平面瑞利-贝纳德对流中湍流热通量的谱动力学

《Journal of Fluid Mechanics》：Spectral dynamics of turbulent heat flux in plane Rayleigh–Bénard convection

　　

本研究利用直接数值模拟（DNS）探究了湍流瑞利-贝纳德对流（Rayleigh-Bénard convection, RBC）中垂直热通量?wθ?的谱预算。研究人员计算了涵盖三个瑞利数（Ra = 1×10?、6×10?和4×10?）以及最多三个几何宽高比（Γ）共八个算例，所有算例的普朗特数（Pr）均为1。?wθ?的预乘谱显示，当Ra和Γ均足够大时，呈现双峰结构。?wθ?的产生由温度脉动主导；速度脉动的产生仅限于近壁区域，而在足够大的Γ下发展起来的大尺度产生则局限于主流区。在大Γ条件下，存在一种逆尺度级串，将?wθ?从中间尺度传递至超结构（superstructure）尺度，这种向超结构尺度的传递发生在远离边界层的区域。这种逆尺度传递是协方差特有的现象，因为垂直动能和温度方差均向小尺度级串，因此湍流选择性地将垂直速度与温度之间的相关性向超结构尺度传递，这与超结构强烈的大尺度相干性一致。压力输运是唯一能以显著幅度将大尺度?wθ?输运至壁面的机制，然而压力-应变项会破坏被输运的量，使得净压力-温度相互作用在所有尺度上均为纯粹的负值。预算中没有机制能将大尺度谱含量送入边界层，这从尺度层面解释了为何努塞尔数（Nusselt number, Nu）在超过中等阈值后对宽高比不敏感。

论文解读：平面瑞利-贝纳德对流中湍流热通量的谱动力学

一、研究背景与科学问题

瑞利-贝纳德对流（Rayleigh-Bénard convection, RBC）是研究浮力驱动湍流的经典范式，其动力学由两个无量纲参数控制：衡量浮力相对于粘性和热扩散重要性的瑞利数（Rayleigh number, Ra）以及动量扩散率与热扩散率之比的普朗特数（Prandtl number, Pr）。此外，实际实验或模拟中的第三个关键参数是几何宽高比（aspect ratio, Γ），即水平域尺寸与流体层高度之比，它限制了流动所能容纳的最大水平波长。尽管已有大量研究关注Nu和雷诺数（Reynolds number, Re）随Ra和Pr的标度律，但有限宽高比对流动谱动力学的系统性影响却鲜有涉及。宽高比深刻影响着流动的大尺度组织：在小Γ（量级为1）下，自发形成贯穿整个高度的单一大尺度环流（large-scale circulation, LSC）；随着Γ增大，单涡结构转变为多个共存涡旋，最终演变为“湍流超结构”（turbulent superstructures），即水平延伸超过许多倍层高的广延热斑图案。这些超结构携带了相当一部分对流热通量，而决定全局热输运的正是垂直速度与温度脉动的协方差?wθ?。因此，理解?wθ?的谱含量及其主导预算如何随Γ变化是一个核心问题。此前，Lee（2024）虽在单一宽高比下建立了?wθ?谱预算框架，但无法揭示当域从抑制超结构过渡到完全容纳它们时，谱预算如何重构。为此，研究人员通过系统改变Γ（跨越三个Ra值）进行直接数值模拟（DNS），旨在建立宽高比通过何种谱机制控制?wθ?动力学及全局热输运。

二、主要关键技术方法

研究人员采用基于速度-涡量公式（velocity-vorticity formulation）的谱-Galerkin方法（spectral-Galerkin method）求解不可压缩RB对流的纳维-斯托克斯方程与温度方程。时间推进使用Spalart等人提出的隐式-显式龙格-库塔法（IMEX Runge-Kutta method）。在均匀水平方向采用傅里叶展开，垂直方向采用七阶B样条配置法。为消除二阶乘积的混淆误差，应用Orszag的3/2规则补零去混淆。研究共计算了八个算例：Ra = 1×10?（Γ = 4, 8）、Ra = 6×10?（Γ = 1, 4, 8）以及Ra = 4×10?（Γ = 1, 4, 8），所有算例Pr = 1。统计平均通过对均匀方向和时间的平均获得。

