《Mathematics》：Performance Evaluation of Metaheuristic Algorithms for Fractional-Order PID Controller Tuning in Non-Linear Systems
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近年来，元启发式算法的应用日益普及。其众多应用之一是对不同控制器进行整定，尤其是那些需要大量人工整定工作的控制器。在某些情况下，由于控制器的复杂性，手动调整参数几乎不可能。本研究采用分数阶PID控制器（FOPID）控制倒立摆。倒立摆是一种非线性、多变量、欠驱动
近年来，元启发式算法的应用日益普及。其众多应用之一是对不同控制器进行整定，尤其是那些需要大量人工整定工作的控制器。在某些情况下，由于控制器的复杂性，手动调整参数几乎不可能。本研究采用分数阶PID控制器（FOPID）控制倒立摆。倒立摆是一种非线性、多变量、欠驱动系统，需要先进技术才能实现鲁棒控制。研究实现了三种不同算法以比较其求解该问题的性能，所用算法分别为遗传算法（GA）、人工蜂群算法（ABC）和黑寡妇优化算法（BWO）。通过在倒立摆物理模型上进行大量测试对控制器进行评估，验证了设计的有效性。此外，在多次运行算法后，获得了每种算法参数的最优配置。
本研究围绕分数阶PID控制器（FOPID）在旋转倒立摆（Furuta摆）这一非线性、多变量、欠驱动系统中的整定问题展开。倒立摆因固有不稳定性，对控制技术构成挑战，而FOPID相比传统PID具有两个额外自由度，可提升控制性能，但其五个参数的整定难以通过解析方法完成，规则型方法如Ziegler–Nichols亦存在局限，因此基于目标最小化的元启发式算法成为主流整定手段。既有文献中，将元启发式算法用于FOPID整定并应用于倒立摆的组合研究较少，截至2026年中期仅识别出八篇相关文献，且其中鲜有在真实系统上充分测试控制器鲁棒性的工作；同时，BWO算法尚未被用于倒立摆FOPID整定。研究人员采用遗传算法（GA）、人工蜂群算法（ABC）与黑寡妇优化算法（BWO）三种元启发式算法，分别设计三个FOPID控制器，并在Quanser QUBE-Servo 2旋转倒立摆物理模型上进行广泛扰动测试，验证设计有效性并获取各算法参数的最优配置。研究结论表明，在本案例测试中，BWO算法综合表现优于GA和ABC，具有最高成功率且执行时间合理；仅就执行时间而言，ABC最快，但收敛可靠性较低；三个控制器在扰动测试中各有优劣，但这一差异应归因于元启发式算法的固有随机性而非算法本身，所得结果主要用于验证各算法的适用性而非建立算法间的普遍比较。研究意义在于提供了元启发式算法整定FOPID并应用于倒立摆的完整流程，给出了各算法面向该问题的推荐配置，并证明了BWO在该整定问题上的适用性。
研究人员开展研究用到的主要关键技术方法包括：采用FOMCON库在MATLAB R2022b中实现分数阶传递函数的整数-分数阶分解与Oustaloup型近似，近似阶数N及频率范围[ω
b, ω
h]按推荐值设定；基于Euler–Lagrange方法建立旋转倒立摆的非线性动力学方程并在直立点线性化，构建Simulink仿真模型；定义由垂直杆角度指标、水平臂角度指标与能量代价加权组合的全局性能指标（ITSE类），并设置最大指标值、最大代数与停滞条件三类终止准则；样本队列来源为商用Quanser QUBE-Servo 2旋转倒立摆物理平台，控制器最终在该真实系统上完成扰动测试。
