高维中的Pitchfork分岔及其在研究非线性共振腔动态中的应用

《Chaos, Solitons & Fractals》：Pitchfork bifurcation in higher dimensions and its application to study dynamics of nonlinear resonant cavities

　　•经典的叉式分岔理论被扩展到更高维的系统。•推导出二维标准形式，并将其扩展到复平面和更高维度。•这些结果支持为光子设备设计非线性共振腔体。

引言
在参数化的动力系统中，改变特定的系统参数可以显著改变系统的行为。这种现象被称为分岔，而发生这一现象的临界值被称为分岔点。在分岔点，系统参数的微小、平滑变化会导致长期行为的突然、质的变化。分岔可以使系统从一种行为（例如稳定的不动点、周期轨道、准周期运动或混沌运动）转变为另一种行为。这些变化可能导致平衡状态、周期轨道和更复杂吸引子的出现或消失。在一维动力系统中，一些重要的分岔类型包括鞍点-节点分岔、超临界分岔和叉式分岔。在这些分岔中，不动点会出现或消失，或者它们的稳定性会发生变化[1][2]。
在这项研究中，我们研究了更高维系统中的叉式分岔。我们关注对称情况，即不动点对称地出现或消失[1]；文献中也报道了这种分岔的非对称变体，这些变体在本节的后面进行了讨论。

叉式分岔通常被描述为一个过程，在这个过程中，成对的对称不动点出现或消失，原来的不动点在分岔后稳定性发生变化[3][4]。这种变化伴随着在一维系统中出现两个新的不动点：一个稳定的不动点变得不稳定，而在其两侧出现两个新的稳定不动点，或者反过来。然而，在更高维系统中，这种情形并不总是成立。例如，在[5]中，一个二维系统中的稳定平衡会分岔成两个新的稳定平衡点，在它们之间形成一个鞍点。有趣的是，如图3所示，即使在分岔后，原来的不动点仍能保持其稳定性。这种行为突显了更高维动力系统中这种分岔的更复杂结构。

一维中叉式分岔的标准形式表示为 x?=f(x;μ)=μx±x3，其中 μ∈R 表示调整参数。一维中叉式分岔的标准形式表明，如果一个动力系统在点 (x?,μ?) 处经历叉式分岔，则函数 f(x,μ) 在 (x?,μ?) 附近的小邻域内的泰勒级数展开与方程 (1) 的右侧相似，其中 μ? 是分岔点，x? 是不动点。然后，方程 (1) 中的函数 f(x,μ) 满足定理 1 中的条件：

定理 1 一维叉式分岔 [3][6]
考虑一个参数化的标量常微分方程族 x?=f(x;μ)，x∈R, μ∈R，其中 f 是一个足够光滑的实值函数。假设对于所有 μ，f(0;μ)=0，因此 x=0 是所有参数值的平衡点。设 μ=μ? 是分岔点，并假设以下非退化条件成立：f(x?;μ?)=0, f?(x?;μ?)=0, f??(x?;μ?)=0, f?(x?;μ?)≠0 以及 f??(x?;μ?) ≠ 0。那么系统在 (x,μ)=(0,μ?) 处经历叉式分岔。此外，存在平滑的局部坐标变换和 μ 的平滑重新参数化，即坐标变换 x→x′，使得原点位于 x′=0 处，并且系统在局部等价于标准形式 x′?=μx′±x′3。
如果 f??(0;μ?)<0，则叉式分岔是超临界的；如果 f??(0;μ?)>0，则叉式分岔是亚临界的。

图 1 展示了两种类型的叉式分岔。Wiggins 在参考文献 [6] 中提供了定理 1 的几何证明。Sotomayor 提出了 Rn 中叉式分岔存在性的推广[7]。Sotomayor 的充分条件要求分岔点的雅可比矩阵具有一个零特征值，其余特征值都在虚轴之外，同时还涉及向量场的横截性和非退化条件。在这些条件下，当参数穿过分岔值时，不动点会分裂成有限多个新的不动点。关于存在叉式分岔的充分条件，即一个不动点在分岔点 μ=μ? 处分裂成有限多个副本，在参考文献 [3][6][7] 中有详细研究。叉式分岔也在一维和更高维的离散映射中被研究过[4][6]。

