《Artificial Intelligence in Geosciences》：High-resolution velocity model estimation with a hybrid neural operator and the time-lag imaging condition
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近年来，随着大规模地震数据集与计算资源的日益普及，基于深度学习的算法在地震速度模型构建中的应用受到越来越多的关注。此类深度学习算法不同于需要利用伴随状态法计算梯度的传统全波形反演（FWI）方法，其旨在通过学习从地震数据到地下速度结构的直接映射来规避传统迭代反演
近年来，随着大规模地震数据集与计算资源的日益普及，基于深度学习的算法在地震速度模型构建中的应用受到越来越多的关注。此类深度学习算法不同于需要利用伴随状态法计算梯度的传统全波形反演（FWI）方法，其旨在通过学习从地震数据到地下速度结构的直接映射来规避传统迭代反演流程，从而提供近乎瞬时的预测。Araya-Polo等（2018）首次证明，可训练卷积神经网络（CNN）与全卷积架构将多炮地震数据转换为速度结构，相比传统方法显著降低了计算成本。此外，Yang和Ma（2019）将该方法扩展至盐体反演任务，并观察到相较于传统FWI，基于神经网络的方法对盐体的刻画更为准确。然而，对未见数据的泛化问题在很大程度上仍未解决。Kazei等（2020）将直接反演方法应用于实际地震数据，证明了其实际可行性与在现实应用中的潜力。为向基于CNN的框架提供更丰富的先验信息，Geng等（2022）引入共成像点道集（CIGs）作为网络输入。通过在多个合成数据集上的测试，他们证明该网络能够学习从CIG数据体到速度模型的映射。在此思路基础上，Kim等（2024）进一步将偏移图像、由测井信息导出的先验速度模型以及表征先验不确定性的权重模型纳入网络输入。其方法在实际数据上取得了有希望的结果，凸显了将偏移相关信息与先验知识整合进基于深度学习的速度模型构建流程的潜力。另一类工作旨在生成适用于全波形反演（FWI）的背景速度模型。这类模型通常更为平滑，旨在捕获引导后续反演过程的低波数背景速度（Farris等，2018；Mohamed等，2023）。上述方法主要依赖CNN，而CNN依赖局部卷积算子。然而，在地球物理科学计算中，训练数据通常由传统数值求解器生成（Berryhill，1979；Mora，1987）。通过此类求解器生成高质量数据集可能极其耗时，往往需要数天甚至数月计算（Harsuko等，2025）。在某些情况下，生成足够多样且准确的训练样本并不可行。此外，神经网络常被视为插值器，外推能力有限，这引发了对其泛化至未见场景能力的担忧。例如，若训练数据以固定分辨率生成，所学模型可能无法泛化至定义于不同离散化的问题。总体而言，泛化仍是地球物理机器学习中的根本性挑战。这引入了一种权衡：基于机器学习的方法虽能显著加速评估或推理，但其训练阶段可能计算密集且灵活性较低。为解决这些问题，近期若干研究提出使用基于Transformer的架构（Wang等，2023）与神经算子（Lu等，2021；Molinaro等，2023）以提升反演结果的准确性与有效性。特别地，神经算子作为一类新兴网络架构，在监督学习任务中已展现出显著成功（Li等，2020b；Kovachki等，2023；Cao等，2024）。不同于近似有限维向量空间之间映射的传统神经网络，神经算子专门设计用于学习无限维函数空间之间的映射。这一表述使其能够以网格无关且数据高效的方式对复杂物理系统（如偏微分方程（PDEs））建模。其中，傅里叶神经算子（FNO）因利用快速傅里叶变换（FFT）进行全局卷积而尤为突出，使其能够有效捕获长程依赖与非局部相互作用（Li等，2020a）。例如，Yang等（2021）采用FNO学习二维声波方程。实验结果表明，即使在有限训练数据下，FNO也能在不同速度模型与震源位置下产生与传统数值方法相当的正演模拟结果。此外，Wei和Fu（2022）将该方法扩展至弹性波传播，证明了其在更复杂物理系统中的潜力。除求解正演问题外，一些研究（Zou等，2024，2025）还利用神经算子的可微性通过自动微分执行FWI。然而，此类方法在实际数据上的应用仍具挑战性，并受若干实际限制。值得注意的是，Huang等（2023）提出使用FNO从原始炮集直接预测FWI的初始速度模型。尽管该模型仅基于合成地震数据训练，但在实际数据上的测试表明FNO仍能产生相当准确的背景速度模型。在此工作基础上，Crawley等（2023，2024）与Korsmo等（2025）提出将背景速度模型与角道集一并输入FNO。在该框架中，角道集作为高波数信息的来源，补充背景速度的低频内容。通过多次实际数据实验，结果表明神经算子能够有效整合此类信息以产生高分辨率速度模型，凸显了其在复杂地质环境下改善地下成像的潜力。将神经网络应用于地球物理问题的一个挑战是确保其从合成训练数据有效泛化至实际数据的能力。当测试数据特征偏离训练时特征时，神经网络常表现出性能退化。