《Symmetry》：Geometrically Nonlinear Coupled Modeling and Frequency Analysis of Rotating AFG Beams Incorporating Complete Gradient and Strain Formulations
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本文采用完整Green–Lagrange应变张量，针对高速旋转AFG梁建立了几何非线性耦合有限元模型。该模型将此前用于均质旋转梁的完整Green–Lagrange列式推广至AFG梁，并保留所有高阶轴向非线性项。模型不直接添加密度相关的离心刚化项，而是由动态平衡
本文采用完整Green–Lagrange应变张量，针对高速旋转AFG梁建立了几何非线性耦合有限元模型。该模型将此前用于均质旋转梁的完整Green–Lagrange列式推广至AFG梁，并保留所有高阶轴向非线性项。模型不直接添加密度相关的离心刚化项，而是由动态平衡求解稳态轴向变形，并将其作为携带E(x)与ρ(x)联合分布的中间变量，从而使两种材料属性均进入几何刚化项。陀螺耦合矩阵G被完整保留。数值结果表明：(i) 在本Green–Lagrange列式下，模型预测出单调刚化趋势，与高转速极限情形下的完全刚化一致，而传统离心力模型在完全耦合列式下可能出现非物理软化；(ii) 耦合模型能够捕捉频率转向与模态交换；(iii) 稳态端部变形与一阶弯曲频率随k呈现相反趋势。这些结果为所考虑参数范围内旋转AFG梁的梯度设计提供了参考。
研究背景方面，旋转梁结构是旋转机械动力学与柔性多体系统动力学中的核心研究对象，工程应用涵盖直升机旋翼叶片、涡轮叶片、风力机叶片、空间机械臂与高速转子等，其动力学行为直接影响整个系统的安全性、可靠性与使用寿命。功能梯度材料（FGM）因组成与微观结构在空间上连续变化，可实现弹性模量与密度等宏观属性的平滑过渡，为旋转梁性能优化提供了新的可能。既有功能梯度梁研究多假定厚度方向为主梯度方向，该假设对弯曲刚度优化有效；但对以轴向拉伸为典型特征的旋转梁而言，轴向功能梯度（AFG）材料具有独特的调节优势：材料沿长度方向单调变化，可使刚度与密度沿载荷路径"按需配置"，更好地匹配呈非线性分布（根部最大、端部最小）的离心力，从而降低应力集中、节约重量或调节固有频率；梯度指数可灵活控制非对称程度，双向梯度进一步拓展了设计空间。在旋转柔性梁的动力学建模中，准确捕捉动力刚化效应始终是核心问题，现有两类主要策略：其一在横向振动方程中直接添加依赖离心力的刚度项，物理意义清晰但假定轴向—横向解耦；其二采用von Kármán应变假设的几何非线性，使刚化由二次非线性应变能自然产生。然而这些研究通常仅保留应变能展开中直至特定阶次的项而舍弃高阶项，虽便于线性化，却丢失了轴向拉伸对横向刚度的乘性刚化效应。Du等指出高转速下轴向位移梯度可与横向梯度相当，高阶贡献不可忽略。尽管已有诸多进展，旋转AFG梁建模仍存在共性不足：多数模型采用第一类策略，刚化项仅依赖密度分布，完全忽略弹性模量轴向变化的调制作用；即便采用几何非线性，高阶轴向非线性项也常被截断，导致轴向—横向耦合不完整，并忽略轴向变形自身的乘性刚化效应。部分代表性工作虽引入了高转速下轴向与横向振动间的陀螺耦合，但仅修正横向刚度矩阵，离心张力对轴向运动的影响被遗漏，且其刚化项仍未充分反映材料梯度（应同时依赖E与ρ）。高转速下轴向运动不再是被动响应，而是与横向运动深度耦合的主动变量，需要更精确的描述。为此，研究人员建立了更完整的旋转AFG梁几何非线性建模方法，数值分析聚焦于考察完整Green–Lagrange模型与传统离心力模型在固有频率预测上随转速与梯度指数的差异，并探究梯度指数对稳态轴向变形与弯曲频率的调节关系。相对既有研究，本工作的贡献有三：一是将此前用于均质旋转梁的完整Green–Lagrange列式推广至旋转AFG梁并保留全部高阶轴向非线性项；二是区别于仅含密度的离心模型，由动态平衡求解稳态轴向变形并作为携带E与ρ联合分布的中间变量，使两种属性均进入几何刚化项；三是因采用完整Green–Lagrange应变，几何刚度项同时进入轴向与横向振动方程，轴向—横向耦合同时涉及陀螺矩阵G与变形相关刚度项，从而能够捕捉高转速下的完全刚化趋势、频率转向与模态交换，并在第5节考察其与传统离心力模型的差异。