研究结果部分如下。在元启发式算法配置方面，研究人员通过分析不同性能指标对不稳定、振荡与稳定三种系统响应的区分能力，确定以ITSE为基础的组合指标作为全局性能指标，其中垂直杆角度指标、水平臂角度指标与能量代价按权重组合。在GA整定方面，通过八种配置各四次执行的测试发现，变异率0.25过低易致停滞，变异率0.5在种群15与20时均获满意结果，种群15足以获得良好结果而更大种群提高收敛概率。在ABC整定方面，高变异率阻碍收敛，选定变异率0.5；种群50结果较差而增至150未见显著改善，故种群100性能可接受；试验上限影响更大，低上限3使指标改善更快，上限15可致停滞。在BWO整定方面，种群100、变异率0.75、繁殖率0.4与同类相食率0.6的四次执行成功率达100%；20次不同配置执行的总成功率为95%，仅繁殖率0.25与同类相食率0.75的组合出现一次未收敛，繁殖率0.5与同类相食率0.5组合表现良好。在三种算法比较方面，以各自最优配置各执行32次，ABC平均执行时间约3 min但成功率最低，BWO平均约8 min且成功率达96%，GA平均约10 min且多数执行获得可接受代价函数值，BWO综合判定为最优。在真实系统控制器性能方面，GA设计的控制器可承受0.4°白噪声、10°设定点变化与22 g附加负载，组合扰动下可承受6°设定点变化加0.4°噪声、5°设定点变化加12 g负载、22 g负载加0.3°噪声，以及12 g负载、0.3°噪声与3°设定点变化的组合；ABC设计的控制器可承受0.6°噪声、10°设定点变化与22 g负载，组合扰动下可承受5°设定点变化加0.4°噪声、5°设定点变化加12 g负载、22 g负载加0.3°噪声，以及12 g负载、0.4°噪声与5°设定点变化的组合；BWO设计的控制器可承受0.8°噪声、14°设定点变化与40 g负载，组合扰动下可承受9°设定点变化加0.7°噪声、6°设定点变化加32 g负载、30 g负载加0.6°噪声，以及20 g负载、0.5°噪声与5°设定点变化的组合。在FOPID参数典型值方面，对13个经实验室验证稳定的控制器统计显示，各控制器五个增益取值大致相近，均落在经证实合理的范围内，且部分参数值可超出初始搜索边界。
讨论部分指出，既往工作虽涉及元启发式算法实现，但难以找到关于算法自身配置的全面信息，而元启发式算法参数众多且行为随应用显著变化，待整定参数数量亦显著影响所选配置的性能。本研究证明FOPID这类复杂系统可被不同元启发式算法有效整定，并开发了三个控制器经充分测试验证算法与控制器对复杂控制问题的有效性，另有13种配置在真实系统上成功测试并维持倒立摆直立稳定，尽管未定量测量所耐受的最大扰动。由于算法配置方式多样，研究人员在有限执行次数下测试不同配置以降低随机性、研究各配置参数对性能的影响，但结果仅适用于本工作范围。研究强调应避免算法间的某些比较：所得结果不足以建立算法的普遍比较，BWO在本案例中收敛速率优于ABC与GA，但其他问题未必如此；亦不应依据扰动下控制器表现比较算法，因为控制器设计时未在模型中施加扰动，算法未针对此类问题搜索特定解，三个控制器因性能指标相近而表现相似，各自更耐受某些扰动应归因于元启发式算法的固有随机性。因此，三种算法的结果用于验证各算法的适用性，而非建立直接比较，可确立的主要差异在于成功率与执行时间。结论部分译文如下：首先介绍了控制工程中使用元启发式算法的必要性，随后解释了元启发式算法的基本原理以及本工作中所用各算法的具体原理，并提供了详细的算法流程图。性能指标是算法正确执行的关键组成部分，对控制器性能有显著影响，因此分析了常用性能指标以为本工作特定案例恰当选择最合适的指标。接着给出了倒立摆方程，这是构建系统仿真模型的必要条件，而仿真模型对执行元启发式算法至关重要。随后多次运行算法以获得每种算法的最佳配置，考虑到众多参数同时影响收敛可能性与执行时间。总之，本工作所研究算法在速度与成功率之间取得平衡的最佳配置予以给出，但需注意这些结果基于有限执行次数与特定示例，在不同情况下可能变化，也可根据用户需求调整，例如优先考虑更高收敛率而接受更长执行时间。在获得每种算法最合适配置后，执行32次以比较其在本案例中的性能。基于结果可以得出结论：在所进行的测试中，BWO算法整体表现优于GA和ABC算法，具有最高成功率且执行时间合理；仅考虑执行时间时ABC算法快于其他算法，但收敛可靠性较低。对于其他类型的问题，其他算法可能提供更好性能，例如可能更期望探索更多解而非开发解。最后，使用最优配置设计了三个控制器（每种算法一个）并测试以确定各自可承受的最大扰动。