已提出若干方法以弥合合成训练数据与实际数据之间的差距，包括风格迁移（Takemoto等，2019；Ovcharenko等，2019；El-Laham和Vyetrenko，2022）、域适应（Alkhalifah等，2021；Birnie和Alkhalifah，2022）与数据增强（Wang等，2021；B?nke等，2024）。在地震偏移中，使用扩展图像也可视为一种数据增强形式。通过引入时间滞后或空间滞后维度，扩展图像隐式编码了关于地下反射率的额外信息（Bednar，2005）。这种丰富的表示增强了训练数据的多样性与表达能力。神经算子能够从这些扩展特征中学习，有效提取可能无法从传统输入直接获取的隐藏结构内容。此外，通过分析和提取偏移实际图像或背景模型中的关键结构模式，如层几何形态、断层走向或盐体形状，可生成模拟实际观测地质特征的合成速度模型。在某种程度上，该策略可视为一种结构感知的域适应，其中实际数据的风格或结构特征引导生成更真实且与目标域相关的合成训练样本。本文首先概述所采用的神经算子架构以及用于生成训练合成样本的工作流程。随后，使用分布内与分布外数据测试神经算子的性能。最后，展示训练模型在澳大利亚采集的实际数据集上的成功应用。2. 方法本节首先介绍算子学习的概念，然后描述构建合成训练数据集的工作流程，包括速度模型设计与相应时间滞后地震图像的生成，最后呈现所提出神经算子的架构，突出其关键组件及适用于地震反演任务的修改。2.1. 算子学习理论神经算子（NOs）代表一类新型神经网络架构，旨在学习无限维函数空间之间的映射。不同于通常构建用于近似高维但有限向量空间之间映射的传统神经网络，神经算子明确设计为在函数空间框架内运行。为此，NOs引入架构机制以确保所学映射对输入函数离散化变化具有鲁棒性。在学习积分或偏微分方程（PDEs）族解算子的背景下，神经算子旨在学习映射（1）????:??→??，其中??∈??表示解算子（求解器）的参数化，??为表示初始或输入条件的函数空间，??为包含解函数的函数空间。为近似目标算子??，神经算子采用迭代架构，在提升表示空间中构建一系列中间函数??1,…,????。在此背景下，“提升”指通过逐点操作将输入函数变换为初始特征图??1:???→???，通常实现为仿射映射后接非线性激活，并在每个空间位置??∈???独立应用。最终表示????随后通过逐点变换投影回物理空间作为网络输出??。网络经训练以确保所得函数??在适当函数范数（如??2范数）下准确近似底层问题的解。连续表示之间的过渡由递归更新控制：（2）????+1(??)=??(????????(??)+(????????)(??))，其中??表示非线性激活函数（如ReLU或GELU），????为沿通道维度作用的可训练线性变换，????表示具有可学习参数??的参数化核积分算子。在本文所用FNO的情况下，积分算子????通过以下谱卷积实现：（3）(????????)(??)=??1(????(?????))(??)，其中?与??1分别表示傅里叶变换与逆傅里叶变换，???为作用于频域的可学习调制掩模。该掩模包括低通滤波器与由??参数化的逐通道乘法算子（Li等，2020a）。???中每维保留的傅里叶模态数由用户定义超参数控制，从而调节谱表示的分辨率与表达能力。2.2. 合成速度与相应时间滞后偏移图像本研究采用监督学习框架训练神经算子。方法的一个关键方面是构建反映实际数据中所观测结构特征的合成速度模型。具体而言，如图1所示，实际数据的RTM图像呈现相对平坦且横向连续的反射界面，无明显地质异常如盐体或复杂断层系统。基于此观察，构建保持此类结构简单性的合成速度样本。该方法为生成合成模型提供了新视角：并非任意设计，而是首先应用偏移实际数据识别主要结构特征，再利用这些特征引导合成速度模型的构建。这种目标信息引导策略确保合成模型与目标实际数据在地质上一致，从而增强监督训练对神经算子的相关性与有效性。此外，进一步采用时间滞后偏移方法为每个合成地震数据集构建多个扩展RTM图像。该技术不仅通过引入额外维度（通道）丰富训练样本，还提高所得图像对速度模型不准确性的鲁棒性（Yang和Sava，2011）。具体而言，扩展图像使用以下基于相关的公式计算（Sava和Fomel，2006）：（4）??(??,??)=∑????(??,??+??)?????(??,?????)，其中????与????分别表示正传与反传波场，??表示时间滞后。通过引入此类时间滞滞后道集，该方法有效充当多角度成像的代理，帮助神经算子捕获跨一系列传播路径的地下反射率。此处采用的时间滞后成像条件通过震源与检波器波场之间的时间移位推广了零滞后互相关成像条件，属于扩展成像条件族（Sava和Fomel，2006；Sava和Vasconcelos，2011），该族还包括角域共成像点道集（ADCIGs）（Sava和Fomel，2003；Biondi和Symes，2004），后者在Crawley等（2023，2024）与Korsmo等（2025）中用作网络输入。然而，ADCIGs需要通过射线追踪或波场分解进行显式角度分解，这增加了计算成本，且在复杂地质或照明不良情况下可能变得不可靠；而时间滞后图像不涉及此类分解，且位于规则(??,??,??)网格上，自然匹配神经算子架构的结构化网格输入。这些优势促使选择时间滞后RTM图像而非ADCIGs作为输入网络的成像属性。