《Machines》：Closed-Loop Dynamic Modeling of Clearance Friction Flexibility Coupling in a 6-UPS Stewart Platform
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关节间隙、摩擦和支腿柔性在6-UPS Stewart平台中相互作用，尤其是在低速换向、小幅度运动和接触状态转换期间。独立处理这些效应可能会忽略接触几何、法向载荷、摩擦和支腿变形之间的反馈。本研究利用实际球铰几何结构和万向铰沿其主承载方向的等效表示，建立了几何一
关节间隙、摩擦和支腿柔性在6-UPS Stewart平台中相互作用，尤其是在低速换向、小幅度运动和接触状态转换期间。独立处理这些效应可能会忽略接触几何、法向载荷、摩擦和支腿变形之间的反馈。本研究利用实际球铰几何结构和万向铰沿其主承载方向的等效表示，建立了几何一致的三维闭环动力学模型。推导了法向、切向和轴向雅可比矩阵，并集成了非负滞回接触模型、时变法向载荷下的矢量LuGre摩擦模型以及构型相关的支腿柔性。采用数值仿真通过时间步长收敛性分析和能量平衡评估，以及与忽略部分物理耦合效应的模型进行对比，评估了所提模型。对于模拟的间歇接触工况，完整闭环模型的归一化能量平衡残差均方根值为0.0976%。与简单叠加模型相比，其预测的最大支腿变形增大了326.04%，峰值法向接触力增大了32.33%，但峰值摩擦力幅值降低了53.95%；全局位置和姿态跟踪误差保持相当。结果表明，相当的全局跟踪误差可以与局部动态响应的显著差异共存。这凸显了闭环耦合在预测局部载荷传递和保持能量平衡一致性方面的重要性。所提模型为含关节间隙并联机构的动力学分析和参数优化提供了理论基础。
研究背景方面，Stewart并联平台因其高承载能力、高结构刚度和六自由度运动能力，广泛应用于运动模拟、精密定位和重载姿态调节等领域。传统动力学模型通常在理想移动副-支腿子系统关节和刚性连杆假设下建立。然而，在涉及低速运动换向、小幅度运动和长期磨损的工况下，支腿的轴向变形、关节间隙引起的冲击接触以及界面摩擦之间存在强相互作用，这些耦合效应改变了系统约束和载荷传递路径，理想化模型无法准确捕捉平台的实际瞬态动力学响应。早期Stewart平台动力学研究主要集中于理想刚体多体系统建模，Do等采用Newton-Euler公式进行逆动力学分析，Dasgupta等推导了闭式动力学模型，Fu等和Vakil等进一步完善了经典模型。随着对运动精度和动态性能要求的不断提高，研究者逐渐关注非理想效应，包括支腿柔性、关节间隙和非线性摩擦。制造误差、装配公差和长期磨损可在关节中引入径向间隙，导致机构经历自由飞行、冲击接触、持续压缩和再分离等连续状态转换。在低速启停和运动换向过程中，球铰和万向铰表现出预滑动行为、摩擦滞回和Stribeck效应，传统Coulomb-粘性摩擦模型无法充分描述这些现象。以往研究已在多种设定下探讨了接触、摩擦和结构柔性之间的相互作用，Cretescu等考虑了Delta机器人中球铰间隙、摩擦和杆柔性的单独及组合效应，表明这些效应相互关联而非简单累加。在此基础上，本研究聚焦于6-UPS Stewart平台的几何一致三维建模，明确关联支腿变形、间隙相关接触几何、动态法向载荷和矢量LuGre摩擦。
研究人员开展了以下研究工作：建立了几何一致的三维接触运动学模型，适用于球铰和万向铰，推导了法向和切向接触雅可比矩阵；构建了强制法向接触力非负的滞回接触模型、时变法向载荷下的三维矢量LuGre摩擦模型以及构型相关的支腿柔性模型；在统一广义坐标框架内建立了具有闭环双向几何和力反馈的间隙-摩擦-柔性耦合动力学模型；通过数值仿真进行阶跃消融分析和简单叠加模型（RFGL-U）与完全耦合模型（RFGL-C）的对比，定量评估各非理想因素及其耦合对平台动态响应的影响。研究得出以下结论：在模拟的间歇接触工况下，含关节间隙的刚柔模型（RFG）预测的位置和姿态均方根误差分别比刚柔参考模型（RF）低63.37%和55.21%；RFGL-U中名义载荷摩擦处理产生更强的摩擦反力，使最大支腿变形相比无摩擦RFG模型减小76.6%，而RFGL-C使用瞬态法向接触载荷，导致间歇摩擦传递，最大支腿变形接近RFG；闭环公式还将归一化能量平衡残差均方根值降低了98.14%；RFGL-C和RFGL-U模型产生相当的全局跟踪误差，但在支腿变形、接触载荷、摩擦响应和接触状态转换次数方面存在显著差异。该研究的重要意义在于，表明相似的轨迹级误差并不意味着等效的局部动态行为，完整闭环耦合主要影响局部载荷传递和能量耗散，所提模型为Stewart平台多源非线性动力学分析和参数优化提供了理论基础。
