??‖_??1<1；历史空间广义Wright Lyapunov判据在附加反演条件下成立；所设计的Adams乘积积分预测-校正方法可用于该类系统的数值求解；主动控制构造在理想假设下实现完全同步并使同步误差系统化为稳定的线性分布阶系统。