图2展示了两个合成速度样本及其偏移速度与相应时间滞后RTM图像。偏移速度由合成速度模型应用sigma为15个网格点的高斯平滑获得。两个合成模型的结构设计均依据从实际地震RTM图像（图1(b)）提取的关键地质特征。为增强神经网络对多样地质环境的泛化能力，进一步在模型中纳入盐体等复杂结构。对每个合成速度模型，使用不同时间滞后值从所得合成数据计算三幅RTM图像。RTM图像的计算方式是：首先使用真实速度模型样本，以从实际地震数据提取的子波正演模拟炮集；随后，亦采用相应偏移速度获得相应RTM图像。正演模拟所用采集几何与实际数据一致，将在实际数据部分介绍。如图所示，每幅时间滞后图像捕获地下反射率的不同方面，为训练阶段提供互补信息。具体时间滞后值凭经验选取，主要检查反射事件相对零滞后图像是否呈现明显移位，以使扩展图像确实携带互补信息。需注意不同时间滞后选择可能影响速度模型构建结果，最优??选择的系统研究留待未来工作。图1. (a)与(b)分别显示由实际数据导出的背景速度模型与相应RTM图像。RTM图像中明显的结构特征为构建训练用合成地震数据集提供了宝贵参考。图2. (a)与(b)展示两种不同类型的合成速度模型及其相应偏移速度与时间滞后RTM图像，为训练集样本。偏移速度与三幅RTM图像构成神经算子的四通道输入，真实速度作为标签。2.3. 神经算子架构本研究采用的神经算子采用由FNO层与卷积神经网络（CNN）模块组成的混合算子学习架构。从神经算子角度看，输入与输出空间之间的函数映射由FNO组件控制，而卷积模块则作为潜在表示内的辅助局部特征细化块。傅里叶算子层由正傅里叶变换与逆傅里叶变换组成。该谱变换促进全局相互作用的建模，使网络能够捕获纯空间域方法难以表示的长程依赖。重要的是，通过在傅里叶域操作，FNO层学习全局、离散化无关的相互作用，从而构成所提出框架的核心算子学习机制。具体而言，输入数据首先由提升函数（??）与FNO块处理，二者共同将输入场投影至潜在空间，在其中建立全局函数映射。该潜在表示随后传递至编码器–解码器风格的卷积神经网络。引入CNN组件以增强潜在空间内的局部特征表达能力与多尺度表示。每个编码器块基于ResNet-101（He等，2016）骨干构建，提供能够捕获多空间尺度分层特征的深度残差学习框架。解码器侧，每个块由三个核大小为3×3的卷积层组成，实现细尺度结构的渐进重建。为进一步改善信息流与特征判别，跳跃连接中纳入通道注意力与空间注意力机制（Mou等，2019）。这些注意力模块沿通道与空间维度自适应重加权特征响应，使网络聚焦于最具信息量的潜在特征。需注意，整体架构可解释为复合映射，其中FNO层定义全局函数算子，而卷积编码器–解码器与注意力机制作为有界局部算子细化潜在表示，同时不损害所学映射的网格无关性。此处及全文，网格无关性应在实际离散化范围内理解，而非无限意义，详见第3.6节讨论。完整架构包括FNO块、编码器–解码器结构与集成注意力机制，如图3所示。强调该设计根本不同于Crawley等（2023，2024）与Korsmo等（2025）基于FNO的速度模型构建框架，后者架构增强在FNO层内部实现（如修改内部谱卷积块）。在混合架构中，傅里叶算子层置于网络首尾，建立并保持全局、网格无关的函数映射，而中间U-Net风格卷积编码器–解码器连同基于注意力的跳跃连接，专用于潜在空间中的多尺度局部特征细化。全局谱算子与局部卷积模块之间的明确分工使网络能够恢复尖锐细尺度结构，而不牺牲算子学习的离散化无关特性。总之，使用背景（偏移）速度模型连同相应时间滞后RTM图像作为神经算子输入，真实速度模型作为标签，通过监督学习方法训练网络（图4）。图3. (a)展示本研究提出的神经算子整体架构，包括傅里叶算子层与编码器–解码器框架。(b)提供神经算子内各组件内部结构的详细视图。图4. 训练阶段，背景速度模型连同相应三幅时间滞后图像输入神经网络。损失在算子输出与标签之间计算，神经算子参数通过反向传播更新直至输出与标签高度匹配。3. 数值测试本节首先详述训练阶段细节，随后在实验部分呈现使用合成与实际地震数据的一系列案例研究，以证明所提方法恢复速度模型缺失中波数分量的能力。3.1. 训练细节训练阶段，共采用6000个合成地震数据集训练与验证神经算子，其中4800个样本用于实际训练，其余用于验证。使用Adam优化器更新网络参数，固定学习率为1×10?4。为平衡对大误差的敏感性与对异常值的鲁棒性，采用结合均方误差（MSE）与平均绝对误差（MAE）的复合损失函数如下：（5）?total=0.9?MSE+0.1?MAE，?total表示训练所用总损失，?MSE为预测与真值之间的均方误差，?MAE为平均绝对误差。权重系数（0.9与0.1）反映MSE与MAE在最终损失中的相对重要性。给予MSE较高权重以强调准确数据拟合，而赋予MAE较小权重以提高对异常值的鲁棒性。网络共训练400个epoch，在NVIDIA A100 GPU上约需6小时完成，内存占用约17 GB。附录表A.3列出网格维度、优化设置、归一化与填充约定、随机种子及训练–验证划分。图5展示训练过程中训练损失与验证损失的演化。可见两者稳定下降并收敛至相对较低阈值，表明训练稳定且泛化性能良好。图5. 训练阶段训练与验证损失。3.2. 