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假设一个非负随机向量在某个预设的坐标集族中的未知成员上包含有效的E变量（e-variable）。其余坐标不受限制，并允许任意依赖关系。我们在所有有限值非负Borel规则的点态支配（pointwise domination）意义下刻画可容许合并规则（admiss
假设一个非负随机向量在某个预设的坐标集族中的未知成员上包含有效的E变量（e-variable）。其余坐标不受限制，并允许任意依赖关系。我们在所有有限值非负Borel规则的点态支配（pointwise domination）意义下刻画可容许合并规则（admissible merging rules）。每个有效规则都被一组归一化仿射函数的最小值所支配，其中每个可能的有效集对应一个支撑证书（certificate）。对于这些证书的凸包（convex hull），有效性与指定的坐标面（coordinate faces）相交等价，而支配关系则逆转集合包含关系。可容许性恰好当每个顶点（vertex）是与至少一个所需面的唯一交点时成立。该条件在顶点支撑集的包含极小覆盖（inclusion-minimal coverage）方面具有等价表述。由此产生一个有限删除程序，生成一个支配初始有效包络（valid envelope）的可容许包络，每当删除一个顶点时都会产生严格改进。每个可容许规则都是连续、凹且逐坐标非减的。顶点数目受包含极小有效集数目的限制，且该界限是紧的。代数示例包括非对称合并器和低端截尾均值（lower trimmed means）。研究人员还建立了在有界备择下期望对数证据的可容许最大化子的存在性，并确定了零最优增长的充分条件。
一、研究背景与问题
在统计推断中，E值（e-value）作为证据度量，其核心性质是在原假设下的期望不超过一。这一期望约束使得无需依赖假设即可进行平均合并。然而，当仅有部分输入被确认有效、其余输入的有效性不确定时，如何构造仍然有效的合并规则成为关键问题。传统合并理论假定所有指定输入均有效，而实际应用中往往只保证某个未知子集有效。例如，在部分合检验（partial conjunction testing）中，需要检验至少若干分量原假设为假；在证据来源可靠性不确定的场景中，多个来源中至少一个具备校准保证。这些情境要求合并规则对有效集的所有可能位置均保持有效性，而非仅针对单一固定有效集。
现有研究方面，Wang证明了普通合并中每个有效单调规则被加权算术平均所支配，Clerico通过几何方法去除了单调性假设。但针对有效集不确定的并集模型，尚缺乏对可容许合并规则的完整刻画。主要困难在于：支撑在某一有效集上的证书在另一有效集下未必有效，且对无约束坐标取上确界可能破坏Borel可测性。因此，研究人员旨在建立该并集模型下可容许性的几何特征，并发展相应的构造与优化方法。
二、研究内容与主要结论
研究人员系统刻画了不确定有效集族下可容许标量合并规则。主要结论包括：每个有效规则均可表示为归一化仿射函数的最小值，每个可能有效集对应一个证书；有效性等价于权重凸包与指定坐标面的相交，而点态支配逆转凸包包含关系；可容许性恰在每一顶点拥有私有面（private face）时成立，即存在某个所需面仅与该顶点相交。该条件可等价表述为顶点支撑集的包含极小覆盖。基于此，研究人员建立了有限删除程序，从任意有效包络出发经迭代删除无私有面的顶点，得到支配原规则的可容许包络。可容许规则必然连续、凹、逐坐标非减，且顶点数不超过包含极小有效集数目，该界限是紧的。此外，在有界支撑备择假设下，期望对数证据存在可容许最大化子；若候选律属于零假设类，则常数规则已达到最优。
三、关键技术与方法