三、研究结果

3.1 预乘谱的双峰结构与宽高比依赖性

通过计算不同高度处?wθ?的预乘谱，研究发现当Ra和Γ均足够大时，谱呈现明显的双峰结构：一个峰值对应较小的水平波长（约2-3倍层高），另一个对应较大的波长（接近域尺寸）。小Γ（Γ = 1）时仅存在一个峰值。这表明宽高比的增加允许更大尺度的模式参与热通量输送，从而引入第二个大尺度峰值。

3.2 产生项的谱分解：温度脉动主导

将产生项分解为温度脉动贡献和速度脉动贡献后发现，?wθ?的产生几乎完全由温度脉动主导。速度脉动产生的贡献仅局限于近壁区域，且其幅度远小于温度脉动产生项。在足够大的Γ下，主流区会出现一个由大尺度运动驱动的大尺度产生峰，但这一贡献也仅限于主流区，不进入边界层。

3.3 逆尺度级串：协方差的独特行为

研究揭示了湍流热通量谱预算中的一个关键发现：在大Γ条件下，?wθ?的尺度间传输项表现为从中间尺度向超结构尺度的净逆尺度级串（inverse inter-scale cascade）。与此形成鲜明对比的是，垂直动能和温度方差的谱传输均遵循正向级串（向小尺度传递）。这意味着湍流选择性地将垂直速度与温度之间的相关性向大尺度集中，这正是超结构具有强相干性的谱学基础。这种逆级串发生在远离边界层的主流区，且只在Γ足够大、能容纳超结构时才出现。

3.4 压力输运与压力-应变相互作用的抵消效应

压力输运项是唯一能以显著幅度将大尺度?wθ?向壁面输送的机制。然而，紧随其后的压力-应变项（pressure-strain term）几乎完全抵消了这一输送效果，导致净压力-温度相互作用项在所有尺度上均为负值。这表明压力虽然能够物理地搬运热通量，但随即通过应变作用将其破坏，因此不能有效地将大尺度谱含量注入边界层。

3.5 边界层对大尺度谱含量的隔绝

综合各项预算项的分析，研究人员得出结论：没有任何一项预算机制（包括产生、传输、压力相互作用或分子耗散）能够将大尺度（超结构尺度）的?wθ?谱含量送入热边界层内部。这提供了一个完整的尺度层面解释，说明为何努塞尔数Nu在Γ超过大约4之后便不再显著变化——因为决定Nu的主要是边界层内的热通量，而边界层对来自主流区的大尺度谱含量是隔绝的，因此进一步增大Γ虽然改变了主流区的流动结构，却不影响边界层内的热输运效率。

四、总结与结论

本研究通过系统改变宽高比Γ（从1到8）并覆盖三个数量级的瑞利数Ra（10?到4×10?），首次全面揭示了平面RB对流中湍流热通量?wθ?的谱预算如何随Γ重构。核心结论可归纳如下：（1）?wθ?的预乘谱在足够大的Ra和Γ下呈现双峰结构，分别对应中等尺度和超结构尺度；（2）?wθ?的产生由温度脉动主导，速度脉动产生仅存在于近壁区和大Γ下的主流区；（3）在大Γ下，?wθ?经历独特的逆尺度级串，从中间尺度向超结构尺度传递，而动能和温度方差仍维持正向级串，这解释了超结构中速度与温度的强相干性；（4）压力输运虽能将大尺度热通量向壁面输送，但压力-应变项立即将其破坏，使净压力作用始终为负；（5）预算中没有任何机制能将大尺度谱含量送入边界层，这从尺度动力学角度阐明了Nu在Γ超过中等阈值后对Γ不敏感的根源。这些发现为理解宽高比如何通过谱机制调控RB对流的全局热输运提供了完整的理论框架。