分布内测试为评估训练后神经算子的泛化能力，使用分布内测试数据作为模型输入。输入包括图6(a)所示初始速度模型及其相应时间滞后RTM图像。与标签（图6(b)）及神经算子输出（图6(c)）比较，明显可见神经算子成功恢复了初始速度模型中缺失的中、高波数分量。更具体地，神经算子产生的预测在整个域内与真值标签高度匹配。值得注意的是，模型能够准确重建细尺度地层特征以及通常难以分辨的深层地下结构。该测试证实所提神经算子具有强映射能力，能够从给定输入函数准确重建特征。图6. 分布内测试，(a)显示背景（初始）速度模型，(b)显示相应真值速度标签，(c)显示神经算子的预测结果。图7. 为评估神经算子在分布外（OOD）条件下预测高分辨率速度模型的能力，输入初始背景（偏移）速度模型(a)及相应三幅时间滞后RTM图像(b–d)至神经算子。四输入通道依次为：(a)以m/s为单位的偏移速度模型，(b)时间滞后??=?20 ms的扩展RTM图像，(c)零滞后RTM图像??=0 ms，(d)??=+20 ms的扩展RTM图像。三幅RTM通道共享一个振幅尺度，以任意单位绘制，因公式(4)定义的成像条件至多相差一个乘法常数。3.3. 分布外测试为进一步评估神经算子恢复缺失中波数分量的能力，使用独立开发因而位于训练分布之外的样本进行分布外（OOD）测试（图8(b)）。显然，该样本速度模型不同于训练集所用样本（图2）。该数据作为更具挑战性的场景，评估神经算子超越已见数据的泛化能力。图7展示输入神经算子的四输入通道，包括仅含低波数信息的初始速度模型及对应不同时间滞后值的三幅RTM图像。注意训练数据集中不存在跨越整个速度模型的大尺度盐体（图8(a)），使此类结构对训练模型尤为挑战。然而如图8(c)所示，所提神经算子成功重建了盐体整体结构，尽管其具有分布外特征。此外，盐体下方层状结构亦被准确恢复，证明模型保持大尺度与细尺度特征的能力。该例进一步证实神经算子在地质复杂场景中恢复高分辨率分量的有效性。此外强调，神经算子重建的盐体呈现地质一致且结构完整的反演结果，可作为针对复杂盐结构的传统FWI的可靠初始模型（Alali和Alkhalifah，2023）。第二个合成示例评估网络利用部分Volve合成速度模型恢复低速与高速区的能力。比较图9(a)、(b)、(c)，观察到神经算子能够准确重建背景模型的速度信息。速度剖面进一步证实：在黑箭头附近，神经算子预测的速度（黄色曲线）与真实速度高度匹配。图8. 分布外测试，(a)显示背景（初始）速度模型，(b)显示相应真值速度标签，(c)显示神经算子的预测结果。图9. 另一分布外测试，(a)显示背景（初始）速度模型，(b)显示相应真值速度标签，(c)显示神经算子的预测结果。3.4. 数据可分辨与先验主导的波数分量算子添加的部分结构超出带限数据约束范围。在合成示例上分离两种贡献，因存在真实模型。最大可用频率为??的反射实验约束垂向速度波数至（6）??max??=2??cos????≤2????，其中??为局部速度，??为张开角。第3.5节的多尺度FWI使用高达??FWI=16 Hz的频率，偏移至时间滞后图像的数据低通滤波至??img=30 Hz。以各模型平均速度计算，给出表1中的截止波数??1与??2。将模型分为0??1）。每条迹在分割前去均值。RMSE以m/s及括号内占真实模型同频带RMS能量百分比表示；??为该频带与真实模型的相关系数。截止：??1=2??FWI/???与??2=2??img/???，??FWI=16 Hz，??img=30 Hz。模型 0??1 — RMSE (m/s) ?? RMSE (m/s) ?? 分布内（图6）；??1=9.6，??2=18.0 cycles/km 偏移速度 310.8 (67.5%) 0.744 73.5 (92.4%) 0.389 预测 27.7 (6.0%) 0.998 28.9 (36.3%) 0.932 分布外盐体（图8）；??1=12.2，??2=22.8 cycles/km 偏移速度 165.5 (27.5%) 0.963 6.2 (16.5%) 0.998 预测 125.2 (20.8%) 0.979 14.1 (37.4%) 0.9283.5. 应用于实际地震数据将同一完全训练并测试的神经算子应用于实际速度估计示例。该数据由CGG在澳大利亚西北大陆架采集。实际地震数据覆盖长12 km、深3.8 km的空间域。116个炮集均匀分布于速度模型地表，648个检波器记录地震响应。为模拟真实采集条件并压制高频噪声，对地震子波应用低通滤波，限制其频率内容低于30 Hz。初始模型通过偏移速度分析技术获得，具体为反射波形反演（Wu和Alkhalifah，2015；Mu等，2025；Wang和Alkhalifah，2025）。图10再次展示初始（背景）速度模型及相应时间滞后RTM图像。如图所示，通过改变时间滞后参数，三幅图像捕获地下反射率的不同特征。每幅图像强调波场的不同方面，有效丰富输入空间并提供有利于速度模型反演的互补信息。图11(c)显示神经算子产生的反演速度模型。与初始背景速度模型（图11(a)）相比，预测结果包含显著增强的中、高波数分量，导致结构分辨率提高。这些高分辨率特征可能归因于时间滞后RTM图像提供的互补信息以及训练数据集的丰富性。