本研究关注二维或更高维连续动力系统中的叉式分岔，特别强调一个不动点分裂成无限多个点的情况。Sotomayor 的充分条件在这种情况下不适用，因为它适用于导致有限多个分岔不动点的单个零特征值，而这里研究的分岔涉及与分岔方向相关的一系列零特征值，产生了一个不可数的平衡点族。

在叉式分岔中，研究人员注意到不动点的对称性和非零的三阶导数，即 f??(x?;μ?) ≠ 0[3][6][7]。Rajapakse 和 Smale 持不同意见，并提供了二维中的一个例子，其中一个稳定不动点被转变为两个由鞍点分隔的稳定不动点[5]。这个鞍点是从之前的稳定不动点产生的。这被称为非对称叉式分岔[8]。Glendinning 研究了一个准周期强迫动力系统，在其中发生了非光滑的叉式分岔，一个稳定集（非混沌吸引子）失去了稳定性，导致了一对由不稳定集分隔的稳定集的产生[9]。

文献将更高维中的叉式分岔视为一个稳定不动点分裂成有限多个副本的场景[1][3][5][6]。一个稳定不动点能否以对称的方式分裂成无限多个副本？如果是这样，实际应用中是否存在表现出这种行为的系统？本研究旨在探索这些问题。

这里推导出的复数标准形式只在 θ?=0 的简并极限下与 Hopf 标准形式具有相同的代数表达式，在该极限下定义 Hopf 分岔的振荡行为不存在。尽管在形式上相似，这两种分岔源自完全不同的机制，并描述了不同的动态特性。在 Hopf 分岔中，分岔对象是一个没有平衡点的极限环，而在这里它是一系列平衡点。因此，目前的工作识别出了一种不同的动态机制，即由叉式分岔产生的一系列平衡点，恰好具有 Hopf 的代数标准形式，但不具有其定义的振荡特性。

在这项研究中，我们采用了参考文献 [1][6] 中提出的基于对称性的叉式分岔定义。我们将这个概念扩展到更高维的系统，在这些系统中，一个稳定不动点分裂成无限多个对称排列的副本。在第 2 节中，我们在定理 2 和定理 3 中将经典证明推广到更高维度，并在推论 2 中推导出复平面上的相应标准形式。在第 3 节中，我们分析了一个具有三阶 Kerr 型非线性的非线性光学腔模型。该系统表现出二维叉式分岔，其中一个不动点分裂成一个圆形集合，形成一个三维抛物面结构。

### 二维中的叉式分岔示例
#### 二维超临界叉式分岔，具有无限多个平衡点
考虑二维动力系统 x??=μx??(x?2+x?2)x?, x??=μx??(x?2+x?2)x?，其中 μ∈R 是一个实数参数。这种设置可以在 Josephson 结的模型中找到，可以通过对系统的哈密顿量进行适当的规范变换得到[10]。为了更好地理解动态特性，我们通过引入 x?=rcosθ 和 x?=rsinθ 将该系统转换到极坐标。极坐标下的方程 (2) 为 r?=μr?r3, θ?=0。注意，方程 (3) 是由此得到的。

### 非线性共振腔中的叉式分岔
光学共振腔通过多个反射面捕获光波。这对于各种光学设备（如激光器和光学传感器）非常重要。在孤立的无损耗共振腔中，光场的主分量 x(t)（电场的适当分量）的时间演化可以如下建模[12]：x?=?ω?2x，这是无阻尼谐振子的方程，ω? 是振子的自然频率。

### 结论
本研究加深了对更高维系统中叉式分岔的理解。虽然以前的研究主要考察了稳定不动点分裂成两个稳定不动点和一个不稳定不动点（或相反情况）的叉式分岔场景，但我们的发现揭示了一种新的现象：一个稳定不动点可以对称地分裂成无限多个不动点。此外，我们还展示了一个有趣的现象。

### 作者贡献声明
Shubham Garg：撰写 – 原始草稿、方法论、调查、形式分析。
Kirankumar R. Hiremath：撰写 – 审阅与编辑、监督、方法论、调查、形式分析。

### 资金支持
Shubham Garg 的研究工作得到了印度大学资助委员会（University Grants Commission）的奖学金支持。

### 竞争利益声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。