高维值时滞系统的统一线性负定性引理及其在神经网络同步中的应用

《Chaos, Solitons & Fractals》：A unified linear negative-definiteness lemma for high-dimension-valued time-delay systems and its application in synchronization of neural networks

　　摘要本文研究定义在实数、复数、四元数和八元数代数上的时滞高维值神经网络（DHDVNNS）的同步问题。针对由高维值网络动力学产生的仿射实对称矩阵函数，建立了精确的端点负定性判据。采用固定的左乘表示将原始高维值系统转化为等价的实坐标实现。利用Lyapunov–Krasovskii泛函（LKF）结合直接扇形S过程，推导了同步的端点线性矩阵不等式，其中激活函数的Lipschitz界作为给定的模型常数。对所有四个代数域，比较评估了三种LKF-Jensen证书变体。开发了一个有界PSO-LMI框架，用于生成有限个端点认证的可行参数样本。进一步进行主从同步仿真以验证这些候选解。比较性数值研究说明了所提出的统一同步判据在不同数域上的适用性。引言在复数、四元数和八元数代数上运行的高维值神经网络提供了无需分解的天然多维信号处理能力，并可应用于电信、彩色图像处理、量子计算和机器人导航等领域。与实值神经网络相比，这些网络直接处理高维数据，具有更强的存储能力和信息处理能力。近年来，事件触发控制和共识问题在相关复杂网络系统中引起了广泛关注，包括时滞动态网络的脉冲同步[1]、序列攻击下的二部共识[2]，以及切换模糊车辆动力学的强化学习控制[3]。同时，分数阶模糊神经网络已通过自适应控制实现固定时间同步[4]。这些结果证明了事件触发和自适应控制策略在各种非线性动态环境中的有效性。在这些实值框架之外，最近的研究将控制方法扩展到高维值设置：针对网络攻击下通过传感器网络的非线性系统，开发了基于观测器的自适应神经网络控制[5]，并采用采样数据控制策略来稳定具有参数不确定性的模糊惯性复值或四元数值时滞神经网络[6]，[7]。在对抗环境下高维值神经网络的安全控制也引起了越来越多的关注。针对马尔可夫跳跃神经网络的事件触发安全控制[8]和模糊马尔可夫跳跃系统的容错??∞控制[9]已被开发以应对欺骗攻击。基于观测器的安全策略已扩展到网络化系统[10]和复杂网络[11]。异步??∞控制用于IT2模糊系统[12]，以及分数阶神经网络的记忆事件触发控制[13]也已被探索。这些结果突出了在分析高维神经动力学时考虑网络不完美性的必要性。除了基本同步问题，带耦合时滞的模糊马尔可夫跳跃复杂动态网络的主从同步容错控制已被研究[14]，而马尔可夫跳跃切换细胞神经网络的指数稳定性已通过记忆事件触发控制进行分析[15]。网络攻击下复值神经网络同步的可达集估计[16]以及通过事件混合触发控制的时滞惯性值神经网络反同步[17]进一步说明了在不同高维设置下正在解决的同步相关问题的多样性。然而，神经网络的实际实现不可避免地会遇到由于放大器切换速度有限和信号传输延迟带来的时间延迟。时间延迟可能导致性能下降、振荡甚至不稳定。为解决这些问题，LKF方法已被广泛认为是时滞系统稳定性分析和控制设计的最有效工具之一，特别是在神经网络和混沌系统领域。然而，大多数现有的基于LKF的结果是为实值动态系统开发的，不能直接扩展到具有复值、四元数值或八元数值状态的高维值神经网络。由于代数约束和维数增加，上述问题仍然非平凡。因此，分析时间延迟对DHDVNNS稳定性和同步的影响，并为这类系统开发系统的控制策略，具有重要的理论和工程意义。本文旨在通过提出一个统一的基于LKF的同步框架来填补这一空白，该框架适用于DHDVNNS的广泛混沌系统类别。值得注意的是，大多数关于高维值时滞神经网络的现有研究主要研究定性同步可行性，而很少提供可复现的定量延迟证书。可容许时延的大小具有实际重要性，因为它直接控制系统稳定裕度和控制性能。现有的高维值神经网络分析方法分为两类：分解方法和非分解方法。分解方法将高维系统分解为两个、四个或八个实值子系统。这种方法成熟且有效，但会失去原始代数结构并增加系统维数。非分解方法直接在原始高维域中工作，可以保持代数完整性。在复数域中，利用Jensen不等式和互凸不等式已取得显著进展[18]，[19]，[20]。对于四元数值神经网络，已使用LKF和LMI技术研究了混合时滞的全局同步[21]。在八元数域中，已有各种稳定性和同步结果报道[22]，[23]，[24]。从统一的角度来看，本文将复数、四元数和八元数系统纳入单一分析框架。通过实表示，高维代数系统被转化为等价的实矩阵系统，因此它们的同步条件可以在一个LMI实现中处理。