此外，图11(b)显示使用传统多尺度FWI策略、采用3至16 Hz频带获得的速度模型，整个反演过程约耗时2.5小时。显然，神经算子产生的预测结果分辨率显著更高。该比较清楚凸显所提基于神经算子的方法相较传统迭代方法在效率与准确性上的优势。同样重要的是，由于神经算子前向传播的高效性，速度模型约在5秒内生成，展示了相较传统FWI的显著计算优势。此处实验为二维声学。三维应用需不同规模的训练数据与网络，作为展望在第4.5节讨论。将结果与??=10.55 km处声波测井比较（图12(a)）。测井在1.00至3.55 km间以12.5 m采样，三个模型在25 m建模网格上采样，共享同一基准面，模型插值至测井深度而无深度拉伸。在测井区间内，神经算子三者中失配最低：MAE 219 m/s、RMSE 271 m/s、??=0.872，而偏移速度模型为243 m/s、296 m/s、0.838，FWI为248 m/s、306 m/s、0.860。图12(b)残差显示增益来自2 km以下；其上平滑偏移速度模型最接近测井。图10. 实际数据测试，(a)显示背景速度模型，(b–d)显示使用三个不同时间滞后值计算的相应RTM图像。两点限定该比较。该井指导了合成训练模型的设计，故图12是一致性检查而非独立验证；第4.4节Viking Graben井提供独立测试。且逐点失配难以衡量细尺度细节，因位移一小部分层厚的层与缺失层受罚相同。图11. (a)显示背景速度模型，(b)显示使用传统多尺度FWI方法获得的反演结果，(c)显示神经算子预测的高分辨率速度模型。图12. 与??=10.55 km处声波测井比较。(a)初始背景速度模型（红，虚线）、多尺度FWI结果（橙，点划线）与神经算子预测（蓝，实线）的速度剖面，及声波测井（绿，点线）。阴影带为测井区间1.00–3.55 km，文中统计量在该区间计算。(b)三个模型插值至测井深度后相对测井的残差。3.6. 网格无关测试网格无关性指学习算子无需重新训练即可跨空间离散化泛化的能力。在此背景下，在一个网格上采样的场上训练的网格无关神经算子应适用于不同网格（更细或更粗）采样的同一底层连续函数，同时在离散化极限内保持预测结构。该性质对实际数据应用尤为重要，因为(i)采集与处理常以多种采样率提供速度模型与图像，(ii)全尺度工业数据集通常与训练数据集在网格大小与间距上不同。特别地，利用神经算子的网格无关性质将其应用扩展至全尺度CGG实际数据。直接将背景（偏移）速度模型（图13(a)）与时间滞后RTM图像输入神经算子，获得如图13(c)所示反演结果。观察到神经算子确实能够产生具有相当结构细节的反演结果，有效增强重建模型的分辨率。为直接评估这些细尺度分量是否具有物理意义，图13(b)显示对同一数据集应用传统多尺度FWI获得的速度模型。神经算子的预测与FWI结果共享非常相似的结构特征，如模型右部的高速层序与中浅部低速异常，表明恢复的分量在很大程度上与基于物理的反演从同一数据提取的结果一致，而非任意高波数伪影。图14显示??=16.875 km处剖面的垂向波数谱。横轴为以每公里周期数表示的垂向波数，取自该网格深度采样，Nyquist波数为53.2 cycles/km。两条竖线为第3.4节定义的极限，以剖面平均速度???=2.60 km/s计算：??1=2??FWI/???≈12 cycles/km，??2=2??img/???≈23 cycles/km。直至约2 cycles/km，三个模型一致。该处至??1之间，偏移速度模型几乎不含能量，而神经算子与FWI均含。??1与??2之间（30 Hz偏移数据仍约束但高于FWI带宽的频带），神经算子能量高于FWI。第3.4节合成测试在相应频带给出与已知模型0.93的相关系数，故此处额外能量为数据支持。??2以上，预测保持约11%总谱振幅，FWI约4%，偏移速度模型几乎为零。不声称该部分比FWI更准确：更多谱能量并非更高准确性的证据，且该测线唯一测井指导了训练集设计。这是先验信息引导的预测，取决于训练模型对该区域的代表性。此外，神经算子预测获得的RTM图像（图15(b)）相较使用背景速度模型的成像结果（图15(a)）显示显著改善的结构连续性与反射界面清晰度。尽管网格无关性结果有前景，但不意味着预测对任意细离散化不变。实践中，性能受保留傅里叶模态隐式设定的带宽或时间滞后RTM图像信息内容限制。特别地，谱层中傅里叶模态截止设定可恢复波数的有效上界，当训练算子应用于显著更细离散化时可能影响网格无关测试性能。因此将网格无关性解释为：学习算子在无需重新训练的实际离散化范围内保持有效与有用。一个合理问题是此类细尺度分量能否从带限地震记录恢复。强调它们并非仅从数据提取：通过时间滞后RTM图像，数据约束速度对比的位置与几何至震源带宽允许的分辨率，而该频带以上的波数内容由训练模型中嵌入的地质先验提供。神经算子因此充当学习的、结构感知的正则化。预测细节的证据因频带而异。在偏移数据约束的频带内，第3.4节合成测试经已知模型验证恢复。该频带以上，实际证据为间接：图12测井为一致性检查，因同一井指导训练集；第4.4节Viking Graben测井为独立；图15(b)聚焦与网络共享输入。无一单独解决先验主导频带。因此称??2以上实际预测为先验信息引导，其准确性取决于训练分布对该区域的代表性。