研究方法方面，研究人员采用的主要关键技术方法包括：基于浮动参考系（FFR）框架描述旋转柔性梁的位移场与绝对速度，进而建立动能与应变能表达式；采用完整Green–Lagrange应变张量构造轴向正应变以计入全部高阶轴向非线性项，弯曲应变能由曲率计算；采用有限元法对柔性体离散，选取梁单元形函数并以Lagrange第二类方程推导控制动力学方程；由动态平衡方程采用Newton–Raphson法迭代求解稳态轴向变形（以位移增量2–范数为收敛准则，最大迭代100次，高转速时可采用载荷步进策略）；在稳态平衡基础上建立扰动方程进行自由振动分析，并分别以解耦与耦合两种模式求解特征值问题，耦合情形需采用状态空间法进行复模态分析，同时定义耦合影响系数以量化耦合对各阶模态频率的修正。验证算例为铝（Al）与氧化锆（ZrO2）组成的AFG梁，根部材料取氧化锆、自由端取铝，结构参数与材料参数均按原文给定，计算结果与既有文献进行了对比。
研究结果方面：在模型与收敛性验证中，针对无量纲转速与梯度指数10的情形，计算了不同梯度指数、不同单元数下前四阶弯曲固有频率，结果表明各阶频率随单元数增加快速收敛，高阶频率收敛略慢于低阶，与有限元法高阶模态需更细网格解析短波长的一般规律一致；与单元数为50的结果相比，相对误差均小于工程精度要求，梯度指数对收敛速率影响很小，说明所选形函数对幂律材料分布具有足够逼近能力，最终确定统一采用该单元数以保证精度与效率。在梯度指数k与转速对自由振动的影响中，各阶固有频率均随无量纲转速单调增大，体现动力刚化效应主导；同一梯度指数下低阶模态频率随转速变化的斜率明显小于高阶模态，表明动力刚化对模态阶次具有强非线性敏感性；同一转速下固有频率随梯度指数呈非单调变化，一阶频率在k≈1附近达到峰值，而二阶、三阶频率随k增大持续增大但增速逐渐放缓。两模型对比以某梯度指数为分界：一侧本模型预测频率始终高于传统模型，另一侧传统模型在低转速下低估、高转速下高估频率；前二阶频率最大相对误差随转速单调增大，且强材料梯度会放大两模型在高转速下的差异。端部稳态轴向变形比随转速快速增大，其随梯度指数的变化与一阶频率呈相反趋势，在k≈1附近达到最小，而一阶弯曲频率在同处达到峰值，故该区间可作为平衡拉伸变形与弯曲频率的参考设计区间；拉伸变形随k呈平滑U形变化，与一阶横向弯曲频率先增后减的趋势恰好相反，二阶、三阶频率亦先增后减但峰值对应梯度指数明显更大。在应变与应力讨论中，本列式为几何非线性但材料线性，采用完整Green–Lagrange应变张量捕捉大整体旋转与大位移，本构关系保持线弹性；经估算最大轴向应变与最大应力均远低于所考虑材料的屈服强度或比例极限，故在小应变假设下线弹性本构与所采用的几何非线性是自洽的；频率分析为稳态平衡附近的线性化扰动，振动幅值无穷小，唯一有限应变分量为稳态应变且处于小应变范围，模型适用于小应变、线弹性、恒角速度、直悬臂AFG梁的小幅自由振动，大振幅非线性振动需后续开展全非线性时域分析。在弯曲—轴向耦合效应与频率转向中，考虑耦合后所得频率低于解耦情形，耦合影响系数为负，且随转速增大其绝对值增大，表明耦合效应愈发显著；低转速范围内两模型对耦合固有频率的预测几乎一致，超过某一转速后两曲线明显偏离，传统模型频率在达到最大值后迅速下降并最终在某一转速附近降至零，其原因在于本模型采用完整Green–Lagrange应变张量充分保留了相关高阶项对 strain 能的贡献，从而捕捉到轴向拉伸对轴向刚度的乘性刚化效应，即预测的完全刚化趋势。为定位软化来源，对传统模型的解耦与完全耦合两种形式进行了考察：解耦形式下横向方程仍含密度相关离心刚化项，弯曲频率随转速单调增大且不降至零，轴向刚度虽可能在临界屈曲转速处奇异，但在该条件下不能传递至弯曲模态，故软化不出现于解耦情形；完全耦合形式下轴向与横向频率相互接近并交换能量，传统模型的奇异轴向刚度将一阶耦合弯曲频率与一阶轴向频率一同拖至零，故该软化是耦合列式的产物而非传统模型在所有工况下的普遍失效，物理上离心张力应提高梁刚度，完全耦合条件下预测的软化与物理趋势相悖，属数学假象，本模型通过完整Green–Lagrange列式将稳态变形引入两个刚度矩阵从而避免了该假象。