基于Das–Debata迭代的广义有理函数分形结构：Julia集与Mandelbrot集

《Symmetry》：Fractal Structures of Generalized Rational Functions via Das–Debata Iteration: Julia and Mandelbrot Sets

　　

Julia集与Mandelbrot集是分形几何与复动力系统中的基本对象，其生成通常依赖于逃逸时间算法与迭代格式的结合。既往研究主要考虑广义有理函数，而本文引入一种基于Das–Debata迭代的新型分形生成框架。通过将复广义有理函数及其在迭代方法中的不同应用阶数相结合，研究人员为所提格式建立了逃逸准则（escape criterion）。文中给出了若干Julia集与Mandelbrot集的数值算例，以说明所生成的分形结构以及迭代参数变化对其尺寸与形态的影响。此外，采用平均逃逸时间（average escape time，AET）与非逃逸面积指数（non-escaping area index，NAI）定量分析所生成分形对迭代参数的依赖性。数值结果表明，对于两种函数阶数，上述度量对所选取参数均呈现非线性依赖关系。所提框架为生成与分析多样化分形结构提供了一种灵活途径。研究人员相信，本研究获得的见解将启发并激励对分形几何怀有浓厚兴趣的研究人员与爱好者。

本研究围绕基于Das–Debata迭代的广义有理函数分形生成问题展开。分形是具有非整数维数的复杂自相似数学结构，通常通过迭代过程生成，其典型代表即源于复动力系统的Mandelbrot集与Julia集。Julia集的研究始于G. Julia的开创性工作，经典Julia集由二次复多项式迭代生成，不同参数c产生不同集合；密切相关的Mandelbrot集则由Mandelbrot引入。此后，分形生成通过各类推广得到拓展，包括高阶多项式、有理函数以及三角函数与指数函数等。分形生成的迭代本质使其与不动点理论建立了紧密联系，尽管经典分形生成常用Picard迭代，但广义Mann迭代、两步Ishikawa迭代等其它迭代方法亦得到研究，Picard–Mann、S迭代、Jungck–CR、SP迭代、粘性方法以及改进Thakur迭代等先进格式也被用于构造Mandelbrot集与Julia集。进一步的发展则同时着眼于修改底层函数与迭代格式本身，例如Tanveer等将多项式中的参数c替换以生成Mandelbrot集，隐式迭代亦被用于分形生成。

然而，尽管取得了上述进展，Mandelbrot集与Julia集的生成主要仍集中于将已建立的迭代格式应用于多项式、有理函数或其它单一函数类。本研究通过将Das–Debata迭代引入Mandelbrot集与Julia集的生成，提出了一种新途径。Das–Debata迭代是Ishikawa迭代的重要推广，最初在拟非扩张映射公共不动点研究中提出，将其引入分形生成，为研究广义迭代过程如何影响复动力系统的结构与行为提供了新框架。所提方法的主要新颖之处在于将多项式函数与有理函数结合于统一的迭代框架之内，从而能够生成多样化的Mandelbrot集与Julia集，并便于系统考察函数组分、其阶数以及迭代参数对所得分形结构的影响。本研究拓展了Adhikari等、Iqbal等以及Roy等关于广义有理映射的工作，采用Das–Debata迭代生成Julia集与Mandelbrot集；受其将常数项替换的启发，研究人员针对特定形式的有理函数建立逃逸准则，通过在迭代过程中改变这些函数组分并应用逃逸时间算法生成相应分形。数值与图形结果说明了组分的选择与排序如何影响所得分形结构；此外，采用平均逃逸时间（AET）与非逃逸面积指数（NAI）量化所生成集合的动力学行为并考察迭代参数的影响。