图13. 网格无关测试，将训练后神经算子应用于更大规模实际数据集而无任何重新训练。(a)显示背景速度模型，(b)显示使用传统多尺度FWI获得的速度模型，(c)显示神经算子预测的相应高分辨率速度模型。图14. ??=16.875 km处速度剖面的垂向波数谱，取自图13全尺度实际模型：初始（蓝）、神经算子（橙）与多尺度FWI（绿）。横轴为以cycles/km表示的垂向波数，该网格Nyquist波数为53.2 cycles/km。虚线为以剖面平均速度???=2.60 km/s计算的??1=2??FWI/???≈12 cycles/km与??2=2??img/???≈23 cycles/km。阴影分隔FWI带宽内可分辨频带、偏移数据可分辨频带及??2以上先验主导频带。图15. (a)显示使用初始背景速度模型计算的RTM图像，(b)显示使用神经算子预测速度模型获得的RTM结果。4. 讨论本节研究将时间滞后RTM图像作为额外输入通道纳入神经算子的影响。图16. (a)与(b)分别显示纳入与未纳入时间滞后RTM图像作为输入通道获得的最终实际数据反演结果。比较表明纳入时间滞后RTM显著增强预测速度模型的分辨率与结构准确性。4.1. 时间滞后偏移的重要性时间滞后RTM常用于偏移速度模型构建，为神经算子提供宝贵的中波数额外信息源。如图16所示，该输入的有效性清晰可见。图16(b)显示仅使用两个输入通道（背景速度与相应RTM图像）时的反演结果。与纳入时间滞后RTM图像的情况相比，该结果缺少某些结构细节，尤其在复杂区域。此外，未纳入时间滞后的结果分辨率较低，更重要的是结构一致性较低，表明时间滞后RTM输入对背景速度不准确性提供一定鲁棒性。作为将该方法应用于新数据集的实用指南，建议选取非零滞后约为震源子波主周期四分之一量级（本文所用子波对应±20 ms滞后），然后目视验证所得图像中反射事件相对零滞后图像有明显但不过度移位。滞后过小产生与零滞后几乎冗余的图像，而过大的滞后主要将事件移离其结构位置，因而贡献甚少额外约束。4.2. 背景速度模型的影响由于方法依赖背景速度模型的准确性，不准确的背景速度可能产生错误的时间滞后RTM图像，从而影响最终预测结果。图17中故意使用不准确的背景速度，相应成像结果与图10显著不同。这些图像随后输入神经算子，所得速度模型构建输出如图18所示。尽管与图11(c)相比存在明显差异，结果仍表明部分中、高波数信息被成功恢复。应强调退化不仅是分辨率损失。网络将时间滞后RTM图像中包含的结构视为地下可靠约束；当背景速度误差增大时，这些图像中反射界面逐渐散焦与错位，算子因而在错误位置注入中、高波数分量。换言之，初始模型越不准确，预测可能含越多错误高波数信息，此类伪影比平滑背景误差本身更具误导性。然而承认背景速度准确性在方法中起相对重要作用，需进一步研究以降低对背景模型准确性的依赖。图17. (a)显示不准确背景速度，(b)、(c)、(d)表示相应时间滞后RTM图像。图18. 使用图17不准确背景速度获得的速度反演结果。4.3. 与基于CNN基线的比较一个相关问题是我们报告的改进源于算子学习架构本身还是仅源于使用时间滞后RTM图像作为额外输入通道。为分离架构贡献，在神经算子所用的完全相同输入–输出对上训练传统U-Net，即相同四通道输入（偏移速度模型与三幅时间滞后RTM图像）、相同标签、相同损失函数与训练计划。基线采用原始U-Net架构（Ronneberger等，2015），由收缩卷积编码器与对称扩展解码器经相应尺度跳跃连接组成；仅调整输入与输出层以适应四通道输入与单通道速度输出。图19比较两个网络对第3.5节实际数据集的预测。U-Net较好地恢复大尺度结构；然而其预测呈现局部不稳定性，如剖面中部约1.5 km深度可见的虚假速度异常，以及横向连续性较差的层状。相反，神经算子产生更稳定的预测，具有横向连贯的细尺度层。由于两个网络接收相同输入与训练数据，该差异可归因于架构：神经算子的谱层捕获跨模型域的全局相互作用，正则化预测并抑制此类局部伪影。图19. (a)在相同输入–输出对上训练的U-Net预测速度模型与(b)所提神经算子预测速度模型在实际数据集上的比较。U-Net预测呈现局部不稳定性，如约1.5 km深度的虚假低速异常，而神经算子产生更稳定且横向连贯的结果。4.4. 在不同实际数据集上的泛化能力另一关键问题涉及网络的泛化能力。尽管训练数据集基于“已知”解构建，但重要的是认识到地下结构主要横向平坦并共享许多共同特征。该观察赋予训练数据集与神经网络一定程度的泛化能力。为证明此点，在北海水盆地Viking Graben采集的二维地震测线上测试方法。由于偏移距有限（3237 m）与采集孔径较浅，传统全波形反演难以恢复细尺度地下细节并产生低分辨率速度模型（图20(c)）。因此该数据集对网络构成重大挑战，因神经算子仅在特征类似图1的合成数据集上训练。尽管如此，所提框架仍能产生高分辨率速度模型（图20(d)）。该数据集还包括??=11.70 km与??=21.25 km处两个高分辨率测井。二者均未进入背景模型或训练集，故提供独立测试。图21比较三个模型与测井在0.40–3.99 km区间的结果并显示残差，表2列出统计量。在两个井处神经算子均优于FWI，将第一口井MAE从307降至235 m/s，第二口井从221降至169 m/s。