这提供了一个共同的分析和计算框架；但这并不使四个物理示例在延迟容忍度上直接可比。对于定义在有界区间上的线性或仿射函数，负定性可以直接通过检查端点条件来验证，这也是高阶多项式判据的基础[25]，[26]。这种线性条件隐含在时滞系统的分层LMI框架中[27]，[28]。与二次和三次情形相比，一阶结果是简单且精确的；在本文中，它被与统一的实表示和端点认证采样延迟的有限外部搜索相结合。搜索的目的是为所述问题找到有用的可行证书。在时滞系统的稳定性分析中，LKF导数经常在延迟区间[0,?]上产生仿射矩阵值函数，基于端点的负定性检验构成了一种自然的分析工具。基于这一观察，本文的主要贡献是：1. 对?,?,?,??上的仿射Hermitian矩阵值函数建立精确的统一端点负定性引理，给出区间上负定性的充分必要条件，而无需辅助凸组合参数。2. 对?,?,??上的二次型建立严格有序的左乘实表示，结合直接扇形S过程/LKF证书，其内部问题在固定?和固定外部控制器参数下是真正的严格LMI，而Lipschitz常数保持为固定模型数据。3. 对实数、复数、四元数和八元数测试用例实现可复现的PSO算法，支持三级证书比较，包括独立的端点LMI重构、逐级搜索轨迹，以及每个示例的时域同步误差仿真。小节高维代数设??∈{?,?,??}分别表示复数、四元数和八元数集合。统一的Young型不等式引理3.1 统一Young型不等式设??∈{?,?,??}，定义有序实内积〈??,??〉?????∑??=1Re?(?????????????????)，‖??‖2?〈??,??〉??。对任意??,??∈????和任意?>0，有2〈??,??〉??≤?‖??‖2+??1‖??‖2。证明实Cauchy–Schwarz不等式给出〈??,??〉??≤‖??‖‖??‖。将2????≤???2+??1??2应用于??=‖??‖和??=‖??‖即可证明结果。在??下，这正是?????中的普通Young不等式。每个求和项只包含有序二元乘积????????????????，其中????????????在????的左边，且两个因子按所示方式加括号；底层代数的结合性不成立。可容许参数空间依赖于激活函数的Lipschitz界???,???是固定的模型数据，不是优化变量。因为误差方程只通过乘积依赖于????，我们使用可辨识的对角控制器????=diag?(??1,…,????)=????，??=??+????。对于声明的有限搜索框，外部参数是??=(?,??1,…,????)∈??，??={??≤?≤???????，?????≤????≤?????????，??=1,…,??}。在每个测试的??处，?和????在内部LMI组装之前固定。标量乘子????,????，以及LKF矩阵??,??,??和L2的对角矩阵??。数值示例本节通过定义在实数、复数、四元数和八元数域上的基准神经网络验证了所提出的统一同步判据的有效性。主从同步框架在实坐标变换下实现，系统动力学和时变时滞表述为 ????(??)=??????(??)+???????(???(??))+??????(???(??????(??)))，????(??)=??????(??)+???????(???(??))+??????(???(??????(??)))+????(???(??)????(??))，其中????=diag?(??1,??2)?????，???(??)=???2(1+sin?2???????)，0≤???(??)≤???，|????(??)|≤??。结论与讨论本文为仿射实对称矩阵值函数建立了精确的端点负定性判据。借助固定的左乘实表示，该判据能够对定义在实数、复数、四元数和八元数代数上的时滞神经网络进行统一的同步分析。通过直接扇形S过程，在固定延迟和控制器参数下获得严格端点LMI条件。三种LKF/Jensen证书变体被...CRediT作者贡献声明Jianying Xiao：写作–初稿，可视化，验证，方法学，资金获取，形式分析，概念化。Xiao Guo：监督，资源。Kaibo Shi：调查，形式分析。Jun Qi：监督。Yunlong Teng：监督。利益冲突声明作者声明，他们不存在已知的竞争经济利益或个人关系，可能影响本文报告的工作。致谢本工作部分受到四川省国家自然科学基金资助（批准号2025ZNSFSC0076），部分受到油气藏地质及开发国家重点实验室（西南石油大学）开放基金（PLN2025-05）资助，部分受到国家自然科学基金资助（批准号12001452）。Jianying Xiao|Xiao Guo|Kaibo Shi|Jun Qi|Yunlong Teng