在技术方法上，研究人员首先给出Julia集与广义Mandelbrot集的定义以及Ishikawa迭代与Das–Debata迭代的定义，指出当特定参数取值时Das–Debata迭代分别退化为Ishikawa迭代与Mann迭代；随后针对两类广义有理复函数建立逃逸准则（定理1及其推论），并据此设计逃逸时间算法：算法1在给定区域内生成Julia集，依据逃逸行为对点着色；算法2通过迭代并将每个c视为常数来生成Mandelbrot集，并与阈值R比较，同时设置最大迭代次数K以避免无限循环。数值可视化在MATLAB R2024a（64位）上完成，运行环境为Intel Core i7-14700HX处理器、32 GB内存与NVIDIA GeForce RTX 4060 Laptop GPU；数值实验共生成36.00幅分形图像，通过在100个等距值上独立变化相关参数获得，每幅分形在给定像素网格上生成，全部数值实验在MATLAB R2024a（版本24.1.0.2537033，64位）上于配备Intel(R) Core(TM) i7-14700HX处理器（2.10 GHz）、32 GB内存及Microsoft Windows 11的惠普笔记本电脑上完成。

研究结果方面，在Julia集生成部分，研究人员考察了指数?的影响，所选值包括整数与非整数情形（3、8、42、2.4、11.8、38.5）。结果表明，?控制基于正弦组分的强度：?较小时Julia集呈相对简单的星状形态，边界光滑且中心结构清晰；随着?增大，分形愈发复杂，主结构周围出现更多瓣状、螺旋与精细细节；非整数?情形下分形依然良定义，但对称性与着色区域分布有所不同。总体而言，增大?使分形更复杂并在主体周围引入更多岛屿与细丝。研究还考察了幂次与b的影响，所选情形包括相等低阶值、不等中阶值以及更高阶组合：当各指数均为2时，分形呈高度对称的花状外观；当部分指数为3、部分为2时，对称性开始破坏并形成更复杂的非对称结构；当指数更大且不相等时，分形变得更尖利、锯齿状，并伴有额外分支与更精细细节。关于复系数的影响，由于该系数乘在余弦项上，其取值影响该非线性组分对迭代过程的贡献：取正实系数时，分形呈现关于实轴的反射对称与蝴蝶状外观；取纯虚系数时，分形呈现明显不同的取向与旋转或螺旋特征；取一般复系数时，分形呈现更不对称的结构、旋涡特征与不规则边界。类似地，乘在有理项上的复系数亦表现出一致规律：实系数产生相对平衡对称且中心结构清晰的图案，纯虚系数使分形几何明显改变并呈现更显著的螺旋特征，混合复系数则产生更不对称、扭曲且边界不规则的结构。研究进一步考察了作为相应项首项系数的两个复系数以及出现在正弦项内的参数：前者控制拉伸方向与逃逸速度，其模越大分形越小越集中，越接近1则分形越大越铺展；后者影响迭代中的偏移或偏置，其在复平面中的方向平移分形并改变对称中心。关于迭代参数与的影响，二者为Das–Debata迭代中的混合权重，控制每一步旧值与函数值的组合比例：两者均小时迭代变化缓慢，分形呈现平滑渐变的色彩过渡与更流动的外观；一小一大时分形边界更锐利、结构更显著；两者均中等时则呈现平滑与锐利之间的平衡；两者均极小时分形极为平滑、色彩几乎无缝融合并显现出原本被隐藏的精细细节。理论上，该结果确认这些参数是真正的动力学控制参数而非单纯的数值参数。

在Mandelbrot集生成部分，研究人员考察了指数?取4、17与36.4的影响：?=4时集合呈相对简单的连通形态并带有少数大球状结构；?=17时集合边界更复杂，出现额外"卫星"球与细丝；?=36.4（非整数）时集合更为复杂，边界高度精细并呈现更强的分形外观。关于复系数的影响，研究选取实值作为参照、纯虚值以体现非线性组分取向的显著改变、以及兼含实部与虚部的一般复值：实值时集合具有一定对称性与平衡的星状外观，纯虚值时集合发生旋转并形成不同取向的十字或星形，混合复值时对称性被破坏、集合更不规则且呈团块状；较大的模使集合更紧凑、更密实。研究还考察了幂次与a的影响：当各指数均为4时集合具有高度对称性；当指数不等（4与8）时对称性破坏、集合更复杂；当指数更大且不等（10、8）时集合更尖利精细并伴有额外精细结构。关于迭代参数与的影响，所选三组参数代表迭代过程三种截然不同的情形：两者均极小时Mandelbrot集呈平滑的眼状外观并带同心环；一大一中时集合更锯齿化、环破裂为离散珠状；两者均大且接近1时集合呈锐利的菱形并具有非常不同的内部结构。这表明迭代格式本身而不仅是函数，是控制分形几何的有力工具。