它未优于平滑初始模型，后者三者中逐点失配最低（152与133 m/s）。然而应注意泛化问题尚未完全解决。相反，方法大幅提高了训练数据集对实际数据的泛化性。特别地，远离训练分布的地质环境（如大尺度断层或复杂几何储层）可能导致较差预测；然而，当目标区主要地质特征可大致推断（如从其偏移图像）并用于构建合成训练集（如本文所做），方法有望在该特定区域表现良好。泛化问题的完整解决仍是开放研究问题。图20. (a)显示背景速度，(b)相应RTM图像，(c)FWI反演结果，(d)所提方法获得的速度模型。图21. 与两个Viking Graben声波测井比较，二者未用于训练或背景模型构建。(a)与(b)分别显示??=11.70 km与??=21.25 km处初始模型（红，虚线）、FWI结果（橙，点划线）与神经算子预测（蓝，实线）的速度剖面及测井（绿，点线）。(c)与(d)显示相对测井的残差。表2. 三个速度模型相对声波测井的失配。CGG井指导训练集构建；两个Viking Graben井独立于训练集与背景模型。模型 MAE (m/s) RMSE (m/s) ?? CGG，??=10.55 km，1.00–3.55 km 初始 242.6 296.4 0.838 FWI 247.5 305.8 0.860 神经算子 219.3 271.4 0.872 Viking Graben，??=11.70 km，0.40–3.99 km 初始 152.2 200.6 0.981 FWI 307.0 376.9 0.967 神经算子 234.9 294.9 0.961 Viking Graben，??=21.25 km，0.40–3.99 km 初始 132.8 177.2 0.980 FWI 221.4 289.7 0.961 神经算子 169.4 225.1 0.9694.5. 三维弹性速度模型构建展望本文所有实验为二维声学，故三维情况作为展望而非已证明能力呈现。尽管所提方法在二维声学速度模型构建中取得有希望结果，扩展至三维仍是需解决的挑战问题。主要困难之一在于构建大规模三维合成数据集及相应时间滞后RTM图像，因生成此类训练数据极其耗时。此外，三维神经算子训练与推理通常需要大量GPU内存，且更易过拟合。解决这些问题将是未来研究的重要方向。5. 结论本研究证明神经算子（特别是傅里叶神经算子结合CNN）从时间滞后RTM图像构建高分辨率速度模型的有效性。利用神经算子的网格无关性质与在函数空间中学习映射的能力，所提框架成功恢复合成与实际数据集中缺失的中、高波数分量。合成测试的波数频带分解表明，FWI带宽以上恢复的分量与真实模型以0.93相关系数一致。在实际数据上，偏移图像可约束频带以上的分量主导预测外观；它们来自训练期间学习的地质先验，更宜描述为先验信息引导。将时间滞后逆时偏移图像作为额外输入通道的整合显著增强反演结果的结构分辨率与鲁棒性。这些扩展图像提供多样的角度相关反射率信息，有助于更好地学习复杂地下特征。实验评估——包括分布内、分布外与网格无关测试——表明训练后神经算子在不同场景下泛化良好。然而强调这些结果不意味着泛化挑战的完整解决；结果反映测试分布与假设内的条件鲁棒性，而非跨所有设置的普遍泛化。尽管存在这些限制，模型产生的预测结果在实际数据的 resolution 与计算效率上可与或超越传统多尺度全波形反演方法。预测相对本文检查的每个声波测井（包括未用于训练的两个Viking Graben测线测井）也达到比FWI更低的失配。本文报告的所有结果均为二维声学。总体而言，本工作通过桥接算子学习与先进图像表示，为数据驱动地震反演建立有前景的方向。结果凸显基于神经算子的框架作为传统速度模型构建流程高效、准确且可扩展替代方案的潜力。
**研究背景与问题**：近年来，深度学习算法在地震速度模型构建中受到广泛关注，因其旨在学习从地震数据到速度结构的直接映射，规避传统全波形反演（FWI）需用伴随状态法计算梯度的迭代流程，从而提供近乎瞬时的预测。然而，现有基于卷积神经网络（CNN）的方法主要依赖局部卷积算子，其训练数据通常由传统数值求解器生成，耗时极长，且神经网络外推能力有限，对未见数据及不同离散化的泛化仍是根本挑战。此外，合成训练数据与实际数据之间的域差异导致网络性能退化。虽有研究引入Transformer与神经算子以改善精度，并将角道集（ADCIGs）作为高波数信息输入，但ADCIGs需显式角度分解，增加计算成本且在复杂地质或照明不良时不可靠。为此，研究人员提出一种混合神经算子架构结合时间滞后成像条件，以从时间滞后逆时偏移（RTM）图像估计高分辨率速度模型，旨在提升中、高波数恢复能力与泛化性。**研究内容与结论**：研究人员构建了由傅里叶神经算子（FNO）层与CNN编码器–解码器组成的混合架构，以背景（偏移）速度模型与三幅不同时间滞后的RTM图像为四通道输入，真实速度为标签进行监督训练。合成与实例测试表明，该方法能恢复初始模型中缺失的中、高波数分量，在分布内与分布外测试中均表现良好，并在实际数据上产生高于传统多尺度FWI的分辨率，前向预测仅约5秒。**重要意义**：该工作将算子学习与先进图像表示相结合，为数据驱动地震反演提供了高效、准确且可扩展的潜在替代方案，并明确界定了数据可分辨频带与先验主导频带的证据差异。
