《Mathematics》：Improved Bounds on the Rate of Convergence to Stationarity of the M/M/N Queue as Both the Number of Servers and the Arrival Rate Grow Large
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考虑稳定的??/??/??/∞排队系统，当到达率与服务台数均趋于无穷时，包括Halfin–Whitt regime。研究人员关注系统内顾客总数平稳化收敛速率的渐近行为。提供了收敛速率的界，改进了文献中已有的结果。推导过程较文献中已有方法更为简洁，基于著名的对数
考虑稳定的??/??/??/∞排队系统，当到达率与服务台数均趋于无穷时，包括Halfin–Whitt regime。研究人员关注系统内顾客总数平稳化收敛速率的渐近行为。提供了收敛速率的界，改进了文献中已有的结果。推导过程较文献中已有方法更为简洁，基于著名的对数范数方法。研究还表明，所得结果可推广至??/??/??/??+??队列。
本研究重新审视了经典排队系统中描述顾客总数的生灭过程在服务台数趋于无穷时平稳化收敛速率的界问题。研究人员允许到达率为N的函数，而服务率保持常数，并假定遍历性条件成立。平稳化收敛速率的界问题在生灭过程研究中具有重要地位，过去数十年间针对M/M/N队列及相关队列已获得大量结果，尤其是Halfin–Whitt regime下收敛速率渐近行为的研究成果丰硕。对数范数方法是处理该问题的较通用技术之一，可获得收敛速率的界乃至精确值。本研究采用该方法改进文献中关于收敛速率的若干界。研究分为以下几个部分：第2节回顾对数范数方法，陈述收敛速率的必要表示与界；第3节转入渐近情形，获得关于收敛速率上下界的主定理（Theorem 1）；第4节专门讨论Halfin–Whitt regime，在Theorem 2中给出收敛速率的新界；第5节通过实例展示所得结果可推广至其他队列。
在技术方法方面，研究人员主要采用对数范数方法分析生灭过程的收敛速率。首先从系统中移除状态0，通过替换变量获得约化方程；引入正数序列和上三角矩阵D构造加权空间；利用对数范数的显式公式获得收敛速率的上下界估计；在渐近情形下分析函数性质获得主定理；在Halfin–Whitt regime下分三种子情形（sub-Halfin–Whitt、Halfin–Whitt、super-Halfin–Whitt）分别讨论；最后将结果推广至M/M/N/N+R队列。样本队列来源于经典M/M/N/∞排队系统，未涉及实际数据队列。
研究结果方面，Theorem 1表明：假定到达率随N趋于无穷而μ为常数，则M/M/N队列的收敛速率满足双重不等式，给出了收敛速率的上下界。Corollary 1给出Halfin–Whitt regime下收敛速率的双重不等式。Theorem 2进一步细化：当参数a<1/2（sub-Halfin–Whitt regime）时，衰减参数满足特定不等式；当a=1/2（Halfin–Whitt regime）时满足另一不等式；当a>1/2（super-Halfin–Whitt regime）时满足第三不等式。Theorem 2为a=1/2情形提供了更简洁的证明，并为sub-Halfin–Whitt和super-Halfin–Whitt regime提供了更优估计。图形展示了下界随N的变化行为，与Theorem 2的渐近结果一致。第5节结论表明，Theorem 2获得的衰减速率界可推广至M/M/N/N+R队列，且这些界不依赖于R；由于马尔可夫链状态空间有限，可获得进一步的等式关系。
讨论部分总结了所得界的适用性，指出Theorem 2的衰减速率界可推广至其他队列如M/M/N/N+R队列，且界不依赖于R。研究结论翻译如下：Theorem 2获得的衰减速率界可推广至其他队列。以M/M/N/N+R队列为例，矩阵形式相应改变，所有由(17)定义的值除最后一个外保持不变，最后一个值在特定条件下等于更大的值。因此，Theorem 2给出了Halfin–Whitt regime下衰减参数的界，重要的是这些界不依赖于R。此外，由于马尔可夫链的状态空间有限，可获得相应的等式关系。