研究人员采用了几项核心数学工具。其一为有限支撑仿射支配引理（Lemma 1），通过有限混合与凹包络构造，在不要求被支配函数可测的条件下建立仿射上界，避免了可测选择问题。其二为定理1的完备支配表示，对每个有效集分别构造证书并取最小值，利用有限混合验证有效性条件。其三为凸几何方法，将有效性与凸包同坐标面的相交对应（引理2），将点态支配与集合包含逆转对应（引理3）。其四为私有面判据（定理2）及其支撑覆盖等价形式（推论2），后者以顶点支撑的包含极小覆盖直接判定可容许性。最后，删除程序（定理3）利用关联计数表迭代删除冗余顶点。文中示例均为构造性代数验证，无样本队列数据。
四、研究结果
4.1 仿射证书与完备支配表示
定理1证明，任意有限值非负Borel规则属于有效类当且仅当存在每个有效集对应的归一化权重向量，使得该规则被这些仿射函数的最小值所支配。证明中通过固定有效集、对无约束坐标取上确界构造辅助函数，并利用有限混合验证引理1的条件，避免了可测选择需求。该定理将所有有效规则置于有效、归一化、凹、分段仿射包络之下。
4.2 有效性与支配的几何刻画
引理2表明，凸包C对应的包络函数有效当且仅当C与每个所需坐标面相交；若某面不相交，则在该面上取确定性大值即可破坏有效性。引理3证明，包络函数的点态支配等价于凸包的逆向包含，即F_C ≥ F_B当且仅当C ? B。这一结果依赖于在零向量邻域内取输入以识别权重空间中的所有方向。
4.3 可容许性判据
定理2给出核心刻画：凸包C对应的规则可容许当且仅当每个顶点拥有私有面。必要性证明中，若无私有面，则删除该顶点后凸包仍与所有所需面相交，产生严格支配原规则的合法规则；充分性证明中，若存在支配规则，其证书凸包必须包含于原凸包，而私有面迫使每个顶点被保留。推论1指出可容许规则必连续、凹、逐坐标非减，且表示唯一。推论2给出等价支撑覆盖条件：顶点支撑族须覆盖所有有效集，且每个顶点存在仅包含自身支撑的有效集。推论3证明顶点数上界紧，推论4恢复常数规则与普通仿射类。
4.4 有限可容许完成程序
定理3证明从任意满足面相交条件的凸包出发，反复删除无私有面的顶点并取剩余顶点凸包，过程终止于可容许包络，且每次删除产生严格点态改进。文中给出关联计数方法：顶点有私有见证当且仅当存在某行仅含该顶点。对于m子集族，低端截尾均值可通过排序在O(n log n)时间内求值，避免枚举全部证书。
4.5 代数示例
非对称合并器示例：对三坐标两两有效集族，规则min(aE? + (1?a)E?, E?)可容许，因两权重支撑分别以{1,2}和{3}为私有见证。删除示例表明，min(E?, E?, E?)中任一坐标证书可删除，产生三个两两不可比较的可容许规则。低端截尾均值在m子集族下可容许，因每个m子集为其证书的私有见证。命题2证明有效类无最大元：常数规则可容许，但min(E?, …, E_K)严格大于常数规则。
五、讨论与结论
在讨论部分，研究人员指出点态支配与固定显著性水平下的检验功效比较存在区别：数值改进可能不跨越阈值，且标量规则的可容许性不直接蕴含使用该规则的程序的整体可容许性。期望对数证据准则为选择可容许规则提供依据，但不同删除顺序可能产生不可比较的完成结果。有界支撑假设保证目标函数的上半连续性与最大值存在性，但并非无界情形下存在性必然失败的断言。命题4给出零最优增长的充分条件：若候选律属于零假设类，则Jensen不等式迫使所有规则的对数期望不超过零，常数规则已达最优。最后，研究人员提出开放问题：在独立坐标且参数各异的两点模型中，刻画正最优增长的参数区域及最优支撑覆盖随m的变化，并探索避免枚举全部m子集的识别方法。
结论部分总结：在不确定坐标有效性下，每个可能有效集提供仿射证书，其凸包同时编码有效性与点态比较。可容许性恰在每一顶点被私有坐标面强制时成立。该刻画给出有限可容许完成程序及仿射片段数目的紧上界，并表明连续性、凹性与单调性是可容许性在完整Borel类中的推论。规则选择需额外准则，有界支撑下期望对数证据存在可容许最大化子，但零假设类中的候选律使常数规则已最优。刻画正增长及相关最优支撑配置是后续研究的方向。