**关键技术方法**：研究采用时间滞后逆时偏移成像条件（基于正反传波场相关，公式(4)）生成多通道扩展图像；构建目标信息引导的合成速度模型数据集（6000个样本，4800训练/其余验证）；采用FNO层与ResNet-101编码器及注意力跳跃连接的混合神经算子架构；以复合MSE与MAE损失（权重0.9与0.1）经Adam优化器（学习率1×10
?4）训练400个epoch；实际数据来自CGG澳大利亚西北大陆架（12 km×3.8 km，116炮，648检波器，子波低通滤波至30 Hz以下）与北海水盆地Viking Graben二维测线（偏移距3237 m），并采用CGG井及两口Viking Graben井（??=11.70 km与??=21.25 km）作测井验证。
**研究结果**：
**3.1 训练细节**：通过6000个合成数据集训练与验证，训练与验证损失稳定下降并收敛，表明训练稳定且泛化良好。
**3.2 分布内测试**：通过将初始速度模型及时间滞后RTM图像输入训练后算子，得出其能成功恢复缺失中、高波数分量，预测与真值标签在整个域内高度匹配，可准确重建细尺度地层与深层结构。
**3.3 分布外测试**：通过使用独立开发、含跨越整个模型的大尺度盐体样本，得出算子成功重建盐体整体结构及下方层状结构；另一Volve模型部分测试中，算子准确重建低速与高速区，速度剖面与真实速度高度匹配。
**3.4 数据可分辨与先验主导波数分量**：通过将速度误差按FWI可分辨频带（0??1）分解，得出分布内测试中预测将??1以上误差从92.4%降至36.3%、相关系数从0.39升至0.93；盐体测试中预测相关系数达0.93但将该频带误差从16.5%升至37.4%，表明离开训练分布后所添加细节可靠性降低。
**3.5 实际数据应用**：通过将训练后算子应用于CGG实际数据，得出预测速度模型较初始模型显著增强中、高波数分量，分辨率高于耗时约2.5小时的多尺度FWI，而前向预测仅约5秒；与??=10.55 km声波测井比较，神经算子MAE 219 m/s、RMSE 271 m/s、??=0.872，优于偏移速度模型（243 m/s、296 m/s、0.838）与FWI（248 m/s、306 m/s、0.860），增益主要来自2 km以下。
**3.6 网格无关测试**：通过将算子无重新训练应用于全尺度CGG数据，得出其产生具相当结构细节的结果，与FWI共享相似结构特征；垂向波数谱显示??1至??2间算子能量高于FWI，??2以上保持约11%总谱振幅（FWI约4%），但研究人员明确??2以上为先验信息引导而非声称更准确；预测所得RTM图像结构连续性与反射界面清晰度显著改善。
**讨论部分总结**：**4.1** 通过对比纳入与未纳入时间滞后RTM图像的最终实际数据反演结果，得出纳入后显著增强分辨率与结构准确性，并建议非零滞后取主周期四分之一量级。**4.2** 通过故意使用不准确背景速度，得出虽仍恢复部分中、高波数信息，但反射界面散焦错位会导致算子在错误位置注入高波数分量，伪影比平滑背景误差更具误导性。**4.3** 通过在相同输入–输出对上训练传统U-Net，得出U-Net存在局部不稳定与横向连续性较差，而神经算子因谱层捕获全局相互作用产生更稳定、横向连贯结果，证明架构贡献。**4.4** 通过在Viking Graben独立测井上测试，得出神经算子较FWI降低MAE（307→235 m/s与221→169 m/s），但未优于平滑初始模型（152与133 m/s），且泛化问题尚未完全解决。**4.5** 三维弹性速度模型构建作为展望，主要困难为大规模三维训练数据生成耗时与GPU内存需求大、易过拟合。
**研究结论翻译**：本研究证明神经算子（特别是傅里叶神经算子结合CNN）从时间滞后RTM图像构建高分辨率速度模型的有效性。利用神经算子的网格无关性质与在函数空间中学习映射的能力，所提框架成功恢复合成与实际数据集中缺失的中、高波数分量。合成测试的波数频带分解表明，FWI带宽以上恢复的分量与真实模型以0.93相关系数一致。在实际数据上，偏移图像可约束频带以上的分量主导预测外观，它们来自训练期间学习的地质先验，更宜描述为先验信息引导。将时间滞后逆时偏移图像作为额外输入通道的整合显著增强反演结果的结构分辨率与鲁棒性。这些扩展图像提供多样的角度相关反射率信息，有助于更好地学习复杂地下特征。实验评估——包括分布内、分布外与网格无关测试——表明训练后神经算子在不同场景下泛化良好。然而强调这些结果不意味着泛化挑战的完整解决；结果反映测试分布与假设内的条件鲁棒性，而非跨所有设置的普遍泛化。尽管存在这些限制，模型产生的预测结果在实际数据的 Resolution（原文为resolution，此处保留原文）与计算效率上可与或超越传统多尺度全波形反演方法。预测相对本文检查的每个声波测井（包括未用于训练的两个Viking Graben测线测井）也达到比FWI更低的失配。本文报告的所有结果均为二维声学。总体而言，本工作通过桥接算子学习与先进图像表示，为数据驱动地震反演建立有前景的方向。结果凸显基于神经算子的框架作为传统速度模型构建流程高效、准确且可扩展替代方案的潜力。