在数值结果部分，研究人员定义平均逃逸时间（AET）为逃逸点平均所需迭代次数，非逃逸面积指数（NAI）为非逃逸点所占区域比例，平均非逃逸迭代（ANI）度量非逃逸点在最大迭代上限K内的平均迭代次数，其取值范围分别为相应区间；AET值越高表明逃逸越慢，NAI值越高表明非逃逸区域越大。针对Julia集，研究人员在两种多项式与有理阶数组合下生成二次Julia集，其余参数固定，计算域给定。结果表明，AET与NAI随迭代参数变化呈非单调变化，反映出Das–Debata格式的敏感性与复杂动力学；两种配置虽可能呈现相似总体趋势，但其多项式与有理阶数的差异会导致细节图案与数值度量的变化。计算时间通常呈现更不规则的波动，因为不同点满足逃逸准则所需迭代次数在计算域内各不相同。AET图表明AET值在参数空间上的分布高度不均匀，说明平均逃逸行为对参数与具有非平凡依赖；NAI分布则表明非逃逸面积随迭代参数变化，第一种情形下非零NAI值主要集中在参数空间下部，第二种情形下最显著的非零NAI值集中在某竖直窄带附近。总体而言，两种配置虽呈现大体相似的空间趋势，但其高值区域的位置与量级差异显著。计算时间图较AET与NAI的平滑剖面呈现更明显的噪声行为，这符合预期，因为计算时间不仅取决于所选参数值，还取决于在迭代过程中停留较久的点的数目。重要的是，计算结果表明Das–Debata迭代可获得比标准Picard与Ishikawa迭代更短的生成时间。针对Mandelbrot集，研究人员在给定参数与域下生成集合，AET在参数空间上非均匀变化，其变化表明迭代参数改变会影响所生成Mandelbrot集的逃逸动力学；第一种配置下最大NAI出现在特定参数组合处，第二种配置下非零NAI值在特定竖直窄带附近集中，说明底层函数的系数与阶数变化可显著影响Mandelbrot集的相对面积。AET与NAI提供互补信息：AET度量逃逸点的平均逃逸行为，NAI表示非逃逸点的相对比例，因此相似的AET值可能对应不同的NAI值，反之亦然。计算时间图表现出相似的参数依赖但更不规则，即使与的微小变化也可能导致计算时间明显改变；在所考察的数值实验中，最小计算时间与最大计算时间分别出现在不同参数组合处，证实迭代参数不仅影响所生成Mandelbrot集的几何与动力学特征，也影响其生成所需计算量。在固定参数下，Das–Debata迭代的生成时间短于标准Picard与Ishikawa迭代。

讨论与结论部分，本研究针对Das–Debata迭代下的一类广义复有理函数建立了逃逸准则，基于该准则分别利用算法1与算法2生成Julia集与Mandelbrot集，并用MATLAB对其动力学性质进行了数值研究。图形结果表明，函数阶数与迭代参数（包括?、?等）显著影响所得分形的形状、色彩与复杂度。基于平均逃逸时间（AET）、平均非逃逸迭代（ANI）与执行时间（IET）的定量分析揭示了非线性且非单调的参数依赖性，在所考察情形中某一参数通常比另一参数影响更强。此外，与Picard迭代和Ishikawa迭代的计算比较为所提格式在固定参数设置下的执行效率提供了进一步认识。这些发现表明Das–Debata迭代在生成与分析多样化分形结构方面具有潜力。未来研究可将所提框架推广至其它类有理、指数与三角函数，并研究分形复杂度与计算性能的其它定量度量；对所生成集合的进一步理论分析亦可能为其动力学性质提供更深入的认识。此外，这些分形丰富的视觉表现与多样对称性提示其在纺织图案设计与印花、计算机图形学以及数字艺术中具有潜在跨学科应用。