在技术方法方面，研究人员采用的主要关键技术方法包括：基于实际球铰几何和万向铰等效销-孔表示的几何一致三维接触运动学建模；法向、切向和轴向雅可比矩阵的推导；Hunt-Crossley型非负滞回法向接触模型；时变法向载荷下的三维矢量LuGre摩擦模型，包含能量非增刷毛状态投影；构型相关的轴向支腿柔性模型；基于Lagrange方程的统一广义坐标动力学建模框架；以及变步长隐式积分方案进行数值求解。仿真在MATLAB R2022a平台上完成，未涉及物理样机实验。
研究结果方面，在数值收敛与能量一致性验证中，通过步长收敛性测试和能量平衡残差分析，验证了RFGL-C模型在三种最大积分步长下位置、姿态和峰值法向接触力几乎一致，归一化能量平衡残差均方根值为0.0976%，验证了数值稳定性和能量一致性。在连续多点接触基线响应中，RFGL-C模型在无外部脉冲激励的小幅运动条件下，位置和姿态均方根误差分别为0.2349 mm和0.0523°，最大轴向支腿变形为11.9043 μm，活跃接触对数量在8-12之间变化，总法向接触载荷在535.21至1127.44 N之间变化，表明模型能够稳定捕捉连续承载条件下的接触和摩擦响应。在间歇接触条件与接触状态演化中，施加短时脉冲力和力矩激励后，RFGL-C模型的位置和姿态均方根误差分别为1.2319 mm和0.2160°，活跃接触对数量在1-6之间变化，最大法向接触力为1651.67 N（发生于U1），最大摩擦力幅值为32.68 N（发生于U5），U6检测到5次接触状态转换，为局部切换最频繁的关节，完整模型成功捕捉了分离-冲击-压缩接触-分离的完整转换序列；通过显式双销模型验证了万向铰等效单销简化，在脉冲峰值时总万向铰反力为6463 N，其中主销承担3052 N、正交销承担3410 N，与单销模型的6625 N相差2.5%，位置和姿态跟踪均方根误差分别为1.136 mm和0.206°，归一化能量平衡残差分别为0.13%和0.10%，支持了单对表示用于全局间隙-摩擦动力学分析的适用性。在多源非线性消融分析中，R和RF模型跟踪误差相似，表明单独引入支腿柔性不显著影响跟踪性能；RFG模型相比RF模型位置均方根误差从3.3579 mm降至1.2302 mm，姿态均方根误差从0.4810°降至0.2154°；RFGL-U模型产生最低的位置和姿态均方根误差但预测45次接触状态转换和5.2609%的能量平衡残差，而RFGL-C仅为0.0976%；RFGL-U的最大支腿变形（7.3986 μm）显著小于RFGL-C（31.5208 μm）和无摩擦RFG模型（31.5830 μm），差异归因于RFGL-U使用名义法向载荷评估稳态摩擦力幅值和刷毛偏转尺度，产生更大的峰值摩擦力（70.97 N vs 32.68 N），从而更强地抑制支腿变形。在简单叠加与完全闭环模型对比中，两种模型预测的平台位置误差总体趋势相似，但在支腿变形、接触力和摩擦力方面存在显著差异，RFGL-C模型虽然跟踪误差略高于RFGL-U，但接触状态转换次数和能量平衡残差大幅降低，提供了更物理一致的局部载荷传递和能量耗散描述。
讨论部分总结：本研究调查了6-UPS Stewart平台中间隙、变法向载荷下摩擦和轴向支腿柔性的耦合效应，建立了具有几何和能量一致性的三维闭环动力学模型，通过消融分析和简单叠加与完全闭环模型对比评估了各非理想因素及其耦合的贡献。研究结论翻译如下：对于模拟的间歇接触工况，含关节间隙的刚柔模型（RFG）预测的位置和姿态均方根误差分别比刚柔参考模型（RF）低63.37%和55.21%，这种特定工况下的降低伴随着反复的接触-分离转换和不连续载荷传递，反映了所选激励和控制器下间隙接触动力学的响应，并不意味着关节间隙通常能改善跟踪性能。摩擦对系统的影响强烈依赖于法向载荷处理和闭环反馈，RFGL-U中的名义载荷摩擦处理产生更强的摩擦反力，使最大支腿变形相比无摩擦RFG模型减小76.6%，相比之下RFGL-C使用瞬态法向接触载荷，导致间歇摩擦传递，最大支腿变形接近RFG，闭环公式还将归一化能量平衡残差均方根值降低了98.14%，表明模拟能量传递的物理一致性得到改善。RFGL-C和RFGL-U模型产生相当的全局跟踪误差，但在支腿变形、接触载荷、摩擦响应和接触状态转换次数方面存在显著差异，这一发现表明相似的轨迹级误差并不意味着等效的局部动态行为，完整闭环耦合主要影响局部载荷传递和能量耗散，所提模型为Stewart平台多源非线性动力学分析和参数优化提供了理论基础。当前结论主要基于数值仿真，未来工作将聚焦于样机实验以辨识接触和摩擦参数并验证模型对局部接触载荷和支腿变形的预测精度。