为便于跟踪耦合状态下各模态随转速的演化，按零转速时模态类型建立编号约定，弯曲主导模态记为B1、B2等，拉伸主导模态记为S1、S2等，并给出前10阶耦合模态的归属；前10阶耦合频率随角速度变化图显示，在某一转速附近第四阶弯曲模态（B4）与第一阶拉伸模态（S1）频率曲线相互接近后迅速分离，呈典型"排斥"特征，解耦模型因忽略陀螺耦合项无法正确描述弯曲与拉伸模态间的能量交换，而完全耦合模型通过保留完整陀螺矩阵成功捕捉到模态频率间的相互作用，同样的现象亦出现在B3与B4之间以及B6与S2之间等；局部放大与模态形状对比显示，转向区附近模态形状发生突变而非连续演化，例如在某一转速下B4与S1分别以四阶弦向弯曲与一阶拉伸振动为主，在另一转速下B4转为拉伸主导、S1转为弦向弯曲，在另一转向区附近B4由一阶拉伸主导转回三阶弯曲振动主导、B3由三阶弯曲转为拉伸主导；由于细长梁弯曲频率远低于拉伸频率，B1–B7与S1–S3在低频区分开，随转速增大弯曲频率快速上升而拉伸频率变化相对较慢，在特定转速处相互接近从而诱发耦合与转向。频率转向的本质是陀螺耦合诱导的特征值排斥的宏观表现：旋转系统中的陀螺矩阵具有反对称性质，在横向弯曲（B4）与轴向拉伸（S1）运动间充当"能量泵"，当参数使两模态频率接近时，该非零耦合项在数学上成为扰动项，直接导致特征值排斥，迫使频率曲线避免交叉而形成具有局部极小值的转向行为；这种特征值排斥不仅改变频率轨迹，还直接导致模态特征交换，转向区内陀螺耦合促成剧烈能量交换，使模态形状经过该区后发生"身份互换"，表现为模态形状的急剧转变；反之若忽略陀螺效应，数学扰动项消失，特征值排斥不复存在，传统模型将错误预测模态简单交叉，完全无法捕捉真实的频率转向与能量交换行为。上述结果表明，转向区附近模态属性对转速参数高度敏感，结构动力学特性极易受参数扰动影响，设计中应避开这些转速区间以防止意外模态耦合或共振；尤其对直升机旋翼等大整体运动柔性结构面临强科里奥利效应，本研究通过完整保留陀螺耦合矩阵揭示了弯曲主导与拉伸主导模态间的能量交换机制（频率转向与模态转移），其实际价值在于阐明临界转速下模态形状发生突变（如B4与S1身份互换），忽略该耦合效应将使传统独立模态控制策略面临失稳风险，为柔性结构主动振动控制提供了高保真理论依据。本节分析表明，当大整体运动中的转速增至一定程度，振动方程阻尼矩阵中的陀螺耦合效应不可忽略，其体现旋转所致科里奥利力对轴向与横向振动的共同影响，从而对横向弯曲振动特性产生不可忽视的调制作用，因此准确表征高速旋转下柔性梁的动力学行为需在建模中完整保留轴向—横向耦合项。在计算成本方面，针对代表性工况比较了本模型与传统离心力模型的计算耗时，本模型所需时间约为传统模型的若干倍，额外成本主要来自稳态轴向变形的Newton–Raphson迭代与完全耦合切线刚度矩阵的组装；考虑到本模型能捕捉高速旋转AFG梁所必需的完全刚化趋势与轴向—横向耦合，该计算成本的增加是可接受且合理的。
讨论与结论部分，本文将完整Green–Lagrange列式推广至旋转AFG梁，建立了几何非线性耦合有限元模型，保留全部高阶轴向非线性项并计入E与ρ的轴向分布，稳态轴向变形由动态平衡求解并作为中间变量将两种属性嵌入几何刚化项。数值结果表明，模型预测出与高转速下完全刚化一致的单调刚化趋势，而传统基于密度的离心模型在完全耦合列式下可能出现非物理软化，该发现有助于修正高速叶片的刚度预测并揭示低估结构刚度的风险；完全耦合模型还能捕捉解耦模型无法描述的频率转向与模态交换。在所考虑参数范围内，稳态端部变形与一阶弯曲频率随梯度指数k呈相反趋势，前者在k≈1附近达到最小，后者在同处达到峰值，这些结果为梯度设计与避开频率转向区提供了定量参考。上述观察限于所考虑的转速、细长比、边界条件与材料组合，不应被解释为普遍最优值；模型限于恒角速度下矩形截面直悬臂AFG梁的小应变、线弹性情形，未考虑热效应、阻尼、剪切变形、转动惯量、材料非线性、损伤与实验验证；高保真列式也带来高于简化模型的计算成本，并需在频率转向区进行细致的数值处理，因此所观察到的梯度相关极值为参数特定结果。未来工作将涉及实验验证、变速与瞬态动力学、热效应与高阶梁效应、非线性与损伤材料、多目标优化与不确定性量化、主动振动控制以及在涡轮叶片、直升机旋翼、风力机叶片与柔性机械臂中的实际应用。总体而言，所提模型为高速旋转AFG梁的动力学分析与结构设计提供了更准确的理论框架。
